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第四章 指数函数与对数函数
复习与小结
一、选择题
1．（2019·广东佛山一中高一期中）函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】：要使函数有意义 需满足： ,
得 ,且 ,故函数的定义域为 .故选：C
2．（2019·贵州高一期中）计算： （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】原式 .故选:C
3.（2019·广西高一期中）以下函数在 上是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】选项A：在 上先增后减；
选项B：定义域为：（0，+∞），在（0，+∞）上是减函数，不满足在 上是减函数；
选项C：定义域中就没有0，不满足在 上是减函数；选项D正确．故选：D．
4．（2019·吉林高一期中） 的零点所在区间为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ， ，
，
，根据零点存在性定理可得 ，则
的零点所在区间为 故选：C
5．（2019·江西宜春九中高一期中）若 则，它们的大小关系正确的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵y 为减函数，y 为减函数，
∴a 1，c 0，
又y＝log x为增函数，∴0＝log 1＜b＝log 2＜log 3＝1，∴a＞b＞c．故选：A．
3 3 3 3
6.（2019·山东高一期中）若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时， ，成立，当 时， ， ，
综上 ．故选：C．7．（2019·河北邯郸一中高一期中）已知函数 是奇函数，且当 时， ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ；
又x＜0时，f（x）＝5﹣x﹣1，且f（x）为奇函数；
∴ 2．故选：B．
8．（2019·河北高一期中）函数 的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 得 ，
分别作出函数 与， 的图象如图：
由图象可知两个函数有2个交点，即函数 的零点个数为2个，故选：D.9．（2019·江苏高一期中）数学学习的最终目标：让学习者会用数学眼光观察世界，会用数学思维
思考世界，会用数学语言表达世界.“双11”就要到了，电商的优惠活动很多，某同学借助于已学数
学知识对“双11”相关优惠活动进行研究.已知2019年“双11”期间某商品原价为 元，商家准备在
节前连续2次对该商品进行提价且每次提价 ，然后在“双11”活动期间连续2次对该商品进行
降价且每次降价 .该同学得到结论：最后该商品的价格与原来价格 元相比（ ）.
A．相等 B．略有提高 C．略有降低 D．无法确定
【答案】C
【解析】设现价为 ，则 ，则 ，则该商品的价格与原来
价格相比略有降低，故选:C.
10.（2019·福建厦门外国语学校高一期中）一元二次方程 的两根均大于 ，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，则二次函数 的图象开口向上，
对称轴为直线 .由于一元二次方程 的两根均大于 ，
则 ，解得 ，因此，实数 的取值范围是 .
二、填空题
11．（2019·陕西高一期中）已知函数 ,若 ,则
【答案】3
【解析】 ；．故f（x）+ ，则
12．（2017·北京清华附中高一期中）已知函数 ，给出下列命题：
①若 ，则 ；
②对于任意的 ， ， ，则必有 ；
③若 ，则 ；
④若对于任意的 ， ， ，则 ，其中所有正确命题
的序号是_____．
【答案】②④
【解析】 ，
对于①，当 时， ，故①错误．
对于②， 在 上单调递减，所以当 时 ，
即： ，故②正确．
对于③ 表示图像上的点与原点连线的斜率，由 的图像可知，
当 时， ，即： ，故③错误．
对于④，由 得图像可知， ，故④正确．
综上所述，正确命题的序号是②④．13．（2017·天津高一期中）若关于 的不等式 在 内恒成立，则 的取值范
围是__________．
【答案】
【解析】
由 ,得 ,在同一坐标系中作 和 的草图,如图所示
要使 在 内恒成立,只要 在 内的图象在 的上方,
于是 .因为 时，
所以只要 时,
所以 ，即 .又 ，所以 即实数 的取值范围为 .
14.（2019·苏州市相城区高一期中）已知函数若 ，
是互不相同的正数，且 ，则 的取值范围是_____．
【答案】【解析】先画出函数 的图象，如图所示：
因为 互不相同，不妨设 ，且 ，
而 ，即有 ，可得 ，则 ，
由 ，且 ，可得 ，
且 ，
当 时， ，此时 ，但此时b，c相等，
故 的范围为 ．故答案为： ．
三、解答题
15．（2018·河北高一期中）已知函数f(x)=b⋅ax (a,b为常数且>a0,a≠1)的图象经过点
A(1,8),B(3,32)，
（1）试求a,b的值；
（2）若不等式ax+bx-2m≥1在x∈[-1,2]有解，求m的取值范围.
19
【答案】（1）a=2,b=4；（2）m≤
2
【解析】（1） 则 ， .
（2）ax+bx-2m≥1在x∈[-1,2]有解等价于在2m≤2x+4x-1在x∈[-1,2]有解
1 1
设t=2x由x∈[-1,2]得t∈[ ,4]则2m≤t2+t-1在t∈[ ,4]上有解，
2 2
1
令h(t)=t2+t-1,t∈[ ,4]则2m≤h(t) ，
2 max1 2 5 1
又h(t)=t2+t-1=(t+ ) - 在[ ,4]上为增函数，
2 4 2
19
所以h(t) =h(4)=19所以2m≤19,所 以m≤ .
max 2
16．（2019·湖北高一期中）已知A, B两地的距离是130 km,每辆汽车的通行费为50元.按交通法规
规定, A, B两地之间的公路车速应限制在50~100 km/h.假设汽油的价格是7元/L , 一辆汽车的耗油
率
(L/h)与车速的平方成正比,如果此车的速度是90 km/h,那么汽车的耗油率为22.5 L/h,司机每小时的工
资是70元.从A地到B地最经济的车速是多少?如果不考虑其它费用,这次行车的总费用是多少(精确
到1元)?
【答案】最经济的车速是60 km/h，此时的行车总费用约为 元.
【解析】设车速为 ，油耗率为 ，行车总费用为 ，
因为一辆汽车的耗油率(L/h)与车速的平方成正比，所以 ( )，
又此车的速度是90 km/h时，汽车的耗油率为22.5 L/h，
所以 ，解得 ，故 ，
因此，由题意可得，
，
当且仅当 ，即 时， 取最小值.
因此，从A地到B地最经济的车速是60 km/h，此时的行车总费用约为 元.
17．（2019·广东实验中学高一期中）已知定义域为 的函数 是奇函数
（1）求 的值
（2）判断并证明该函数在定义域 上的单调性
（3）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围。【答案】（1） （2）减函数，证明见解析（3）
【解析】（1）由题设，需 。经验证， 为奇函数，
（2）减函数.证明：任取 ， ，
， ，所以 在 上是减函数.
（3）由 得 ，
是奇函数， ，由（2）知 在是减函数，
故原问题可化为 即： 对任意 恒成立，
，解得 .
18．（2019·江苏高一期中）已知函数 ，其中 ，记函数
的定义域为 .
（1）求函数 的定义域 ；
（2）若函数 的最大值为 ，求 的值；
（3）若对于 内的任意实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) .(2) .(3) .
【解析】（1）要使函数有意义：则有 ，解得－2＜x＜1,∴ 函数的定义域 为
（2）因为 , 所以
因为 ，所以 ，
即 ， 由 ，得 ，
（3）由 在 恒成立，
得 ,因为 ，所以
所以 在 恒成立
设 ，令 ,则
即 ，因为 ，
所以 （当且仅当 时，取等号
所以 ,所以
