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第 2 课时 对数函数性质的应用
(教师独具内容)
课程标准：了解并掌握对数函数的图象、性质及单调性．知道对数函数 y＝
log x(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数．
a
教学重点：对数函数的单调性及应用．
教学难点：对数函数性质的综合应用.
【知识导学】
知识点一 对数函数y＝log x(a＞0，且a≠1)的性质
a
(1)定义域： □ ( 0 ，＋ ∞ ) ．
(2)值域： □ ( － ∞ ，＋ ∞ ) ．
(3)定点： □ (1,0 ) ．
(4)单调性：a>1时，在(0，＋∞)上是 □ 增函数 ；01，x>1时，y∈ □ ( 0 ，＋ ∞ )，
01时，y∈ □ ( － ∞ ， 0 )，
00，且a≠1)与指数函数y＝ax互为 □ 反函数 ，它们的图
a
象关于直线 □ y ＝ x 对称．对数函数y＝log x的定义域是指数函数y＝ax的 □ 值域
a
而y＝log x的值域是y＝ax的 □ 定义域．
a
【新知拓展】
(1)并非任意一个函数 y＝f(x)都有反函数，只有定义域和值域满足“一一对
应”的函数才有反函数．互为反函数的两个函数的定义域、值域的关系如下表所
示：
(2)一般来说，单调函数都有反函数，且单调函数的反函数与原函数有相同
的单调性．(3)若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．
(4)求反函数的步骤：
①求出函数y＝f(x)的值域；
②由y＝f(x)解出x＝f－1(y)；
③把x＝f－1(y)改写成y＝f－1(x)，并写出函数的定义域(即原函数的值域)．
(5)如何解以下三类不等式：①形如log x>log b的不等式，借助y＝log x的单
a a a
调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助 y
a
＝log x的单调性求解．
a
③形如log x>log x的不等式，可利用图象求解．
a b
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝log x与y＝x2互为反函数．( )
2
(2)函数y＝log x的图象与y＝ax的图象关于直线y＝x对称．( )
a
(3)函数y＝log x的图象过定点(1,0)．( )
a
答案 (1)× (2)√ (3)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)已知对数函数f(x)的图象过点(8,3)，则f＝________.
(2)函数y＝2log (x－1)(a＞0，且a≠1)的图象过定点________．
a
(3)已知log 1，求a的取值范围；
a
(3)求函数y＝log (1－x2)的单调递增区间．
[解] (1)∵函数y＝log x在(0，＋∞)上为减函数，∴由log (2x)1.∴x的取值范围为(1，＋∞)．
(2)由log >1，得log >log A．
a a a
①当a>1时，有a<，此时无解．
②当00⇔x2<1⇔－10，解得x>2或x<0.因为y＝x2－2x在[1，＋∞)上是
增函数，在(－∞，1]上是减函数，而y＝lg x在(0，＋∞)上是增函数，所以y＝lg
(x2－2x)的单调递增区间为(2，＋∞).
题型二 对数函数性质的综合应用
例2 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝log (x＋7)．
(1)求f(1)，f(－1)；
(2)求函数f(x)的表达式；
(3)若f(a－1)－f(3－a)＜0，求a的取值范围．
[解] (1)f(1)＝log8＝－3，
f(－1)＝－f(1)＝3.
(2)因为f(x)在R上为奇函数，
所以f(0)＝0，
令x＜0，则－x＞0，所以f(x)＝－f(－x)＝－log (－x＋7)，
(3)当x∈(0，＋∞)时，y＝log (x＋7)，令u＝x＋7，则y＝logu.由于u＝x＋7
是增函数，y＝logu是减函数，则y＝log (x＋7)在(0，＋∞)上是减函数，又由于
f(x)是奇函数且f(0)＝0，所以y＝f(x)是R上的减函数．
由f(a－1)3－a，解得a>2.
[条件探究] 本例中，若函数f(x)是偶函数，试求当x＜0时，函数f(x)的表达
式．
解 令x＜0，则－x＞0，因为函数f(x)是偶函数，
所以f(x)＝f(－x)＝log (－x＋7)＝log (7－x)．
故当x＜0时，f(x)＝log (7－x)．
金版点睛
图象与性质是解决对数函数问题的常用方法
对数函数的综合问题，常以对数函数为依托，着重考查对数的运算、对数函
数的图象与性质、函数的单调性、奇偶性、值域与最值等，熟悉对数函数的图象
与性质及求解函数问题的一般规律和方法是解答这类问题的前提．
已知函数f(x)＝lg .
(1)若f(x)为奇函数，求a的值；
(2)在(1)的条件下，若f(x)在(m，n)上的值域为(－1，＋∞)，求m，n的值．
解 (1)∵f(x)为奇函数，
∴f(x)＋f(－x)＝0，
即lg ＋lg ＝0，∴＝1，
解得a＝1(a＝－1舍去)．
(2)由(1)知f(x)＝lg ，则>0，
即或解得－10)．
2.5
(2)由y＝logx得x＝y，所以函数y＝logx的反函数为y＝x.
金版点睛
1互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称.
2若互为反函数的两个函数是同一个函数，则该函数的图象自身关于直线 y
＝x对称.
已知函数f(x)＝ax－k(a>0，且a≠1)的图象过点(1,3)，其反函数的图象过点
(2,0)，求函数f(x)的解析式．
解 由于函数f(x)的反函数的图象过点(2,0)，
∴f(x)的图象过点(0,2)，∴2＝a0－k，即k＝－1，
∴f(x)＝ax＋1.
又f(x)的图象过点(1,3)，∴3＝a＋1，即a＝2，
∴f(x)＝2x＋1.
1．设f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝log x，则当x<0时，f(x)＝( )
2
A．－log x B．log (－x)
2 2
C．log 2 D．－log (－x)
x 2
答案 D
解析 令x<0，则－x>0，根据题意f(－x)＝log (－x)，－f(x)＝log (－x)，即
2 2
f(x)＝－log (－x)，故选D．
2
2．若函数y＝f(x)的图象与函数y＝lg (x＋1)的图象关于直线x－y＝0对称，
则f(x)＝( )
A．10x－1 B．1－10x
C．1－10－x D．10－x－1
答案 A
解析 若两函数图象关于直线 y＝x对称，则两函数互为反函数，故 y＝lg (x
＋1)，则x＋1＝10y，x＝10y－1，即y＝10x－1.故选A．3．函数f(x)＝lg 的奇偶性是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
答案 A
解析 ∵f(x)的定义域为R，
f(－x)＝lg ＝lg (＋x)
＝lg －1＝－lg ＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，选A．
4．设函数f(x)＝log x的反函数为y＝g(x)，且g(a)＝，则a＝________.
2
答案 －2
解析 ∵函数f(x)＝log x的反函数为y＝2x，即g(x)＝2x.又∵g(a)＝，∴2a＝，
2
∴a＝－2.
5．已知2log (x－4)>log (x－2)，求x的取值范围．
a a
解 由题意，得x>4，原不等式可变为log (x－4)2>log (x－2)．
a a
当a>1时，y＝log x为定义域内的增函数，
a
∴解得x>6.
当01时，x的取值范围为(6，＋∞)；
当0
