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秘密★启⽤前
2024-2025（下）期末质量监测
⾼ ⼀ 数 学
本试卷满分150分 考试时间120分钟
【命题组织单位：辽宁沈⽂新⾼考研究联盟】
第Ⅰ卷 选择题（共 58分）
⼀、单选题（本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分，在每⼩题所给的四个选项中，有且只
有⼀项是符合题⽬要求的）
1.如果复数 满⾜ ，那么 的最⼩值是
A. B. C. D.
2.已知点 在第三象限，则⻆ 的终边在第⼏象限
A.第⼀象限 B.第⼆象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知 ，则“ ” 是“ ， ” 的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知点 ， ， ，则 在 上的投影向量的坐标为
A. B. C. D.
5.如图，已知正六边形 ，下列向量的数量积中最⼤的是
A. B. C. D.
6.如图所示，为测量河对岸的塔⾼ ，选取了与塔底 在同⼀⽔平⾯内的两个测量基点
与 ，现测得 ， ， ， ，则塔
⾼ 为
A. B. C. D.
⾼⼀数学 第 1 ⻚，共 5 ⻚
学科⽹（北京）股份有限公司7.在空间中， ， 是不重合的直线， ， 是不重合的平⾯，则下列说法正确的是
A.若 ， ， ，则
B.若 ， ，则
C.若 ， ， ，则
D.若 ， ， ，则
8.数学中有许多形状优美、寓意独特的⼏何体，“ 勒洛四⾯体” 就是其中之⼀勒洛四⾯体
是以正四⾯体的四个顶点为球⼼，以正四⾯体的棱⻓为半径的四个球的公共部分如图，在
勒洛四⾯体中，正四⾯体 的棱⻓为 ，则该勒洛四⾯体内切球的半径是
A. B. C. D.
⼆、多选题（本⼤题共3⼩题，每⼩题6分，共18分，在每⼩题所给的四个选项中，有多项
符合题⽬要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知向量 ， ，则
A.若 ，则
B.若 ，则
C.若向量 与 的夹⻆为锐⻆，则
D.若 ，则向量 在向量 上的投影向量为
10.已知 为斜三⻆形，⻆ 的对边分别为 ，且 ，则
A. B. 的最⼩值为
C.若 ，则 D.若 ，则
11.如图，⻓⽅体 中， ， ，
点 是线段 的中点，点 为线段 中点，则下列说法正确的是
A.⻓⽅体被平⾯ 截得的截⾯是⼀个五边形
B.⻓⽅体被平⾯ 截得的截⾯⾯积为
C. 与平⾯ 平⾏
D.三棱锥 的体积为
⾼⼀数学 第 2 ⻚，共 5 ⻚
学科⽹（北京）股份有限公司第Ⅱ卷 ⾮选择题（共 92分）
三、填空题（本⼤题共3⼩题，每⼩题5分，共15分）
12.已知 ，则 ．
13.已知平⾯单位向量 ， 满⾜ 设 ， ，向量 ，
的夹⻆为 ，则 的最⼩值是 ．
14.已知 三边分别为 ，且 则边 所对应的⻆ ⼤⼩为 ，
此时，如果 ，则 的最⼤值为 ．
四、解答题（本⼤题共5⼩题，共77分。解答时应写出必要的⽂字说明、证明过程或演算步
骤）
15．已知 ， ．
求 的值；
求 的值．
16．在 中，⻆ ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满⾜
．
求 的⼤⼩；
若 ， 的⾯积为 ，求 的周⻓．
17．如图所示，梯形 是⽔平放置的四边形 根据斜⼆测画法得到的直观图，
其中 ， ， ， ．
画出原四边形 ；
⾼⼀数学 第 3 ⻚，共 5 ⻚
学科⽹（北京）股份有限公司分别求出原四边形 与梯形 的⾯积．
18．在平⾯直⻆坐标系中， 为坐标原点， ， ， 三点共线，点 不在直线 上，满
⾜ ．
求 的值；
， ， ， ，若
的最⼩值为 ，求 的最⼤值．
19．
材料⼀：
我们可以发现这样⼀个现象：随机⽣成的⼀元多项式，在复数集中最终都可以分解成
⼀次因式的乘积，且⼀次因式的个数 包括重复因式 就是被分解的多项式的次数事实上，
数学中有如下定理：
代数基本定理：任何⼀元 次复系数多项式⽅程 ⾄少有⼀个复数
根．
材料⼆：
由代数基本定理可以得到：任何⼀元 次复系数多项式 在复数集中可
以分解为 个⼀次因式的乘积进⽽，⼀元 次多项式⽅程有 个复数根 重根按重数计 ．
下⾯我们从代数基本定理出发，看看⼀元多项式⽅程的根与系数之间的关系．
设实系数⼀元⼆次⽅程
在复数集 内的根为 ，容易得到
设实系数⼀元三次⽅程
在 复 数 集 内 的 根 为 ， 可 以 得 到 ， ⽅ 程 可 变 形 为
展开得：
⽐较 可以得到根与系数之间的关系：
阅读以上材料，利⽤材料中的⽅法及学过的知识解决下列问题：
对于⽅程 在复数集 内的根为 ，求 的值；
⾼⼀数学 第 4 ⻚，共 5 ⻚
学科⽹（北京）股份有限公司如果实系数⼀元四次⽅程 在复数集 内的
根为 ，试找到根与系数之间的关系；
已知函数 ，对于⽅程 在复数集 内的根为 ，
当 时，求 的最⼤值．
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⾼ ⼀ 数 学 参考答案
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A B B C A C D B BD AC ABD
12.3
13.
14.
15.解： 因为 ，则 ，⼜ ，
所以 ，则 ．
所以 ．
原式 ．
16.解： 因为 ，
所以 ，
由余弦定理得， ，
由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
⼜ ，所以 ．
因为 ，所以 ，
由余弦定理得， ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 的周⻓为 ．
17.解： 如图，建⽴平⾯直⻆坐标系 ，
⾼⼀数学答案 第 1 ⻚，共 3 ⻚
学科⽹（北京）股份有限公司在 轴上截取 ， ．
在过点 的 轴的平⾏线上截取 ．
在过点 的 轴的平⾏线上截取 ，连接 ，
即可得到原四边形 ．
原四边形 是直⻆梯形，且 ， ， ．
所以其⾯积为 ．
易得直观图中梯形的⾼为 ，
⼜ ， ，
所以其⾯积为 ．
18.解： 由题意，因为 三点共线，则 ，
则有 ，
由题意， 不共线，⽽ ，
于是 ，解得 ，
从⽽ 的值为 ．
由题意，知 ， ，
，
，
函数
，
令 ，因为 ，所以 ，
令 ， ．
当 时， 的最⼩值为 ，即
当 时， 的最⼩值为 ，即
当 时， 的最⼩值为 ，即 ．
⾼⼀数学答案 第 2 ⻚，共 3 ⻚
学科⽹（北京）股份有限公司综上所述，
可得 的最⼤值为 ，即 的最⼤值为 ．
19.解：
由阅读材料可知： ，且
有： ；
由材料可知：⼀元四次⽅程可改写为
展开得：
故可得：
由题有 的三个实根为 ．
设 ，
展开得 ，
故 ，
则 ，
⼜ ，故 ，
综上：当 时， 的最⼤值为 ；
注：具体评分变更信息（分值、答案等）请阅卷教师关注阅卷群。
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