第四章4．44．4.2第1课时_E015高中全科试卷_数学试题_必修1_02.同步练习_5.同步练习（第五套）_（新教材）人教数学必修第1（课件+课时练+单元测试+复习）第4章(共60份打包)

4.4.2 对数函数的图象和性质
第 1 课时 对数函数的图象和性质
(教师独具内容)
课程标准：能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了
解对数函数的单调性与特殊点．
教学重点：对数函数的图象及性质．
教学难点：底数a对图象的影响及对数函数性质的应用.
【知识导学】
知识点一 对数函数的图象和性质知识点二 指数函数与对数函数的关系【新知拓展】
底数对函数图象的影响
对数函数y＝log x，y＝log x，y＝logx，y＝logx的图象如图所示，可得如下
2 3
规律：
①y＝log x与y＝logx的图象关于x轴对称；
a
②当a＞1时，底数越大图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，底数越小图象越靠
近x轴．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对数函数的图象一定在y轴右侧．( )
(2)当0<a<1时，y＝log x在定义域上单调递增．( )
a
(3)函数y＝log x的定义域和值域均为(0，＋∞)．( )
a
答案 (1)√ (2)× (3)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)函数y＝log x(1≤x≤9)的值域为( )
3
A．[0，＋∞) B．R
C．(－∞，2] D．[0,2](2)若对数函数 y＝log x，x∈(0，＋∞)是增函数，则 a 的取值范围为
(1－2a)
________．
(3)已知y＝ax在R上是增函数，则y＝log x在(0，＋∞)上是________函数．
a
(填“增”或“减”)
答案 (1)D (2)(－∞，0) (3)增
题型一 对数函数的图象和性质
例1 如图所示的曲线是对数函数y＝log x，y＝log x，y＝log x，y＝log x的
a b c d
图象，则a，b，c，d,1,0的大小关系为________．
[解析] 由题图可知函数 y＝log x，y＝log x 的底数 a>1，b>1，函数 y＝
a b
log x，y＝log x的底数0<c<1,0<d<1.
c d
过点(0,1)作平行于x轴的直线l(图略)，则直线l与四条曲线交点的横坐标从
左向右依次为 c，d，a，b，显然b>a>1>d>c>0.
[答案] b>a>1>d>c>0
金版点睛
根据对数函数的图象判断底数大小的方法
作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象
限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．
已知0<a<1，函数y＝ax与y＝log (－x)的图象可能是( )
a
答案 D
解析 因为0<a<1，所以y＝ax单调递减，y＝log x单调递减，而y＝log (－
a ax)与y＝log x关于y轴对称，所以选D．
a
例2 若函数y＝log (x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数
a
b，c的值分别为_______．
[解析] ∵函数的图象恒过定点(3,2)，∴将(3,2)代入y＝log (x＋b)＋c，得2＝
a
log (3＋b)＋C．又当a>0，且a≠1时，log 1＝0恒成立，∴c＝2，由log (3＋b)＝
a a a
0，得3＋b＝1，∴b＝－2.故填－2,2.
[答案] －2,2
金版点睛
画对数函数图象时要注意的问题
(1)明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当 x趋
近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．
(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数 a的取
值范围是a>1，还是0<a<1.
(3)牢记特殊点．对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)的图象经过点：(1,0)，(a,1)
a
和.
函数y＝log (x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．
a
答案 (0，－2)
解析 因为函数y＝log x(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1，
a
得x＝0，此时y＝log (x＋1)－2＝－2，所以函数y＝log (x＋1)－2(a>0，且a≠1)
a a
的图象恒过点(0，－2).
题型二 对数式的大小比较
例3 比较下列各组中两个值的大小：
(1)log 1.9，log 2；
3 3
(2)log 3，log 2；
2 0.3
(3)log π，log 3.14(a>0，a≠1)．
a a
[解] (1)因为y＝log x在(0，＋∞)上是增函数，所以log 1.9<log 2.
3 3 3
(2)因为log 3>log 1＝0，log 2<log 1＝0，所以log 3>log 2.
2 2 0.3 0.3 2 0.3
(3)当a>1时，函数y＝log x在(0，＋∞)上是增函数，则有log π>log 3.14；
a a a
当0<a<1时，函数y＝log x在(0，＋∞)上是减函数，则有log π<log 3.14.
a a a
综上所得，当a>1时，log π>log 3.14；当0<a<1时，log π<log 3.14.
a a a a
金版点睛比较对数式大小的常用方法
(1)比较同底的两个对数式的大小，常利用对数函数的单调性．
(2)比较不同底数的两个对数式的大小，常用以下两种方法：①先利用对数换
底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性比较大小；②在同一象限内利
用对数函数图象的位置关系比较大小．
(3)比较底数与真数都不同的两个对数式的大小，常借助中间量(如1,0，－1
等)．
(4)比较多个对数式的大小，则应先根据每个数的结构特征，以及它们与中间
量“0”和“1”的大小情况进行分组，再比较各组内的对数式的大小即可．
(5)比较含参数的两个对数式的大小，要注意对底数是否大于 1进行分类讨论，
有时也要注意挖掘所给对数式的隐含条件．例如：比较 log (b2－b＋1)与log 的
a a
大小时，要注意隐含条件：b2－b＋1＝2＋≥>.
比较下列各组中两个值的大小：
(1)3log 5,2log 3；
4 2
(2)log 0.2，log 0.2；
3 4
(3)log π，log 3；
3 π
(4)log 0.1,0.20.1.
0.2
解 (1)∵3log 5＝log 125,2log 3＝log 9＝log 81，且函数y＝log x在(0，＋∞)
4 4 2 2 4 4
上是增函数，又125>81，∴3log 5>2log 3.
4 2
(2)∵0>log 3>log 4，∴<，
0.2 0.2
即log 0.2<log 0.2.
3 4
(3)∵函数y＝log x在(0，＋∞)上是增函数，且π>3，∴log π>log 3＝1.
3 3 3
同理，1＝log π>log 3，所以log π>log 3.
π π 3 π
(4)∵函数y＝log x在(0，＋∞)上是减函数，且0.1<0.2，∴log 0.1>log 0.2＝
0.2 0.2 0.2
1.
∵函数y＝0.2x在R上是减函数，且0<0.1，
∴0.20.1<0.20＝1.
∴log 0.1>0.20.1.
0.2
题型三 与对数有关的函数的值域问题
例4 求下列函数的值域：
(1)y＝log (x2＋4)；(2)y＝log (3＋2x－x2)．
2[解] (1)y＝log (x2＋4)的定义域是R.
2
因为x2＋4≥4，所以log (x2＋4)≥log 4＝2.
2 2
所以y＝log (x2＋4)的值域为[2，＋∞)．
2
(2)设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.
因为u>0，所以0<u≤4.
又y＝logu在(0,4]上为减函数，
所以logu≥log4＝－2，
所以y＝log (3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)．
金版点睛
1求与对数函数相关的复合函数的值域最值，关键是根据单调性求解，若
需换元，需考虑新元的取值范围.
2对于形如y＝log fxa>0，且a≠1的复合函数，其值域的求解步骤如下：
a
①分解成y＝log u，u＝fx两个函数；
a
②求fx的定义域；
③求u的取值范围；
④利用y＝log u的单调性求解.
a
函数y＝lg (1＋32－x2)的值域为( )
A．(－∞，1) B．(0,1]
C．[0，＋∞) D．(1，＋∞)
答案 B
解析 ∵2－x2≤2，∴0<32－x2≤9，∴1<1＋32－x2≤10，∴0<lg (1＋32－
x2)≤1，∴y＝lg (1＋32－x2)的值域为(0,1].
题型四 与对数函数有关的函数图象问题
例5 作出函数y＝|log (x＋1)|＋2的图象．
2
[解] 第一步，作y＝log x的图象，如图①所示．
2
第二步，将y＝log x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得 y＝log (x＋1)
2 2
的图象，如图②所示．
第三步，将y＝log (x＋1)在x轴下方的图象作关于 x轴的对称变换，得 y＝|
2
log (x＋1)|的图象，如图③所示．
2
第四步，将y＝|log (x＋1)|的图象沿y轴方向向上平移2个单位长度，便得到
2
所求函数的图象，如图④所示．金版点睛
1一般地，函数y＝fx±a±ba，b为正数的图象可由函数y＝fx的图象变换
得到.
将y＝fx的图象向左或向右平移a个单位长度可得到函数y＝fx±a的图象，
再向上或向下平移b个单位长度可得到函数y＝fx±a±b的图象记忆口诀：左加
右减，上加下减.
2含有绝对值的函数的图象变换是一种对称变换，一般地，y＝f|x－a|的图
象是关于x＝a对称的轴对称图形；函数 y＝|fx|的图象是将y＝fx的图象在x轴
上方的部分保留，将在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换得到的.
3y＝fx的图象与y＝f－x的图象关于y轴对称，y＝fx的图象与y＝－fx
的图象关于x轴对称.
当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<log x恒成立，则a的取值范围是( )
a
A．(0,1) B．(1,2)
C．(1,2] D．
答案 C解析 设 f (x)＝(x－1)2，f (x)＝log x，要使当 x∈(1,2)时，不等式(x－
1 2 a
1)2<log x恒成立，只需f (x)＝(x－1)2在(1,2)上的图象在f (x)＝log x的下方即可．
a 1 2 a
当0<a<1时，显然不成立；当a>1时，如图所示，要使当x∈(1,2)时，f (x)＝(x－
1
1)2的图象在f (x)＝log x的下方，只需f (2)≤f (2)，即(2－1)2≤log 2，log 2≥1，
2 a 1 2 a a
所以1<a≤2，故选C．
1．函数y＝log x的图象如图所示，则实数a的可能取值是( )
a
A．5 B．
C． D．
答案 A
解析 ∵函数y＝log x的图象逐渐上升，
a
∴函数y＝log x为单调增函数，∴a>1，故选A．
a
2．设a＝log 2，b＝log 2，c＝log 3，则( )
3 5 2
A．a>c>b B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
答案 D
解析 a＝log 2<log 3＝1；c＝log 3>log 2＝1，由对数函数的性质可知
3 3 2 2
log 2<log 2，∴b<a<c，故选D．
5 3
3．函数f(x)＝log (x2＋1)的值域为( )
3A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
答案 B
解析 因为 x2＋1≥1，且 f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以 log (x2＋
3
1)≥log 1＝0，故该函数的值域为[0，＋∞)．
3
4．若函数f(x)＝－5log (x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点 P，则点P
a
的坐标是________．
答案 (2,2)
解析 令x－1＝1，得x＝2，即f(2)＝2，故P(2,2)．
5．若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg (x＋1)，
求f(x)的表达式，并画出大致图象．
解 ∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0.
又当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∴f(－x)＝lg (1－x)．
又f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－lg (1－x)，
∴f(x)的解析式为
f(x)＝
f(x)的大致图象如图所示．