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4.4.2 对数函数的图象和性质
第 1 课时 对数函数的图象和性质
(教师独具内容)
课程标准：能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了
解对数函数的单调性与特殊点．
教学重点：对数函数的图象及性质．
教学难点：底数a对图象的影响及对数函数性质的应用.
【知识导学】
知识点一 对数函数的图象和性质知识点二 指数函数与对数函数的关系【新知拓展】
底数对函数图象的影响
对数函数y＝log x，y＝log x，y＝logx，y＝logx的图象如图所示，可得如下
2 3
规律：
①y＝log x与y＝logx的图象关于x轴对称；
a
②当a＞1时，底数越大图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，底数越小图象越靠
近x轴．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对数函数的图象一定在y轴右侧．( )
(2)当01，b>1，函数 y＝
a b
log x，y＝log x的底数0a>1>d>c>0.
[答案] b>a>1>d>c>0
金版点睛
根据对数函数的图象判断底数大小的方法
作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象
限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．
已知00，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数
a
b，c的值分别为_______．
[解析] ∵函数的图象恒过定点(3,2)，∴将(3,2)代入y＝log (x＋b)＋c，得2＝
a
log (3＋b)＋C．又当a>0，且a≠1时，log 1＝0恒成立，∴c＝2，由log (3＋b)＝
a a a
0，得3＋b＝1，∴b＝－2.故填－2,2.
[答案] －2,2
金版点睛
画对数函数图象时要注意的问题
(1)明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当 x趋
近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．
(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数 a的取
值范围是a>1，还是00，且a≠1)的图象经过点：(1,0)，(a,1)
a
和.
函数y＝log (x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．
a
答案 (0，－2)
解析 因为函数y＝log x(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1，
a
得x＝0，此时y＝log (x＋1)－2＝－2，所以函数y＝log (x＋1)－2(a>0，且a≠1)
a a
的图象恒过点(0，－2).
题型二 对数式的大小比较
例3 比较下列各组中两个值的大小：
(1)log 1.9，log 2；
3 3
(2)log 3，log 2；
2 0.3
(3)log π，log 3.14(a>0，a≠1)．
a a
[解] (1)因为y＝log x在(0，＋∞)上是增函数，所以log 1.9log 1＝0，log 2log 2.
2 2 0.3 0.3 2 0.3
(3)当a>1时，函数y＝log x在(0，＋∞)上是增函数，则有log π>log 3.14；
a a a
当01时，log π>log 3.14；当0.
比较下列各组中两个值的大小：
(1)3log 5,2log 3；
4 2
(2)log 0.2，log 0.2；
3 4
(3)log π，log 3；
3 π
(4)log 0.1,0.20.1.
0.2
解 (1)∵3log 5＝log 125,2log 3＝log 9＝log 81，且函数y＝log x在(0，＋∞)
4 4 2 2 4 4
上是增函数，又125>81，∴3log 5>2log 3.
4 2
(2)∵0>log 3>log 4，∴<，
0.2 0.2
即log 0.23，∴log π>log 3＝1.
3 3 3
同理，1＝log π>log 3，所以log π>log 3.
π π 3 π
(4)∵函数y＝log x在(0，＋∞)上是减函数，且0.1<0.2，∴log 0.1>log 0.2＝
0.2 0.2 0.2
1.
∵函数y＝0.2x在R上是减函数，且0<0.1，
∴0.20.1<0.20＝1.
∴log 0.1>0.20.1.
0.2
题型三 与对数有关的函数的值域问题
例4 求下列函数的值域：
(1)y＝log (x2＋4)；(2)y＝log (3＋2x－x2)．
2[解] (1)y＝log (x2＋4)的定义域是R.
2
因为x2＋4≥4，所以log (x2＋4)≥log 4＝2.
2 2
所以y＝log (x2＋4)的值域为[2，＋∞)．
2
(2)设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.
因为u>0，所以00，且a≠1的复合函数，其值域的求解步骤如下：
a
①分解成y＝log u，u＝fx两个函数；
a
②求fx的定义域；
③求u的取值范围；
④利用y＝log u的单调性求解.
a
函数y＝lg (1＋32－x2)的值域为( )
A．(－∞，1) B．(0,1]
C．[0，＋∞) D．(1，＋∞)
答案 B
解析 ∵2－x2≤2，∴0<32－x2≤9，∴1<1＋32－x2≤10，∴01时，如图所示，要使当x∈(1,2)时，f (x)＝(x－
1
1)2的图象在f (x)＝log x的下方，只需f (2)≤f (2)，即(2－1)2≤log 2，log 2≥1，
2 a 1 2 a a
所以11，故选A．
a
2．设a＝log 2，b＝log 2，c＝log 3，则( )
3 5 2
A．a>c>b B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
答案 D
解析 a＝log 2log 2＝1，由对数函数的性质可知
3 3 2 2
log 20，且a≠1)的图象恒过定点 P，则点P
a
的坐标是________．
答案 (2,2)
解析 令x－1＝1，得x＝2，即f(2)＝2，故P(2,2)．
5．若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg (x＋1)，
求f(x)的表达式，并画出大致图象．
解 ∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0.
又当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∴f(－x)＝lg (1－x)．
又f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－lg (1－x)，
∴f(x)的解析式为
f(x)＝
f(x)的大致图象如图所示．
