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第四章 指数函数与对数函数
4.4.3 不同增长函数的差异
一、选择题
1．（2019·全国高一课时练习）有一组实验数据如下表所示：
x 1 2 3 4 5
y 1.5 5.9 13.4 24.1 37
下列所给函数模型较适合的是( )
A．y＝log x(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)
a
C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝log x＋b(a>1)
a
【答案】C
【解析】通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越
慢，而B中的函数增长速度保持不变，故选C.
2．（2019全国高一课时练）若 ，则下列结论正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，结合 ， 及 的图象易知，当 时， ，
本题选择A选项.
3．（2019·全国高一课时练）三个变量y，y，y 随着变量x的变化情况如表：
1 2 3x 1 3 5 7 9 11
y 5 135 625 1 715 3 635 6 655
1
y 5 29 245 2 189 19 685 177 149
2
y 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
3
则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是( )
A.y，y，y B.y，y，y
1 2 3 2 1 3
C.y，y，y D.y，y，y
3 2 1 3 1 2
【答案】C
【解析】由指数函数、对数函数、幂函数的增长速率比较，指数函数增长最快，对数函数增长最慢，
由题中表格可知， 是幂函数， 是指数函数， 是对数函数，故选C。
1
4．（2019全国高一课时练）下面对函数f(x)＝log x，g(x)＝ 与h(x)＝ x-2在区间(0，＋∞)
上的衰减情况说法正确的是( )
A.f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢
B.f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快
C.f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢
D.f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快
【答案】C
【解析】画出三个函数的图像如下图，由图像可知选C.因为三个函数都是下凸函数。选C.
【点睛】当图像是一条直线的减函数时，是匀减速函数。当图像为上凸的增函数时减小速度是越来
越快的。当图像为下凸的减函数时（如本题）减小速度是越来越慢的。
5．（2019·全国高一课时练）四人赛跑，假设他们跑过的路程f(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)
i的函数关系分别是f(x)＝x2，f(x)＝4x，f(x)＝log x，f(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最
1 2 3 2 4
前面的人具有的函数关系是( )
A.f(x)＝x2 B.f(x)＝4x C.f(x)＝log x D.f(x)＝2x
1 2 3 2 4
【答案】D
【解析】由函数的增长趋势可知，指数函数增长最快，所以最终最前面的具有的函数关系为
，故选D。
6．（2019·全国高一课时练）某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 ，要增长到原来的
倍，需经过 年，则函数 的图象大致为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，函数解析式为 y=1.104x，（x＞0）函数为指数函数，底数1.104＞1递增，选B
二、填空题
7．（2019·全国高一课时练）函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是
________ .
【答案】
【解析】由于对数函数y=lnx在区间(0，＋∞)上的增长速度慢于一次函数y=x，所以函数y＝x2比函
数y＝xln x在区间(0，＋∞)上增长较快，填 .
8．（2019·全国高一课时练）在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记
录后显示的图象如图所示．现给出下列说法：
①前5min温度增加的速度越来越快；②前5min温度增加的速度越来越慢；③5min以后温度保持匀速增加；④5min以后温度保持不变．
其中正确的说法是________．(填序号)
【答案】②④
【解析】由图像可知前5min中温度增加，但是增加速度越来越慢，所以②对，①错。5min以后温
度图像是一条水平线，所以温度保持不变，④对，③错，选②④。
【点睛】当图像是一条直线的增函数时，是匀速增加。当图像为上凸的增函数时（如本题），增加
速度是越来越慢的。当图像为下凸的增函数时增加速度是越来越快的。
9．（2019全国高一课时练）据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设
2013年的湖水量为m，从2013年起，过x年后湖水量y与x的函数关系是________．
【答案】y＝0.9 ·m
【解析】
由题意可知，50年减少到0.9，则每年减少到 ，则 。
10．（2019·全国高一课时练）如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留
量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图象．有以下叙述：
①第4个月时，剩留量就会低于 ；
②每月减少的有害物质量都相等；
③若剩留量为 ， ， 时，所经过的时间分别是t，t，t，则t＋t＝t.
1 2 3 1 2 3
其中所有正确叙述的序号是________．
【答案】①③
【解析】根据题意，函数的图象经过点 ，故函数为
令 时， ，故①正确；令 时， ，减少 ，当 时， 减少 ，每月减少有害物质质量不相等，故②不
正确；分别令 ，解得 t＋t＝t 故③正确；
1 2 3
三、解答题
11．（2019·全国高一课时练）函数f(x)＝1.1x，g(x)＝ln x＋1，h(x)＝x 的图象如图所示，试分别指
出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)．
【答案】见解析
【解析】由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C 对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C
1 2
对应的函数是h(x)＝x ，曲线C 对应的函数是g(x)＝ln x＋1，由题图知，当x<1时，
3
f(x)>h(x)>g(x)；当1g(x)>h(x)；当ef(x)>h(x)；当ah(x)>f(x)；当bg(x)>f(x)；当cf(x)>g(x)；
当x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．
12．（2019·全国高一课时练）每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的
植树活动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现有两种方案如下：
方案一：每年植树1万平方米；
方案二：每年树木面积比上一年增加9%.
哪个方案较好？
【答案】方案二较好.
【解析】试题分析：最优方案问题，需要将两种方案的函数模型都求解出来，再进行比较，得到最优方案。本题中，方案一的函数模型为 ，方案二的函数模型为 ，根据
题意，将 代入，进行比较即可。
试题解析：方案一：5年后树木面积为：10＋1×5＝15(万平方米)．
方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米)，
因为15.386>15，所以方案二较好．
