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1．指数式、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数式、对
数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化．
2．指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数 a
的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知 a在(0,1)和(1，＋
∞)两个区间取值时，函数的单调性及图象特点．
3．比较几个数的大小是指数函数、对数函数性质的应用，在具体比较时，
可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与 1比较，分出大于1还
是小于1；然后在各类中两两相比较．
4．求含有指数函数和对数函数的复合函数的最值或单调区间时，首先要考
虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要
注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图象，观察确定其最值或
单调区间．
5．函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有
知式选图、知图选式、图象变换以及用图象解题．函数图象形象地显示了函数的
性质．在解方程或不等式时，特别是非常规的方程或不等式，画出图象，利用数
形结合能快速解决问题．
6．方程的解与函数的零点：方程 f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函
数y＝f(x)的图象与x轴有交点．
7．零点判断法：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲
线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在
c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
注意：由f(a)f(b)<0可判定在(a，b)内至少有一个变号零点c，除此之外，还
可能有其他的变号零点或不变号零点．若f(a)f(b)>0，则f(x)在(a，b)内可能有零
点，也可能无零点．
8．二分法只能求出其中某一个零点的近似值，另外应注意初始区间的选择．
9．用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：
学科思想培优
一、指数、对数函数的典型问题及求解策略指数函数、对数函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等，其中
单调性是高考考查的重点，并且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，
要以已学函数的单调性为主，结合复合函数单调性的判断法则，在函数定义域内
进行讨论．
1．求定义域
[典例1] (1)函数y＝的定义域是( )
A．[－2，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－∞，－1] D．(－∞，－2]
(2)函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2] D．(－1,2]
解析 (1)由题意得2x－1－27≥0，所以2x－1≥27，即2x－1≥－3，又指数函数y＝
x为R上的单调减函数，所以2x－1≤－3，解得x≤－1.
(2)要使函数式有意义，需
即得x∈(－1,0)∪(0,2]．
答案 (1)C (2)B
2．比较大小问题
比较几个数的大小是指数、对数函数的又一重要应用，其基本方法是：将两
个需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行
比较；有时也采用搭桥法、图象法、特殊值法、作图法等方法．
[典例2] 若0log 3，错误．
x y
对于C，函数y＝log x在(0，＋∞)上单调递增，故log xy，错误．
答案 C
[典例3] 比较三个数0.32，log 0.3,20.3的大小．
2解 解法一：∵0<0.32<12＝1，log 0.320＝1，∴log 0.3<0.32<20.3.
2 2 2
解法二：作出函数y＝x2，y＝log x，y＝2x的大致图象，如图所示，画出直线
2
x＝0.3，根据直线与三个函数图象的交点位置，即可看出log 0.3<0.32<20.3.
2
3．与指数、对数函数相关的单调性问题
[典例4] 是否存在实数a，使函数f(x)＝log (ax2－x)在区间[2,4]上单调递增？
a
如果存在，求出a的取值范围；如果不存在，请说明理由．
解 设g(x)＝ax2－x，假设符合条件的a存在．
当a>1时，为使函数f(x)＝log (ax2－x)在区间[2,4]上单调递增，只需 g(x)＝
a
ax2－x在区间[2,4]上单调递增，故应满足解得a>，∴a>1.
当01.
二、函数的图象问题
对于给定的函数图象，要能从函数左右、上下的分布范围、变化趋势、对称
性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质．注意图象
与函数解析式中参数的关系，能够通过变换画出函数的图象．
1．图象的变换
[典例5] 为了得到函数y＝lg 的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的
点( )
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
解析 ∵y＝lg ＝lg (x＋3)－1，∴只需将y＝lg x 的图象上所有的点向左平移3
个单位长度，再向下平移1个单位长度，即可得到函数y＝lg 的图象．答案 C
2．根据函数解析式确定图象
[典例6] 已知f(x)＝ax－2，g(x)＝log |x|(a>0，且a≠1)，若f(4)g(4)<0，则y＝
a
f(x)，y＝g(x)在同一平面直角坐标系内的大致图象是( )
解析 由f(4)g(4)<0知a2·log 4<0，∴log 4<0，∴03，则当t＝3，即x＝－1时，
y ＝9－6a＋3＝12－6A．
min
综上可知：g(a)＝四、函数零点与方程的解
根据函数零点的定义，函数 y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的解，判断一个
方程是否有零点，有几个零点，就是判断方程 f(x)＝0是否有解，有几个解．从
图形上说，函数的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数零点
方程的解、函数图象与x轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它
们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．在高考中有许多问题
涉及三者的相互转化，应引起我们的重视．
[典例8] 关于x的方程x＋lg x＝3，x＋10x＝3的解分别为α，β，则α＋β等
于( )
A．6 B．5
C．4 D．3
解析 将方程变形为lg x＝3－x和10x＝3－x.令y ＝lg x，y ＝10x，y ＝3－
1 2 3
x，在同一平面直角坐标系中分别作出y ＝lg x，y ＝10x，y ＝3－x的图象，如图
1 2 3
所示．这样方程lg x＝3－x的解可以看成函数y ＝lg x和y ＝3－x的图象的交点
1 3
A的横坐标，方程10x＝3－x的解可以看成函数y ＝10x和y ＝3－x的图象交点B
2 3
的横坐标．因为函数y ＝lg x和y ＝10x互为反函数，所以y ＝lg x和y ＝10x的图
1 2 1 2
象关于直线y＝x对称，由题意可得出A，B两点也关于直线y＝x对称，于是A，
B两点的坐标分别为A(α，β)，B(β，α)．而A，B两点都在直线y＝3－x上，所以
β＝3－α，所以α＋β＝3.
答案 D
[典例9] 已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零点分别为
x ，x ，x ，则x ，x ，x 的大小关系是________．
1 2 3 1 2 3
答案 x ＜x ＜x
1 2 3解析 令x＋2x＝0，得2x＝－x；
令x＋ln x＝0，得ln x＝－x；
在同一平面直角坐标系内画出 y＝2x，y＝ln x，y＝－x的图象，如图可知x
1
＜0＜x ＜1.令h(x)＝x－－1＝0，则()2－－1＝0，所以＝，即x ＝2＞1.所以x ＜x
2 3 1 2
＜x .
3
五、函数模型的应用
针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数模型来刻画．这当然需要我们
深刻理解已学函数的图象和性质，熟练掌握已学函数的特点，并对一些重要的函
数模型要有清晰的认识．对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般
是以文字和符号的形式给出，也有的是以图象的形式给出，此时我们要分析数量
变化的特点和规律，选择较为接近的函数模型进行模拟，从而解决一些实际问题
或预测一些结果．
[典例10] 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个
观察站，测量最大积雪深度 x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如
表所示．(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；
(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉
土地多少公顷？
解 (1)描点、作图，如图甲所示：
(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y与最大积雪深度x满足一次函数模型y＝a＋bx(a，b为常数且b≠0)．取其
中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝a＋bx，得用计算器可得a≈2.2，
b≈1.8.这样，得到一个函数模型：
y＝2.2＋1.8x，作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据
的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．
(3)由(2)得到的函数模型为 y＝2.2＋1.8x，则由 y＝2.2＋1.8×25，求得 y＝
47.2，即当最大积雪深度为25 cm 时，可以灌溉土地约为47.2公顷．
[典例11] 载人飞船是通过火箭发射的．已知某型号火箭的起飞重量M t是
箭体(包括搭载的飞行器)的重量m t和燃料重量x t之和．在不考虑空气阻力的条
件下，假设火箭的最大速度y km/s关于x的函数关系为y＝k[ln (m＋x)－ln (m)]＋
4ln 2(其中k≠0，ln x是以e为底x的对数)．当燃料重量为(－1)m t时，该火箭的
最大速度为4 km/s.
(1)求此型号火箭的最大速度y km/s与燃料重量x t之间的函数解析式；
(2)若此型号火箭的起飞重量是479.8 t，则应装载多少吨燃料(精确到0.1 t，
取e＝2.718)才能使火箭的最大飞行速度达到 8 km/s，顺利地把飞船发送到预定
的椭圆轨道？
解 (1)由题意，得4＝k{ln [m＋(－1)m]－ln (m)}＋4ln 2，解得k＝8，
所以y＝8[ln (m＋x)－ln (m)]＋4ln 2＝8ln .
(2)由已知，得M＝m＋x＝479.8，则m＝479.8－x.
将y＝8代入(1)中所得式中，得
8＝8ln .
解得x≈303.3.
答：应装载约 303.3 t燃料，才能使火箭的最大飞行速度达到 8 km/s，顺利
地把飞船送到预定的椭圆轨道．
