文档内容
4.5.3 函数模型的应用
（用时45分钟）
【选题明细表】
知识点、方法 题号
利用已知函数模型解决问题 2,4,6,7,9,11
自建函数模型解决问题 1,3,5,8,10,12
基础巩固
1.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,
若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用( )
(A)一次函数 (B)二次函数
(C)指数型函数 (D)对数型函数
【答案】D
【解析】由题意可知,函数模型对应的函数是个增函数,而且增长速度越来越慢,故应采用对数型函
数来建立函数模型,故选D.
2.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系:y=at,有以下叙述:
①这个指数函数的底数是2;
②第5个月时,浮萍的面积就会超过30 m2;
③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月;
④浮萍每个月增加的面积都相等.
其中正确的是( )
(A)① (B)①② (C)②③④ (D)①②④
【答案】B
【解析】图象单调递增,底数大于1,又过点(2,4),所以a2=4,所以a=2(a>0),故①对;令t=5,得
y=25=32>30,故②对;若浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过的时间是1.5个月,则有12=23.5,因为23.5=8
√2≠12,故③错;由指数型函数模型的图象上升特征可知④错.故选B.
3. 2011年12月,某人的工资纳税额是245元,若不考虑其他因素,则他该月工资收入为( )
级数 全月应纳税所得额 税率(%)
1 不超过1 500元 3
2 1 500～4 500元 10注:本表所称全月应纳税所得额是以每月收入额减去3 500元(起征点)后的余额.
(A)7 000元 (B)7 500元 (C)6 600元 (D)5 950元
【答案】A
【解析】设此人该月工资收入为x元.1 500×3%=45元.(x-3 500-1 500)×10%=245-45,得x=7 000
元.
4.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”,在特定条件下,可食
用率P与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系P=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验数
据,根据上述函数模型和实验数据,可得到最佳加工时间为( )
(A)3.50分钟 (B)3.75分钟
(C)4.00分钟 (D)4.25分钟
【答案】B
{0.7=9a+3b+c,
【解析】依题意有 0.8=16a+4b+c,解得a=-0.2,b=1.5,c=-2.
0.5=25a+5b+c,
1 15 13 15
所以P=-0.2t2+1.5t-2=- (t- )2+ .所以当t= =3.75时,P取得最大值.
5 4 16 4
即最佳加工时间为3.75分钟.
5.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:现准备用下列四个函数中的一个近
似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( )
x 1.992 3 4 5.15 6.126
y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01
1
(A)y=2x-2 (B)y= (x2-1)
2
(C)y=logx (D)y=log x
2 1
2
【答案】B
【解析】由题意可得表中数据y随x的变化趋势.函数在(0,+∞)上是增函数,且y的变化随x的增大
越来越快.因为A中函数是线性增加的函数,C中函数是比线性增加还缓慢的函数,D中函数是减函数,
1
所以排除A,C,D;所以B中函数y= (x2-1)符合题意.
26.某汽车在同一时间内速度v(单位:km/h)与耗油量Q(单位:L)之间有近似的函数关系Q=0.002 5v2-
0.175v+4.27,则车速为 km/h时,汽车的耗油量最少.
【答案】35
【解析】Q=0.002 5v2-0.175v+4.27=0.002 5(v2-70v)+4.27=0.002 5[(v-35)2-352]+4.27
=0.002 5(v-35)2+1.207 5.故v=35 km/h时,耗油量最少.
7.一个驾驶员喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含
量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,根据有关规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过
0.2 mg/mL,那么这个驾驶员至少要经过 小时才能开车(结果精确到1小时,参考数据lg
2≈0.30,lg 3≈0.48).
【答案】2
【解析】设经过n小时后才能开车,此时酒精含量为0.3(1-25%)n.
3 2
根据题意,有0.3(1-25%)n≤0.2,则有nlg =n(lg 3-2lg 2)≤lg =lg 2-lg 3,
4 3
将已知数据代入,得n(0.48-0.60)≤0.30-0.48,
3
∴n≥ ,故至少要经过2小时才能开车.
2
8.如图所示,已知边长为8 m的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4 m,CD=6 m.为了合理利用这块
钢板,将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM,使点P在边DE上.
(1)设MP=x m,PN=y m,将y表示成x的函数,求该函数的解析式及定义域;
(2)求矩形BNPM面积的最大值.
1
【答案】（1）y=- x+10,定义域为[4,8].（2）当MP=8 m时,矩形BNPM的面积取得最大值,且为48
2
m2.
【解析】(1)如图所示,延长NP交AF于点Q,则PQ=8-y,EQ=x-4.
EQ EF
在 EDF中, = ,
PQ FD
△
x-4 4 1
∴ = .∴y=- x+10,定义域为[4,8].
8- y 2 2
(2)设矩形BNPM的面积为S,则S=xy=x( x)=-1(x-10)2+50.
10-
2 2
又x∈[4,8],所以当x=8时,S取最大值48.
所以当MP=8 m时,矩形BNPM的面积取得最大值,且为48 m2.
能力提升
9.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数
量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则
2
第7年它们发展到( )
A.300只 B.400只 C.600只 D.700只
【答案】A
【解析】将x=1,y=100代入y=alog(x+1)得,100=alog(1+1),解得a=100,所以当x=7
2 2
时,y=100log(7+1)=300.
2
1
10.某工厂生产某产品x吨所需费用为P元,而卖出x吨的价格为每吨Q元,已知P=1 000+5x+
10
x
x2,Q=a+ ,若生产出的产品能全部卖出,且当产量为150吨时利润最大,此时每吨的价格为40元,则有(
b
)
A.a=45,b=-30 B.a=30,b=-45
C.a=-30,b=45 D.a=-45,b=-30
【答案】A
【解析】设生产x吨产品全部卖出所获利润为y元,则
y=xQ-P=x(
a+
x)
-
(
1 000+5x+
1 x2)
b 10
=(1 1 )x2+(a-5)x-1 000,其中x∈(0,+∞).
-
b 10
由题意知当x=150时,y取最大值,此时Q=40.
a-5
{- =150,
300
(1 1 ) {a=35- ,
∴ 2 - 整理得 b
b 10
150
150
a=40- ,
a+ =40, b
b
{a=45,
解得
b=-30.11.有甲、乙两种商品,经营销售这两种商品所能获得的利润依次为Q 万元和Q 万元,它们与投入的
1 2
1 3
资金x万元的关系是Q= x,Q = √x.今年有3万元资金投入使用,则对甲、乙两种商品如何投资才
1 2
5 5
能获得最大利润?
【答案】为获得最大利润,对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元,总共获得利润
为1.05万元.
【解析】
1 3
设对甲种商品投资x万元,则对乙种商品投资(3-x)万元,总利润为y万元,则Q1= x,Q2= √3-x.
5 5
1 3
所以y= x+ √3-x(0≤x≤3).
5 5
令t=√3-x(0≤t≤√3),则x=3-t2,
1 3 1 3 21
所以y= (3-t2)+ t=- t- 2+ .
5 5 5 2 20
3 21
当t= 时,y = =1.05(万元),
max
2 20
3
这时x= =0.75(万元),
4
所以3-x=2.25(万元).
由此可知,为获得最大利润,对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元,总共
获得利润为1.05万元.
素养达成
12.某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为1.80元,当用水超过4吨时,
超过部分每吨3.00元.某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨、3x
吨.
(1)求y关于x的函数;
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.
4
{ 14.4x,0≤x≤ ,
5
【答案】（1）y= 4 4
20.4x-4.8, .
3
（2）甲户用水量为7.5(吨);付费17.70(元);乙户用水量为4.5(吨),付费8.70(元).【解析】 (1)当甲的用水量不超过4吨时,即5x≤4,乙的用水量也不超过4
吨,y=1.8(5x+3x)=14.4x;
当甲的用水量超过4吨时,乙的用水量不超过4吨,
即3x≤4,且5x>4时,
y=4×1.8+3x×1.8+3(5x-4)=20.4x-4.8.
当乙的用水量超过4吨,即3x>4时,
y=2×4×1.8+3×[(3x-4)+(5x-4)]=24x-9.6.
4
{ 14.4x,0≤x≤ ,
5
所以y= 4 4
20.4x-4.8, .
3
(2)由于y=f(x)在各段区间上均单调递增;
4 4
当x∈[0, ]时,y≤f( )<26.4;
5 5
4 4 4
当x∈（ , ]时,y≤f( )<26.4;
5 3 3
4
当x∈( ,+∞)时,令24x-9.6=26.4,解得x=1.5.
3
所以甲户用水量为5x=5×1.5=7.5(吨);
付费S =4×1.8+3.5×3=17.70(元);
甲
乙户用水量为3x=4.5(吨),
付费S =4×1.8+0.5×3=8.70(元).
乙
