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4.2.2 指数函数的图像和性质
（用时45分钟）
【选题明细表】
知识点、方法 题号
指数函数图像问题 1,2,4
指数函数性质应用 3,5,6,7,10
综合应用 8,9,11,12
基础巩固
1．当 且 时，函数 的图象必经过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由函数解析式的特征结合指数函数的性质，令 可得 ，
此时 ，故函数恒过定点 .
故选：A.
2．函数y=2x与y=（ ）x关于对称( ) ．
A．x轴 B．y轴
C．y=x D．原点
【答案】B
【解析】函数y=（ ）x=2–x，与函数y=2x的图象关于y轴对称，故选B．
3．若f（x）=（2a–1）x是增函数，那么a的取值范围为( ) ．
1 1
A．a< B． 1 D．a≥1
【答案】C
【解析】由题意2a-1>1⇒a>1，应选答案C 。
4．函数 与 的图象有可能是( ) ．A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 为增函数，排除A、C，由B,D可得
对于B中函数 的图象可以看出 ，则 的图象与 轴的交点应在原点下方，排除B.
选D.
5．若 ， ， ，则( ) ．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 在 上单调递减，所以 ，则 ；
又因为 在 上单调递增，所以 ，所以 ；则 ，
故选：A.
6．函数 在 上的值域为__________．
【答案】【解析】因为 在 上单调递减，
所以 时 ,
即 ，
所以函数 在 上的值域为 .故答案为 .
7．函数 的定义域为_______．
【答案】
【解析】由二次根式有意义，得： ，即 ，
因为 在R上是增函数，所以，x≤2，即定义域为：
8．已知函数 的图象经过点 .
（1）求 的值；
（2）求函数 的定义域和值域；
（3）证明：函数 是奇函数．
【答案】（1）1；（2） 的定义域为 ；值域为 ；（3）详见解析.
【解析】（1）由题意知，函数 的图象过点 ，可得 ，解得 .
（2）由（1）知，函数 ，∵ ， ，即 的定义域为 .
因为 ，又∵ ，∴ ，所以 的值域为 ．
（3）∵ 的定义域为 ，且 ，所以 是奇函数．
能力提升
9．已知函数 ，则不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】可知函数 为减函数，由 ，可得 ，
整理得 ，解得 ，所以不等式的解集为 ．
故选B.
10．不等式 的解集是______．
【答案】
【解析】 ．
故答案为：
11．已知函数f（x）=a2x+2ax-1（a＞1，且a为常数）在区间[-1，1]上的最大值为14．
（1）求f（x）的表达式；
（2）求满足f（x）=7时x的值．
【答案】（1）f（x）=32x+23x-1（2）x=log2
3
【解析】（1）令t=ax ＞0，∵x∈[-1，1]，a＞1，∴ax∈[ ，a]，f（x）=y=t2+2t-1=（t+1）2-2，
故当t=a时，函数y取得最大值为a2+2a-1=14，求得a=3，
∴f（x）=32x+23x-1．
（2）由f（x）=7，可得32x+2×3x-1=7，
即（3x+4）（3x-2）=0，求得3x=2，∴x=log2．
3
素养达成
12．求函数 的定义域、值域及单调区间．
【答案】定义域是 ．值域是 ;单调减区间是 ，单调增区间是 ．
【解析】解不等式 ，得 或 ，
所以，函数 的定义域为 .
， ，则函数 的值域为 .
令 ，由二次函数的性质可知，内层函数 在区间 上单调递减，在
区间 上单调递增，外层函数 为增函数，
由复合函数同增异减法可知，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
