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4.5函数的应用（二）
主要命题方向
1. 求函数的零点；2.判断零点所在的区间；3. 函数零点个数的判断；4. 对二分法概念的理解；5.用二分法
求函数的零点问题；6. 二分法的实际应用；7. 一元二次方程根的分布问题； 8. 指数、对数函数型实际应
用问题.
配套提升训练
一、单选题
1．（2020·全国高一课时练习）函数 的零点是（ ）
A． B． C． D．不存在
【答案】C
【解析】
函数 的零点等价于方程 的根，
函数 的零点是 ，
故选：C.
2．（2020·全国高一课时练习）下列各图象表示的函数中没有零点的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】
函数没有零点等价于函数图像与 轴无交点， 选项只有 选项的图像与 轴无交点.
故选： .
3．（2019·浙江湖州�高一期中）函数 的零点所在的区间是（ ）
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
【答案】B
【解析】
函数 是 上的增函数, 是 上的增函数,
故函数 是 上的增函数.
, ,
则 时, ; 时, ,
因为 ,所以函数 在区间 上存在零点.
故选:B.
4．（2020·全国高一课时练习）若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩
留量为y，则x，y的函数关系是( )
A． B．y＝(0.957 6)100xC． D．y＝1－(0.042 4)
【答案】A
【解析】
设镭一年放射掉其质量的t%，则有95.76%＝1·(1－t)100，t＝1－(0.957 6) ，
∴y＝(1－t)x＝(0.957 6) ,故选A.
5．（2019·浙江高一期中）已知实数 是函数 的一个零点，若 ，则( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
因为 与 是增函数，则 在 上递增，且 ，
因此，当 时，有 ，即 .
故选：B
6．（2020·全国高一课时练习）已知α，β(α<β)是函数y＝(x－a)(x－b)＋2(a<b)的两个零点，则α，β，a，b
的大小关系是（ ）
A．a<α<β<b B．a<α<b<β C．α<a<b<β D．α<a<β<b
【答案】A
【解析】
设g(x)＝(x－a)(x－b)，
则g(x)向上平移2个单位长度得到y＝(x－a)(x－b)＋2的图象，由图易知a<α<β<b.
故选：A
7．（2020·全国高一课时练习）一元二次方程 的两根均大于 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设 ，则二次函数 的图象开口向上，对称轴为直线 .
由于一元二次方程 的两根均大于 ，则 ，
解得 ，因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
8．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260 f(1.4375)＝0.162 f(1.40625)＝－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确到0.1)为 ( )
A．1.2 B．1.3C．1.4 D．1.5
【答案】C
【解析】依据题意，∵f(1.4375)＝0.162，且f(1.40625)＝－0.054，∴方程的一个近似解为1.4，故选C．
9.（2020·全国高一课时练习）f(x)＝2x·(x－a)－1在(0，＋∞)内有零点，则a的取值范围是（ ）
A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)
【答案】D
【解析】
由题意可得a＝x－ (x＞0).
令g(x)＝x－ ，
因为 都是增函数，
所以该函数在(0，＋∞)上为增函数（增函数+增函数=增函数），
所以 ，
可知g(x)的值域为(－1，＋∞)，
故当a＞－1时，f(x)在(0，＋∞)内有零点.
故选：D.
10．（2020·全国高一课时练习）根据表格中的数据，可以断定方程 的一个根所在的区间是（
）
-1 0 1 2 3
0.37 1 2.72 7.39 20.09
1 2 3 4 5
A． B． C． D．
【答案】C【解析】
令 ，由图表知， ， ，即
，根据零点存在性定理可知 在 上存在零点，即方程 的一个根所在
的区间为 ，
故选： ．
二、多选题
11．（2019·全国高一课时练习）若函数 的图像在 上连续不断，且满足 ， ，
，则下列说法错误的是（ ）
A． 在区间 上一定有零点，在区间 上一定没有零点
B． 在区间 上一定没有零点，在区间 上一定有零点
C． 在区间 上一定有零点，在区间 上可能有零点
D． 在区间 上可能有零点，在区间 上一定有零点
【答案】ABD
【解析】
由题知 ，
所以根据函数零点存在定理可得 在区间 上一定有零点，
又 ，
因此无法判断 在区间 上是否有零点.
故选 .
12．（2019·福建湖里�厦门双十中学高一月考）已知函数 ，且实数 ，满足 ，若实数 是函数 的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是（
）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】
由函数的单调性可得，函数 在 为增函数，
由 ， 则 为负数的个数为奇数，
对于选项 ，选项可能成立
对于选项 ，当 时，函数的单调性可得：
即不满足 ，故选项不可能成立，故选：
13．（2020·山东胶州�高一期末）已知函数 ，若函数 恰
有 个零点，则实数 可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】
令 ，则 ，
在同一直角坐标系中作出 与 ，
只需两函数有两个交点即可.由图可知当 时，两函数均有两个交点，
故选：ABC
14．（2019·山东黄岛�高一期中）狄利克雷函数 满足：当x取有理数时， ；当x取无理数时，
.则下列选项成立的是（ ）
A． B．
C． 有1个实数根 D． 有2个实数根
【答案】ABC
【解析】
因为 的值域为 ，故AB成立
只有一个根1，故C成立
故选：ABC
三、填空题
15．（2020·全国高一课时练习）若二次函数 的两个零点分别是 和 ，则 的值为________ .
【答案】
【解析】
由于二次函数 的两个零点分别是 和 ，由韦达定理得 ，解得 ，
因此， .
故答案为： .
16．（2020·全国高一课时练习）用二分法求函数 在区间 上的近似解，验证
，给定精度为0.1，需将区间等分__________次.
【答案】5
【解析】
因为区间 的长度为2，所以第一次等分后区间长度为1，第二次等分后区间长度为0.5，……第四次
等分后区间长度为0.125<0.2，第五次等分区间后区间长度为0.0625<0.1，所以需要将区间等分5次.
故答案为5.
17．（2019·全国高一单元测试）某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设
f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数
值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．
【答案】1.5,1.75,1.875,1.812 5
【解析】
第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间
(1.75,1.8125)．
四、双空题
18．（2020·北京大兴�高三期末）已知 ，函数 若 ，则 的值域为_____；
若方程 恰有一个实根，则 的取值范围是_____.【答案】
【解析】
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
故 时， 的值域为 ；
当方程 恰有一个实根即函数 与 图象只有一个交点，
的图像如图所示
由图可知， ，解之得 ，
故 的取值范围是 ，
故答案为： ； .
19．（2019·浙江温州�高一期中）已知 ，函数 ，当 时，不等式的解集为________，若函数 与 轴恰有两个交点，则 的取值范围是________
【答案】
【解析】
当 时， ，
∵ ，∴ 或 ，解得 或 ，
则当 时，不等式 的解集为 ；
画出函数 和 的草图得：
由图可知，函数 与 轴恰有两个交点时， 或 ；
故答案为： ； ．
20．（2019·全国高一课时练习）已知函数 的零点 ，且 ， ，
则 ______， ______.
【答案】1 2
【解析】
∵函数 ，∴ ， ，
∴ ，且函数 在 上单调递增，
∴ 有且只有一个零点 ，并且 在区间 内.
∴根据题意可得， ， .
故答案为1，2.
21.（2020·湖北襄阳�高一期末）已知函数 ，则f(6)=________；若方程
在区间 有三个不等实根，实数a的取值范围为________.
【答案】8
【解析】
因为
作出函数 在区间 上的图象如图：设直线 ，要使 在区间 上有3个不等实根，
即函数 与 在区间 上有3个交点，
由图象可知 或
所以实数 的取值范围是
故答案为：8； ．
五、解答题
22．（2020·全国高一课时练习）求函数 零点的个数.
【答案】 个.【解析】
因为 ，
所以 ， ，
由零点存在性定理，得到 在区间 内有零点，
又因为函数 在定义域 内是增函数，
所以它仅有一个零点.
23．2016年4月16日00时25分日本九州发生7.3级地震．地震发生后，停水断电，交通受阻．已知A地
到B地的电话线路发生故障(假设线路只有一处发生故障)，这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电
线杆，如何迅速查出故障所在？
【答案】见解析
【解析】
可以参照二分法求函数零点近似值的方法，以减少工作量并节省时间．
如图，可首先从中点C开始检查，若AC段正常，则故障在BC段；再到BC段中点D检查，若CD段正常，
则故障在BD段；再到BD段中点E检查，如此这般，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短半，经过7
次查找，即可将故障范围缩小50～100 m之间，即可迅速找到故障所在．
24．（2020·上海高一课时练习）已知函数 （其中a，b为常数且 ）满足 ，且
方程 的解只有一个，求函数 的解析式.
【答案】
【解析】
因为 且 ，所以 ，
又因为方程 的解只有一个，所以方程 （ ）有唯一实数解，
故 ，即 ，所以 ，从而 .
25．（2015·广东揭阳�高一月考（文））已知函数 满足 ，当 时
；当 时 ．
（Ⅰ）求函数 在（-1,1）上的单调区间；
（Ⅱ）若 ，求函数 在 上的零点个数．
【答案】（Ⅰ） 单调递减区间为 ，递增区间为
（Ⅱ） 时， 1个零点， 时，2个零点， 时， 3个零点， 时，4个零点
【解析】
（1）由题可知
由图可知，函数 在 的单调递减区间为 ，在 递增区间为
（2）数形结合思想
当 时， 有1个零点当 时， 有2个零点
当 时， 有3个零点
当 时， 有4个零点
26．（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）
=x2-2x．
（Ⅰ）求出函数f（x）在R上的解析式；
（Ⅱ）在答题卷上画出函数f（x）的图象，并根据图象写出f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=2a+1有三个不同的解，求a的取值范围．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）单调增区间为 ，
单调减区间为 ；（Ⅲ） .
【解析】
（Ⅰ）①由于函数 是定义域为 的奇函数，则 ；
②当 时， ，因为 是奇函数，所以 ．
所以 .综上：
（Ⅱ）图象如图所示．（图像给2分）
单调增区间：
单调减区间：
（Ⅲ）∵方程 有三个不同的解
∴
∴
27．（2020·安徽宣城�高一期末）某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片
森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，
所用时间是10年.
（1）求森林面积的年增长率；
（2）到今年为止，森林面积为原来的 倍，则该地已经植树造林多少年？
（3）为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林多少年？
（参考数据： ， ）
【答案】（1） ；（2） 年；（3）至少还需要 年.
【解析】
（1）设增长率为 ，依题意可得所以 即 ，解得
（2）设已经植树造林 年，则
即
解得 ，故已经植树造林 年.
（3）设至少还需要 年，则
即 即 解得
故至少还需要 年
