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3.3 幂函数
1. 幂函数的概念；2. 幂函数的图象；3. 幂函数的简单性质；4. 幂函数图象和性质的应用
一、单选题
1．（2020·全国高一课时练习）在函数 ， ， ， 中，幂函数的个数为（
）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】
因为 ，所以是幂函数；
由于出现系数2，因此不是幂函数；
是两项和的形式，不是幂函数；
（ ），可以看出，常数函数 的图象比幂函数 的图象多了一个点 ，所以常
数函数 不是幂函数.
故选：B.
2．（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）下列函数中，既是偶函数，又是在区间 上单调递减的
函数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由偶函数定义知，仅A,C为偶函数， C. 在区间 上单调递增函数，故选A．3．（2020·湖北高一期末）有四个幂函数：① ；② ；③ ；④ .
某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是 ，且
；（3）在 上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函
数是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【解析】
① 只满足值域是 ，且 ；③ 只满足在 上是增函数；④
只满足在 上是增函数；② 是偶函数，在 上是增函数，但其值域是
.
故选：B.
4．（2020·浙江高一课时练习）若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，
联立 得 ，
因为 ，
所以 ，
由它们的图象可知 的取值范围是 .
故选：C.
5．（2020·全国高一课时练习）设α∈ ，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为（ ）
A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3
【答案】A
【解析】
当 时，函数y＝ 的定义域为 ，不是R，所以 不成立；
当 时，函数y＝ 的定义域为 ，不是R，所以 不成立；当 或 时，满足函数y＝xα的定义域为R，
故选：A.
6．（2020·全国高一课时练习）以下结论正确的是（ ）
A．当 时，函数 的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过 、 两点
C．若幂函数 的图象关于原点对称，则 在定义域内 随 的增大而增大
D．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限
【答案】D
【解析】
对于A选项，当 时，函数 的定义域为 ，
所以，函数 的图象是两条射线，A选项错误；
对于B选项，幂函数 不经过原点，B选项错误；
对于C选项，幂函数 的图象关于原点对称，但函数 在定义域内不单调，C选项错误；
对于D选项，由于幂函数在第一象限必有图象，若幂函数在第四象限有图象，与函数的定义矛盾，所以，
幂函数的图象不可能在第四象限，
若幂函数为偶函数，则幂函数在第二象限有图象，D选项正确.
故选：D.
7．（2020·浙江高一课时练习）已知点 在幂函数 的图象上，则 是( )
A．奇函数 B．偶函数 C．定义域内的减函数D．定义域内的增函数
【答案】A
【解析】
由题意，设幂函数的解析式为 ，又由点 在幂函数的图象上，所以 ，解得 ，即 ，
又由函数 的定义域为 关于原点对称，
又由 ，所以函数 为奇函数，故选A．
8．（2020·浙江高一课时练习）已知幂函数 （ 且 互质）的图象如图所示，则（
）
A． ， 均为奇数，且 B． 为偶数， 为奇数，且
C． 为奇数， 为偶数，且 D． 为奇数， 为偶数，且
【答案】D
【解析】
由幂函数的图象关于 轴对称，可知该函数为偶函数，所以 为偶数，则 为奇数，
因为图象在第一象限内向上凸起，且在 单调递增，所以 .
故选：D.
9．（2020·浙江高一课时练习）如图，函数 、 、 的图象和直线 将平面直角坐标系的
第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧．若幂函数 的图象经过的部分是④⑧，则 可能是（
）A．y＝x2 B． C． D．y=x-2
【答案】B
【解析】
由图象知，幂函数 的性质为：
（1）函数 的定义域为 ；
（2）当 时， ，且 ；当 时， ，且 ；
所以 可能是 .
故选B.
10．（2020·浙江高二期末）已知函数 是幂函数，对任意的 且
，满足 ，若 ，则 的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
【答案】B
【解析】
由题可知：函数 是幂函数
则 或又对任意的 且 ，满足
所以函数 为 的增函数，故
所以 ，又 ，
所以 为 单调递增的奇函数
由 ，则 ，所以
则
故选：B
点睛：函数单调递增的几种表示，比如 .
二、多选题
11．（2020·琼山 海南中学高三月考）若幂函数 的图象经过点 ，则幂函数 是（
）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数
【答案】AC
【解析】
设幂函数为： ，
因为其图象经过点 ，
所以 ，
解得 ，
所以幂函数 .
因为定义域为R，且 ，所以 是奇函数，
又因为 ，
所以 在R上是增函数.
故选：AC
12．（2020·江苏启东 高一期末）已知幂函数 的图象过点（2，8），下列说法正确的是（
）
A．函数 的图象过原点
B．函数 是偶函数
C．函数 是单调减函数
D．函数 的值域为R
【答案】AD
【解析】
由于幂函数 过点 ，所以 ，解得 ，所以 .
，满足 ，A选项正确.
是奇函数，所以B选项错误.
在 上递增，所以C选项错误.
值域为 ，所以D选项正确.
故选：AD
13．（2020·新泰市第二中学高二月考）已知函数 图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（
）
A．函数为增函数 B．函数为偶函数C．若 ，则 D．若 ，则 .
【答案】ACD
【解析】
将点(4,2)代入函数 得： ，则 .
所以 ，
显然 在定义域 上为增函数，所以A正确.
的定义域为 ，所以 不具有奇偶性，所以B不正确.
当 时， ，即 ，所以C正确.
当若 时，
= .
= .
= = .
即 成立，所以D正确.
故选：ACD.
14．（2020·全国高一课时练习）已知实数a，b满足等式 ，则下列五个关系式中可能成立的是（
）
A． B．
C． D．E.
【答案】ACE
【解析】
画出 与 的图象（如图），设 ，作直线 .
从图象知，若 或1，则 ；
若 ，则 ；
若 ；则 .
故其中可能成立的是ACE.
故选：ACE
三、填空题
15．（2019·银川唐徕回民中学高三月考（理））已知幂函数 的图象过点 ，则
______．
【答案】4
【解析】
由题意令 ，由于图象过点 ，
得 ，
故答案为：4．16．（2020·浙江高一课时练习）若 成立，则 的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
如图所示，分别画出函数 与 的图象，由于两函数的图象都过点（1，1），
由图象可知不等式 的解集为 .
17．（2020·上海高一课时练习）已知幂函数 的图像满足，当 时，在直线 的上方；当
时，在直线 的下方，则实数 的取值范围是_______________.
【答案】
【解析】
当 时，幂函数 和直线 第一象限的图像如下
由图可知，不满足题意
当 时，幂函数 和直线 重合，不满足题意
当 时，幂函数 和直线 第一象限的图像如下由图可知，满足题意
当 时，幂函数 和直线 第一象限的图像如下
由图可知，满足题意
当 时，幂函数 和直线 第一象限的图像如下
由图可知，满足题意
综上，
故答案为
四、双空题
18．（2019·全国高一课时练习）直接比较下列组中两个值的大小：（1） ______ ； （2） ______ .
【答案】
【解析】
（1） ， ， ，
幂函数 在 上为增函数，所以， ，因此， ；
（2） 幂函数 在 上为增函数， .
指数幂的大小比较，常用的有如下几种方法：
（1）底数不同，指数相同，可以利用同指数的幂函数的单调性来比较大小；
（2）底数不同，指数也不同，可以利用中间值法来比较大小.
19．（2020·江苏无锡 高一期末）已知幂函数 的图像过点 ，则 _______，由此，请比较下
列两个数的大小： _______ .
【答案】
【解析】
(1)因为幂函数 的图像过点 ,故 .
(2)因为 ,故 .
即 .
故答案为：(1). (2).
20．（2018·浙江省东阳中学高一期中）幂函数 的图象过点 ，则 ______，
的定义域为______．
【答案】2【解析】
设幂函数 ，其图象过点 ， ；解得 ， ，故 ，
由 ，解得： ，故函数 的定义域为： .
故答案为2，
21．（2019·浙江高一期中）已知幂函数 的图象经过点 ，则函数 ____，若
，则实数 的取值范围是____．
【答案】
【解析】
设幂函数 ，由 ，得到 ，于是 ；
若 ，则 ，所以 ，解得 ．
故答案为 ；
五、解答题
22．（2020·全国高一课时练习）先分析函数 的性质，再画出其图象．
【答案】答案见解析
【解析】
函数解析式为 ，该函数的定义域为 ，
令 ，则 ，该函数为偶函数，且函数 在区间 上单调递增，则该函数在区间 上单调递减，
，所以，函数 在第一象限的图象呈“上凸”状，作出该函数的图象如下图所示：
23．（2020·上海高一课时练习）设函数 ，作出 的图像并讨论其性质．
【答案】见解析
【解析】
因为 ，
所以将幂函数 的图象向左平移一个长度单位后，再向上平移一个长度单位可得函数
的图象，其函数图象如图：
其定义域为： ，值域为： ，函数 为非奇非偶函数，图像关于 对称，
在 上单调递增，在 上单调递减.
24．（2020·全国高一课时练习）已知幂函数 的图象关于 轴对称且在 上单调递减，求满足 的 的取值范围.
【答案】 或 .
【解析】
因为函数 在 上单调递减，所以 ，
解得 .
又因为 ，所以 ， ；
因为函数的图象关于 轴对称，
所以 为偶数，故 .
则原不等式可化为 ，
因为 在 ， 上单调递减，
所以 或 或 ，
解得 或 .
故 的取值范围是 或 .
25．（2020·全国高一课时练习）已知点 在幂函数f(x)的图象上，点 在幂函数g(x)的图象上，
问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)1或x<−1时，f(x)>g(x)．
(2)当x＝±1时，f(x)＝g(x)．
(3)当−1
