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《函数概念与性质》综合测试卷
一、单选题
1．（2019·浙江南湖 嘉兴一中高一月考）下列四组函数中， 与 表示同一函数是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】
两个函数如果是同一函数，则两个函数的定义域和对应法则应相同，
A选项中， 定义域为 ， 的定义域为 ，所以二者不是同一函数，所以A错
误；
B选项中， ，与 定义域相同，都是 ，对应法则也相同，所以二者
是同一函数，所以B正确；
C选项中， 定义域为 ， 的定义域为 ，所以二者不是同一函数， 所以C
错误；
D选项中， 定义域为 ， 的定义域为 ，所以二者不是同一函数，所以D错误.
故选：B
2．（2020·浙江高一课时练习）已知 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为 ，所以 ．
故选：B
3．（2020·浙江高一课时练习）函数 的定义域为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由 可得 ，又因为分母 ，所以原函数的定义域为 ．
4．（2020·全国高一课时练习）下列函数 中，满足对任意 ，当x<x 时，都有
1 2
的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
由 时， ，所以函数 在 上为减函数的函数.A选项， 在
上为增函数，不符合题意.B选项， 在 上为减函数，符合题意.C选项， 在 上为
增函数，不符合题意.D选项， 在 上为增函数，不符合题意.故选B.
5．（2020·浙江高一课时练习）若 为实数，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】
∵ ，且函数 的对称轴为
∴
故选：D
6．（2020·全国高一课时练习）函数 在 上是减函数．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
根据题意，函数 在 上是减函数，
则有 ，
解可得 ，
故选B．
7．（2020·全国高一课时练习）若函数 ，是定义在 上的减函数，则a的取
值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 是定义在 上的减函数，所以 ，解得 .
故选：A.
8．（2019·浙江高一期中）已知函数 ，则 的最大值是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
（1）当 时， ，任取 ，
则 ，
当 时， ，即 ，函数 单调递增；
当 时， ，即 ，函数 单调递减；
所以 ；
（2）当 时， 单调递减，所以 ；
而 ，所以 ，
故选：B
9．（2020·荆州市北门中学高一期末）已知奇函数 的定义域为 ，若 为偶函数，且
，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】
奇函数 的定义域为 ，若 为偶函数，
，且 ，
则 ，则 ，
则函数 的周期是8，且函数关于 对称，
则 （1） ，
，
则 ，
故选： ．
10．（2019·山西高一月考）已知定义在 上的函数 满足 ，且在 上是增函数，
不等式 对于 恒成立，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
为定义在 上的偶函数，图象关于 轴对称
又 在 上是增函数 在 上是减函数
，即
对于 恒成立 在 上恒成立，即 的取值范围为：
本题正确选项：
二、多选题
11．（2019·山东莒县 高一期中）已知函数 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】
对称轴为 ，
且在 是增函数，
，选项 正确；
，选项 错误；
，选项 正确；
，选项 正确.
故选:ACD.
12．（2020·浙江高一单元测试）函数 的图像可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】ABC
【解析】
由题可知，函数 ，
若 ，则 ，选项C可能；
若 ，则函数定义域为 ，且 ，选项B可能；
若 ，则 ，选项A可能，
故不可能是选项D，
故选：ABC.
13．（2019·山东莒县 高一期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．函数 既是偶函数又在区间 上是增函数
B．函数 的最小值为2
C．“ ”是“ ”的充要条件
D．
【答案】CD
【解析】当 时， ，当 时， ，
所以 不是偶函数，选项 错误；
令 根据对勾函数的单调性可得，
在 是增函数， 的最小值为 ，
即 的最小值为 ，选项 错误；
，选项 正确；
当 时， 成立，选项 正确.
故选:CD.
14．（2019·山东黄岛 高一期中）已知定义在R上函数 的图象是连续不断的，且满足以下条件：①
， ；② ，当 时，都有 ；③ .
则下列选项成立的是（ ）
A． B．若 ，则
C．若 ， D． ， ，使得
【答案】CD
【解析】
由条件①得 是偶函数，条件②得 在 上单调递增
所以 ，故A错若 ，则 ，得 ，故B错
若 则 或 ，因为
所以 或 ，故C正确
因为定义在R上函数 的图象是连续不断的，且在 上单调递增
所以 ，所以对 ，只需 即可，故D正确
故选：CD
【点睛】
1.偶函数的图象关于 轴对称，比较函数值的大小即比较自变量到 轴的远近
2. ，当 时，都有 在 上单调递增；
，当 时，都有 在 上单调递减.
三、填空题
15．（2020·全国高一课时练习）已知函数f(x)＝ 则f(f(－4))＝________.
【答案】－2
【解析】
由题得 ，
所以f(f(－4))= .
故答案为：－2
16．（2020·全国高一课时练习）函数 在 上是减函数，且 ，则 的取值范围是
________.
【答案】(－1，1)
【解析】函数 在 上是减函数，且 ，
，
解得 ，
故答案为：
17．（2020·全国高一课时练习）若f(x)＝ 的定义域为M，g(x)＝ 的定义域为N，令全集为R，则
＝________.
【答案】{x|x<2}
【解析】
由题意 ， ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
四、双空题
18．（2019·浙江湖州 高一期中）若定义域为 的函数 是偶函数，则
______， ______.
【答案】2 0
【解析】
偶函数 的定义域为 ，则 ，解得 ，所以 ，
满足 的对称轴关于 轴对称，所以对称轴 ，解得 .故答案为：2；0
19．（2020·安达市第七中学高一月考）已知函数 ，设函数 ，当
时， ；当 时， ，则 ________ ；函数
的最小值是________.
【答案】
【解析】
解不等式 ，即 ，解得 ，
即 时， ，解不等式 ，即 ，解得 或 ，即
或 时， ，
即
当 或 时， ，
当 时， ，
即函数 的最小值是 ，
故答案为（1）. ,(2). .
20．（2020·山西高一期末）已知函数 是奇函数，且在 上单调递减，
则实数 ______；实数 的取值范围用区间表示为______.【答案】1
【解析】
因为函数 是奇函数，
所以 ，即 ，解得： ；
因此
根据二次函数的性质，可得，当 时，函数 在区间 上单调递减，在区间
上单调递增；
又因为 ，所以由奇函数的性质可得：函数 在区间 上单调递减；
因为函数 在 上单调递减，
所以只需： ，即 ，解得 .
故答案为： ； .
21．（2018·浙江余姚中学高一月考）已知 是定义在 上的偶函数,若 在 上是增函数,则满
足 的实数m的取值范围为________;若当 时, ,则当 时, 的解
析式是________.
【答案】【解析】
∵ 是定义在 上的偶函数,若 在 上是增函数,
∴不等式 等价为 ,
即 得 ,得 ,
若 ,则 ,
则当 时, ,
则当 时, ,
故答案为：（1） ,（2）
五、解答题
22．（2020·全国高一课时练习）如图是定义在区间 ， 上的函数 ，根据图象说出函数的单
调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
【答案】答案见解析
【解析】
从函数图象上看，当 时，图象呈下降趋势，所以 为函数的单调减区间，函数在此区间
单调递减；
从函数图象上看，当 时，图象呈上升趋势，所以 为函数的单调增区间，函数在此区间单调
递增；从函数图象上看，当 时，图象呈下降趋势，所以 为函数的单调减区间，函数在此区间单调递
减；
从函数图象上看，当 时，图象呈上升趋势，所以 为函数的单调增区间，函数在此区间单调递
增．
23．（2020·全国高一课时练习）已知f(x)＝ (x≠－1).求：
（1）f(0)及 的值；
（2）f(1－x)及f(f(x)).
【答案】（1） ， ；（2） ， .
【解析】
（1）因为 ，
所以 ， ，
所以 ；
（2）因为 ，
所以 ，
.24．（2020·全国高一课时练习）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5公里以内(含5公里),票价2元；
(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里的按5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里,
请根据题意,写出票价与里程之间的函数关系式,并画出函数的图像.
【答案】 ，图像见解析。
【解析】
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
综上：函数解析式为
按照分段函数画出图像，如下图：
25．（2020·浙江高一课时练习）若函数 的定义域为 ，求
的定义域．
【答案】分类讨论，答案见解析.
【解析】∴ 的定义域为 ，∴ 中的自变量 应满足
即
当 ，即 时， ；当 ，即 时， ，如图：
当 ，即 时， ，如图
综上所述，当 时， 的定义域为 ；
当 时， 的定义域为 ；当 时，函数 不存在．
26．（2020·浙江高一课时练习）已知函数 在 上单调递增，若对任意 ，
恒成立，试求实数 的取值范围.
【答案】
【解析】∵ 在 上单调递增，
∴ .在区间 上， 恒成立，即等价于 恒成立.设
， ， 在 区间上单调递增，∴当
时， ，于是当且仅当 时，函数 恒成立，即 ，故 的取值范围为
.
27．（2020·浙江高一课时练习）定义在 上的函数 ，满足 ，
且当 时， .
（1）求 的值.
（2）求证： .
（3）求证： 在 上是增函数.
（4）若 ，解不等式 .
（5）比较 与 的大小.
【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4） ；（5）
.【解析】
（1）令 ，由条件得 .
（2） ，
即 .
（3）任取 ， ，且 ，则 .
由（2）得. ，即 .
∴ 在 上是增函数.
（4）∵ ，∴ ，
.
又 在 上为增函数，∴
解得 .
故不等式 的解集为 .
（5）∵ ，
，∵ ，
∴ （当且仅当 时取等号）.
又 在 上是增函数，
∴ .
∴ .
