文档文本内容
4.3对数
主要命题方向
1. 指数式与对数式的互化；2. 对数定义与性质的应用；3. 对数恒等式的应用；4. 对数式的计算、化简；
5.对数的运算性质及应用；6. 换底公式的应用；7. 对数式的运算、化简.
配套提升训练
一、单选题
1．（2020·全国高一课时练习）如果 ，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
利用指数化对数得可 ，
故选：C．
2．（2020·全国高一课时练习）log ＋log 3等于（ ）
5 5
A．0 B．1 C．－1 D．log
5
【答案】A
【解析】
因为 .
故选：A.
3．（2020·全国高一课时练习）方程 的解是（ ）A． B． C．x＝1 D．x＝2
【答案】B
【解析】
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
故选：B.
4．（2019·浙江南湖�嘉兴一中高一月考）若实数a，b满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解析】
因为 ，所以 ，
．
故选：D．
5．（2020·全国高一课时练习）在N＝log (b－2)中，实数b的取值范围是( )
(5－b)
A．b<2或b>5 B．2<b<5
C．4<b<5 D．2<b<5且b≠4
【答案】D
【解析】
由对数的意义得 ，解得 且 。
所以实数b的取值范围是 且 。选D。6．（2020·全国高一课时练习）若 ，则x＋y＋z的值为(
)
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【解析】
∵log (log x)＝0，
2 3
∴log x＝1.
3
∴x＝3.
同理y＝4，z＝2.
∴x＋y＋z＝9.
故选A．
7．（2020·全国高一课时练习）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）
A．log b·logb＝loga B．log b·loga＝logb
a c c a c c
C．log (bc)＝log b·log c D．log (b＋c)＝log b＋log c
a a a a a a
【答案】B
【解析】
由log b·logb＝ · ≠loga，故A错；
a c c
由log b·loga＝ · ＝ ＝logb.故 正确；
a c c
对选项 ， ，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立.
故选： .
8．（2020·浙江高一课时练习）化简 的结果是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【解析】原式 .
故选：C.
9．（2020·浙江高一课时练习）2 等于( )
A．2＋ B．2
C．2＋ D．1＋
【答案】B
【解析】
.
故选B.
10．（2020·浙江高一课时练习）设 ，且 ，则 ( )
A． B．10 C．20 D．100
【答案】A
【解析】
由 得 ，所以 ， ，
故选A.
二、多选题
11．（2020·全国高一课时练习）下列等式不成立的是( )
A． B． C． D． E.
【答案】DE【解析】
根据对数式的运算,可得 , ,故A､B成立;
由根式与指数式的互化可得 ,故C成立;
取 , ,发现D不成立; ,故E不成立.
故选：DE
12．（2020·泊头市第一中学高二开学考试）已知 ， 均为正实数，若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．2
【答案】AD
【解析】
令 ，
则 ，
， ，
或 ，
或
或，代入得
或
， 或 ，
．或
故选：AD.
13．（2020·海南高三其他）若 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】
由 ， ，得 ， ，则
，
，
，
故正确的有：
故选： .
14．（2020·山东淄川中学高二期中）已知 ， ， ， ，且 ， ，则
（ ）
A． ， ，使得
B． ， ，都有C． ，y且 ，使得
D．a，b，c，d中至少有两个大于1
【答案】BD
【解析】
， ， ， ，且 ， ，
则 ， ， ， ，
则 ， ，都有 ，故B正确，A，C不正确，
对于D：假设a，b，c，d中最多有一个大于1，若 ， ，则 ， ， ， ，则
假设不成立，故则a，b，c，d中至少有两个大于1，D正确.
故选：BD.
三、填空题
15．（2020·全国高一课时练习）若 ，则 ________.
【答案】
【解析】
【分析】
设 ，则 ，结合对数的运算性质，即可求解.
【详解】
设 ，则 ，所以 .
故答案为： .
16．（2019·浙江高一期中）已知实数 满足 ，且 ，且 _____.
【答案】【解析】
，解得
故答案为：
17．（2020·全国高一课时练习）若 ，则 ________.
【答案】
【解析】
由对数的换底公式，可得 ，
所以 ，所以 .
故答案为： .
四、双空题
18．（2020·浙江绍兴�高二期末） ___________， ______.
【答案】
【解析】
由对数的运算性质得 ，
由对数的换底公式可得 .
故答案为： ； .19．（2020·浙江吴兴�湖州中学高三其他）已知 ，则 ______；
_______.
【答案】 ．
【解析】
，∴ ，故 ，
可化为 ，也就是 ，所以 ，
故 ，所以 ，解得 .
故答案为： ．
20．（2020·金华市曙光学校高二月考）计算： __________，
_________.
【答案】2 2
【解析】
，
，
，
.
.
故答案为：①2；②2.
21．（2020·浙江衢州�高二期末）十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改
进数字计算方法成了当务之急，约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即 ．现已知 ，
则 ________， ________
【答案】 1
【解析】
， ，
；
.
故答案为： ；1
五、解答题
22．（2019·浙江南湖�嘉兴一中高一月考）计算下列各式的值.
（1）
（2）
【答案】（1）0；（2）4．
【解析】
（1）原式＝ ；
（2）原式＝ ．23．（2020·全国高一课时练习）计算下列各式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）lg( ＋ ).
【答案】（1） ；（2）－1；（3）1；（4） .
【解析】
（1）原式＝ ；
（2）原式＝ ；
（3）原式＝ .
（4）原式＝ ＋ ＝ ＝ ＝ .
24．（2020·全国高一课时练习）求下列各式的值：
（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】（1）原式 ；
（2）方法一：原式
；
方法二：原式lg ；
（3）原式 .
25．（2020·上海黄浦�高一期末）（1）证明对数换底公式： （其中 且 ，
且 ， ）
（2）已知 ，试用 表示 .
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
（1）设 ，写成指数式 .
两边取以 为底的对数，得 .
因为 ， ， ，因此上式两边可除以 ，得 .
所以， .
（2） .26．（2020·浙江高一课时练习）已知二次函数 的最小值为3，求
的值.
【答案】1.
【解析】
∵ 的最小值为3，
∴ ， ，
即 ，
∴ ，则 ，∴ .
∴ .
27．（2020·浙江高一课时练习）设 、 、 为正数，且满足 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 、 、 的值.
【答案】（1）证明见解析；（2） ， ， ．
【解析】
（1）左边
右边；（2）由 ，即 ，得 ，①
由 ，得 ，②
由题设知 ，③
由①②③及 、 、 为正数，可得 ， ， ．
