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1.5 全称量词与存在性量词
1. 全称命题与特称命题的判定；2. 全称命题与特称命题的真假判断；3. 利用全称命题和特称命题的真假
求参数范围
一、单选题
1．（2019·内蒙古集宁一中高三月考）命题“存在实数x,，使x > 1”的否定是（ ）
A．对任意实数x, 都有x > 1 B．不存在实数x，使x 1
C．对任意实数x, 都有x 1 D．存在实数x，使x 1
【答案】C
【解析】
特称命题的否定是全称命题，否定结论的同时需要改变量词．
∵命题“存在实数x，使x＞1”的否定是
“对任意实数x，都有x≤1”
故选C．
2．（2020·湖南雁峰衡阳市八中高二期中）命题“ ， ”为真命题的一个充分不必要条件
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解： ， ，∴要使 恒成立，
则 恒成立，即 ，
本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有B符合.
故选：B.
3．（2020·四川遂宁高二期末（文））命题“ ”的否定是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】
命题“ ”的否定形式为：“ ”.
故选：A.
4．（2020·浙江）下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是（ ）
A．斜三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数 ，使
C．任一无理数的平方必是无理数
D．存在一个负数 ，使
【答案】B
【解析】
选项A，C中的命题是全称命题,选项D中的命题是特称命题，但是假命题．只有B既是特称命题又是真命
题,选B.
5．（2020·浙江）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是
A．所有不能被2整除的数都是偶数
B．所有能被2整除的数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的数是偶数
D．存在一个能被2整除的数不是偶数
【答案】D
【解析】
命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的数不是偶数”．故选D．
6．（2020·浙江）下列命题的否定是真命题的是（ ）
A．有些实数的绝对值是正数
B．所有平行四边形都不是菱形
C．任意两个等边三角形都是相似的
D．3是方程 的一个根【答案】B
【解析】
A的否定：所有实数的绝对值不是正数,假命题,
B的否定：有些平行四边形是菱形, 真命题,
C的否定: 有些等边三角形不相似, 假命题,
D的否定: 3不是方程 的一个根, 假命题,
选B．
7．（2020·北京通州高二期末）命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】A
【解析】
命题“ ， ”为全称命题，则命题的否定为 ， ，
故选：A.
8．（2020·黑龙江萨尔图大庆实验中学高二期末（文））命题“ ”的否定是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
命题 的否定是 ，
又由 得故命题 的否定是 .
故选：
9．（2020·浙江）命题“存在一个三角形，内角和不等于 ”的否定为（ ）
A．存在一个三角形：内角和等于
B．任意三角形，内角和都等于
C．任意三形，内角和都不等于
D．很多三角形，内角和不等于
【答案】B
【解析】
该命题是一个“特称命题”,于是“存在”否定为“任意”；“不等于”否定为“都等于”，命题“存在一个三角形，内
角和不等于 ”的否定为“任意三角形，内角和都等于 ”，故选B.
10．（2020·重庆高二期末）命题“ ”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
根据全称命题与存在性命题的关系，
可得命题“ ”的否定为“ ”.
故选：B.
二、多选题
11．（2020·全国高一单元测试）下列命题中，是全称量词命题的有（ ）
A．至少有一个x使 成立 B．对任意的x都有 成立
C．对任意的x都有 不成立 D．存在x使 成立
E.矩形的对角线垂直平分【答案】BCE
【解析】
A和D中用的是存在量词“至少有一个”“存在”，属存在量词命题；
B和C用的是全称量词“任意的”，属全称量词命题，所以B、C是全称量词命题；
E中命题“矩形的对角线垂直平分”省略量词“任意”，是全称量词命题.
故选：BCE
12．（2019·儋州市八一中学高一期中）已知下列命题其中正确的有（ ）
A．“实数都大于0”的否定是“实数都小于或等于0”
B．“三角形外角和为360度”是含有全称量词的真命题
C．“至少存在一个实数 ，使得 ”是含有存在量词的真命题
D．“能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题
【答案】BCD
【解析】
对于A, “实数都大于0”的否定是“实数不都大于0”,故A错误.
对于B, “三角形外角和为360度”含有全称量词,且为真命题,所以B正确;
对于C, “至少存在一个实数 ，使得 ”含有存在量词,且为真命题,所以C正确;
对于D, “能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题,所以D正确.
综上可知,正确命题为BCD
故答案为: BCD
13．（2019·全国高一课时练习）下列命题中是真命题的是（ ）
A．存在一个实数x，使
B．所有的素数都是奇数
C．在同一平面中，同位角相等且不重合的两条直线都平行
D．至少存在一个正整数，能被5和7整除
E.菱形是正方形
【答案】CD
【解析】
A中，方程 的 ，所以无实根，故A为假命题；B中，2是素数，但不是奇数，故B为假命题；
D中，35能被5和7整除，故D为真命题；
由平行线的判定定理可知：C为真命题，
由正方形与菱形的关系可知：E为假命题．
故选：CD．
14．（2019·全国高一课时练习）（多选）下列存在量词命题中，是真命题的是（ ）．
A． ， B．至少有一个 ，使 能同时被2和3整除
C． ， D．有些自然数是偶数
【答案】ABD
【解析】
A中， 时，满足 ，所以A是真命题；
B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；
D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；
C中，因为所有实数的绝对值非负，即 ，所以C是假命题．
故选：ABD．
三、填空题
15．（2020·安徽金安六安一中高二期中（文））命题“ ”的否定是________．
【答案】
【解析】
命题为特称命题，则命题的否定为“ ， ”.
故答案为： ， .
16．（2020·浙江）命题“存在x∈R，使得x2 2x+5=0”的否定是
+
【答案】对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．
【解析】
因为命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，
可得命题的否定为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．故答案为对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．
17．（2020·贵溪市实验中学高二期末（文））命题“ ”的否定形式是
___________________________.
【答案】
【解析】
为特称命题的否定是全称命题，否定特称命题时，要将存在量词改写为全称量词，所以，命题
的否定为 ，故答案为 .
18．（2020·广东中山高二期末）命题 : ， 是__________（填“全称命题”或“特称
命题”），它是_________命题（填“真”或“假”）.
【答案】特称命题 假
【解析】
由题知命题 : ， 中条件为 ，
故命题为特称命题，
又因为方程 中 ，
故方程 没有根，所以命题为假命题.
故答案为：特称命题；假.
19．（2020·全国高一课时练习）下列命题：（1）正方形的四条边相等；（2）有两个角是 的三角形是
等腰直角三角形；（3）正数的平方根不等于0；（4）至少有一个正整数是偶数；是全称量词命题的有
________；是存在量词命题的有________.（填序号）
【答案】（1）（2）（3） （4）
【解析】
（1）中量词“任意一个”省咯，是全称量词命题；
（2）的含义是“任何有两个角是 的三角形是等腰直角三角形”，含有全称量词，是全称量词命题；
（3）0中量词“任意一个”省略，是全称量词命题；（4）中含有存在量词“至少”，是存在量词命题.
故答案为：(1). （1）（2）（3）；(2). （4）.
20．（2019·全国）下列命题中，是全称量词命题的是______；是存在量词命题的是______．
①正方形的四条边相等；
②有两个角相等的三角形是等腰三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
【答案】①②③ ④
【解析】
①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称量词命题；
②是全称量词命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；
③可表述为“所有正数的平方根都不等于0”，是全称量词命题；
④是存在量词命题．
故答案为(1). ①②③ (2). ④
21．用量词符号“ ， ”表示下列命题：
（1）有的实数不能写成小数形式：____________________.
（2）凸 边形的外角和等于 ：____________________.
【答案】 ，不能写成小数形式； ， 的外角和等于 .
【解析】
（1）因为“有的实数不能写成小数形式”即“存在实数不能写成小数形式”，
所以可以表示为： ，不能写成小数形式；
（2）因为“凸 边形的外角和等于 ”即“任意凸 边形的外角和等于 ”，
所以可以表示为： ， 的外角和等于 .
故答案为： ，不能写成小数形式； ， 的外角和等于 .
四、解答题
22．（2020·浙江）写出下列命题的否定并判断真假.
（1）不论m取何实数，方程 必有实数根.（2）所有末位数是0或5的整数都能被5整除.
（3）某些梯形的对角线互相平分.
（4）被8整除的数能被4整除.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析.
【解析】
（1）这一命题可以表述为“对所有的实数m，方程 都有实数根”，
其否定为“存在实数m，使得 没有实数根”，
注意到当 ，
即 时，一元二次方程没有实根，因此其否定是真命题；
（2）命题的否定是“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”，是假命题；
（3）命题的否定是“任何一个梯形的对角线都不互相平分”，是真命题；
（4）命題的否定是“存在一个数能被8整除，但不能被4整除”，是假命题.
23．（2020·浙江）判断下列命题的真假.
（1） .
（2） .
（3） .
【答案】（1）假命题；（2）假命题；（3）真命题.
【解析】
（1）假命题，因为只有 或 时满足 .
（2）假命题，因为不存在实数x，使 成立.
（3）真命题，因为存在正整数2和4，使 .
24．（2020·全国高一）把下列定理表示的命题写成含有量词的命题:
(1)勾股定理;
(2)三角形内角和定理.【答案】(1)任意一个直角三角形,它的斜边的平方都等于两直角边的平方和;
(2)所有三角形的内角和都是180°.
【解析】
(1)任意一个直角三角形,它的斜边的平方都等于两直角边的平方和；
(2)所有三角形的内角和都是180°.
25．（2020·全国高一课时练习）已知区间 ，且“ ”是真命题，求实数a的
取值范围．
【答案】
【解析】
∵对 恒成立，即 恒成立，
即 ，
∴ ．
26．（2020·全国高一课时练习）已知命题 ， ，若 是假命题，求实数m的
取值范围.
【答案】
【解析】
∵ 是假命题，∴p是真命题.
也就是 ，使得 ，即方程 有解.
又 ，当 时取等号，因此 ，即 .
∴m的取值范围是 .
27．（2020·全国高一课时练习）设语句 .
（1）写出 ， ，并判断它们是不是真命题；
（2）写出“ ， ”，并判断它是不是真命题；（3）写出“ ， ”，并判断它是不是真命题.
【答案】（1） ，真命题， ；假命题；
（2） ， ，假命题；
（3） ， ，真命题；
【解析】
（1） ，真命题.
， ，
∴ ，假命题.
（2） ， ，由（1）知， 为假命题，
所以“ ， ”为假命题.
（3） ， ，由（1）知， 为真命题，
所以“ ， ”为真命题.
