4.4.2 对数函数的图像和性质
（用时45分钟）
【选题明细表】
知识点、方法 题号
对数值大小的比较 1,3
对数函数的图象特征 5,7,11
利用对数函数单调性解不等式或方程 4,9,10
对数函数性质的综合应用 6,8,12,13
反函数 2
基础巩固
1.已知函数y=f(x+2)的图象关于直线x=-2对称,则当x∈(0,+∞)时,f(x)=|logx|,若
2
1
a=f(-3),b=f( ),c=f(2),则a,b,c的大小关系是( )
4
(A)a>b>c (B)b>a>c
(C)c>a>b (D)a>c>b
【答案】B
【解析】因为函数y=f(x+2)的图象关于x=-2对称,
所以函数y=f(x)的图象关于y轴对称,
所以函数y=f(x)是偶函数.
所以a=f(-3)=f(3)=|log3|=log3,
2 2
又b=f（1）=| 1|=|-2|=2,
log
4 24
c=f(2)=|log2|=1,所以c<a<b.
2
2.若函数y=f(x)与函数y=ln√x+1的图象关于直线y=x对称,则f(x)等于( )
(A)e2x-2 (B)e2x
(C)e2x+1 (D)e2x+2
【答案】A
【解析】若两个函数的图象关于直线y=x对称,那么这两个函数互为反函数,而y=ln√x+1的反函数
为y=e2x-2,故选A.
3.若log8.1<log8.1<0,那么m,n满足的条件是( )
m n
(A)m>n>1 (B)n>m>1
(C)0<n<m<1 (D)0<m<n<1【答案】C
【解析】由题意知m,n一定都是大于0且小于1的数,根据函数图象(图略)知,当x>1时,底数越大,
函数值越小,故选C.
1
4.已知函数f(x)=log (2x+1)在（- ,0）内恒有f(x)>0,则a的取值范围是( )
(a-1)
2
(A)(1,+∞) (B)(0,1)
(C)(0,2) (D)(1,2)
【答案】D
1
【解析】由- <x<0,得0<2x+1<1.若f(x)>0恒成立,则0<a-1<1.所以1<a<2.故选D.
2
5.函数y=log|x|的图象大致是( )
2
【答案】A
【解析】因为函数y=log|x|是偶函数,且在(0,+∞)上为增函数,结合图象可知A正确.
2
6.若函数f(x)=ln(x2+ax+1)是偶函数,则实数a的值为 .
【答案】0
【解析】函数f(x)=ln(x2+ax+1)是偶函数,
所以f(x)=f(-x),即ln(x2+ax+1)=ln(x2-ax+1),
所以ax=-ax在函数的定义域中总成立,所以a=0.
7.函数f(x)=|log x|的单调增区间为 .
1
2
【答案】[1,+∞)
g
【解析】由函数f(x)=|lo 1x|可得函数的大致图象如图所示,
2
所以函数的单调增区间为[1,+∞).
8.已知f(x)=log(4x-1).
4
(1)求f(x)的定义域;
(2)讨论f(x)的单调性;1
(3)求f(x)在区间[ ,2]上的值域.
2
【答案】（1）(0,+∞)（2）f(x)在(0,+∞)上单调递增（3）值域为[0,log15].
4
【解析】(1)由4x-1>0,解得x>0,
因此f(x)的定义域为(0,+∞).
(2)设0<x<x,则0<4x-1<4x-1,
1 2 1 2
因此log(4x-1)<log(4x-1),即f(x)<f(x),
4 1 4 2 1 2
故f(x)在(0,+∞)上单调递增.
1
(3)因为f(x)在区间[ ,2]上单调递增,
2
1
又f( )=0,f(2)=log15,
4
2
1
因此f(x)在区间[ ,2]上的值域为[0,log15].
4
2
能力提升
9.已知logb<loga<logc,则( )
2 2 2
1 1 1
(A)( )b>( )a>( )c
2 2 2
1 1 1
(B)( )a>( )b>( )c
2 2 2
1 1 1
(C)( )c>( )b>( )a
2 2 2
1 1 1
(D)( )c>( )a>( )b
2 2 2
【答案】A
1 1 1
【解析】因为logb<loga<logc,所以c>a>b,所以( )b>（ ）a>（ ）c.故选A.
2 2 2
2 2 2
10.已知函数f(x)={f (x+1),x<4,则f(2+log3)等于( )
2
2x,x≥4,
(A)8 (B)12 (C)16 (D)24
【答案】D
【解析】因为1<log3<2,所以3<2+log3<4,所以f(2+log3)=f(3+log3).
2 2 2 2
又4<3+log 2 3<5,所以f(3+log 2 3)=2 (3+log 2 3)=23×2log 2 3=8×3=24.故选D.
9.当0<a<1时,在同一坐标系中,函数y=ax与y=logx的图象是( )
a【答案】D
【解析】因为函数y=ax与y=logx互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x对称,
a
且当0<a<1时,函数y=ax与y=logx都是减函数,观察图象知,D正确.故选D.
a
12.已知函数f(x)=ln(ax2+2x+1).
(1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;
(2)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.
【答案】（1）a的取值范围为(1,+∞)（2）a的取值范围为[0,1].
【解析】(1)因为f(x)的定义域为R,
所以ax2+2x+1>0恒成立.
1
当a=0时,2x+1>0,x>- ,不合题意;
2
{ a>0,
所以a≠0.由 得a>1.
Δ=4-4a<0,
故实数a的取值范围为(1,+∞).
(2)因为f(x)的值域为R,
所以{y|y=ax2+2x+1,x∈R}⊇(0,+∞).
(也可以说y=ax2+2x+1取遍一切正数)
①当a=0时,y=2x+1可以取遍一切正数,符合题意,
{ a>0,
②当a≠0时,需 即0<a≤1.
Δ=4-4a≥0,
综上,实数a的取值范围为[0,1].
素养达成
13.已知函数f(x)=log(x+1),g(x)=log(3x+1).
2 2
(1)求出使g(x)≥f(x)成立的x的取值范围;
(2)当x∈[0,+∞)时,求函数y=g(x)-f(x)的值域.
【答案】（1）[0,+∞).（2）[0,log3).
2
【解析】(1)因为f(x)=log(x+1),
2
g(x)=log(3x+1),g(x)≥f(x),
2
所以3x+1≥x+1>0,
所以x≥0.即使g(x)≥f(x)成立的x的取值范围为[0,+∞).
(2)因为y=g(x)-f(x)=log(3x+1)-log(x+1)
2 2
3x+1
=log (x≥0).
2 x+1
3x+1 2
令h(x)= =3- ,
x+1 x+1
则h(x)为[0,+∞)上的增函数,所以1≤h(x)<3,
故y=g(x)-f(x)∈[0,log3),
2
即函数y=g(x)-f(x)的值域为[0,log3).
2
