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3.4 函数的应用（一）
1.函数的意义；2. 一次函数模型；3. 二次函数模型；4. 分段函数模型；5.生产生活中的“最优化”问题
一、单选题
1．（2020·浙江高一课时练习）某种商品进货价为每件200元，售价为进货价的125%，因库存积压，若按
9折出售，每件还可获利( )
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
【答案】C
【解析】
无折扣的售价为：200 125%=250（元），
打折后售价为：250 0.9=225(元)，
获利;225-200=25(元)，
所以若按9折出售，每件还可获利25元。
故选C.
2．（2020·浙江高一课时练习）一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示．
出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，
则一定正确的是( )
A．① B．①②
C．①③ D．①②③
【答案】A
【解析】由甲、乙两图可知进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率，只进水不出水时，蓄水量增加速
度是2，故①正确；不进水只出水时，蓄水量减少速度是2，故②不正确；两个进水一个出水时，蓄水量减
少速度也是0，故③不正确．
3．（2020·浙江高一课时练习）用一段长为 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设矩形模型的长和宽分别为 ，则 ，由题意可得 ，所以 ，
所以矩形菜园的面积 ，当且仅当 时取等号，
所以当矩形菜园的长和宽都为 时，面积最大，为 ．答案：
4．（2020·浙江高一课时练习）某厂印刷某图书总成本y（元）与图书日印量x（本）的函数解析式为
y=5x+3000，而图书出厂价格为每本10元，则该厂为了不亏本，日印图书至少为（ ）
A．200本 B．400本 C．600本 D．800本
【答案】C
【解析】
该厂为了不亏本，日印图书至少为x本，
则利润函数f（x）=10x-（5x+3000）≥0，
解得x≥600．
∴该厂为了不亏本，日印图书至少为600本．
故选：C．
5．（2020·浙江高一课时练习）某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3 km)，以后每1 km价为
1.8元(不足1 km按1 km计价)，则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图像大致为(
)A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
出租车起步价为5元（起步价内行驶的里程是 ).
对应的值都是5，
以后毎 价为 元，
不足 按 计价，
时，
时， ，故选B.
6．（2020·浙江高一课时练习）面积为 的长方形的某边长度为 ，则该长方形的周长 与 的函数关系
为
A．
B．C．
D．
【答案】C
【解析】
面积为 的长方形的某边长度为 ，则另一边长为： ，周长为 .
故答案为：C.
7．（2020·上海高一课时练习）甲、乙两人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则
是先跑步，到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑自行车比乙骑自行车快．若每人离
开甲地的距离 与所用时间 的函数用图象表示，则甲、乙对应的图象分别是
A．甲是(1)，乙是(2) B．甲是(1)，乙是(4)
C．甲是(3)，乙是(2) D．甲是(3)，乙是(4)
【答案】B
【解析】
显然甲图象为（1）或(3)，乙图象为（2）或(4)．又因为 甲骑车比乙骑车快，即甲前一半路程图象的中
随 的变化比乙后一半路程 随 的变化要快，所以 甲为（1），乙为(4)．选B．
8．（2020·陕西长安一中高一开学考试）某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，
开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两
边长x、y应为( )．A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14
【答案】A
【解析】
由三角形相似得 ,得 ,由05时，解不等式 ，
得 ， ∴ ，
综上所述，要使工厂赢利， 应满足 ，
即产品应控制在大于100台，小于820台的范围内．
(Ⅱ) 时， 故当 时， 有最大值3.6.
而当 时，
所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多
25．（2020·全国高一课时练习）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万
元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似表示为 ，已知此生产线年产量最大
为210吨，若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是
多少？
【答案】年产量为210吨时，可获得最大利润，最大利润是1660万元.
【解析】
设可获得的总利润为 万元，则
∵
在 上是增函数，
∴当 时， .
∴年产量为210吨时，可获得最大利润，最大利润是1660万元.
26．（2020·荆州市北门中学高一期末）十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划．2018年某企业计划引进新能源汽车生产
设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆），需另投入成本 万元，且
．由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年
能全部销售完．
（1）求出2018年的利润L（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）
（2）2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润．
【答案】（1） ；（2）生产100百辆时，该企业获得利润最大，
且最大利润为1800万元．
【解析】
（1）当 时， ；
当 时， ；
∴ ．
（2）当 时， ，
∴当 时， ；
当 时， ，
当且仅当 ，即 时， ；∴当 时，即2018年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元．
27．（2020·全国高一课时练习）某旅游景点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每
日115元。根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提
高1元，租不出去的自行车就增加3辆.规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金 元
只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用 表示出租所有自行车的日
净收入（即一日中出租所以自行车的总收入减去管理费用后的所得）.
（1）求函数 的解析式及定义域；
（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？
【答案】（1） ；（2）当每辆自行车日租金定在11元时才能
使日净收入最多，为270元.
【解析】
（1）当 时， ，令 ，解得 ．
， ， ，且 ．
当 时，
综上可知
（2）当 ，且 时， 是增函数，
当 时， 元．
当 ， 时， ，
当 时， 元．
综上所述，当每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多，为270元．
