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3.4 函数的应用（一）
1.函数的意义；2. 一次函数模型；3. 二次函数模型；4. 分段函数模型；5.生产生活中的“最优化”问题
一、单选题
1．（2020·浙江高一课时练习）某种商品进货价为每件200元，售价为进货价的125%，因库存积压，若按
9折出售，每件还可获利( )
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
【答案】C
【解析】
无折扣的售价为：200 125%=250（元），
打折后售价为：250 0.9=225(元)，
获利;225-200=25(元)，
所以若按9折出售，每件还可获利25元。
故选C.
2．（2020·浙江高一课时练习）一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示．
出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，
则一定正确的是( )
A．① B．①②
C．①③ D．①②③
【答案】A
【解析】由甲、乙两图可知进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率，只进水不出水时，蓄水量增加速
度是2，故①正确；不进水只出水时，蓄水量减少速度是2，故②不正确；两个进水一个出水时，蓄水量减
少速度也是0，故③不正确．
3．（2020·浙江高一课时练习）用一段长为 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设矩形模型的长和宽分别为 ，则 ，由题意可得 ，所以 ，
所以矩形菜园的面积 ，当且仅当 时取等号，
所以当矩形菜园的长和宽都为 时，面积最大，为 ．答案：
4．（2020·浙江高一课时练习）某厂印刷某图书总成本y（元）与图书日印量x（本）的函数解析式为
y=5x+3000，而图书出厂价格为每本10元，则该厂为了不亏本，日印图书至少为（ ）
A．200本 B．400本 C．600本 D．800本
【答案】C
【解析】
该厂为了不亏本，日印图书至少为x本，
则利润函数f（x）=10x-（5x+3000）≥0，
解得x≥600．
∴该厂为了不亏本，日印图书至少为600本．
故选：C．
5．（2020·浙江高一课时练习）某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3 km)，以后每1 km价为
1.8元(不足1 km按1 km计价)，则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图像大致为(
)A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
出租车起步价为5元（起步价内行驶的里程是 ).
对应的值都是5，
以后毎 价为 元，
不足 按 计价，
时，
时， ，故选B.
6．（2020·浙江高一课时练习）面积为 的长方形的某边长度为 ，则该长方形的周长 与 的函数关系
为
A．
B．C．
D．
【答案】C
【解析】
面积为 的长方形的某边长度为 ，则另一边长为： ，周长为 .
故答案为：C.
7．（2020·上海高一课时练习）甲、乙两人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则
是先跑步，到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑自行车比乙骑自行车快．若每人离
开甲地的距离 与所用时间 的函数用图象表示，则甲、乙对应的图象分别是
A．甲是(1)，乙是(2) B．甲是(1)，乙是(4)
C．甲是(3)，乙是(2) D．甲是(3)，乙是(4)
【答案】B
【解析】
显然甲图象为（1）或(3)，乙图象为（2）或(4)．又因为 甲骑车比乙骑车快，即甲前一半路程图象的中
随 的变化比乙后一半路程 随 的变化要快，所以 甲为（1），乙为(4)．选B．
8．（2020·陕西长安一中高一开学考试）某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，
开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两
边长x、y应为( )．A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14
【答案】A
【解析】
由三角形相似得 ,得 ,由0<x≤20得,8≤y<24,
∴ ,∴当y=12时,S有最大值,此时x=15. 选A
9．（2020·全国高一专题练习）某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x
＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（ ）
A．2 000套 B．3 000套
C．4 000套 D．5 000套
【答案】D
【解析】
因利润z＝12x－(6x＋30 000),所以z＝6x－30 000,由z≥0解得x≥5 000,故至少日生产文具盒5 000套.
故选：D
10．（2020·四川省乐山沫若中学高一月考）2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的
主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附
加扣除；（3）专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费
用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣
除1000元，新的个税政策的税率表部分内容如下：
级数 一级 二级 三级
每月应纳税所得额 元（含税）
税率 3 10 20
现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其它专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为（ ）
A．1800 B．1000 C．790 D．560
【答案】C
【解析】
李某月应纳税所得额（含税）为： 元，
不超过3000的部分税额为 元，
超过3000元至12000元的部分税额为 元，
所以李某月应缴纳的个税金额为 元．
故选： ．
二、多选题
11．（2019·山东牡丹 菏泽一中高一月考）在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小
时的生产情况画出了某种产品的总产量 （单位：千克）与时间 （单位：小时）的函数图像，则以下关
于该产品生产状况的正确判断是（ ）.
A．在前三小时内，每小时的产量逐步增加
B．在前三小时内，每小时的产量逐步减少
C．最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同
D．最后两小时内，该车间没有生产该产品
【答案】BD
【解析】
由该车间持续5个小时的生产总产量 （单位：千克）与时间 （单位：小时）的函数图像，得：前3小
时的产量逐步减少，故A错，B正确；
后2小时均没有生产，故C错，D正确。
故选：BD
12．（2020·全国）某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km（不超过3km按起步价付
费）；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费：超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是（ ）
A．出租车行驶2km，乘客需付费8元
B．出租车行驶4km，乘客需付费9.6元
C．出租车行驶10km，乘客需付费25.45元
D．某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用
E.某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km
【答案】CDE
【解析】
在 中，出租车行驶2km，乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元， 错误；在 中，出租车行
驶4km，乘客需付费 元， 错误；
在 中，出租车行驶10km，乘客需付费 元， 正确；
在 中，乘出租车行驶5km，乘客需付费 元，乘坐两次需付费26.6元，
， 正确；
在 中，设出租车行驶 时，付费 元，由 知 ，因此由
，解得 ， 正确．
故选： ．
13．（2020·全国）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距
离都是2km．如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间x（min）的关系，下列
结论正确的是（ ）
A．甲同学从家出发到乙同学家走了60min
B．甲从家到公园的时间是30minC．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D．当 时，y与x的关系式为
E.当 时，y与x的关系式为
【答案】BD
【解析】
在 中，甲在公园休息的时间是10min，所以只走了50min， 错误；
由题中图象知， 正确；
甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从
公园到乙同学家的速度慢， 错误；
当 时，设 ，则 ，解得 ， 正确；
当 时，题中图象是平行于 轴的线段， 错误．
故选： ．
14．（2019·全国高一课时练习）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版
费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，
甲厂的总费用 （千元）乙厂的总费用 （千元）与印制证书数量x（千个）的函数关系图分别如图中甲、
乙所示，则（ ）
A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元
B．甲厂的费用 与证书数量x之间的函数关系式为C．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元
D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用 与证书数量x之间的函数关系式为
E.若该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择甲厂更节省费用
【答案】ABCD
【解析】
由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，故A正确；
甲厂的费用 与证书数量x满足的函数关系为 ，故B正确；
当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为 元，故C正确；
易知当 时， 与x之间的函数关系式为 ，故D正确
当 时， ，因为 ，所以当印制8千个证书时，选择乙厂
更节省费用，故E不正确.
故选：ABCD
三、填空题
15．（2020·全国高一课时练习）甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程 与时间 的函数关系
如图所示，则下列说法正确的是________.(填序号)
①甲比乙先出发；②乙比甲跑的路程多；③甲、乙两人的速度相同；④甲比乙先到达终点.
【答案】④
【解析】
由图知，甲、乙两人 与 的关系均为直线上升，路程 的增长速度不变，即甲、乙均为匀速运动，但甲的速度快，又甲、乙的路程 取值范围相同，
即跑了相同的路程，故甲用时少，先到终点.
故答案为：④
16．（2020·浙江高一课时练习）已知 、 两地相距 千米，某人开汽车以 千米/小时的速度从 到
达 地，在 地停留 小时后再以 千米/小时的速度返回 地，把汽车离开 地的距离 表示为时间 的
函数，表达式为__________．
【答案】
【解析】
从 到 用时 ，在 地停留 内，距离不变，
返回 地时，距离减少．
因此
17．（2019·北京丰台）某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，
则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，
折扣优惠按下表累计计算.
某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元．
【答案】1120
【解析】
由题可知：折扣金额y元与购物总金额x元之间的解析式，y
∵y＝30＞25
∴x＞1100
∴0.1（x﹣1100）+25＝30
解得，x＝1150，
1150﹣30＝1120，
故此人购物实际所付金额为1120元．
四、双空题
18．（2020·邢台市第二中学高一开学考试）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、
京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果
进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得
到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为
__________．
【答案】130. 15.
【解析】
(1) ,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付 元.
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为 元,
元时,李明得到的金额为 ,符合要求.
元时,有 恒成立,即 ,即 元.
所以 的最大值为 .
19．（2020·浙江高一单元测试）某品牌连锁便利店有 个分店，A,B,C三种商品在各分店均有销售，这三
种商品的单价和重量如表1所示：
商品A 商品B 商品C单价（元） 15 20 30
每件重量（千
0.2 0.3 0.4
克）
表1
某日总店向各分店分配的商品A,B,C的数量如表2所示：
商品 分
分店1 分店2 …… 分店
店
A 12 20 m
1
B 15 20 m
2
C 20 15 m
3
表2
表3表示该日分配到各分店去的商品A,B,C的总价和总重量：
分店1 分店2 …… 分店
总价（元）
总重量（千克）
表3
则 __________ ； __________ .
【答案】
【解析】
根据分店1所分配的A、B、C三种商品的数量和商品单价计算出分店1商品的总价（元）
；
根据分店n所分配的A、B、C三种商品的数量和每件商品的重量计算出分店n商品的总重量（千克）
；
20．（2019·广东南沙 高一期中）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、
西瓜、桃，价格依次为 元/盒、 元/盒、 元/盒、 元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 元，顾客就少付 元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的
.
①当 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 盒，需要支付______元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 的最大值为______.
【答案】
【解析】
顾客一次购买草莓和西瓜各 盒，总价为 ，故需要支付 元.
，故 .
故答案为： ； .
21．（2020·海南高一期末）某种商品在第 天的销售价格（单位：元）为
，第x天的销售量（单位：件）为 ，则第14天该商品的销售
收入为________元，在这30天中，该商品日销售收入的最大值为________元.
【答案】448 600
【解析】
由题意可得 （元），
即第14天该商品的销售收入为448元.
销售收入 ， ，
即 ， .当 时， ，
故当 时，y取最大值， ，
当 时，易知 ，
故当 时，该商品日销售收入最大，最大值为600元.
故答案为：448；600.
五、解答题
22．（2020·全国高一课时练习）某列火车从A地开往B地，全程277km.火车出发10min开出13km后，以
120km/h的速度匀速行驶试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的关系，并求离开A地2h时
火车行驶的路程.
【答案】 ，
【解析】
因为火车匀速行驶的时间为 ，
所以 .因为火车匀速行驶th所行驶路程为 ，
所以火车行驶总路程s与匀速行驶时间t之间的关系是 .
离开A地2h时火车行驶的路程 .
23．（2020·全国高一课时练习）一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票
一张，其余人可享受半票优惠.”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价 优惠.”这两家旅行社的原价是一样的.试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠.
【答案】当家庭中只有一个孩子时，两家旅行社收费相等；当家庭中有两个以上孩子时，甲旅行社更优惠．
【解析】
设家庭中孩子数为 （ ， )，旅游收费为y，旅游原价为a，
甲旅行社收费： ，乙旅行社收费： ，
∵ ，
∴当 时，两家旅行社收费相等；当 时，甲旅行社更优惠．
即当家庭中只有一个孩子时，两家旅行社收费相等；当家庭中有两个以上孩子时，甲旅行社更优惠．
24．（2019·浙江南湖 嘉兴一中高一月考）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销
售的统计规律：每生产产品 （百台），其总成本为G( )（万元），其中固定成本为 万元，并且每生产
百台的生产成本为 万元（总成本 = 固定成本 + 生产成本）；销售收入R( )（万元）满足：
，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律:
（Ⅰ）要使工厂有赢利，产量 应控制在什么范围？
（Ⅱ）工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？
【答案】 (Ⅰ)产品应控制在大于100台，小于820台的范围内．
(Ⅱ)当工厂生产400台产品时，赢利最多
【解析】
依题意， .设利润函数为 ，则
(Ⅰ) 要使工厂有赢利，即解不等式 ，当 时，
解不等式 ．即 .
∴ ∴ ，
当x>5时，解不等式 ，
得 ， ∴ ，
综上所述，要使工厂赢利， 应满足 ，
即产品应控制在大于100台，小于820台的范围内．
(Ⅱ) 时， 故当 时， 有最大值3.6.
而当 时，
所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多
25．（2020·全国高一课时练习）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万
元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似表示为 ，已知此生产线年产量最大
为210吨，若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是
多少？
【答案】年产量为210吨时，可获得最大利润，最大利润是1660万元.
【解析】
设可获得的总利润为 万元，则
∵
在 上是增函数，
∴当 时， .
∴年产量为210吨时，可获得最大利润，最大利润是1660万元.
26．（2020·荆州市北门中学高一期末）十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划．2018年某企业计划引进新能源汽车生产
设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆），需另投入成本 万元，且
．由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年
能全部销售完．
（1）求出2018年的利润L（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）
（2）2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润．
【答案】（1） ；（2）生产100百辆时，该企业获得利润最大，
且最大利润为1800万元．
【解析】
（1）当 时， ；
当 时， ；
∴ ．
（2）当 时， ，
∴当 时， ；
当 时， ，
当且仅当 ，即 时， ；∴当 时，即2018年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元．
27．（2020·全国高一课时练习）某旅游景点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每
日115元。根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提
高1元，租不出去的自行车就增加3辆.规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金 元
只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用 表示出租所有自行车的日
净收入（即一日中出租所以自行车的总收入减去管理费用后的所得）.
（1）求函数 的解析式及定义域；
（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？
【答案】（1） ；（2）当每辆自行车日租金定在11元时才能
使日净收入最多，为270元.
【解析】
（1）当 时， ，令 ，解得 ．
， ， ，且 ．
当 时，
综上可知
（2）当 ，且 时， 是增函数，
当 时， 元．
当 ， 时， ，
当 时， 元．
综上所述，当每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多，为270元．
