文档内容
5.7 三角函数的应用
主要命题方向
1. 三角函数模型在物理中的应用；2. 三角函数模型在生活中的应用；3. 数据拟合三角函数问题.
配套提升训练
一、单选题
1．（2020·全国高一课时练习）弹簧振子的振幅为 ，在 内振子通过的路程是 ，由此可知该振
子振动的（ ）
A．频率为1.5Hz B．周期为1.5s
C．周期为6s D．频率为6Hz
【答案】B
【解析】
振幅为 ，振子在一个周期内通过的路程为 ，易知在 内振动了4个周期，所以 ，频率
.
故选： .
2．（2020·全国高一课时练习）如图为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是（ ）
A．该质点的振动周期为
B．该质点的振幅为
C．该质点在 和 时的振动速度最大D．该质点在 和 时的加速度为
【答案】D
【解析】
对于A、B选项，由图可得知振幅为 ，周期为 ，A、B选项错误；
对于C选项，质点在 和 时刻，质点的位移为最大值，可知速度为零，C选项错误；
对于D选项，质点在 和 时刻，质点的位移为 ，则质点受到的回复力为 ，所以加速度为 ，D
选项正确.故选D.
3．（2018·韶关市第一中学期末）如图，圆 的半径为1， 是圆上的定点， 是圆上的动点，角 的始
边为射线 ，终边为射线 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，将点 到直线 的距离表示
成 的函数 ，则 在 上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】
根据题意知：
到直线 的距离为：
对应图像为B
故答案选B
4．（2020·全国高一课时练习）电流强度 随时间 变化的关系式是 ，则当
时，电流强度 为（ ）
A．5A B．2.5A C．2A D．－5A
【答案】B
【解析】
当 时， .
故选： .
5．（2020·浙江高一课时练习）如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针
尖位置 .若初始位置为 ，当秒针从 （注此时 ）正常开始走时，那么点P的纵坐
标y与时间t的函数关系为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
时刻， 经过的圆弧角度为 ，则以 轴正方向为始边， 所在射线为终边，
对应的角度为 ，则 对应的角度为 ，
由 可知 在单位圆上，所以 时刻 的纵坐标 ，故选C
6．（2020·浙江高一课时练习）设 是某港口水的深度 （米）关于时间 （时）的函数，其中
.下表是该港口某一天从 时至 时记录的时间 与水深 的关系：
时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
米 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
经长期观察，函数 的图像可以近似地看成函数 的图像.下面的函数中，最
能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ ）A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
在给定的四个选项中，我们不妨代入 及 ，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是
选项A，故选A.
7．（2020·浙江高一课时练习）已知某人的血压满足函数解析式 ，其中 为
血压， 为时间，则此人每分钟心跳的次数为（ ）
A．60 B．70 C．80 D．90
【答案】C
【解析】
由题意得函数的周期为 ，
所以频率 ，所以此人每分钟心跳的次数为80．
故选：C
8．（2020·浙江高一课时练习）如图所示为一质点做简谐运动的图象，则下列判断中正确的是（ ）A．该质点的振动周期为 B．该质点的振幅为
C．该质点在 和 时振动速度最大 D．该质点在 和 时的振动速度为0
【答案】B
【解析】
由图象可知周期是 ，A错，振幅为 ，B正确；曲线上各点处的切线的斜率（导数值）才是相应的
速度，质点在 和 时振动速度为0，C错，质点在 和 时的振动速度不为0，D错．
故选：B．
9．（2020·浙江高一课时练习）一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32 m(即
OM长)，巨轮的半径长为30 m，AM＝BP＝2m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈．若点M为吊舱P的初
始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为h(t) m，则h(t)等于( )
A．30sin ＋30 B．30sin ＋30
C．30sin ＋32 D．30sin
【答案】B
【解析】
过点 作地面平行线 ，过点 作 的垂线 交 于D点．点 在 上逆时针运动的角速度是
，∴ 分钟转过的弧度数为 ，设 ，当 时， ，，当 时，上述关系式也适合．故
．
10．（2020·浙江高一课时练习）动点 在圆 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12
秒旋转一周，已知时间 时，点 的坐标是 ，则当 时，动点 的纵坐标 关于
（单位：秒）的函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D． 和
【答案】D
【解析】
试题分析： 时，点 的坐标是 ，所以点 的初始角为 ，当点 转过的角度在
或 时，动点 的纵坐标 关于 （单位：秒）的函数的单调递增，因为12秒旋转一周，所以
每秒转过的角度是 ， ，则当 时，动点 的纵坐标 关于 （单位：
秒）的函数的单调递增区间是 和 ，故选D．二、多选题
11．（2020·全国高一课时练习）某时钟的秒针端点A到时钟的中心点O的距离为 ，秒针均匀地绕点
O旋转.当时间 时，点A与钟面上标“12”的点B重合，将A，B两点的距离 表示成 的函
数，则 __________，其中 .（ ）
A． B． C． D． E.
【答案】CE
【解析】
依题作出图形，如图：
因为 ，
所以经过 秒针转了 ， 连接 ，过点 作 于点 ，
，在 中得： ，
所以 或 ，其中 ，
所以CE正确.
故选：CE.12．（2020·全国高一课时练习）如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．该函数的周期是16
B．该函数图象的一条对称轴是直线
C．该函数的解析式是
D．这一天的函数关系式也适用于第二天
E.该市这一天中午12时天气的温度大约是27℃
【答案】ABE
【解析】
由题意以及函数的图象可知， ， ，∴ ， .
∵ ，∴ ，A正确；∵ ，∴ ，
∴ ，∵图象经过点 ，
∴ ，∴ ，
∴ 可以取 ，∴ ，B正确，C错；这一天的函效关系式只适用于当天，第二天这个关系式不一定适用，∴D错；当 时，
，故E正确.综上，ABE正确.
故选：ABE
13．（2020·全国高一课时练习）如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．该质点的运动周期为0.7s
B．该质点的振幅为5
C．该质点在0.1s和0.5s时运动速度为零
D．该质点的运动周期为0.8s
E.该质点在0.3s和0.7s时运动速度为零
【答案】BCD
【解析】
由题图可知，振动周期为 ，故A错，D正确；该质点的振幅为5，B正确；由简谐运
动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3s和0.7s时运动速度最大，在0.1s和0.5s时运动速
度为零，故C正确，E错.综上，BCD正确.
故选：BCD
14．（2020·江苏连云港·）一半径为4.8米的水轮如图所示，水轮圆心 距离水面2.4米，已知水轮每60
秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点 从水中浮现时（图中点 ）开始计时，则（ ）A．点 第一次到达最高点需要10秒
B．在水轮转动的一圈内，有20秒的时间，点 距离水面的高度不低于4.8米
C．点 距离水面的高度 （米）与 （秒）的函数解析式为
D．当水轮转动50秒时，点 在水面下方，距离水面1.2米
【答案】BC
【解析】
对于选项C，由题意可得：点 距离水面的高度 （米）与 （秒）的函数解析式为
，即选项C正确；
对于选项A，令 ，解得： ，即点 第一次到达最高点需要20秒，即选项A错误；
对于选项B，令 ，解得 ，
即在水轮转动的一圈内，有20秒的时间，点 距离水面的高度不低于4.8米，即B正确；
对于选项D,因为 ，即点 在水面下方，距离水面2.4米,所以D错
误，综上可得选项B,C正确，
故选：BC.
三、填空题
15．（2020·浙江高一课时练习）某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8星等，最高亮度距离平均亮度0.2星等，则可近似地描述此星星的亮度与时间之间关系的一个三角函数为________．
【答案】
【解析】
设所求函数为 ，由题意得 ，即 ， ， ，故
．
故答案为：
16．（2020·浙江高一课时练习）如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数
，则8时的温度大约为________ （精确到 ）．
【答案】13
【解析】
由图像可得 ， ， ，
∴ ， ．
∵最低点坐标为 ，∴ ，得 ，
于是 ，∴ ，取 ，
∴ ．
当 时， ．
故答案为：13
17．（2020·大连海湾高级中学高一月考）如表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系．
时刻
水深
5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0
若该港口的水深 和时刻 的关系可用函数 （其中 ）
来近似描述，则该港口在11:00的水深为________m．
【答案】4
【解析】
由题意得函数 （其中 ， ， 的周期为 ，
，解得 ， ，
，
，
该港口在 的水深为 ．
故答案为：4．
四、双空题18．（2020·浙江高一课时练习）用作调频无线电信号的载波以 为模型，其中 的
单位是秒，则此载波的周期为________秒，频率为________．
【答案】
【解析】由题意可得，该载波的周期为 ，频率为
.
故答案为： ； .
19．（2020·全国高一课时练习）一半径为 的水轮,水轮圆心 距离水面2 ,已知水轮每分钟转动(按
逆时针方向)3圈,当水轮上点 从水中浮现时开始计时,即从图中点 开始计算时间.
(1)当 秒时点 离水面的高度_________；
(2)将点 距离水面的高度 (单位: )表示为时间 (单位: )的函数，则此函数表达式为____________.
【答案】
【解析】
1 秒时，水轮转过角度为 ，在 中， ， ；
在 中， ， ，
此时点 离开水面的高度为 ；
2 由题意可知， ，
设角 是以 为始边， 为终边的角，
Ox
由条件得 ，其中 ；
将 ， 代入，得 ，
；
所求函数的解析式为 ．
故答案为 1 ， 2 ．
20．（2019·北京海淀·清华附中高三月考）去年某地的月平均气温 与月份 （月）近似地满足函数.（ 为常数, ）.其中三个月份的月平均气温如表所示,则该地2月份的月
平均气温约为______________ ______________.
【答案】
【解析】
由题意，得当 时， ，又因为 ，所以 ，即
， ，即 ，则 ，即 ，即
，当 时， .
21．（2019·全国高一课时练习）用作调频无线电信号的载波以 为模型，其中 的
单位是 ，则此载波的周期约为_________（保留 位有效数字），频率为__________．
【答案】
【解析】由题意可得，该载波的周期为 ，
频率为 .
五、解答题
22．（2020·上海静安·高一期末）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数
.
（1）求 的值；
（2）求这段时间水深（单位： ）的最大值.
【答案】（1） ；（2）这段时间水深的最大值是 .
【解析】
（1）图知： ，因为 ，
所以 ，解得： .
（2） .
所以，这段时间水深的最大值是 .
23．（2020·辽宁锦州·高一期末）如图，摩天轮上一点P在时刻t（单位:分钟)距离地面的高度y(单位:米)满
足 ，已知该摩天轮的半径为50米，圆心O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处.
（1）根据条件写出y关于t的函数解析式；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面的高度超过85米?
【答案】（1） ；（2） 分钟
【解析】
（1）根据题意： ，故 ， ， ，故 .
当 时， ，即 ， ，故 .
.
（2） ，故 ， .
解得 ，解得 ，
故有 分钟长的时间点P距离地面的高度超过85米.
24．（2020·辉县市第二高级中学高一期中）已知某海滨浴场海浪的高度y（米）是时间t的（0≤t≤24，单
位：小时）函数，记作y=f（t），下表是某日各时的浪高数据：
t（h） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y
1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
（m）
经长期观测，y=f（t）的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt＋b的图象．（1）根据以上数据，求出函数y=Acosωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；
（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8
时到晚上20时之间，有多长时间可供冲浪者进行运动？
【答案】（1）T=12，A=0.5， ；（2）有6个小时可供冲浪者进行运动．
【解析】
试题分析：(1)由表中数据，知周期T＝12，
.
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5.
由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0.
∴A＝0.5，b＝1，
∴ .
(2)由题意知，当y>1时才可对冲浪者开放．
∴ >1，∴cos t>0.
∴2kπ－ < t t<2kπ＋ ，
即12k－3
