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格致课堂
7.1.2 复数的几何意义
（用时45分钟）
【选题明细表】
知识点、方法 题号
复数与平面坐标的一一对应 1,4,7,8
复数与平面向量的一一对应 2,3,12
复数的模及应用 5,6,9,10,11
基础巩固
1．在复平面内，复数－2＋3i对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】复数－2＋3i在复平面内对应的点为(－2,3)，故复数－2＋3i对应的点位于第二象限．
2．设O是原点，向量OA，OB对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量BA对应的复数是( )
A．－5＋5i B．－5－5i
C．5＋5i D．5－5i
【答案】D
【解析】 由复数的几何意义，得OA＝(2，－3)，OB＝(－3,2)，BA＝OA－OB＝(2，－3)－(－3,2)＝(5，
－5)．所以BA对应的复数是5－5i.
3．如果 是 的共轭复数，则 对应的向量 的模是（ ）
A．1 B． C． D．5
【答案】D
【解析】由题意， ，
∴ 对应的向量 的坐标为 ，其模为 .
故选:D.
4．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数
是( )
A．4＋8i B．8＋2i格致课堂
C．2＋4i D．4＋i
【答案】C
【解析】 复数6＋5i对应的点为A(6,5)，复数－2＋3i对应的点为B(－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB
的中点C(2,4)，故点C对应的复数为2＋4i.
5．已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是( )
A．(1，) B．(1，)
C．(1,3) D．(1,5)
【答案】B
【解析】 |z|＝，∵0＜a＜2，∴1＜a2＋1＜5，∴|z|∈(1，)．
6．已知复数z＝a＋i，z＝2－i，且|z|＝|z|，则实数a＝________.
1 2 1 2
【答案】±2
【解析】依题意，a2＋1＝4＋1，∴a＝±2.
7．复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________．
【答案】5
【解析】由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共线可知a＝5.
8．若复数z＝(m2＋m－2)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)的共轭复数对应的点在第一象限，求实数m的集合．
【答案】m的集合为.
【解析】由题意得＝(m2＋m－2)－(4m2－8m＋3)i，对应的点位于第一象限，
所以有所以
所以
即1<m<，故所求m的集合为.
能力提升
9．已知复数z的模为2，则|z－i|的最大值为( )
A．1 B．2
C. D．3
【答案】D
【解析】 ∵|z|＝2，∴复数z对应的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，而|z－i|表示圆上一点到点(0,1)
的距离，∴|z－i|的最大值为圆上点(0，－2)到点(0,1)的距离，易知此距离为3，故选D.
10．若复数z＝(m2－9)＋(m2＋2m－3)i是纯虚数，其中m∈R，则|z|＝________.格致课堂
【答案】12
【解析】由条件知∴m＝3，∴z＝12i，∴|z|＝12.
11．已知复数z＝＋i，z＝－＋i.
1 2
(1)求|z|及|z|并比较大小；
1 2
(2)设z∈C，满足条件|z|≤|z|≤|z|的点Z的轨迹是什么图形？
2 1
【答案】(1)|z|＞|z|. (2)见解析
1 2
【解析】(1)|z|＝ ＝2，
1
|z|＝ ＝1，∴|z|＞|z|.
2 1 2
(2)由|z|≤|z|≤|z|及(1)知1≤|z|≤2.
2 1
因为|z|的几何意义就是复数z对应的点到原点的距离，所以|z|≥1表示|z|＝1所表示的圆外部所有点组成的集
合，|z|≤2表示|z|＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O为圆心，以1和2
为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．
素养达成
12．设复数z＝log (m2－3m－3)＋ilog (m－2)，m∈R对应的向量为OZ.
2 2
(1)若OZ的终点Z在虚轴上，求实数m的值及|OZ|；
(2)若OZ的终点Z在第二象限内，求m的取值范围．
【答案】(1)m＝4，|OZ|＝1. (2)m∈.
【解析】(1)log (m2－3m－3)＝0，所以m2－3m－3＝1.
2
所以m＝4或m＝－1；
因为所以m＝4，
此时z＝i，OZ＝(0,1)，|OZ|＝1.
(2)
所以m∈.
