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第四章 指数函数与对数函数
4.4.2 对数函数的图像和性质
一、选择题
1．（2019·全国高一课时练习）已知f(x)=log x，则 的大小是
3
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由函数y=log x的图象可知，图象呈上升趋势，即随着x的增大，函数值y也在增大，故
3
．
2．（2019·北京市第二中学分校高一课时练习）函数 ，x∈(0,8]的值域是( )
A.[－3，＋∞) B.[3，＋∞)
C.(－∞，－3] D.(－∞，3]
【答案】A
【解析】∵ ，故选A.
a=log 3 (1) 0.2 1
3．（2019·江西高一课时练习）设 1
2
，b=
3
， c=23则 （ ）
A.b<a<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<b<c
【答案】D
a=log 3<log 1=0,b>0,c>0 1 0.2 1 0
【解析】由题得 1 1 .b=( ) <( ) =1,
2 2 3 3
1
c=23>20=1
,所以a<b<c.故选：D
4．（2019·全国高一课时练习）在同一直角坐标系中，当 时，函数 与
的图象是A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当 时，函数 ， ，所以图象过点 ，在其定义域
上是增函数；函数 的图象过点 ，在其定义域 上是减函数.故选C.
5．（2019·全国高一课时练习）函数 的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由对数函数性质知，函数 是一个减函数，当 时，函数值小于0，函数
的图象可由函数 的图象 轴下方的部分翻到 轴上面， 轴上面部分不
变而得到，由此知，函数 的单调递增区间是 ，故选D.
点睛：本题考查对数函数的单调性及函数图象的变化，解题的关键是理解绝对值函数与原来的函数
图象间的关系，其关系是：与原函数 轴上方的部分相同， 轴下方的部分关于 轴对称，简称为
“上不动，下翻上”.
6.（2018·全国高一课时练习）已知y＝log(2－x)是x的增函数，则a的取值范围是（ ）
a
A.(0, 2) B.(0, 1) C.(1, 2) D.(2, ＋∞)
【答案】B
【解析】令 ，则 是 的减函数， 是 的增函数，是减函数，则 ,故选
二、填空题
7．（2019·全国高一课时练习）函数f(x)是奇函数，且在区间 上是减函数，则比较大小
_______ ．
【答案】
【解析】 ，因为函数是奇函数，且在区间 上是减函数，由 ,得
，则 ，即
8．（2019·全国高一课时练习）地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝ (lgE－
11.4).2011年3月11日，日本东海岸发生了9.级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，
那么2011年地震的能量是2008年地震能量的__________倍．
【答案】10
【解析】设震级9.0级、8.0级地震释放的能量分别为 则 ，即
．那么2011年地震的能量是2008年地震能量的10 倍．
9．（2019·北京市第二中学分校高一课时练）函数 恒过定点
________．
【答案】(1,2)
【解析】当 时， .所以函数
恒过定点(1,2).10．（2019·全国高一课时练）设函数 ，若 ，则实数 的
取值范围是__________．
【答案】
【解析】由题意 或 或
或 ，则实数 的取值范围是 ;
三、解答题
11．（2019·全国高一课时练习）解不等式：log (x－4)>log (x－2)．
a a
【答案】当a>1时，原不等式的解集为空集；当0<a<1时，原不等式的解集为(4，＋∞)．
【解析】 (1)当a>1时，原不等式等价于 该不等式组无解；
(2)当0<a<1时，原不等式等价于 解得x>4.
所以当a>1时，原不等式的解集为空集；当0<a<1时，原不等式的解集为(4，＋∞)．
12．（2019·全国高一课时练习）已知函数 .
（1）当 时，函数 恒有意义，求实数 的取值范围；
（2）是否存在这样的实数 ，使得函数 在区间 上为减函数，并且最大值为 ？如果存在，
试求出 的值；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）不存在这样的实数 ，使得函数 在区间 上为减函数，并且最大值为 .
【解析】（1） 且 ，设 ，则 为减函数，
时， 的最小值为 ，当 时， 恒有意义，
即 时， 恒成立， ，所以 .
又 且 ， 的取值范围是 ；
（2） ， ， 函数 为减函数，
在区间 上为减函数， 外层函数 为增函数，
， 时， 的最小值为 ， 的最大值为 ，
，即 ，
故不存在这样的实数 ，使得函数 在区间 上为减函数，并且最大值为 .
