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◎◎◎◎◎◎章末复习◎◎◎◎◎◎
1. 知识系统整合
2. 规律方法收藏
1．指数式、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数式、对数的运算性
质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化．2．指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数 a的不同取值
对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知 a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值
时，函数的单调性及图象特点．
3．比较几个数的大小是指数函数、对数函数性质的应用，在具体比较时，可以首先将
它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与 1比较，分出大于1还是小于1；然后在
各类中两两相比较．
4．求含有指数函数和对数函数的复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、
对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函
数定义域的子集．其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间．
5．函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、
知图选式、图象变换以及用图象解题．函数图象形象地显示了函数的性质．在解方程
或不等式时，特别是非常规的方程或不等式，画出图象，利用数形结合能快速解决问
题．
6．方程的解与函数的零点：方程 f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的
图象与x轴有交点．
7．零点判断法：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有
f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在 c∈(a，b)，使
得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
注意：由f(a)f(b)<0可判定在(a，b)内至少有一个变号零点c，除此之外，还可能有其他
的变号零点或不变号零点．若f(a)f(b)>0，则f(x)在(a，b)内可能有零点，也可能无零点．
8．二分法只能求出其中某一个零点的近似值，另外应注意初始区间的选择．
9．用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：
3 学科思想培优
一、指数、对数函数的典型问题及求解策略指数函数、对数函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等，其中单调性是
高考考查的重点，并且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，要以已学函数
的单调性为主，结合复合函数单调性的判断法则，在函数定义域内进行讨论．
1．求定义域
【典例1】1．（2020·河南高三其模拟）函数 的定义域是（ ）
A．（0，1）∪（1，4] B．（0，4]
C．（0，1） D．（0，1）∪[4，+∞）
【答案】A
【解析】 故选：A
2．（2020·湖南天心长郡中学高一月考）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得， ,
解得 .故选：A.
2．比较大小问题
比较几个数的大小是指数、对数函数的又一重要应用，其基本方法是：将两个需要比
较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较；有时也
采用搭桥法、图象法、特殊值法、作图法等方法．
【典例2】若0<x<y<1，则( )
A．3y<3x B．log 3<log 3
x yC．log x<log y D． x< y
4 4
【答案】C
【解析】因为0<x<y<1，则
对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y，错误．
对于B，根据底数a对对数函数y＝log x的影响：当0<a<1时，在x∈(1，＋∞)上“底
a
小图高”．因为0<x<y<1，所以log 3>log 3，错误．
x y
对于C，函数y＝log x在(0，＋∞)上单调递增，故log x<log y，正确．
4 4 4
对于D，函数y＝ x在R上单调递减，故 x> y，错误．
【典例3】比较三个数0.32，log 0.3,20.3的大小．
2
【解析】解法一：∵0<0.32<12＝1，log 0.3<log 1＝0,20.3>20＝1，∴log 0.3<0.32<20.3.
2 2 2
解法二：作出函数y＝x2，y＝log x，y＝2x的大致图象，如图所示，画出直线x＝0.3，
2
根据直线与三个函数图象的交点位置，即可看出log 0.3<0.32<20.3.
2
3．与指数、对数函数相关的单调性问题
【典例4】是否存在实数a，使函数f（x）＝log （ax2﹣x）在区间[2，4]上是增函数？若存在，求
a
出a的取值范围；若不存在，说明理由．
1
【解析】设u（x）＝ax2﹣x，显然二次函数u的对称轴为x= ．
2a当a＞1时，要使函数f（x）在[2，4]上为增函数，则u（x）＝ax2﹣x 在[2，4]上为增函数，
①
故应有 { 1 ≤2 ) ，解得 a 1．综合可得，a＞1．
2a ＞
2
u(2)=4a-2＞0
当0＜a＜1 时，要使函数f（x）在[2，4]上为增函数，
②
则u（x）＝ax2﹣x 在[2，4]上为减函数，
应有 { 1 ≥4 ) ，解得a ．
2a
u(4)=16a-4＞0
∈∅
综上，a＞1时，函数f（x）＝log （ax2﹣x）在区间[2，4]上为增函数．
a
二、函数的图象问题
对于给定的函数图象，要能从函数左右、上下的分布范围、变化趋势、对称性等方面
研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质．注意图象与函数解析式
中参数的关系，能够通过变换画出函数的图象．
1．图象的变换
【典例5】为了得到函数y＝lg 的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点(
)
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
【答案】C
【解析】∵y＝lg ＝lg (x＋3)－1，∴只需将y＝lg x 的图象上所有的点向左平移 3
个单位长度，再向下平移1个单位长度，即可得到函数y＝lg 的图象．2．根据函数解析式确定图象
【典例6】已知f(x)＝ax－2，g(x)＝log |x|(a>0，且a≠1)，若f(4)g(4)<0，则y＝f(x)，y＝
a
g(x)在同一平面直角坐标系内的大致图象是( )
【答案】B
【解析】由f(4)g(4)<0知a2·log 4<0，∴log 4<0，∴0<a<1，∴f(x)和g(x)在(0，＋∞)上都单
a a
调递减．
三、等价转化思想的体现
一般来说，小题对指数函数、对数函数的考查，仅限于这两类函数本身的概念、图象
与性质．而解答题往往注重考查与这两类函数有关的复合函数的性质．这类题目的解
题思想是：通过换元转化成其他函数，或是将其他函数通过转化与化归，变成这两类
函数来处理．
【典例7】（2020·吉化第一高级中学校高二期末（理））已知 ，求
的最小值与最大值．
【解析】 ,∵ , ∴ .
则当 ,即 时, 有最小值 ；当 ,即 时， 有最大值57．
四、函数零点与方程的解
根据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的解，判断一个方程是否有
零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有解，有几个解．从图形上说，函数的
零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数零点、方程的解、函数图象
与x轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决
很多函数、方程与不等式的问题．在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，应引起
我们的重视．
【典例8】关于x的方程x＋lg x＝3，x＋10x＝3的解分别为α，β，则α＋β等于( )
A．6 B．5
C．4 D．3
【答案】D
【解析】将方程变形为lg x＝3－x和10x＝3－x.令y ＝lg x，y ＝10x，y ＝3－x，在同一
1 2 3
平面直角坐标系中分别作出 y ＝lg x，y ＝10x，y ＝3－x的图象，如图所示．这样方程
1 2 3
lg x＝3－x的解可以看成函数y ＝lg x和y ＝3－x的图象的交点A的横坐标，方程10x
1 3
＝3－x的解可以看成函数y ＝10x和y ＝3－x的图象交点B的横坐标．因为函数y ＝lg
2 3 1
x和y ＝10x互为反函数，所以y ＝lg x和y ＝10x的图象关于直线y＝x对称，由题意可
2 1 2
得出A，B两点也关于直线y＝x对称，于是A，B两点的坐标分别为A(α，β)，B(β，
α)．而A，B两点都在直线y＝3－x上，所以β＝3－α，所以α＋β＝3.【典例9】（2018·福建厦门双十中学高三月考（理））已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，
h(x)＝x－❑√x－1的零点分别为x，x，x，则x，x，x 的大小关系是________(由小到大).
1 2 3 1 2 3
【答案】x<x<x
1 2 3
【解析】令y＝2x，y＝ln x，y＝－❑√x－1，y＝－x，
1 2 3
∵函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－❑√x－1的零点分别为x，x，x，
1 2 3
即函数y＝2x，y＝ln x，y＝－❑√x－1与函数y＝－x交点的横坐标分别为x，x，x.
1 2 3 1 2 3
分别作出函数的图象，结合图象可得x<x<x.
1 2 3
五、函数模型的应用
针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数模型来刻画．这当然需要我们深刻理解
已学函数的图象和性质，熟练掌握已学函数的特点，并对一些重要的函数模型要有清
晰的认识．对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般是以文字和符号的
形式给出，也有的是以图象的形式给出，此时我们要分析数量变化的特点和规律，选
择较为接近的函数模型进行模拟，从而解决一些实际问题或预测一些结果．
【典例10】为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，
测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示．(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；
(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为 25 cm，则可以灌溉土地多少
公顷？
【解析】(1)描点、作图，如图甲所示：
(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积 y与
最大积雪深度x满足一次函数模型y＝a＋bx(a，b为常数且b≠0)．取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝a＋bx，得 ，用计算器可得 a≈2.2，
b≈1.8.这样，得到一个函数模型：
y＝2.2＋1.8x，作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度
较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．
(3)由(2)得到的函数模型为y＝2.2＋1.8x，则由y＝2.2＋1.8×25，求得y＝47.2，即当最
大积雪深度为25 cm 时，可以灌溉土地约为47.2公顷．
【典例11】载人飞船是通过火箭发射的．已知某型号火箭的起飞重量 M t是箭体(包括
搭载的飞行器)的重量m t和燃料重量x t之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火
箭的最大速度 y km/s 关于 x 的函数关系为 y＝k[ln (m＋x)－ln ( m)]＋4ln 2(其中
k≠0，ln x是以e为底x的对数)．当燃料重量为( －1)m t时，该火箭的最大速度为
4 km/s.
(1)求此型号火箭的最大速度y km/s与燃料重量x t之间的函数解析式；
(2)若此型号火箭的起飞重量是479.8 t，则应装载多少吨燃料(精确到0.1 t，取e＝2.718)
才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s，顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道？
【解析】(1)由题意，得4＝k{ln [m＋( －1)m]－ln ( m)}＋4ln 2，解得k＝8，
所以y＝8[ln (m＋x)－ln ( m)]＋4ln 2＝8ln .
(2)由已知，得M＝m＋x＝479.8，则m＝479.8－x.
将y＝8代入(1)中所得式中，得
8＝8ln ，解得x≈303.3.
答：应装载约303.3 t燃料，才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s，顺利地把飞船送
到预定的椭圆轨道．
