文档内容
◎◎◎◎◎◎章末复习◎◎◎◎◎◎
1. 知识系统整合
2. 规律方法收藏
1．指数式、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数式、对数的运算性
质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化．2．指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数 a的不同取值
对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知 a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值
时，函数的单调性及图象特点．
3．比较几个数的大小是指数函数、对数函数性质的应用，在具体比较时，可以首先将
它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与 1比较，分出大于1还是小于1；然后在
各类中两两相比较．
4．求含有指数函数和对数函数的复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、
对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函
数定义域的子集．其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间．
5．函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、
知图选式、图象变换以及用图象解题．函数图象形象地显示了函数的性质．在解方程
或不等式时，特别是非常规的方程或不等式，画出图象，利用数形结合能快速解决问
题．
6．方程的解与函数的零点：方程 f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的
图象与x轴有交点．
7．零点判断法：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有
f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在 c∈(a，b)，使
得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
注意：由f(a)f(b)<0可判定在(a，b)内至少有一个变号零点c，除此之外，还可能有其他
的变号零点或不变号零点．若f(a)f(b)>0，则f(x)在(a，b)内可能有零点，也可能无零点．
8．二分法只能求出其中某一个零点的近似值，另外应注意初始区间的选择．
9．用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：
3 学科思想培优
一、指数、对数函数的典型问题及求解策略指数函数、对数函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等，其中单调性是
高考考查的重点，并且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，要以已学函数
的单调性为主，结合复合函数单调性的判断法则，在函数定义域内进行讨论．
1．求定义域
【典例1】1．（2020·河南高三其模拟）函数 的定义域是（ ）
A．（0，1）∪（1，4] B．（0，4]
C．（0，1） D．（0，1）∪[4，+∞）
【答案】A
【解析】 故选：A
2．（2020·湖南天心长郡中学高一月考）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得， ,
解得 .故选：A.
2．比较大小问题
比较几个数的大小是指数、对数函数的又一重要应用，其基本方法是：将两个需要比
较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较；有时也
采用搭桥法、图象法、特殊值法、作图法等方法．
【典例2】若0log 3，错误．
x y
对于C，函数y＝log x在(0，＋∞)上单调递增，故log x y，错误．
【典例3】比较三个数0.32，log 0.3,20.3的大小．
2
【解析】解法一：∵0<0.32<12＝1，log 0.320＝1，∴log 0.3<0.32<20.3.
2 2 2
解法二：作出函数y＝x2，y＝log x，y＝2x的大致图象，如图所示，画出直线x＝0.3，
2
根据直线与三个函数图象的交点位置，即可看出log 0.3<0.32<20.3.
2
3．与指数、对数函数相关的单调性问题
【典例4】是否存在实数a，使函数f（x）＝log （ax2﹣x）在区间[2，4]上是增函数？若存在，求
a
出a的取值范围；若不存在，说明理由．
1
【解析】设u（x）＝ax2﹣x，显然二次函数u的对称轴为x= ．
2a当a＞1时，要使函数f（x）在[2，4]上为增函数，则u（x）＝ax2﹣x 在[2，4]上为增函数，
①
故应有 { 1 ≤2 ) ，解得 a 1．综合可得，a＞1．
2a ＞
2
u(2)=4a-2＞0
当0＜a＜1 时，要使函数f（x）在[2，4]上为增函数，
②
则u（x）＝ax2﹣x 在[2，4]上为减函数，
应有 { 1 ≥4 ) ，解得a ．
2a
u(4)=16a-4＞0
∈∅
综上，a＞1时，函数f（x）＝log （ax2﹣x）在区间[2，4]上为增函数．
a
二、函数的图象问题
对于给定的函数图象，要能从函数左右、上下的分布范围、变化趋势、对称性等方面
研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质．注意图象与函数解析式
中参数的关系，能够通过变换画出函数的图象．
1．图象的变换
【典例5】为了得到函数y＝lg 的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点(
)
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
【答案】C
【解析】∵y＝lg ＝lg (x＋3)－1，∴只需将y＝lg x 的图象上所有的点向左平移 3
个单位长度，再向下平移1个单位长度，即可得到函数y＝lg 的图象．2．根据函数解析式确定图象
【典例6】已知f(x)＝ax－2，g(x)＝log |x|(a>0，且a≠1)，若f(4)g(4)<0，则y＝f(x)，y＝
a
g(x)在同一平面直角坐标系内的大致图象是( )
【答案】B
【解析】由f(4)g(4)<0知a2·log 4<0，∴log 4<0，∴0
