文档内容
2024-2025学年高一下学期4月
期中学业水平质量监测数学试题（A）
一、单选题
1．设 ，若向量 ， ，且 ，则m的值为（ ）
A． B． C．4 D．9
2．设复数 ， （ ）.若 为实数，则 （ ）
A． B．2 C． D．4
3．在 中，若 ，则 的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形D．等边三角形
4．在 中，C是AB上一点，且 ，若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
5．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知非零向量 在向量 上的投影向量为 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东 ，前进m千米后在B处测得该岛的
方位角为北偏东 ，已知该岛周围n千米范围内（包括边界）有暗礁，现该船继续东行，若该船没有触礁
危险，则 ， 满足的条件为（ ）① ② ③
④
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
二、多选题
9．已知复数 （ 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．z的虚部为
B．复数z在复平面内对应的点位于第三象限
C．z的共轭复数
D．
10．已知 ， ， 是三个非零向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ， ，则
D． 不与 垂直
11．在 中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则 为直角三角形
B．若 ，则 为等腰三角形C．若 ，则
D．若 是锐角三角形，则
三、填空题
12．在 中，已知 ， ， ，则 ＝ ．
13．已知 ，则 .
14．在 中，a，b，c分别为角A，B，C的对边， 的面积 ，若 且
，则 .
四、解答题
15．已知向量 ， ， .
(1)求 ；
(2)求 与 的夹角 .
16．已知复数 （ ）
(1)若 ，求实数m的值；
(2)若z为虚数，求实数m的取值范围；
(3)若复数z对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.
17．定义向量 的“伴随函数”为 ，函数 的“伴随向
量”为 .
(1)写出向量 的伴随函数 ，并直接写出 的最大值M；
(2)求函数 的伴随向量 的模.
18．在 中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 .
(1)求证： ；(2)若D为BC的中点， ， ，求AD的长.
19．在非直角三角形ABC中，边长a，b，c满足 （ ，且 ）
(1)若 ，且 ，求 的值；
(2)求证： ；
(3)是否存在函数 ，使得对于一切满足条件的 ，代数式 恒为定值？若存在，请给
出一个满足条件的 ，并证明，若不存在，请给出一个理由.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A D B C B C AD AC
题号 11
答案 ACD
1．D
根据向量平行得到方程，求出答案.
【详解】由题意得 ，解得 .
故选：D
2．B
利用复数除法法则化简，得到 ，解得 .
【详解】 ，
为实数，故 ，解得 .
故选：B
3．A
由正弦定理把已知的等式化边为角，结合两角和的正弦化简，求出 ，进一步求得 ，即可
得解．
【详解】解：由 ，结合正弦定理可得： ，
，可得： ，
，则 的形状为等腰三角形．
故选： ．
4．D
变形得到 ，故 ，得到答案.
【详解】 ，
所以 ，故 .
故选：D
5．B由余弦和差公式得到方程，求出 ，利用同角三角函数关系得到答案.
【详解】 ，
，
联立可得 ，
所以 .
故选：B
6．C
利用投影向量的公式得到方程，求出 ，从而利用向量数量积运算法则得到答案.
【详解】 在向量 上的投影向量为 ，故 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 .
故选：C
7．B
由 求得 ，再用倍角公式求 即可.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，解得 或 （舍），所以 ，
故选：B
8．C
根据题意，过M作 于C，结合正弦定理代入计算，即可得到结果.
【详解】
由题意可知， ， ，过M作 于C，
设 ，根据正弦定理可得 ， ，
又因为 时没有触礁危险，
即 ，故（1）正确，
，（4）正确，
故选：C
9．AD
A选项，利用复数的乘除运算和乘方运算得到 ，A正确；B选项，写出z在复平面内对应的点坐
标，得到所在象限；C选项，根据共轭复数的定义得到C错误；D选项，利用模长公式得到D正确.
【详解】A选项， ，
故虚部为-2，A正确；
B选项，z在复平面内对应的点坐标为 ，位于第四象限，B错误；C选项，z的共轭复数 ，C错误；
D选项， ，D正确.
故选：AD
10．AC
A选项，利用向量数量积公式得到 ，所以 同向共线，A正确；B选项，只能得到
，B错误；C选项，得到 ， ，C正确；D选项，计算出
，故D错误.
【详解】A选项， ，又 ， ， 是非零向量，
所以 ，所以 同向共线，A正确；
B选项，若 ，则 ，
是非零向量，故 ，故 不一定相等，B错误；
C选项，若 ， ，设 ，
故 ， ，C正确；
D选项， ，
与 垂直，D错误.
故选：AC
11．ACD
A选项，由正弦定理得到 ，从而 ，得到A正确；B选项，由同角三角函数关
系，正弦定理和二倍角公式得到 ，所以 或 ，B错误；C选项，由大角对大边得到 ，由正弦定理得到 ；D选项，根据锐角三角形得到 ，结合正弦函数单调
性和诱导公式比较出大小
【详解】A选项，由正弦定理得 ，
故 ，
故
，
所以 ，即 ，
则 为直角三角形，A正确；
B选项，若 ，则 ，
由正弦定理得 ，
又 ，故 ，
所以 ，即 ， ，
所以 或 ，所以 或 ，
为等腰三角形或直角三角形，B错误；
C选项，若 ，则 ，
由正弦定理得 ，又 ， ，
故 ，C正确；
D选项，若 是锐角三角形，则 ，则 ，
其中 ， ，
又 在 上单调递增，故 ，故D正确.
故选：ACD
12． 或 .
利用正弦定理计算即可.
【详解】由 ，且根据正弦定理可知 ，
因为 ，所以 或 .
故答案为： 或 .
13．
由 得到 ，由两角和差余弦公式展开化简即可求解；
【详解】由 ，
得： ，
，
，
所以 ，
故答案为：
14．
由正弦定理和 化简得到 ，求出 ，由三角形面积公式得到
，由余弦定理得到方程，求出 ，舍去不合要求 的解，由正弦定理得到【详解】 ，故 ，
又 ，
故 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，故 ， ，
因为 ，所以 ，
由三角形面积公式得 ，
又 ，故 ，所以 ，
由余弦定理得 ，
即 ，所以 ，
方程两边同除以 得 ，
解得 ，
又 ，故 ，
所以 满足要求， 舍去，
故 .故答案为：
15．(1)2
(2)
（1）求出 ，利用向量数量积运算法则得到 ，故 ，求出模长；
（2）利用向量夹角余弦公式得到 ，得到 .
【详解】（1） ，
故 ，
故 ，解得 ，
故 ，
所以 ；
（2） ，
又 ，故 .
16．(1)-1
(2)
(3)
（1）根据 得到 为实数，从而得到方程和不等式，求出答案；
（2）由 求出答案；
（3）根据第四象限的坐标特征得到不等式，求出答案.
【详解】（1） ，故 为实数，
，解得 ；（2）z为虚数，故 ，所以 ；
（3）由题意得 ，解得
17．(1) ， ，理由见解析
(2)
（1）先得到伴随函数 ，由辅助角公式得到最大值 ；
（2）利用三角恒等变换得到 ，得到伴随向量 ，利用模长公式得到答案.
【详解】（1）向量 的伴随函数为 ，
，当 ，
即 时， 取得最大值，最大值 ；
（2）
，
故伴随向量 ，故 .
18．(1)证明过程见解析
(2)
（1）由正弦定理得到方程，计算出 ；
（2）作出辅助线，得到三角形全等， ，由余弦定理得到方程，求出 ，进而求出答案.
【详解】（1）由正弦定理得 ，
所以 ，即 ，又 ，故 ，所以 ；
（2）由（1）知， ，故 ，
延长 至点 ，使得 ，连接 ，
因为D为BC的中点，所以 ，
又 ，所以 ≌ ，
所以 ，
在 中， ，
由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，
所以 .
19．(1)
(2)证明见解析
(3)存在，
【详解】（1）由正弦定理可得 ，即 ，即 ，
又 ，即 ，由余弦定理可得 .
（2）因为 ，所以 ，
即 .
则 .
故 ，
即 .
故 .
（3）存在 .下面给出证明.
因为 ，所以， .
展开整理可得 ，
即 ,
故 .
因此， .
所以，存在函数 .
