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第十章 概率A（基础卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2020春•丰台区校级月考）抛掷2颗骰子，所得点数之和记为 ，那么 ＝4表示的随机试验结果是（
） ξ ξ
A．2颗都是4点
B．1颗是1点，另1颗是3点
C．2颗都是2点
D．1颗是1点、另1颗是3点，或2颗都是2点
【解答】解：对A、B中表示的随机试验的结果，随机变量均取值4，
而D是 ＝4代表的所有试验结果．
故选：Dξ．
2．（2020春•武汉期中）下列随机变量中不是离散型随机变量的是（ ）
A．掷5次硬币正面向上的次数M
B．从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和Y
C．某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T
D．将一个骰子挪3次，3次出现的点数之和X
【解答】解：由随机变量的概念可知．某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间 T不能一一举出，
故不是离散型随机变量；
故选：C．
3．（2019秋•龙岩期末）从四双不同的鞋中任意取出4只，事件“4只全部不成对”与事件“至少有2只
成对”（ ）
A．是对立事件 B．不是互斥事件
C．是互斥但不对立事件 D．都是不可能事件
【解答】解：从四双不同的鞋中任意取出4只，
事件“4只全部不成对”与事件“至少有2只成对”是对立事件．
故选：A．
4．（2019秋•日照期末）已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝0.3，P（C）
＝0.6，则P（A∪B）＝（ ）
A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.9【解答】解：因为P（C）＝0.6，事件B与C对立，
所以P（B）＝0.4，又P（A）＝0.3，A与B互斥，
所以P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝0.3+0.4＝0.7，
故选：C．
5．（2020春•南阳期中）已知某种产品的合格率是95%，合格品中的一级品率是20%．则这种产品的一级
品率为（ ）
A．18% B．19% C．20% D．21%
【解答】解：一级品率是在合格品条件下发生，故这种产品的一级品率为95%×20%＝19%．
故答案为：19%．
故选：B．
6．（2020•辽宁一模）甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面
的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开
始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这 12
张游戏牌的分配合理的是（ ）
A．甲得9张，乙得3张 B．甲得6张，乙得6张
C．甲得8张，乙得4张 D．甲得10张，乙得2张
【解答】解：由题意，为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜，于是这
两局有四种可能：（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲），（乙，乙）．
其中甲获胜有3种，而乙只有1种，
所以甲获胜的概率是 ，乙获胜的概率是 ．
所以甲得到的游戏牌为12 9，乙得到圆心牌为12 3；
当甲得3分时获得12张游戏牌，当甲得1分时获得3张牌，当甲得2分时获得9张牌，
故选：A．
7．（2019春•泰州期末）若一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为 0.2，目标未受损的概率为0.4，则目
标受损但未被击毁的概率为（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
【解答】解：∵一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，
∴P（目标未受损）＝0.4，∴P（目标受损）＝1﹣0.4＝0.6，
目标受损分为完全击毁和未完全击毁两种情形，它们是对立事件，P（目标受损）＝P（目标受损但未完全击毁）+P（目标受损但击毁），
即：0.6＝P（目标受损但未完全击毁）+0.2，
∴P（目标受损但未完全击毁）＝0.6﹣0.2＝0.4．
故选：D．
8．（2019春•雁塔区校级期中）袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球取到1个红球得3分，
取到1个黑球得1分，设得分为随机变量 ，则 ≥8的概率P（ ≥8）等于（ ）
ξ ξ ξ
A． B． C． D．
【解答】解：袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球，
取到1个红球得3分，取到1个黑球得1分，设得分为随机变量 ，
由题意得得分小于8分的只有两种情况： ξ
取到1红3黑，计6分，取到4黑，计4分，
根据互斥事件概率得：
则 ≥8的概率P（ ≥8）＝1﹣[P（ ＝6）+P（ ＝4）]＝1 ．
ξ ξ ξ ξ
故选：B．
二．多选题（共4小题）
9．（2020春•锡山区校级期中）如果 是一个随机变量，则下列命题中的真命题有（ ）
A． 取每一个可能值的概率都是非ξ负数
B．ξ取所有可能值的概率之和是1
C．ξ的取值与自然数一一对应
D．ξ的取值是实数
【解ξ答】解：根据概率性质可得 取每一个可能值的概率都是非负数，所以A正确； 取所有可能值的
概率之和是1，所以B正确； ξ ξ
的取值不一定是实数，不一定是自然数，所以C错误，D错误．
ξ故选：AB．
10．（2020春•海安市校级月考）抛掷一枚骰子1次，记“向上的点数是4，5，6“为事件A，“向上的点
数是1，2“为事件B，“向上的点数是1，2，3“为事件C，“向上的点数是1，2，3，4“为事件D，
则下列关于事件A，B，C，D判断正确的有（ ）
A．A与B是互斥事件但不是对立事件
B．A与C是互斥事件也是对立事件C．A与D是互斥事件
D．C与D不是对立事件也不是互斥事件
【解答】解：抛掷一枚骰子1次，记“向上的点数是4，5，6“为事件A，“向上的点数是1，2“为事
件B，
“向上的点数是1，2，3“为事件C，“向上的点数是1，2，3，4“为事件D，
在A中，A与B不能同时发生，但能同时不发生，是互斥事件但不是对立事件，故A正确；
在B中，A与C是互斥事件，也是对立事件，故B正确；
在C中，A与D能同时发生，不是互斥事件，故C错误；
在D中，C与D能同时发生，不是对立事件也不是互斥事件，故D正确．
故选：ABD．
11．（2019秋•葫芦岛期末）中国篮球职业联赛（CBA）中，某男能球运动员在最近儿次参加的比赛中的
得分情况如表：
投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数
100 55 18
记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计
概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ）
A．P（A）＝0.55 B．P（B）＝0.18
C．P（C）＝0.27 D．P（B+C）＝0.55
【解答】解：记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件 A，投中三分球为事件B，没投中为事件
C，
由古典概型得：
P（A） 0.55，故A正确；
P（B） 0.18，故B正确；
P（C）＝1﹣P（A）﹣P（B）＝1﹣0.55﹣0.18＝0.27，故C正确；
P（B+C）＝P（B）+P（C）＝0.18+0.27＝0.45，故D错误．
故选：ABC．
12．（2019秋•德城区校级月考）袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事
件是（ ）
A．至少有一个白球与都是白球B．恰有一个红球与白、黑球各一个
C．至少一个白球与至多有一个红球
D．至少有一个红球与两个白球
【解答】解：袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，
在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立．
在B中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B成立；
在C中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C不成立；
在D中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D成立；
故选：BD．
三．填空题（共4小题）
13．（2020春•沙坪坝区校级期中）从m个男生和n个女生（10≥m＞n≥6）中任选2个人当班长，假设事
件A表示选出的2个人性别相同，事件B表示选出的2个人性别不同，如果A的概率和B的概率相同，
则（m，n）可能为 （ 1 0 ， 6 ） ．
【解答】解：从m个男生和n个女生（10≥m＞n≥6）中任选2个人当班长，
假设事件A表示选出的2个人性别相同，事件B表示选出的2个人性别不同，
A的概率和B的概率相同，
则 ，
整理，得（m﹣n）2＝m+n，
则（m，n）可能为（10，6），
故答案为：（10，6）．
14．（2020•湖北模拟）某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品．
从这批产品中随机抽取一件产品检测，已知抽到一等品或二等品的概率为 0.86，抽到二等品或三等品的
概率为0.35，则抽到二等品的概率为 0.2 1 ．
【解答】解：设抽到一等品、二等品、三等品的事件分别为A，B，C，
则 ，
解得抽到二等品的概率P（B）＝0.21．
故答案为：0.21．
15．（2020•B卷模拟）抛掷一枚骰子10次，若结果10次都为六点，则下列说法正确的序号是 ．
若这枚骰子质地均匀，则这是一个不可能事件； ②
①若这枚骰子质地均匀，则这是一个小概率事件；
②这枚骰子质地一定不均匀．
③【解答】解：根据题意，抛掷一枚骰子10次，若结果10次都为六点，若这枚骰子质地均匀，这种结果
可能出现，但是一个小概率事件；
故 错误， 正确；
故①答案③为： ②
16．（2020春•②浦东新区校级期中）由1，2，3，…，1000这个1000正整数构成集合A，先从集合A中随
机取一个数a，取出后把a放回集合A，然后再从集合A中随机取出一个数b，则 的概率为
．
【解答】解：由1，2，3，…，1000这个1000正整数构成集合A，先从集合A中随机取一个数a，
取出后把a放回集合A，然后再从集合A中随机取出一个数b，
P（ ）＝1﹣P（ ），
∵ ，∴a ，
∴P（ ） ，
则 的概率P（ ）＝1 ．
故答案为： ．
四．解答题（共5小题）
17．（2019秋•保定月考）甲、乙两人进行围棋比赛，记事件A为“甲获得比赛胜利或者平局”，事件B
为“乙获得比赛的胜利或者平局”，已知P（A）＝0.7，P（B）＝0.4．
（1）求甲获得比赛胜利的概率；
（2）求甲、乙两人获得平局的概率．
【解答】解：（1）甲获得比赛胜利的概率P ＝1﹣P（B）＝1﹣0.4＝0.6．
1
（2）甲、乙两人获得平局的概率为P ＝P（A）﹣P ＝0.7﹣0.6＝0.1．
2 1
18．（2020春•芝罘区校级期末）将一颗骰子先后抛掷 2次，观察向上的点数，事件 A：“两数之和为
8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”．（Ⅰ）写出该试验的基本事件空间 ，并求事件A发生的概率；
（Ⅱ）求事件B发生的概率； Ω
（Ⅲ）事件A与事件C至少有一个发生的概率．
【解答】解：（I）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，
＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
Ω（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，共有36个基本事件，
事件A：“两数之和为8”，事件A包含的基本事件有：
（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），共5个基本事件，
∴事件A发生的概率为P（A） ．
（II）事件B：“两数之和是3的倍数”，
事件B包含的基本事件有12个，分别为：
（1，2），（1，5），（2，1），（2，4），（3，3），（3，6），（4，2），（4，5），（5，1），
（5，4），（6，3），（6，6），
∴事件B发生的概率P（B） ．
（III）事件A与事件C至少有一个发生包含的基本事件有11个，分别为：
（2，2），（2，4），（2，6），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6），（5，3），（6，2），
（6，4），（6，6），
∴事件A与事件C至少有一个发生的概率为P（A∪C） ．
19．（2020春•和平区期中）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 ．假定甲、乙
两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（1）设甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为X，求X＝0，X＝1，X＝2，X＝3时的概率P
（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），P（X＝3）．
（2）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的
天数恰好多2”，求事件M发生的概率．【解答】解：（1）P（X＝0）＝（1 ）3 ，
P（X＝1） • •（1 ）2 ，
P（X＝2） •（ ）2•（1 ） ，
P（X＝3） •（ ）3 ．
（2）设乙同学上学期间的三天中在7：30之前到校的天数为Y，
则P（Y＝0）＝P（X＝0） ，P（Y＝1）＝P（X＝1） ，
P（Y＝2）＝P（X＝2） ，P（Y＝3）＝P（X＝3） ，
∴P（M）＝P（X＝2）•P（Y＝0）+P（X＝3）•P（Y＝1） ．
20．（2020•香坊区校级模拟）如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出 60名，将其成绩（均为整数）整
理后画出的频率分布表和频率分布直方图如下，回答下列问题：
分组 人数 频率
[39.5，49.5） a 0.10
[49.5，59.5） 9 x
[59.5，69.5） b 0.15
[69.5，79.5） 18 0.30
[79.5，89.5） 15 y
[89.5，99.5] 3 0.05
（1）分别求出a，b，x，y的值，并补全频率分布直方图；
（2）估计这次环保知识竞赛平均分；
（3）若从所有参加环保知识竞赛的学生中随机抽取一人采访，抽到的学生成绩及格的概率有多大？【解答】解：（1）a＝60×0.1＝6，b＝60×0.15＝9，x 0.15，y 0.25；
频率分布直方图如图所示：
（2）用组中值估计平均分：44.5×0.1+54.5×0.15+64.5×0.15+74.5×0.3+84.5×0.25+94.5×0.05＝70.5；
（3）本次竞赛及格率为：0.015×10+0.025×10+0.03×10+0.005×10＝0.75，用样本估计总体，每个人被抽
到的概率相同，
∴从所有参加环保知识竞赛的学生中随机抽取一人采访，抽到的学生成绩及格的概率为0.75．
21．（2019春•中原区校级月考）某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理
学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，
假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为 m、 、n，已知
三个社团他都能进入的概率为 ，至少进入一个社团的概率为 ，且m＞n．
（l）求m与n的值；
（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分 1分，对进入“诗
词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在
社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率．
【解答】解：（1）由题意列出方程组，得：
，解得m ，n ．
（2）由题令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为X，
i
获得样本等候课学分分数不低于4分为事件A，
则P（X ） ，
4P（X ） ，
5
P（X ） ，
6
P（A）＝P（X ）+P（X ）+P（X ） ．
4 5 6
