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第四章 指数函数与对数函数
4.4.1 对数函数的概念
一、选择题
1．（2019·北京市第二中高一课时练）下列函数是对数函数的是( )
A.y＝log (x＋1) B.y＝log (2x)(a>0，且a≠1)
3 a
C.y＝log x2(a>0，且a≠1) D.y＝lnx
a
【答案】D
【解析】形如 的函数为对数函数，只有D满足.故选D.
2．（2019·全国高一课时练）已知 ,则 （ ）
A. B. C.3 D.
【答案】A
【解析】∵ ，∴ .故选A.
3．（2019·全国高一课时练）设 则f[f（2）]的值为（ ）
A.0 B. C.2 D.
【答案】C
【解析】由题意可知， ，所以 .故选C.
4．（2019·北京二中高一课时练）设集合 A={ x|﹣3≤2x﹣1≤3}，集合 B为函数 y=lg（ x﹣1）的
定义域，则 A∩B=（ ）
A．（1，2） B．[1，2] C．[1，2） D．（1，2]
【答案】D
【解析】因 ， ，故 ，选D。
5．（2017·北京市第二中学分校高一课时练习）函数 定义域为( )
A.(0,2] B.(0,2) C.(0,1)∪(1,2] D.(－∞，2]
【答案】C【解析】使 有意义满足 ∴ 且 ，故选C.
6．（2019·全国高一课时练）在n＝log (6－m)中，实数m的取值范围是( )
(m－3)
A．m>6或m <3 B．3< m <6 C．3< m <4或4< m <6 D．4< m <5
【答案】C
【解析】由题意得 ∴3<m<6且 ≠4.
二、填空题
7．（2019·全国高一课时练）设 ，则 __________．
【答案】
【解析】 ， , ; 8．
（2019江苏高一练习）函数 的定义域是_____________.
【答案】
【解析】由题意得 ，解得 ，
故函数 的定义域是 ，故答案为 .
9．（2019全国高一课时练）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现
1 O
v= log
2 3100 O
鲑鱼的游速可以表示为函数 ，单位是 ，其中 表示鱼的耗氧量的单位数.当
一条鲑鱼的游速为 时，这条鲑鱼的耗氧量是_______个单位.
【答案】27001 O O O
1.5= log 3=log =33 =27
【解析】当 v=1.5 时， 2 3100 ，即 3100 ， 100 ，
.
10．（2019·全国高一单元测）已知 ， ，则a的值为________.
【答案】 或
【解析】 ，则 ，
所以 ，
所以 ，解得 或 ，
解得 或 。
点睛：本题代入后的计算涉及到对数计算问题。 利用指对数的相互转化得
到 ，由于该式的两个对数底数不同，则利用换底公式得到
，解方程解得 的值，进而求出 。
三、解答题
11．（2019·全国高一课时练）设函数 .
(1)确定函数f (x)的定义域；
(2)判断函数f (x)的奇偶性.
【答案】(1)定义域为R. (2)见解析.
【解析】⑴ ,故 ，两边平方可得 ，
恒成立故函数的定义域为⑵ ,
则
（满足平方差公式）
即 ， 故函数 是奇函数
【点睛】本题主要考查了定义域的求解，奇偶性单调性的判断证明，熟练掌握定义是解决该类题目
的基本方法，属于中档题。
12．（2019·全国高一单元测）2012年9月19日凌晨3时10分，中国在西昌卫星发射中心用“长征
三号乙”运载火箭，以“一箭双星”方式，成功将第14和第15颗北斗导航卫星发射升空并送入预
定转移轨道.标志着中国北斗卫星导航系统快速组网技术已日臻成熟.若已知火箭的起飞重量M是箭
体(包括搭载的飞行器)的重量m和燃料重量x之和，在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大
速度y关于x的函数关系式为： (其中k≠0)．当燃料重量为
吨(e为自然对数的底数， )时，该火箭的最大速度为5km／s．
(1)求火箭的最大速度y(千米／秒)与燃料重量x(吨)之间的关系式 .
(2)已知该火箭的起飞重量是816吨，则应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到10
千米／秒，顺利地把卫星发送到预定的轨道?
【答案】(1) (2) 应装载516吨
【解析】 (1)依题意，把 代入函数关系 ，
解得k=10，所以所求的函数关系式为
(2)设应装载x吨燃料方能满足题意， 此时 ，代入函数关系式 ，
得 ，解得 吨，故应装载516吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道．
