文档内容
第 04 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：直线与圆的位置关系的判断................................................................................................2
题型二：弦长与面积问题....................................................................................................................3
题型三：切线问题、切线长问题........................................................................................................5
题型四：切点弦问题............................................................................................................................6
题型五：圆上的点到直线距离个数问题............................................................................................8
题型六：直线与圆位置关系中的最值（范围）问题........................................................................9
题型七：圆与圆的位置关系..............................................................................................................11
题型八：两圆的公共弦问题..............................................................................................................12
题型九：两圆的公切线问题..............................................................................................................13
02 重难创新练....................................................................................................................................15
03 真题实战练....................................................................................................................................25题型一：直线与圆的位置关系的判断
1．（2024·山东淄博·二模）若圆 ，则直线 与圆C的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交或相切
【答案】A
【解析】 经过定点 ，由于 ，则定点在圆内.
故直线 与圆C的位置关系是相交.
故选：A.
2．（2024·安徽·三模）直线 ： 与圆 ： 的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【答案】C
【解析】由直线 ，可得直线 过定点(0,2)，
又由圆 ： ，可得点(0,2)在圆C上，
因为直线 的斜率显然存在，所以公共点的个数为2.
故选：C.
3．（2024·高三·江苏扬州·期末）已知集合 ，则 中元素
个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】方程 ，表示圆心为 ，半径为 ，
则圆心 到直线： 的距离为 ，
得直线与圆相切，只有一个交点，则 中元素的个数为1.
故选：B
4．直线l： 与圆C： 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能【答案】A
【解析】圆C的圆心坐标为 ，半径为2，直线l的方程为 ，
圆心到直线l的距离为 ，
所以直线l与圆C的位置关系是相交.
故选：A.
题型二：弦长与面积问题
5．（2024·天津·模拟预测）若直线 与圆 交于 两点，则 .
【答案】 /
【解析】由题意可得圆 的标准方程为 ，
所以圆 的圆心为(1,0)，半径为 ，
所以圆心(1,0)到直线 的距离 ，
所以 ，
故答案为：
6．（2024·高三·广东广州·期中）如果直线 被圆 截得的弦长为 ，
那么实数 .
【答案】5或
【解析】由题意知 可化为 ，
可知圆心坐标为 ，半径 ，根据点到直线的距离公式和弦长关系可得
解之可得 或 .
故答案为：5或
7．（2024·陕西商洛·三模）已知直线 与 ，若直线 与 相交
于 两点，且 ，则 ．
【答案】 或
【解析】若直线 与 相交于 两点，且 ，
则圆心 到直线 的距离 ，所以 ，
解得 或 ．
故答案为： 或 .
8．（2024·江西·模拟预测）已知圆 的方程为 ，若直线 与圆 相交于
两点，则 的面积为 .
【答案】12
【解析】圆 ： ，得圆心为 ，半径为 ，
圆心到直线的距离 ，因此 ，
所以 .
故答案为： .
9．直线 与圆 相交于两点 ， ，若满足 ，则
.
【答案】
【解析】圆 圆心为 ，半径 ，
所以圆心 到直线 的距离 ，
所以所以 ．
故答案为： ．
题型三：切线问题、切线长问题
10．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知圆 ,点 在抛物线 上运动，过点 作圆
的切线 ，切点分别为 ，则四边形 面积最小值为 ．
【答案】
【解析】 圆 的标准方程为： ，圆心为 ，半径为3，
点 在直线 上运动，过点 作圆 的两条切线 、 ，切点分别为 ， 点．
， ， ，易得 ，
所以 ，
设 ， ，则
故 ，（当 时取等号），
，
，
可知四边形 面积的最小值为 ．
故答案为：
11．从圆 外一点 向圆引切线，则切线长为 ．
【答案】2
【解析】点 到圆心 的距离为 ，则切线长为 ．
故答案为：2.
12．（2024·高三·四川眉山·期中）圆C的圆心在 轴正半轴上，与y轴相切，且被直线 截得的弦
长为 ，直线l： 与圆C相切，则直线l的斜率是【答案】
【解析】设圆C的方程 ，
则圆心到直线 的距离 ，
所以 ，解得 ，
所以圆C的方程 ，
则圆心C 到直线l的距离 ，
则 或 （舍去），所以 ，
故直线l的斜率 .
故答案为： .
题型四：切点弦问题
13．已知圆 外一点 ，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 和 ，则直
线 的方程为 .
【答案】
【解析】由题意，切点弦 所在直线的方程为:
，
化简得： .
故答案为： .
14．（多选题）已知圆 ： ，点M在抛物线 ： 上运动，过点 引直线 与圆
相切，切点分别为 ，则下列选项中 能取到的值有（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】BC
【解析】解析：如图，连接 ，题意， ，而 ，而 ，则 垂直平分线
段 ，
于是得四边形 面积为 面积的2倍，
从而得 ，
即 ，
设点 ，而 ，
则 ，即 ，
所以 ，即 ，得 ，
所以 的取值范围为 ．故选BC．
15．（2024·山东泰安·统考模拟预测）已知直线 与圆 ，
过直线 上的任意一点 向圆 引切线，设切点为 ，若线段 长度的最小值为 ，则实数 的值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆 ，设 ，
则 ，则 ， ，
则 ，所以圆心 到直线 的距离是 ，
，得 ， ．
故选：A．题型五：圆上的点到直线距离个数问题
16．（2024·全国·模拟预测）已知直线 ，圆 上恰有3个点到直线的距离都等于1，则
（ ）
A．1或 B．－1或 C． 或－1 D．1或－1
【答案】D
【解析】如图所示，圆 的半径为2.设点 在圆 上运动.
圆心 到直线 的距离 ，令 ，则 .
①当 时，与直线 平行且距离等于1的直线是 ， ，
与圆的三个交点是 ， ， ，满足题意.
②当 时，与直线 平行且距离等于1的直线是 ， ，与圆的三个交点是
， ， ，满足题意.
综上， .
故选：D.
17．已知圆 ： （ ），直线 ： ．若对任意实数 ，圆 上到直线 的距离
为1的点有4个，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设直线 过定点 ，
不论 取何值， 到直线最远的距离始终为 ，
，
解得 ．
故选：D．
18．已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为( )A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由圆的方程可知圆心为 ，半径为2，因为圆上的点到直线 的距离等于1的点至少有2个，所
以圆心到直线 的距离 ，即 ，解得 .
故选:A.
题型六：直线与圆位置关系中的最值（范围）问题
19．已知圆 ，直线 ，若直线 与圆 交于 两点，则
的最小值为 .
【答案】2
【解析】由直线 可得： ，即直线 经过定点 .由
可得： ，即圆心为 ，半径为 ，如图.
连接 ,过点 作 的垂线交圆 于点 ，则此时|AB|取最小值.
(理由如下：过点 作另一条直线交圆 于点 ，过点 作 于点 ,
在 中，显然 ,而 , ,
因 故有 ，即|AB|是最短的弦长)
此时， , .
故答案为：2.
20．（2024·河北邢台·模拟预测）已知直线 上一点A，圆 上一点B，则 的
最小值为 .
【答案】 /【解析】圆 ，
所以圆心坐标为 ，半径 ，
又直线 ，
所以圆心到直线的距离为
，
所以 的最小值为 ，
故答案为： .
21．直线 分别与 轴， 轴交于A，B两点，点P在圆 上，则 面积的
取值范围是 .
【答案】
【解析】对于 ，当 时， ，当 时， ，
所以 ，
所以 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以点P到直线的距离的最大值 ，
点P到直线的距离的最小值 ，
所以 面积的最大值为 ，
面积的最小值为 ，
所以 面积的取值范围是 ，
故答案为：题型七：圆与圆的位置关系
22．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）圆 与圆 的位置关系是
（ ）
A．相交 B．外切 C．内切 D．相离
【答案】A
【解析】由已知得圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
故 ，
所以圆 与圆 相交.
故选：A.
23．已知点 ，圆 ，若圆C上存在点P使得 ，则a的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，则点P在圆 上，
又有点P在圆C上，所以圆A和圆C有公共点（P)，
两圆半径分别为2、1，
所以 ，
所以 .
故选：A．
24．（2024·广东深圳·模拟预测）已知圆 的圆心到直线 距离是 ，则
圆M与圆 的位置关系是（ ）A．外离 B．相交 C．内含 D．内切
【答案】C
【解析】圆 即圆 的圆心半径分别为 ，
圆 的圆心半径分别为 ，
因为 ，解得 或 （舍去），
从而 ，所以 ，
因为 ，
所以圆M与圆 的位置关系是内含.
故选：C.
题型八：两圆的公共弦问题
25．（2024·新疆喀什·二模）已知圆 和圆 ，则两圆公共弦所在直线的
方程为 ．
【答案】
【解析】圆 的圆心 ，半径 ，圆 的圆心 ，半径
，
显然 ，因此圆 相交，
所以两圆公共弦所在直线的方程为 ，即 .
故答案为：
26．已知圆 和圆 交于 两点，则 .
【答案】
【解析】将圆 和圆 的方程作差得 .
圆心 到直线 的距离为 ，
所以 .
故答案为： .27．圆 与圆 的公共弦所在直线方程为 ；公共弦长为 .
【答案】
【解析】圆 的圆心 ，半径 ，圆 的圆心 ，半径 ，
显然 ，即圆 相交，
将两圆方程相减得 ，所以两圆的公共弦所在直线方程为 ；
点 到直线 距离 ，所以公共弦长为 .
故答案为： ；
题型九：两圆的公切线问题
28．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知圆 圆 则两圆的公切线
条数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】圆 标准方程为 ，
则已知两圆圆心分别为 ，半径分别为 ，
圆心距为 ，
因此两圆外切，它们有三条公切线，
故选：B．
29．两圆 与 的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【解析】圆 的圆心为 ，半径为2，
圆 的圆心为 ，半径为4，所以圆心距 ．
又 ，所以两圆相交，所以公切线只有2条．
故选：B
30．曲线 关于 对称后的曲线为 ，则 公切线为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ，
所以曲线 是圆心为原点，半径为1的圆在x轴上方的部分，
又 与 的图形关于直线 对称，
设 上一点 ，该点关于直线 对称的对称点为 ，
则 的中点在直线 上，且直线 的斜率与直线 的斜率之积为 ，
所以 ，解得 ，即 ，
代入 方程，得 ，即 （只是该圆的一部分），如图，
易知 与 的公切线 ，所以 ，结合图，设 ，
所以点 到直线 的距离为 ，解得 ，
所以 与 的公切线为 .
故选：B1．（2024·福建福州·模拟预测）已知圆 与 轴相切，则 （ ）
A．1 B．0或 C．0或1 D．
【答案】D
【解析】将 化为标准式为： ，
故圆心为 半径为 ，且 或 ，
由于 与 轴相切，故 ，
解得 ，或 （舍去），
故选：D
2．已知圆 ，直线 .则直线 被圆 截得的弦长的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直线 ，
令 ，解得 ，所以直线 恒过定点 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
且 ，即 在圆内，
当 时，圆心 到直线 的距离最大为 ，
此时，直线 被圆 截得的弦长最小，最小值为 .故选：A.
3．（2024·四川德阳·模拟预测）已知 过坐标原点O作 的两条切线，切点为A、
B，则四边形 的面积为（ ）
A．1 B．√3 C．2 D．
【答案】B
【解析】
由题意得⊙C圆心为 ，半径 ， ，
则 ，
则四边形 的面积 .
故选：B.
4．（2024·高三·贵州·开学考试）已知圆 关于直线 对称，则 的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．4
【答案】D
【解析】因为圆 关于直线 对称，
所以直线 过圆心 ，即 ，
则
因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 即 等号成立，
则 的最小值是4.
故选：D.
5．（2024·安徽·模拟预测）已知 ，动圆 经过原
点，且圆心在直线 上．当直线 的斜率取最大值时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得， ，直线 的斜率为 ．
因为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 ，
即当直线 的斜率取最大值时， ，所以 ，故 ．
故选：B．6．（2024·安徽·一模）已知直线 与圆 交于不同的两点 ，O是坐标原点，且
有 ，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 中点为C，则 ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，即 ，
又∵直线 与圆 交于不同的两点 ，
∴ ，故 ，
则 ，
.
故选：C．
7．（2024·广西南宁·三模）已知圆 ，点 在线段 （ ）上，过点 作圆
的两条切线，切点分别为 ， ，以 为直径作圆 ，则圆 的面积的最大值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知， ， ， ， ， 为锐角，
当圆 的面积取最大值时 最大，
而 ，所以 ，
因为点 在线段 （ ）上，
所以 ，
故 ，即圆 半径的最大值为 ，
所以圆 的面积的最大值为 ，
故选：D．
8．（2024·安徽·模拟预测）已知 ， 为圆 ： 上的动点，且动点 满足： ，
记 点的轨迹为 ，则（ ）
A． 为一条直线 B． 为椭圆
C． 为与圆 相交的圆 D． 为与圆 相切的圆
【答案】D
【解析】设P(x ,y )，由 ，可得 ，
0 0
所以 点坐标为 ，
设 点坐标为 ，则 ，即 ，
把 代入圆 ，则 点的轨迹 的方程为： ，
即 是圆心为 ，半径为1的圆，
由于两圆的圆心距和两圆的半径和相等，因此两圆外切，即 为与圆 相切的圆.
故选：D．
9．（多选题）（2024·江西南昌·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知圆 的动弦
，圆 ，则下列选项正确的是（ ）
A．当圆 和圆 存在公共点时，则实数 的取值范围为
B． 的面积最大值为1C．若原点 始终在动弦 上，则 不是定值
D．若动点 满足四边形 为矩形，则点 的轨迹长度为
【答案】ABD
【解析】对于A，圆 的圆心为(1,0)，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
当圆 和圆 存在公共点时， ，
所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围为 ，正确；
对于B， 的面积为 ，
当 时， 的面积有最大值为1，正确；
对于C，当弦 垂直x轴时， ，所以 ，
当弦 不垂直x轴时，设弦 所在直线为 ，
与圆 联立得， ，
设 ，
则 ， ，
综上 ，恒为定值，错误；
对于D，设P(x ,y )，OP中点 ，该点也是AB中点，且 ，
0 0
又 ，所以 ，
化简得 ，所以点 的轨迹为以(1,0)为圆心，半径为 的圆，
其周长为长度为 ，正确.
故选：ABD
10．（多选题）（2024·山东青岛·三模）已知动点 分别在圆 和
上，动点 在 轴上，则（ ）
A．圆 的半径为3
B．圆 和圆 相离
C． 的最小值为D．过点 做圆 的切线，则切线长最短为
【答案】BD
【解析】圆 的圆心 ，半径 ，圆 的圆心 ，半径 ，
对于A，圆 的半径为 ，A错误；
对于B， ，圆 和圆 相离，B正确；
对于C，圆 关于 轴对称的圆为 ， ，连接 交 于点 ，连接 ，
由圆的性质得，
，当且仅当点 与 重合，
且 是线段 分别与圆 和圆 的交点时取等号，C错误；
对于D，设点 ，过点 的圆 的切线长 ，
当且仅当 ，即 时取等号，D正确.
故选：BD
11．（多选题）（2024·湖南长沙·模拟预测）若圆 与圆 交于
A，B两点，则下列选项中正确的是（ ）
A．点 在圆 内
B．直线 的方程为
C．圆 上的点到直线 距离的最大值为
D．圆 上存在两点P，Q，使得
【答案】BC
【解析】对于A，因为 ，所以点 在圆 外，故A错误；
对于B，圆 与圆 交于 两点，
因为圆 和圆 相交，将两圆相减可得： ，
即公共弦 所在直线的方程为 ，故B正确；对于C，圆 的圆心坐标为 ，半径为2，
圆心 到直线 的距离 ，
所以圆 上的点到直线 距离的最大值为 ，故C正确；
对于D，直线 经过圆 的圆心 ，
所以线段 是圆 的直径，故圆 中不存在比 长的弦，D错误.
故选：BC.
12．（多选题）（2024·湖南长沙·三模）已知圆 ，直线
，则（ ）
A．直线 恒过定点
B．当 时，圆 上恰有三个点到直线 的距离等于 1
C．直线 与圆 可能相切
D．若圆 与圆 恰有三条公切线，则
【答案】AD
【解析】由直线 ，得 ，
因为 ，则满足 ，解得 ，
所以直线恒过定点 ，故选项A正确.
因为当 时，直线 为: ，
则圆心 到直线 的距离为 ，
则此时直线 与圆相交所得劣弧的顶点到直线 的距离 ，
所以圆上只有 2 个点到直线的距离为 1，故选项B错误.
因为直线 过定点 ，又 ，
所以定点在圆内，则直线 与圆 一定相交，故选项 错误.
由圆的方程 可得， ，
所以圆心为 ，半径为 ，
因为两圆有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切，
则 ，解得 ，故选项 正确.故选：AD.
13．（2024·陕西·模拟预测）圆 上总存在两个点到 的距离为1，则a的取值范
围是 .
【答案】
【解析】圆 上总存在两个点到 的距离为1，
转化为：以 为圆心1为半径的圆与已知圆相交，
可得 ，即 ，
解得 或 ，即a的取值范围是 .
故答案为： .
14．（2024·山西运城·三模）已知动圆 经过点 及原点 ，点 是圆 与圆 的
一个公共点，则当 最大时，圆 的半径为 .
【答案】
【解析】因为动圆 经过点 及原点 ，记 的中点为 ，则圆心在 上，
如图：
记圆 半径为 ， ，则 ， ，
所以 ，
当 最大时， 最小，此时两圆外切.
由已知设动圆 的圆心为 ，
又圆 的圆心 ，半径 ，
所以 ，即 ，
解得 ，所以 ，即圆 的半径为 ，
此时圆 为 ，圆心 ， .
故答案为： .
15．（2024·黑龙江·三模）已知圆C： ， ，若C上存在点P，
使得 ，则r的取值范围为 .
【答案】[4，6]
【解析】因为点 ，而点P满足 ，则点P的轨迹是以线段AB为直径的圆M(除
点A，B外)，圆M： (y≠0)，半径 =1，
又点Р在圆C： (r>0)上，圆C的圆心C(1，4)，半径为r， ，
依题意，圆M与圆C有公共点，因此 ，即 ，解得 .
故答案为： .
16．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知圆 和圆 ，M、N分别
是圆C、D上的动点，P为x轴上的动点，则 的最小值是 .
【答案】
【解析】 的圆心为 ，半径为1，
，圆心为 ，半径为2，
结合两圆位置可得， ，
当且仅当 三点共线，且 三点共线时，等号成立，
设C关于x轴的对称点 ，连接 ，与 轴交于点 ，此点即为所求，
此时 ，
故 即为 的最小值，故 的最小值为
故答案为：
17．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知圆 ，直线 ， 为直线 上的动点，过点
作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，则直线 过定点 .
【答案】
【解析】根据题意， 为直线 ： 上的动点，设 的坐标为 ，
过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，则 ， ，
则点 、 在以 为直径的圆上，
又由 ， ，则以 为直径的圆的方程为 ，
变形可得： ，
则有 ，可得： ，
变形可得： ，即直线 的方程为 ，
则有 ，解可得 ，故直线 过定点 .
故答案为： .
1．（2021年北京市高考数学试题）已知直线 （ 为常数）与圆 交于点 ，当变化时，若 的最小值为2，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可得圆心为 ，半径为2，
则圆心到直线的距离 ，
则弦长为 ，
则当 时， 取得最小值为 ，解得 .
故选：C.
2．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版））已知圆
截直线 所得线段的长度是 ，则圆 与圆
的位置关系是
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】B
【解析】化简圆 到直线 的距离
，
又 两圆相交. 选B
3．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））若直线l与曲线 和 都相
切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y= x+1 D．y= x+
【答案】D
【解析】设直线 在曲线 上的切点为 ，则 ，
函数 的导数为 ，则直线 的斜率 ，
设直线 的方程为 ，即 ，由于直线 与圆 相切，则 ，
两边平方并整理得 ，解得 ， （舍），
则直线 的方程为 ，即 .
故选：D.
4．（多选题）（2021年全国新高考II卷数学试题）已知直线 与圆 ，点
，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【解析】圆心 到直线l的距离 ，
若点 在圆C上，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点 在圆C内，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点 在圆C外，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点 在直线l上，则 即 ，
所以 ，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
5．（多选题）（2021年全国新高考I卷数学试题）已知点 在圆 上，点 、
，则（ ）
A．点 到直线 的距离小于
B．点 到直线 的距离大于
C．当 最小时，
D．当 最大时，【答案】ACD
【解析】圆 的圆心为 ，半径为 ，
直线 的方程为 ，即 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以，点 到直线 的距离的最小值为 ，最大值为 ，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当 最大或最小时， 与圆 相切，连接 、 ，可知 ，
， ，由勾股定理可得 ，CD选项正确.
故选：ACD.
6．（2023年天津高考数学真题）已知过原点O的一条直线l与圆 相切，且l与抛物线
交于点 两点，若 ，则 ．
【答案】
【解析】易知圆 和曲线 关于 轴对称，不妨设切线方程为 ， ，
所以 ，解得： ，由 解得： 或 ，
所以 ，解得： ．
当 时，同理可得．
故答案为： ．
7．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知直线 与 交于A，B两点，
写出满足“ 面积为 ”的m的一个值 ．【答案】 （ 中任意一个皆可以）
【解析】设点 到直线 的距离为 ，由弦长公式得 ，
所以 ，解得： 或 ，
由 ，所以 或 ，解得： 或 ．
故答案为： （ 中任意一个皆可以）．
8．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）若双曲线 的渐近线与圆
相切，则 ．
【答案】
【解析】双曲线 的渐近线为 ，即 ，
不妨取 ，圆 ，即 ，所以圆心为 ，半径 ，
依题意圆心 到渐近线 的距离 ，
解得 或 （舍去）．
故答案为： ．
9．（2022年新高考全国I卷数学真题）写出与圆 和 都相切的一条直线的方
程 ．
【答案】 或 或
【解析】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为 ，
于是 ，
故 ①， 于是 或 ，
再结合①解得 或 或 ，所以直线方程有三条，分别为 ， ，
填一条即可
[方法二]：
设圆 的圆心 ，半径为 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
则 ，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然 符合题意；
又由方程 和 相减可得方程 ，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为 ，
直线OC与直线 的交点为 ，
设过该点的直线为 ，则 ，解得 ，
从而该切线的方程为 填一条即可
[方法三]：
圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心 为 ，半径为 ，
两圆圆心距为 ，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，当切线为l时，因为 ，所以 ，设方程为
O到l的距离 ，解得 ，所以l的方程为 ，
当切线为m时，设直线方程为 ，其中 ， ，
由题意 ，解得 ，
当切线为n时，易知切线方程为 ，
故答案为： 或 或 .
10．（2022年新高考天津数学高考真题）若直线 被圆 截得的弦长为
，则 的值为 ．
【答案】
【解析】圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
圆心到直线 的距离为 ，
由勾股定理可得 ，因为 ，解得 .
故答案为： .
11．（2022年新高考全国II卷数学真题）设点 ，若直线 关于 对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】 关于 对称的点的坐标为 ， 在直线 上，
所以 所在直线即为直线 ，所以直线 为 ，即 ；
圆 ，圆心 ，半径 ，
依题意圆心到直线 的距离 ，
即 ，解得 ，即 ；
故答案为：
12．（2021年天津高考数学试题）若斜率为 的直线与 轴交于点 ，与圆 相切于点 ，则
．
【答案】
【解析】设直线 的方程为 ，则点 ，
由于直线 与圆 相切，且圆心为 ，半径为 ，
则 ，解得 或 ，所以 ，
因为 ，故 .
故答案为： .
13．（2020年天津市高考数学试卷）已知直线 和圆 相交于 两点．若
，则 的值为 ．
【答案】5
【解析】因为圆心 到直线 的距离 ，
由 可得 ，解得 ．
故答案为： ．
14．（2020年浙江省高考数学试卷）设直线 与圆 和圆 均相切，则
；b= ．【答案】
【解析】设 ， ，由题意， 到直线的距离等于半径，即 ，
，
所以 ，所以 （舍）或者 ，
解得 .
故答案为：
【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.
