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１５４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
３．７ 函数与方程
§
注 函数零点存在性定理在新教材中叫零点存在定理．
：
３．二分法
对于区间 ａ ｂ 上连续不断的 且ｆ ａ ｆ ｂ 的函
（１） ［ ， ］ ， （ ）· （ ）＜０
考点 函数的零点与方程的根
数ｙ ｆ ｘ 通过不断地把函数 ｆ ｘ 的零点所在的区间一分为
＝ （ ）， （ ）
１．函数的零点 二 使区间的两个端点逐步逼近零点 从而得到零点近似值的方
， ，
函数零点的定义 对于函数ｙ ｆ ｘ 把使 ｆ（ｘ） 的 法 叫做二分法．
（１） ： ＝ （ ）， ① ＝０ ，
实数ｘ叫做函数ｙ ｆ ｘ 的零点． 用二分法求函数ｆ ｘ 零点近似值的步骤
＝ （ ） （２） （ ）
三个等价关系 方程ｆ ｘ 有实数根 函数ｙ ｆ ｘ 的图 第一步 确定区间 ａ ｂ 验证 ｆ（ａ）·ｆ（ｂ） 给定精确
（２） ： （ ）＝０ ⇔ ＝ （ ） ， ［ ， ］， ④ ＜０ ，
象与 ｘ轴有交点 函数ｙ ｆ ｘ 有 零点 ． 度
② ⇔ ＝ （ ） ③ ε；
２．函数零点存在性定理 第二步 求区间 ａ ｂ 的中点ｃ
， （ ， ） ；
ｙ ＝ ｆ ｘ 在区间 ａ ｂ 上的图象是连续不间断 第三步 计算ｆ ｃ
（ ） ［ ， ］ ， （ ）：
→的一条曲线 若ｆ ｃ 则ｃ就是函数的零点
（ｉ） （ ）＝０， ；
条件
若ｆ ａ ｆ ｃ 则令ｂ ｃ 此时零点ｘ ａ ｃ
端点值满足ｆ ａ ｆ ｂ ＜ （ｉｉ） （ ）·（ ）＜０， ＝ （ ０∈（ ， ））；
→ （ ）·（ ） ０ 若ｆ ｃ ｆ ｂ 则令ａ ｃ 此时零点ｘ ｃ ｂ
结论 存在ｘ ａ ｂ 使得ｆ ｘ ＝ （ｉｉｉ） （ ）·（ ）＜０， ＝ （ ０∈（ ， ））；
→ ０ ∈（ ， ）， （ ０） ０ 第四步 判断是否达到精确度 即若 ａ ｂ 则得到零点
注意 零点存在性定理只能判断函数在某区间上是否存在 ， ε， ｜ － ｜＜ε，
近似值ａ 或ｂ 否则 重复第二 三 四步．
零点 并不能判断零点的个数 但如果函数在区间上是单调函 （ ）； ， 、 、
， ，
数 则该函数在区间上至多有一个零点．
，
{ ｘ ｘ
３．已知函数 ｆ ｘ ｅ ， ≤０， Ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ 且函数
（ ）＝ ｘ２ ａｘ ｘ （ ）＝ （ ）－ －１，
＋ ＋１， ＞０，
Ｆ ｘ 有 个零点 则实数ａ的取值范围为
考点 函数的零点与方程的根 （ ） ２ ， （ ）
Ａ．（－∞，０］ Ｂ．［１，＋∞）
１．设ｆ ｘ ｘ ｘ 则函数ｆ ｘ 的零点所在的区间为
（ ）＝ｌｎ ＋ －２， （ ） （ ） Ｃ．（－∞，１） Ｄ．（０，＋∞）
答案 Ｃ
Ａ．（０，１） Ｂ．（１，２）
Ｃ．（２，３） Ｄ．（３，４） ４．已知函数ｆ ｘ
{ｘ２
＋２
ｘ
，
ｘ
≤０，则函数ｇ ｘ ｆ ｘ 的零点
答案 Ｂ （ ）＝ ｘ ｘ （ ）＝ （１－ ）－１
｜ｌｇ ｜， ＞０，
２．已知函数ｆ ｘ ｘ ｂ的两个零点分别为ｘ ｘ ｘ ｘ 个数为
（ ）＝ ｜２ －２｜＋ １， ２（ １＞ ２）， （ ）
则下列结论正确的是
（ ） Ａ．１ Ｂ．２
ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ
Ａ．１＜ １＜２， １＋ ２＜２ Ｂ．１＜ １＜２， １＋ ２＜１ Ｃ．３ Ｄ．４
ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ 答案 Ｃ
Ｃ． １＞１， １＋ ２＜２ Ｄ． １＞１， １＋ ２＜１
答案 Ａ
ｆ １ １ ３ ｆ １ ２ ３
∵ （１）＝ － ＝ ＞０， （２）＝ － ＝－ ＜０，
２ ５ １０ ４ ５ ２０
ｆ ｆ 由零点存在性定理可知 函数ｆ ｘ 的零点
∴ （１）·（２）＜０，∴ ， （ ）
考点 函数的零点与方程的根 位于区间 ．故选 ．
（１，２） Ｂ
( )ｘ ( )ｘ
１．（２０２０重庆模拟，３）函数ｆ ｘ １ １ ｘ的零点位于区间 ２．已知函数ｆ ｘ １ ｘ 若实数ｘ 是方程ｆ ｘ 的解
（ ）＝ － （ ）＝ －ｌｏｇ３ ， ０ （ ）＝０ ，
２ ５ ５
且ｘ ｘ 则ｆ ｘ 的值
（ ） ０＜ １， （ １） （ ）
恒为负 等于零
Ａ．（０，１） Ｂ．（１，２） Ｃ．（２，３） Ｄ．（３，４） Ａ． Ｂ．
答案 Ｂ 本题考查函数零点存在性定理的运用 体现了逻 恒为正 不大于零
， Ｃ． Ｄ．
辑推理能力．考查的核心素养是数学运算． ( )ｘ
答案 Ａ ｆ ｘ １ ｘ在 内单调递减 若
函数ｆ ｘ 在Ｒ上为减函数 其图象为一条不间断的曲线． （ ）＝ －ｌｏｇ３ （０，＋∞） ，
（ ） ， ５
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １５５
ｆ ｘ 则当ｘ ｘ 时 一定有ｆ ｘ 故选Ａ． ｆ ｘ 的图象与直线ｙ ｘ ａ只有一个交点
（ ０）＝０， ０＜ １ ， （ １）＜０， （ ） ＝－ ＋ ，
３．（２０１７湖南衡阳八中、长郡中学等十三校一模，４）已知 ｘ 表 如图所示 当ａ 时 满足题意 故选 ．
［ ］ ， ＞１ ， ， Ｂ
示不超过实数ｘ的最大整数 ｇ ｘ ｘ 为取整函数 ｘ 是函
， （ ）＝［ ］ ， ０
数ｆ ｘ ｘ ２ 的零点 则ｇ ｘ 等于
（ ）＝ｌｎ － ｘ ， （ ０） （ ）
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
答案 Ｂ ｆ ｆ ２
（２）＝ｌｎ２－１＜０， （３）＝ｌｎ３－ ＞０， {
故ｘ ０∈（２，３），∴ ｇ （ ｘ ０）＝［ ｘ ０］＝２ ．故选 Ｂ ． ３ ７．（２０２０四川南充模拟，９）设函数ｆ （ ｘ ）＝ ｘ １－ ｘ ｘ ２ （｜ ｘ ｜≤１），若
４．（２０１７ 湖 南 衡 阳 八 中 一 模， １１） 设 函 数 ｆ ｘ ｜ ｜（｜ ｜＞１），
（ ） ＝ 方程ｆ ｘ ａ有且只有一个实根 则实数ａ满足
{ｘ２
－６
ｘ
＋６，
ｘ
≥０，若互不相等的实数 ｘ ｘ ｘ 满足 ｆ ｘ ａ
（ ）＝
ａ
，
ａ ａ
（ ）
３ ｘ ＋４， ｘ ＜０， １， ２， ３ （ １）＝ Ａ． 答 ＜ 案 ０ Ｃ 关 Ｂ 于 ．０ ｘ ≤ 的 ＜ 方 １ 程ｆ ｘ Ｃ． ＝ ａ １ 有且只有 Ｄ 一 ． 个 ＞１ 实根 ｙ
ｆ ｘ ｆ ｘ 则ｘ ｘ ｘ 的取值范围是 （ ）＝ ⇔ ＝
（ ( ２）＝ （ ] ３）， ( １＋ ２＋ ３ ) ( ] ( （ ) ） ｆ （ ｘ ） 的图象与直线ｙ ＝ ａ只有一个交点 ， 画出函数的图象如图 ，
１１ ２０ ２６ ２０ ２６ １１ 观察函数的图象可知当ａ 时 ｙ ｆ ｘ 的图象与直线ｙ ａ只
Ａ． ，６ Ｂ． ， Ｃ． ， Ｄ． ，６ ＝１ ， ＝ （ ） ＝
３ ３ ３ ３ ３ ３ 有一个交点 故选 ．
{ｘ２ ｘ ｘ ， Ｃ
答案 Ｂ 函数ｆ ｘ －６ ＋６， ≥０，的图象如图
（ ）＝ ｘ ｘ ，
３ ＋４， ＜０
{ ｘ ｘ
８．已知ｆ ｘ ｜ｌｇ ｜， ＞０，则函数ｙ ｆ２ ｘ ｆ ｘ 的零点个
（ ）＝ ｜ ｘ ｜ ｘ ＝２ （ ）－３（ ）＋１
２ ， ≤０，
不妨设ｘ ｘ ｘ 则ｘ ｘ 关于直线ｘ 对称 且 ７ ｘ 数是 ．
１＜ ２＜ ３， ２， ３ ＝３ ， － ＜ １＜０，
３ 答案
故ｘ ｘ 则ｘ ｘ ｘ 的取值范围是 ７ ｘ ｘ ｘ ５
２＋ ３＝６， １＋ ２＋ ３ － ３ ＋６＜ １＋ ２＋ ３＜０＋ 解析 由 ｆ２ ｘ ｆ ｘ 得ｆ ｘ １ 或ｆ ｘ ．
( ) ２ （ ）－３（ ）＋１＝０ （ ）＝ （ ）＝１
６， 即ｘ １＋ ｘ ２＋ ｘ ３∈ １
３
１ ，６ ．故选 Ｄ ． 作出函数ｙ
＝
ｆ
（
ｘ
）
的图象
（
如图
）
． ２
５．（２０１
的
８
最
湖
小
南
值
永
为
州第
则
三次模拟，１０）已知函数ｆ （ ｘ ）＝ ａ ＋ｌｏｇ２（ ｘ２ ＋ ａ ）（ ａ 由图象知直线ｙ
＝
１ 与ｙ
＝
ｆ
（
ｘ
）
的图象有
２
个交点
，
直线ｙ
＝１
２
＞０） ８， （ ） 与ｙ ｆ ｘ 的图象有 个交点．
ａ ａ ＝ （ ） ３
Ａ．
ａ
∈（５，６） Ｂ．
ａ
∈（７，８） 因此函数ｙ
＝２
ｆ２
（
ｘ
）－３
ｆ
（
ｘ
）＋１
的零点有
５
个．
Ｃ． ∈（８，９） Ｄ． ∈（９，１０）
答案 Ａ 由题意得 ｆ ｘ 在 上单调递减 在
（ ） （－∞，０） ， （０，
上单调递增
＋∞） ，
所以ｆ ｘ ｆ ａ ａ 将问题转化为ａ ａ 有
（ ）ｍｉｎ＝ （０）＝ ＋ｌｏｇ２ ＝８， ＋ｌｏｇ２ ＝８
解 求ａ的范围．
，
令ｇ ａ ａ ａ ａ 则ｇ ａ 在 上单调递增
（ ）＝ ＋ｌｏｇ２ －８， ＞０， （ ） （０，＋∞） ，
又 所以 ｇ （ 根 ５） 据 ＝ 零 ５＋ 点 ｌｏ 存 ｇ２５ 在 － 性 ８＜ 定 ０， 理 ｇ （ 知 ６） ａ ＝ ∈ ６＋ （ ｌ ５ ｏ ， ｇ ６ ２ ） ６－ ． ８＞０， ９． { （２ ｘ ０１７ ｘ 山东枣庄 ４ 月模拟，１２） 已知函数 ｆ （ ｘ ） ＝
故选 ２ －１， ＞０， 若函数ｇ ｘ ｆ ｘ ｍ有 个零点 则实数ｍ
Ａ． ｘ２ ｘ ｘ （ ）＝ （ ）－ ３ ，
解题点拨 根据复合函数的单调性 得到ｆ ｘ ｆ 将问 － －２ ， ≤０，
题转化为 ａ ａ 有解 求ａ的范
，
围．令ｇ
（
ａ
）ｍｉｎ
ａ
＝ （０）
ａ
；
ａ
的取值范围是 ．
＞０， 则ｇ （ ａ ） ＋ 在 ｌｏｇ （ ２ ０， ＝ ＋ ８ ∞） 上 ， 单调递增 ， 根据零 （ 点 ） 存 ＝ 在 ＋ 性 ｌｏ 定 ｇ２ 理 －８ ， ， 得 答案 （０，１） { ｘ ｘ { ｘ ｘ
到答案． 解析 ｆ ｘ ２ －１， ＞０， ２ －１， ＞０，
（ ）＝ ｘ２ ｘ ｘ ＝ ｘ ２ ｘ
{ ｘ ｘ － －２ ， ≤０ －（ ＋１） ＋１， ≤０，
６．（２０２０北京门头沟一模，７）已知函数ｆ ｘ ２（ ≤０）， 且关 画出ｆ ｘ 的图象如图
（ ）＝ ｘ ｘ （ ） ，
ｌｎ （ ＞０），
于ｘ的方程ｆ ｘ ｘ ａ 有且只有一个实数根 则实数ａ的取
（ ）＋ － ＝０ ，
值范围是
（ ）
Ａ．［０，＋∞） Ｂ．（１，＋∞） Ｃ．（０，＋∞） Ｄ．（－∞，１］
答案 Ｂ 本题考查分段函数与方程的根 考查学生灵活运
，
用函数的图象与性质解决问题的能力 考查学生运用数形结合
，
的思想方法分析问题的能力 渗透直观想象的核心素养 体现 由函数ｇ ｘ ｆ ｘ ｍ有 个零点
， ， （ ）＝ （ ）－ ３ ，
数学的综合性． 知ｆ ｘ ｍ有三个根
（ ）＝ ，
关于ｘ的方程ｆ ｘ ｘ ａ 有且只有一个实数根就是函数ｙ 所以实数ｍ的取值范围是 ．
（ ）＋ － ＝０ ＝ （０，１）
１５６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
１０．（２０２０湖南长沙第一中学４月第七次大联考）设函数ｆ ｘ 令ｆ ｘ ｔ 则原问题等价于ｔ２ ｍｔ 有两个不相等的实数
（ ）＝ （ ）＝ ， － ＋２＝０
{ ｘ
ｅｌｎ ｘ 根 设为ｔ ｔ 且 ｔ ｔ ２ 故 ｍ ｔ
ｘ ， ＞０， 函数ｇ ｘ ｆ ｘ ２ ｍｆ ｘ 若函数ｇ ｘ ， １，２， １∈（０，１）， ２＝ ｔ ∈（２，＋∞）， ＝ １＋
（ ）＝［ （ ）］ － （ ）＋２， （ ） １
ｘ ｘ
－２０２０ ， ≤０， ２ 故ｍ的最小整数值为 ．
恰有 个零点 则整数ｍ的最小取值为 ． ｔ ∈（３，＋∞）， ４
４ ， １
答案
４
ｘ ｘ
解析 令ｙ ｅｌｎ ｘ 则ｙ′ ｅ（１－ｌｎ ）
＝ ｘ ， ＞０， ＝ ｘ２ ，
据此可得ｆ ｘ 在 上单调递增 在 上单调递减
（ ） （０，ｅ） ， （ｅ，＋∞） ，
当ｘ 时 ｆ ｘ 取得极大值 为ｆ ．
＝ｅ ， （ ） ， （ｅ）＝１
作出ｆ ｘ 的大致图象 如图．
（ ） ，
考法一 函数零点的个数及所在区间的判断方法
例１ （２０２０ 江苏如皋中学第一学期检测，２）函数
（１）
ｆ ｘ ｘ ２ 的零点所在的大致区间是
（ ）＝ｌｎ － ｘ ＋１ （ ）
Ａ．（２，ｅ） Ｂ．（１，２） ( ) －１ ( ) ０
因为ｆ（ ） １ ， ｆ（ ） １ ，
Ｃ．（ｅ，３） Ｄ．（３，＋∞） １ ＝１－ ＝－１＜０ ２ ＝８－ ＝７＞０
( )ｘ ２ ２
设函数ｙ ｘ３ 与ｙ １ －２ 的图象的交点为 ｘ ｙ 若 所以ｆ（ ）ｆ（ ） ，所以ｘ （ ， ）．
（２） ＝ ＝ （ ０， ０）， １ ２ ＜０ ０∈ １ ２
２ 答案 （ ）Ｂ （ ）（ ， ）
ｘ ｎ ｎ ｎ Ｎ 则ｘ 所在的区间是 ． １ ２ １ ２
０∈（ ， ＋１）， ∈ ， ０ 方法总结 确定函数零点所在区间的方法
解题导引 解法一 利用零点存在性定理进行判断 解
（１） ： ；
法二 利用图象法．
（１）
解方程法
：
当对应方程ｆ
（
ｘ
）＝０
易解时
，
可先解方程
，
然
：
( )ｘ 后看求得的根是否落在给定区间上．
－２
（２）
分别画出函数ｙ
＝
ｘ３ 与ｙ
＝
１ 的图象
，
利用函数零
利用函数零点存在性定理 首先看函数ｙ ｆ ｘ 在区间
２ （２） ： ＝ （ ）
点存在性定理进行判断． ａ ｂ 上的图象是否连续 再看是否有ｆ ａ ｆ ｂ ．若有 则函
［ ， ］ ， （ ）·（ ）＜０ ，
解析 （ １ ）解法一：由于ｆ（ １ ） ＝ｌｎ１－２＋１＝０－２＋１＝－１ ，ｆ（ ２ ） 数ｙ ＝ ｆ （ ｘ 数 ） 在 形 区 结 间 合 （ 法 ａ ， ｂ 通 ） 内 过 必 画 有 函 零 数 点 图 ． 象 观察图象与ｘ轴在给定
（３） ： ，
，函数ｆ（ｘ） ｘ ２ 在（ ， ）上为单调 区间上是否有交点来判断．
＝ｌｎ２－１＋１＝ｌｎ２＞０ ＝ｌｎ － ｘ ＋１ ０ ＋∞
增函数，所以ｆ（ｘ）的零点所在区间为（ ， ），故选 ． 例２ 已知函数ｙ ｆ ｘ 是周期为 的周期函数 且当
１ ２ Ｂ （１） ＝ （ ） ２ ，
ｘ 时 ｆ ｘ ｘ 则函数Ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ 的零点
解法二：方程 ｘ ２ 的根为 ∈［－１，１］ ， （ ）＝２｜ ｜－１， （ ）＝ （ ）－｜ｌｇ ｜
ｌｎ － ｘ ＋１＝０ 个数是
（ ）
ｆ（ｘ） ｘ ２ 的零点，即函数ｆ（ｘ）的 Ａ．９ Ｂ．１０ Ｃ．１１ Ｄ．１８
＝ｌｎ － ｘ ＋１ （多选题）（２０２１ 届湖南衡阳一中第二次月考，１０）某
（２）
ｘ
零点所在区间是函数ｙ ｘ 与ｙ ２ 同学在研究函数ｆ ｘ ｘ Ｒ 时 给出下面几个结论 其
＝ｌｎ ＋１ ＝ ｘ （ ）＝ ｘ （ ∈ ） ， ，
１＋｜ ｜
的图象交点横坐标所在区间，两函数图象如图所示： 中正确的有
（ ）
ｆ ｘ 的图象关于原点对称
由图可知ｆ（ｘ） ｘ ２ 的零点所在区间为（ ， ），故 Ａ． （ ）
＝ ｌｎ － ｘ ＋１ １ ２ 若ｘ ｘ 则ｆ ｘ ｆ ｘ
选 ． Ｂ． ｆ ｘ １ 的 ≠ 值 ２， 域为 （ １）≠（ ２）
Ｂ ( )ｘ Ｃ． （ ） （－１，１）
（ ２ ）设ｆ（ｘ） ＝ ｘ３ － ２ １ －２ ，则ｘ ０ 是函数ｆ（ｘ）的零点，在同一 Ｄ． 函数ｇ （ ｘ ）＝ ｆ （ { ｘ ）－ ｘ ｘ ｘ 仅 ２ 有 ｘ 一 ｘ 个零点
( )ｘ 函数ｆ ｘ ｌｎ － ＋２ ， ＞０，的零点个数是 ．
坐标系下画出函数ｙ
＝
ｘ３ 与ｙ
＝
１ －２ 的图象如图所示． （３） （ ）＝
４
ｘ
＋１，
ｘ
≤０
２ 解题导引 函数Ｆ ｘ 的零点个数就是函数ｙ ｆ ｘ 与
（１） （ ） ＝ （ ）
ｙ ｘ 图象交点的个数 作出函数图象 结合图象确定零点的
＝｜ｌｇ ｜ ， ，
个数．
（２）
画出函数的图象 结合图象确定零点的个数．
（３） ，
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １５７
解析 （ ）由Ｆ（ｘ） 得ｆ（ｘ） ｘ ，所以函数 Ｆ（ｘ）
１ ＝ ０ ＝ ｜ｌｇ ｜ ＝ 例 （２０２０广西桂林七星模拟，１０）设三个函数ｙ ｘ ｘ
＝２ ＋ －
ｆ（ｘ） ｘ 的零点个数就是函数ｙ ｆ（ｘ）与ｙ ｘ 图象交点的
－｜ｌｇ ｜ ＝ ＝｜ｌｇ ｜ ｙ ｘ ｘ 和ｙ ｘ３ ｘ２ ｘ 的零点分别为ｘ ｘ 和ｘ
个数．作出函数图象，如图所示： ２， ＝ｌｏｇ２ ＋ －２ ＝ －３ ＋３ －１ １， ２ ３，
则有
（ ）
ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ
Ａ． １ ２≥ ３， １＋ ２≥２ ３
ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ
Ｂ． １ ２＜ ３， １＋ ２＝２ ３
ｘ ｘ ｘ２ ｘ ｘ ｘ
Ｃ． １ ２＞ ３， １＋ ２≤２ ３
ｘ ｘ ｘ２ ｘ ｘ ｘ
当 ｘ 时，有 个交点；当ｘ 时， ｘ ，所以此 Ｄ． １ ２＝ ３， １＋ ２≥２ ３
时函数
０
ｙ
＜
ｆ
≤
（ｘ
１
）
０
与ｙ
１０
ｘ 的图象无交
＞
点
１０
．故函
｜
数
ｌｇ
Ｆ（
｜＞
ｘ）
１
ｆ（ｘ）
解析 本题考查了利用数形结合研究函数的零点问题，考
＝ ＝｜ｌｇ ｜ ＝ －
ｘ 的零点个数是 ． 查了数学运算和直观想象的核心素养．
｜ｌｇ ｜ １０
（ ）函数ｆ（ｘ）的定义域为全体实数， 易知ｘ ．
２ ３＝１
ｘ ｘ 画出函数ｙ ｘ，ｙ ｘ与ｙ ｘ的图象如图，
ｆ（ ｘ） － ｆ（ｘ）， ＝２ ＝ｌｏｇ２ ＝２－
所 － 以ｆ ＝ （ｘ １ ） ＋ 是 ｜－ 奇 ｘ ｜ 函 ＝ 数 － １ ， ＋ 图 ｜ ｘ 象 ｜ ＝ 关 － 于原点对称，故 正确； 其中Ａ（ｘ １ ，ｙ １ ），Ｂ（ｘ ２ ，ｙ ２ ）分别是函数ｙ ＝２ ｘ 与ｙ ＝ｌｏｇ２ ｘ的
Ａ 图象与直线ｙ ｘ的交点，
ｘ
＝２－
选项 ，当ｘ 时，ｆ（ｘ） １ ，显然函数单调递增， 由于指数函数ｙ ａｘ 与ｙ ｘ（ａ 且ａ ）的图象关于
Ｂ ≥０ ＝ ｘ＝１－ ｘ ＝ ＝ｌｏｇａ ＞０ ≠１
１＋ １＋ 直线ｙ ｘ对称，且直线ｙ ｘ也关于直线ｙ ｘ对称，
此时 ｆ（ｘ） ； ＝ ＝２－ ＝
０≤ ＜１ 所以交点Ａ、Ｂ关于直线ｙ ｘ对称，
ｘ ＝
当ｘ 时， ｆ（ｘ） １ ，显然函数单调递增，此时 ｘ ｘ ｙ ｙ
ｆ（ｘ） ＜０ ，因此函数 ＝ 在 １ 整 － ｘ 个 ＝－ 实 １ 数 ＋ １ 集 － ｘ 上是单调递增的，因此若ｘ 所以 １＋ ２ ２ ＝ １＋ ２ ２ ⇒２－ ｘ １＋２－ ｘ ２＝ ｘ １＋ ｘ ２ ，
－１＜ ＜０ １ 所以ｘ ｘ ．
≠
ｘ
２
，则ｆ（ｘ
１
）
≠
ｆ（ｘ
２
）是正确的，本选项是正确的； １＋ ２＝２
选项 ，由选项 的分析可以知道本选项是正确的； æｘ ｘ ö２
Ｃ Ｂ 由基本不等式得ｘ ｘ ç １＋ ２÷ （ ｘ ｘ ），故选Ｂ．
ｘ ｘ ｘ １ ２＜è ø ＝１ ０＜ １＜ ２
选项 ，ｇ（ｘ） ｆ（ｘ） ｘ ｆ（ｘ） ｘ ｘ － ｜ ｜ ２
Ｄ ＝ － ＝０⇒ ＝ ⇒ ｘ ＝ ⇒ ｘ ＝０
１＋｜ ｜ １＋｜ ｜
ｘ ，只有一个零点， 正确．
⇒ ＝０ Ｄ
（ ）当ｘ 时，作函数ｙ ｘ和ｙ
３ ＞０ ＝ｌｎ
ｘ２ ｘ的图象，如图．由图知，当ｘ
＝ －２ ＞０
时， ｆ（ｘ）有 个零点；
２
当ｘ 时，由ｆ（ｘ） 得ｘ １ ．
≤０ ＝０ ＝－
４
综上， ｆ（ｘ）有 个零点． 答案 Ｂ
３
答案 （ ）Ｂ （ ）ＡＢＣＤ （ ） 解题关键 将ｘ ｘ 分别看成ｙ ｘ ｙ ｘ的图象与直
１ ２ ３ ３ １， ２ ＝２ ， ＝ｌｏｇ２
方法总结 判断函数零点个数的常用方法 线ｙ ｘ的交点的横坐标 结合ｙ ｘ ｙ ｘ的图象关于直
＝２－ ， ＝２ ， ＝ｌｏｇ２
（１）
解方程法
：
令ｆ
（
ｘ
）＝０，
如果有解
，
则有几个不同的解就有几个 线ｙ ＝ ｘ对称得到ｘ １＋ ｘ ２＝２ 是解题的关键．
零点． 例 （２０２０浙江杭州期末，１６）已知函数ｆ ｘ ｘ３ ｘ ｇ
（ ）＝ －９ ，
函数零点存在性定理 利用该定理不仅要求函数在 ａ ｘ ｘ２ ａ ａ Ｒ ．若方程ｆ ｘ ｇ ｘ 有三个不同的实数解
（２） ： ［ ， （ ）＝３ ＋ （ ∈ ） （ ）＝ （ ）
ｂ 上的图象连续 且ｆ ａ ｆ ｂ 还必须结合函数的图象和 ｘ ｘ ｘ 且它们可以构成等差数列 则ａ ．
］ ， （ ）· （ ）＜０， １， ２， ３， ， ＝
性质 如单调性 奇偶性 周期性 对称性 才能确定函数有多少 解析 本题考查方程的根与函数的零点的关系，根据根与
（ 、 、 、 ）
个零点．
系数的关系设Ｆ（ｘ） （ｘ ｘ ）（ｘ ｘ ）（ｘ ｘ ）是关键，考查了学
数形结合法 转化为两个函数图象的交点的个数问题 ＝ － １ － ２ － ３
（３） ： ， 生的计算能力，属于中档题．
有几个交点就有几个不同的零点．
令Ｆ（ｘ） ｆ（ｘ） ｇ（ｘ） ｘ３ ｘ２ ｘ ａ，则Ｆ（ｘ） 有三个
＝ － ＝ －３ －９ － ＝０
不同的实数解ｘ ，ｘ ，ｘ ，且ｘ ，ｘ ，ｘ 成等差数列，设ｘ ｘ ｄ，
例 （２０２０云南大理、丽江、怒江一模，１１）设函数ｆ ｘ １ ２ ３ １ ２ ３ １＝ ２－
（ ）＝ ｘ ｘ ｄ，则Ｆ（ｘ） ［ｘ （ｘ ｄ）］（ｘ ｘ ）［ｘ （ｘ ｄ）］ ｘ３
ｘ ｘ ｇ ｘ ｘ ｘ２ ．若实数ａ ｂ满足ｆ ａ ｇ ｂ 则 ３＝ ２＋ ＝ － ２－ － ２ － ２＋ ＝ －
ｅ ＋ －２， （ ）＝ｌｎ ＋ －３ ， （ ）＝０， （ ）＝０， ｘ ｘ２ （ ｘ２ ｄ２）ｘ ｘ３ ｘ ｄ２．
３ ２ ＋ ３ ２－ － ２＋ ２
（ ） ì ｘ ，
ｇ ａ ｆ ｂ ｆ ｂ ｇ ａ ïï－３ ２＝－３
Ａ
Ｃ．
．
０＜
（
ｇ
（
）
ａ
＜
）
０
＜
＜
ｆ
（
（
ｂ
）
） Ｂ
Ｄ
．
．
ｆ
（
（
ｂ
）
）
＜
＜
０
ｇ
＜
（
ａ
（
）＜
）
０
对照ｘ各次方的系数，可知í
ïï３
ｘ２
２－
ｄ２
＝－９
， 得ａ
＝－１１
．
解析 易知函数ｆ（ｘ）单调递增， ｆ（ ０ ） ＝－１＜０ ， ｆ（ １ ） ＝ｅ－１
î
－
ｘ３
２＋
ｘ
２
ｄ２
＝－
ａ，
答案
＞０
，由ｆ（ａ）
＝ ０
知
０＜
ａ
＜１
；函数 ｇ（ｘ）在定义域内单调递增， －１１
ｇ（ ） ，ｇ（ ） ，由 ｇ（ｂ） 知 ｂ ， ｇ（ａ） 一题多解 三次方程的韦达定理的应用 由题可知ｘ
１ ＝－２＜０ ２ ＝ｌｎ ２＋１＞０ ＝ ０ ＞１ ∴ ＜ （ ） １，
ｇ（ ） ， ｆ（ｂ） ｆ（ ） ．故ｇ（ａ） ｆ（ｂ）． ｘ ｘ 为方程ｘ３ ｘ２ ｘ ａ 的三个不等实根 且满足ｘ ｘ
１ ＜０ ＞ １ ＞０ ＜０＜ ２， ３ －３ －９ － ＝０ ， １＋ ３＝
答案 Ａ ｘ 而ｘ ｘ ｘ 所以 ｘ 即ｘ 所以 ａ
２ ２， １＋ ２＋ ３＝３， ３ ２＝３， ２＝１， １－３－９－ ＝０，
即ａ ．
＝－１１
１５８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
例 （２０２０重庆一中摸底）已知偶函数ｙ ｆ ｘ ｘ Ｒ满
＝ （ ）， ∈
{ ｘ ｘ （２）
ｌｏｇ２ ， ＞０，
足ｆ ｘ ｘ２ ｘ ｘ ．若函数ｇ ｘ 则ｙ ｆ ｘ ｇ
（ ）＝ －３ （ ≥０） （ ）＝ １ ｘ ＝ （ ）－ 根据题意 对ａ进行分类讨论 根据零点个数确定实数
－ ｘ ， ＜０， （３） ， ，
ａ的取值范围．
ｘ 的零点个数为
（ ） （ ） 解析 （ ）由ｆ（ｘ） ｘ ｘ ，ｇ（ｘ） ｘ ｘ ，
Ａ．１ Ｂ．３ １ ＝２ ＋ ＝０ ＝ －ｌｏｇ１ ２ ＝０
ｈ（ｘ） ｘ ｘ 得 ｘ ｘ，ｘ ｘ， ｘ ｘ．
Ｃ．２ Ｄ．４ ＝ｌｏｇ２ － ＝０ ２ ＝－ ＝ｌｏｇ１ ２ ｌｏｇ２ ＝
解析 本题考查分段函数零点个数的判断．ｙ ｆ（ｘ） ｇ（ｘ） 在坐标系中分别作出ｙ ｘ，ｙ ｘ，ｙ ｘ，ｙ ｘ，ｙ ｘ，ｙ
＝ － ＝２ ＝－ ＝ ＝ｌｏｇ１ ２ ＝ｌｏｇ２
的零点个数即为方程ｆ（ｘ） ｇ（ｘ）的根的个数，即函数ｙ ｆ（ｘ） ｘ的图象，如图．
＝ ＝ ＝
和ｙ ｇ（ｘ）图象的交点个数，作出两函数图象，如图所示，由图
＝
象可知共有 个交点，故选Ｂ．
３
答案 Ｂ
由图可知ｘ ｘ ｘ ．
方法总结 研究函数的零点个数问题时 若解方程不易 １＜ ２＜ ３
， （ ）ｆ（ｘ） ｇ（ｘ） ，即ｂ ｆ（ｘ） ｆ（ ｘ），函数ｙ ｆ（ｘ） ｇ（ｘ）
求解或者遇到超越方程时 应优先考虑数形结合． ２ － ＝０ ＝ ＋ ２－ ＝ －
， 有 个零点，可转化为直线ｙ ｂ与ｙ ｆ（ｘ） ｆ（ ｘ）的图象有
例 （２０２０天津第二十五中学模拟，９）已知函数ｆ （ ｘ ）＝ ４ ＝ { ＝ ｘ２ ｘ ＋ （ｘ ２－ ）， ４
{ ｘ ｘ ＋ ＋２ ＜０
２ ＋１， ≤０，则方程ｆ ｆ ｘ 的实数根的个数是 个不同的交点．又ｙ ｆ（ｘ） ｆ（ ｘ） （ ｘ ），
ｘ ｘ ［ （ ）］＝３ （ ） ＝ ＋ ２－ ＝ ２ ０≤ ≤２
｜ｌｎ ｜， ＞０， ｘ２ ｘ （ｘ ）．
－５ ＋８ ＞２
Ａ．６ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ 在同一直角坐标系中分别画出直线ｙ ｂ与ｙ ｆ（ｘ） ｆ（ ｘ）
{ ｘ ，ｘ ， ＝ ＝ ＋ ２－
解析 画出函数ｆ（ｘ） ２ ＋１ ≤０ 的图象，令 ｔ ｆ（ｘ），
＝ ｘ ，ｘ ＝ 的图象（如图），可得 ７ ｂ ，故选 ．
｜ｌｎ ｜ ＞０ ＜ ＜２ Ｄ
易知ｆ（ｔ） 有两解ｔ （ ， ），ｔ （ ， ），则ｔ ｆ（ｘ）， ｔ ４
＝３ １∈ ０ １ ２∈ １ ＋∞ １＝ ２＝
ｆ（ｘ）分别有 个解， 个解，故方程ｆ［ｆ（ｘ）］ 的实数根的个
３ ２ ＝３
数是 ．故选 ．
３＋２＝５ Ｄ
（ ）若ａ ，当ｘ ， ｆ（ｘ） ｘ ａ恰有一个零点 ａ时，有
３ ＞０ ＜１ ＝２ － ｌｏｇ２
{ａ ，
答案 Ｄ ＜２
ａ ， 解得 １ ａ ；
＜１ ≤ ＜１
考法二 函数零点性质的应用 ａ ， ２
２ ≥１
{ａ ，
例３ 已知函数ｆ ｘ ｘ ｘ ｇ ｘ ｘ ｘ ｈ ｘ 当ｘ ， ｆ（ｘ） ｘ ａ无零点时，有 ≥２ 解得ａ ．
（１） （ ）＝２ ＋ ， （ ）＝ －ｌｏｇ１ ２ ， （ ）＝ ＜１ ＝２ － ａ ａ， ≥２
ｘ ｘ ｘ 的零点分别为ｘ ｘ ｘ 则ｘ ｘ ｘ 的大小关 １≤ ＜２
ｌ 系 ｏｇ 是 ２ － （０＜ ＜１０） １， ２， ３， １， ２， ３ 若ａ ≤０ ，当ｘ ＜１ 时， ｆ（ｘ）无零点；
（ ） {ａ ，
ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ 当ｘ 时，由题意知应恰有两个零点，所以 ≥１ 无解．
Ａ． ｘ １＞ ｘ ２＞ ｘ ３ Ｂ． ｘ ２＞ ｘ １＞ ｘ ３ ≥１ ２ ａ ≥１ ，
Ｃ． １＞ ３＞ ２ { ｘ ｘ Ｄ． ３＞ ２＞ １ 综上，１ ａ 或ａ ．
已知函数ｆ ｘ ２－｜ ｜， ≤２，函数ｇ ｘ ｂ ｆ ｘ ≤ ＜１ ≥２
（２） （ ）＝ ｘ ２ ｘ （ ）＝ － （２－ ）， ２
（ －２） ， ＞２，
其中ｂ ∈ Ｒ．若函数ｙ ＝ ｆ （ ｘ ）－ ｇ （ ｘ ） 恰有 ４ 个零点 ， 则ｂ的取值范围 答案 （ １ ）Ｄ （ ２ ）Ｄ （ ３ ） １ ２ ≤ ａ ＜１ 或ａ ≥２
是
（ ） 方法总结 零点性质的应用
( ) ( ) ( ) ( )
７ ７ ７ ７ 已知函数有零点 方程有根 求参数的值或取值范围常用的
Ａ． ，＋∞ Ｂ． －∞， Ｃ． ０， Ｄ． ，２ （ ）
４ ４ ４ ４ 方法和思路
{ ｘ ａ ｘ ：
设函数ｆ ｘ ２ － ， ＜１， 若ｆ ｘ 恰有 个 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式
（３） （ ）＝ ｘ ａ ｘ ａ ｘ ． （ ） ２ （１） ：
４（ － ）（ －２ ）， ≥１ 组 再通过解不等式 组 确定参数范围
零点 则实数ａ的取值范围是 ． （ ）， （ ） ；
， 分离参数法 先将参数分离 转化成求函数最值问题加
解题导引 分别作出函数ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ （２） ： ，
（１） ＝２ ， ＝－ ， ＝ ， ＝ｌｏｇ１ ２ ， 以解决
ｙ ＝ｌｏｇ２ ｘ ， ｙ ＝ ｘ的图象 ， 结合图象确定ｘ １， ｘ ２， ｘ ３ 的大小关系． （３ ； ） 数形结合法 ： 先对解析式变形 ， 在同一平面直角坐标系
中画出函数的图象 然后数形结合进行求解．
，
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １５９
例 （２０２０ 天津南开一模，９） 已知函数 ｆ ｘ
（ ） ＝
{ ｘ２
ｘ
ｘ ， ≤０， 若方程ｆ ｘ ａｘ 有 个不同的实数
－１ （ ）＝ ４
ｘ３ ａ ｘ２ ａｘ ｘ
－（ ＋１） ＋２ ， ＞０，
根 则实数ａ的取值范围是
， （ ）
Ａ．（－１，０） Ｂ．（０，１） Ｃ．（０，１］ Ｄ．（１，＋∞）
解析 由题意知ｘ 满足方程ｆ（ｘ） ａｘ，当ｘ 时，只需
＝０ ＝ ＜０
ｘ ａ
ａ有一个负根，即ｘ ，解得 ａ ， 由图可知，方程ｆ（ｘ） １ 有 个实根，故方程ｆ（ｘ） ｍ有
ｘ ＝ ＝ａ ＜０ ０＜ ＜１ ＝ １ ＝ ２
－１ －１ ２
当ｘ 时，只需ｘ２ （ａ ）ｘ ａ 有两个正根，方程可化 个实根，故ｍ的取值范围为［ ， ） ｛ ｝．故选Ｂ．
＞０ － ＋１ ＋ ＝０ ２ ５ ∪ １
为（ｘ ）（ｘ ａ） ，故两根为 ，ａ， ａ 且ａ ．综上可知，当 解后反思 本题考查函数与方程的应用，考查数形结合
－１ － ＝０ １ ∴ ＞０ ≠１
ａ 时，方程ｆ（ｘ） ａｘ有 个不同的实数根．故选 ． 以及转化思想的应用，是中档题．
０＜ ＜１ ＝ ４ Ｂ
答案 Ｂ 例 （２０１８ 江西新余二模，１６） 已知函数 ｆ ｘ
（ ） ＝
思路分析 显然 ｘ ＝０ 满足方程 ｆ （ ｘ ）＝ ａｘ ， 然后当 ｘ ≠０ {ｘ ， ｘ ≥ ａ ， 若函数ｇ ｘ ｆ ｘ ａｘ恰有 个不同的零点 则
{ ｘ ｘ３ ｘ ｘ ａ． （ ）＝２（ ）－ ２ ，
时 确定ａ ｆ （ ｘ ） ｘ ， ｘ ＜０， 有 个实根 显然在ｘ 实数 －３ ａ的 ， ＜ 取值范围是 ．
， ＝ ｘ ＝ ｘ２ －
－
１
（
ａ
＋１）
ｘ
＋２
ａ
，
ｘ
＞０
３ ， ＜
解析 ｇ（ｘ）
{（
２－
ａ） ｘ， ｘ
≥
ａ ，
ｘ ＝ ｘ３ （ ａ）ｘ，ｘ ａ．
时 ａ有一个负根 在ｘ 时 ｘ２ ａ ｘ ａ ａ有两个 ２ － ６＋ ＜
０ ，ｘ ＝ ， ＞０ ， －（ ＋１） ＋２ ＝ 显然，当ａ 时，ｇ（ｘ）有无穷多个零点，不符合题意；
－１ ＝２
正根 进一步求解即可． 当ｘ ａ时，令ｇ（ｘ） ，得ｘ ，
， ≥ ＝０ ＝０
例 （２０２０ 陕西商洛模拟，１１） 已知函数 ｆ ｘ ａ
（ ） ＝ 当ｘ ａ时，令ｇ（ｘ） ，得ｘ 或ｘ２ ６＋ ．
{
２ － －
ｘ２
２ － － ｘ ４ ，
ｘ
ｘ ＋ ＞ １ ０ ， ．
ｘ
≤０，若关于ｘ的方程 ２ ｆ ２ （ ｘ ）－（２ ｍ ＋１） ｆ （ ｘ ）＋ ｍ ＝０ （ １ ）若
＜
ａ ＞０ 且ａ ≠２
＝
，则
０
ｇ（ｘ
＝
）
０
在［ａ， ＋
＝
∞ ２ ）上无零点，在（ －
恰有 个不同的实根 则ｍ的取值范围为 ａ
３ ， （ ） ，ａ）上存在零点ｘ 和ｘ ６＋ ，
∞ ＝０ ＝－
Ａ．（１，２） Ｂ．［２，５）∪｛１｝ ２
ａ
Ｃ．｛１，５｝ Ｄ．（２，５）∪｛１｝ ６＋ ａ，解得 ａ ，
本题考查函数与方程的应用 考查数形结合以及转化思想 ∴ ≥ ０＜ ＜２
， ２
的应用 考查了直观想象和数学运算的核心素养． （ ）若ａ ，则ｇ（ｘ）在［ ， ）上存在零点ｘ ，在（ ，
， ２ ＝０ ０ ＋∞ ＝０ －∞
由 ｆ ２ ｘ ｍ ｆ ｘ ｍ ｆ ｘ ｆ ｘ ｍ 得ｆ ｘ ）上存在零点ｘ ，符合题意．（ ）若ａ ，则ｇ（ｘ）在［ａ，
２ （ ）－（２ ＋１） （ ）＋ ＝［２（ ）－１］［ （ ）－ ］＝０， （ ） ０ ＝－ ３ ３ ＜０ ＋
）上存在零点ｘ ，
１ 或ｆ ｘ ｍ．作出ｙ ｆ ｘ 的图象 如图所示． ∞ ＝０
＝ （ ）＝ ＝ （ ） ， ｇ（ｘ）在（ ，ａ）上只有 个零点， （ ，ａ），
２ ∴ －∞ １ ∵０∉ －∞
ａ
ｇ（ｘ）在（ ，ａ）上的零点为ｘ ６＋ ，
∴ －∞ ＝－
２
ａ
６＋ ａ，解得 ３ ａ ．
∴ － ＜ － ＜ ＜０
２ ２
( )
综上，ａ的取值范围是 ３ ， ．
－ ２
２
( )
答案 ３ ，
－ ２
２
当ｋ 时 有 个零点 当ｋ 时 有 个零点
Ａ． ＞０ ， ３ Ｂ． ＜０ ， ２
当ｋ 时 有 个零点 当ｋ 时 有 个零点
Ｃ． ＞０ ， ４ Ｄ． ＜０ ， １
答案 ＣＤ
考法一 函数零点的个数及所在区间的判断方法 ３．（２０２０宁夏银川一中第一次月考，５）下列函数中 在
， （－１，１）
１．（２０１９河北石家庄模拟，５）ｆ ｘ ｘ ｘ 在下列哪个区间必 内有零点且单调递增的是
（ ）＝ｅ － －２ （ ）
有零点 ｙ ｘ ｙ ｘ
（ ） Ａ． ＝ｌｏｇ１ ３ Ｂ． ＝３ －１
Ａ．（－１，０） Ｂ．（０，１） ｙ ｘ２ １ ｙ ｘ３
Ｃ． ＝ － Ｄ． ＝－
Ｃ．（１，２） Ｄ．（２，３） ２
答案 Ｃ 答案 Ｂ
２．（多选题）（２０２１届山东枣庄三中第一次月考（９月））已知函 ４．（多选题）（２０２１届江苏扬州邗江蒋王中学第一次质量检测，
{ｋｘ ｘ １２）已知函数ｆ ｘ 是定义在Ｒ上的奇函数 当ｘ 时 ｆ ｘ
数ｆ ｘ ＋１， ≤０，下列是函数ｙ ｆ ｆ ｘ 的零点个 （ ） ， ＜０ ， （ ）＝
（ ）＝ ｘ ｘ ＝ （｜ （ ）｜）＋１ ｘ ｘ 则下列命题正确的是
ｌｏｇ２ ， ＞０， ｅ（ ＋１）， （ ）
数的 个判断 其中正确的是 当ｘ 时 ｆ ｘ － ｘ ｘ
４ ， （ ） Ａ． ＞０ ， （ ）＝－ｅ （ －１）
１６０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
函数ｆ ｘ 有 个零点 ( ) ( )
Ｂ． （ ） ３ ２ １ ３ １ ３ ２
ｆ ｘ 的解集为 Ｃ． ，ｅ Ｄ． －ｅ ，
Ｃ． （ ）＜０ （－∞，－１）∪（０，１） ３ ３
ｘ ｘ Ｒ 都有 ｆ ｘ ｆ ｘ 答案 Ｂ
Ｄ．∀ １， ２∈ ， ｜ （ １）－（ ２）｜＜２
答案 ＢＣＤ ６．（２０２０江苏如皋中学第一学期阶段检测，１８）已知ｆ ｘ 是定
（ ）
义在 上的奇函数 且当 ｘ 时 ｆ ｘ
（－∞，０）∪（０，＋∞） ， ＞０ ， （ ）＝
考法二 函数零点性质的应用 { ｘ ｘ
３ －７，０＜ ≤２，ｇ ｘ ｆ ｘ ａ．
５．（２０２１届重庆巴蜀中学高考适应性月考（一），１２）已知函数 ｘ ｘ （ ）＝ （ ）－
｜ －５｜－１， ＞２，
{ ｘ２ ｘ ｘ 若函数ｇ ｘ 恰有三个不相同的零点 求实数ａ的值
ｆ ｘ － －２ ， ≤０，若函数ｇ ｘ ｆ ｘ ｍｘ ｍ ２ 有 个零 （１） （ ） ， ；
（ ）＝ ｘ ｘ ． （ ）＝ （ ）－ － ＋ ４ 记ｈ ａ 为函数 ｇ ｘ 的所有零点之和．当 ａ 时 求
ｌｎ（ ＋１）， ＞０ ３ （２） （ ） （ ） －１＜ ＜１ ，
点 则实数ｍ的取值范围是 ｈ ａ 的取值范围．
， （ ） （ ）
[ ) ( )
２ －３ １ ２ －３ １
Ａ． ，ｅ Ｂ． ，ｅ
３ ３
ｘ 函数ｙ ｘ分别与函数ｙ １ 的图象的公共点Ａ Ｂ的横
＝ｅ 、 ＝ｌｎ ＝ ｘ ，
坐标来求解．
考法一 函数零点的个数及所在区间的判断方法 ４．（２０１８百校联盟 ２０三月联考，１６）已知函数ｆ ｘ ｘ ｘ
ＴＯＰ （ ）＝ ｜ －
ｘ 存在ｘ ｘ ｘ 使得ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 则ｘ ｘ
１．（２０１７陕西渭南二模）函数 ｆ ｘ ｘ ２ 的零点所在的 ４｜＋２ ， ３＞ ２＞ １≥０， （ １）＝ （ ２）＝ （ ３）， １ ２·
（ ）＝ ｌｎ －ｘ ｆ ｘ 的取值范围是 ．
－１ （ ３）
区间是 答案
（ ） （６４，８１）
{ｘ２ ｘ ｘ
Ａ．（１，２） Ｂ．（２，３） Ｃ．（３，４） Ｄ．（４，５） 解析 ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ －２ ， ≥４，作出 ｆ ｘ 的图象
答案 Ｂ 由题意可知函数ｆ
（
ｘ
）
是定义在
（０，１）∪（１，＋∞）
（ ）＝ ｜ －４｜＋２ ＝
－
ｘ２
＋６
ｘ
，
ｘ
＜４，
（ ）
上的增函数 又注意到ｆ 和ｆ 所 如图
， （２）＝ｌｎ２－２＜０ （３）＝ｌｎ ３－１＞０， ，
以ｆ ｆ 根据零点存在性定理 知函数ｆ ｘ ｘ ２
（２） （３）＜０， ， （ ）＝ｌｎ －ｘ
－１
在区间 上必存在零点．故选
（２，３） Ｂ．
{ ｘ ｘ
２．已知函数ｆ ｘ ４ ＋３， ≤０， 则函数ｙ ｆ ｆ ｘ 的零点
（ ）＝ ｘ ｘ２ ｘ ＝ （ （ ））
２ ＋ｌｏｇ９ －９， ＞０，
所在区间为
（ ）
( )
７
Ａ． ３， Ｂ．（－１，０）
２
( )
７
Ｃ． ２ ，４ Ｄ．（４，５） 由图象可知 ｘ ｘ 且 ｘ
答案 Ａ 本题考查分段函数 复合函数的零点所在区间．当 ， １＋ ２＝６， ２＜ １＜３，
、 ｘ ｘ ｆ ｘ ｘ ｘ ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ２ ｘ ｘ２
ｘ 时 ｆ ｘ 当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ ｘ２ ｘ ｘ ∴ １ ２ （ ３）＝ １（６－ １） （ １）＝ １（６－ １）（－ １＋６ １）＝ （－ １＋
≤ 为 ０ 增函 ，３ 数 ＜（ 且 ） ｆ ≤４； 则 ＞０ ｘ ， 是 （ 唯 ） 一 ＝ 的 ２ ＋ 零 ｌｏ 点 ｇ９ 所 － 以 ９＝ 令 ２ ｆ ＋ｌ ｆ ｏｇ ｘ ３ － ６ ｘ １） ２ ＝［－（ ｘ １－３） ２ ＋９］ ２ ，
９ ， （３）＝０， ＝３ ， （ （ ）） ｘ ｘ ２
( ) ∵２＜ １＜３，∴ －（ １－３） ＋９∈（８，９），
得ｆ ｘ ｘ ｘ 因为ｆ ｆ ７ ｘ ｘ ｆ ｘ ．
＝０， （ ）＝２ ＋ｌｏｇ３ －９＝３， （３）＝ ０＜３， ＝８ ２＋ ∴ １ ２ （ ３）∈（６４，８１）
２
考法二 函数零点性质的应用
７ ． ． 所以函数ｙ ｆ ｆ ｘ
ｌｏｇ３ －９＞８×１４１４＋ｌｏｇ３３－９＝３ ３１２＞３， ＝ （ （ ））
２ １．（２０２０黑龙江哈尔滨六中期末）已知定义在 Ｒ上的偶函数 ｆ
( )
的零点所在区间为 ７ ．故选Ａ． ｘ 满足ｆ ｘ ｆ ｘ 且ｘ 时 ｆ ｘ ｘ 则函数ｇ ｘ
３， （ ） （ ＋２）＝ （ ）， ∈［０，１］ ， （ ）＝ ， （ ）
２ ｆ ｘ ｘ在 上的所有零点之和为
３．（２０１９湖南娄底二模，９）若ｘ 是方程ｘ ｘ 的解 ｘ 是方程 ＝ （ ）－ｃｏｓ π ［－２，４］ （ ）
１ ｅ ＝１ ， ２
ｘ ｘ 的解 则ｘ ｘ 等于 Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．８
ｌｎ ＝１ ， １ ２ （ ） 答案 Ｃ 本题考查函数零点之和．函数ｇ ｘ ｆ ｘ ｘ
（ ）＝ （ ）－ｃｏｓ π
１ 的零点即方程ｆ ｘ ｘ 的根 也就是函数ｙ ｆ ｘ 与ｙ
Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ．ｅ Ｄ． （ ）－ｃｏｓ π ＝０ ， ＝ （ ） ＝
ｅ ｘ图象交点的横坐标．由ｆ ｘ ｆ ｘ 可得函数ｆ ｘ 的
答案 Ａ 考虑到ｘ ｘ 是函数ｙ ｘ 函数ｙ ｘ分别与函 ｃｏｓ π （ ＋２）＝ （ ）， （ ）
１， ２ ＝ｅ 、 ＝ｌｎ 周期为 又ｆ ｘ 是定义在Ｒ上的偶函数 且当ｘ 时 ｆ
( ) ２， （ ） ， ∈［０，１］ ，
数ｙ １ 的图象的公共点 Ａ Ｂ 的横坐标 而 Ａ ｘ １ ｘ ｘ 作出函数ｙ ｆ ｘ 与ｙ ｘ的部分图象如图 由图
＝ ｘ ， ， １，ｘ ， （ ）＝ ， ＝ （ ） ＝ｃｏｓ π ，
１ 可知 函数ｇ ｘ ｆ ｘ ｘ在区间 上的所有零点之
( ) ， （ ）＝ （ ）－ｃｏｓπ ［－２，４］
Ｂ ｘ １ 两点关于直线ｙ ｘ对称 因此ｘ ｘ ．故选 和为 ．故选Ｃ．
２，ｘ ＝ ， １ ２＝１ Ａ． （－１）×２＋１×２＋３×２＝６
２
解题关键 本题考查函数与方程的综合问题 正确转化是解
，
题的关键 将方程ｘ ｘ 的解 方程ｘ ｘ 的解转化为函数ｙ
， ｅ ＝１ 、 ｌｎ ＝１
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １６１
方法总结 利用函数的图象解决方程的根的问题的思路
：
当方程与我们熟悉的函数有关时 可以通过函数图象来研究方
，
程的根 方程ｆ ｘ 的根就是函数ｆ ｘ 的图象与ｘ轴交点的
， （ ）＝０ （ ）
横坐标 方程ｆ ｘ ｇ ｘ 的根就是函数ｆ ｘ 与ｇ ｘ 图象交点 ４．（２０１７ 陕西榆林一模，１４） 直线 ｙ ｘ 与函数 ｆ ｘ
的横坐 ， 标． （ ）＝ （ ） （ ） （ ） { ｘ ｍ ＝ （ ） ＝
２， ＞ ， 的图象恰有三个公共点 则实数 ｍ 的取值范
２．（２０１７ 安 徽 马 鞍 山 一 模， １２） 已 知 函 数 ｆ ｘ ｘ２ ｘ ｘ ｍ ，
（ ） ＝ ＋４ ＋２， ≤
{
－ ３ ｘ
｜ ｘ
２
－１
－
｜
２ ，
ｘ
ｘ ＞ ＋ ０ １ ， ， ｘ ≤０， 若关于ｘ的方程 ［ ｆ （ ｘ ）］ ２ ＋（ ａ －１） ｆ （ ｘ ）－ ａ ＝０
围
答
是
案 － １≤ ｍ ＜ ２
．
有 个不等的实数根 则实数ａ的取值范围是 解析 根据题意 知ｙ ｘ与ｙ ｘ ｍ 的图象有一个交点
７ ， （ ） ， ＝ ＝２（ ＞ ）
Ａ 并且与抛物线ｙ ｘ２ ｘ 在 ｍ 上的部分有两
Ａ． 答 ［１ 案 ，２］ Ｃ 函 Ｂ 数 ．（１ ｆ ， ｘ ２） { ３ ｜ ｘ －１ Ｃ ｜ ， ．（ ｘ ＞ － ０ ２ ， ，－１） 的图 Ｄ 象 ．［ 如 －２ 图 ，－１］ 个 （ 交 ２， 点 ２）， Ｂ Ｃ 由 {ｙ ＝ ｘ ， ＝ 解 ＋４ 得 ＋ Ｂ ２ （－∞， Ｃ ］
（ ）＝
－
ｘ２
－２
ｘ
＋１，
ｘ
≤０
： 、 ， ｙ
＝
ｘ２
＋４
ｘ
＋２
（－１，－１）， （－２，－２），
抛物线ｙ ｘ２ ｘ 在 ｍ 上的部分必须包含Ｂ Ｃ两
∵ ＝ ＋４ ＋２ （－∞， ］ 、
点 且点Ａ 一定在ｙ ｘ ｍ 的图象上 才能使ｙ ｆ ｘ
， （２，２） ＝２（ ＞ ） ， ＝ （ ）
的图象与直线ｙ ｘ有 个交点 实数ｍ的取值范围是
＝ ３ ，∴ －１≤
ｍ ．
＜２
关于ｘ的方程 ｆ ｘ ２ ａ ｆ ｘ ａ 有 个不等的实数
［ （ ）］ ＋（ －１） （ ）－ ＝０ ７
根 即 ｆ ｘ ａ ｆ ｘ 有 个不等的实数根 易知ｆ ｘ
， ［ （ ）＋ ］［ （ ）－１］＝０ ７ ， （ ）
有 个不等的实数根 ５．（２０１８吉林长春十一高中、东北师大附中等五校联合模拟）函
＝１ ３ ，
ｆ ｘ ａ必须有 个不相等的实数根 由函数ｆ ｘ 的图象 数ｆ ｘ 满足对任意 ｘ Ｒ 都有 ｆ ｘ ｆ ｘ 且 ｆ ｘ
∴ （ ）＝－ ４ ， （ ） （ ） ∈ ， （ ＋２）＝ － （－ ）， （ ）＝
可知 ａ ａ ．故选 ． {
－ ∈（１，２），∴ ∈（－２，－１） Ｃ １ ｘ
３．（２０１９河北衡水第十三中学质检（四），１２）已知函数ｆ ｘ ｘ－１，－１＜ ＜０， ｇ ｘ １ ｘ １ 则函数 ｈ ｘ ｆ ｘ
（ ）＝ ２ （ ）＝ － ＋ ， （ ）＝ （ ）－
{ ｘ ｘ ｘ ｘ ４ ４
｜ｌｏｇ３ ｜，０＜ ＜３， ｌｏｇ２（ ＋１），０≤ ＜１，
( ) 若存在实数ｘ ｘ ｘ ｘ 当 ｘ ｘ ｘ ｇ ｘ 在 上的零点之和是 ．
πｘ ｘ ． １， ２， ３， ４， １＜ ２＜ ３＜ （ ） （－１，３）
－ｃｏｓ ，３≤ ≤９ 答案
３ ５
ｘ 时 满足ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 则ｘ ｘ ｘ ｘ 的取值范 解析 ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ 易知在区间
４ ， （ １）＝ （ ２）＝ （ ３）＝ （ ４）， １ ２ ３ ４ ∵ （ ＋２）＝－ （－ ），∴ （１）＝ ０， （－１，３）
围是
（ ） 上 函数ｆ ｘ 的图象和直线ｇ ｘ １ ｘ １ 都关于点 中
( ) ( ) ( ) ， （ ） （ ）＝－ ＋ （１，０）
１３５ ２９ １３５ ４ ４
Ａ． ２１， Ｂ． ７， Ｃ． ２７， Ｄ．［２７，３０）
４ ４ ４ 心对称 且直线ｇ ｘ １ ｘ １ 和曲线ｆ ｘ 在区间 上
答案 Ｃ 作函数ｆ ｘ 的图象如图 则ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ， （ ）＝－ ＋ （ ） （－１，３）
∈（３，４ ． ５）， 因此ｘ １ ｘ ２ ｘ （ ３ ｘ ） ４＝ ｘ ( ３（１２－ ｘ ３ ) ） ， ， 因为 １ ｙ ２＝ ＝ １ ｘ （ ， １ ３ ２ ＋ － ｘ ４ ） ＝ 在 １２ （ ， ３， ３ 有 和 五 为 个交点 ， ． 根据点的对称 ４ 性得 ４ 到ｈ （ ｘ ） 在 （－１，３） 上的零点之
． 上单调递增 所以 ｙ １３５ 即 ｘ ｘ ｘ ｘ 的取值范围 ４＋１＝５
４５） ， ∈ ２７， ， １ ２ ３ ４
４
( )
是 １３５ ．选
２７， Ｃ．
４
考点 函数的零点与方程的根 ( )
１
１．（２０２０天津，９，５分）已知函数ｆ ｘ {ｘ３ ， ｘ ≥０，若函数ｇ ｘ Ｂ． －∞，－ ２ ∪（０，２ ２）
（ ）＝ ｘ ｘ ． （ ）＝
－ ， ＜０ Ｃ．（－∞，０）∪（０，２ ２）
ｆ ｘ ｋｘ２ ｘ ｋ Ｒ 恰有 个零点 则ｋ的取值范围是
（ ）－｜ －２ ｜（ ∈ ） ４ ， （ ） Ｄ．（－∞，０）∪（２ ２，＋∞）
( ) 答案 Ｄ
１
Ａ． －∞，－ ∪（２ ２，＋∞）
２
１６２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
{
ｘ ｘ
有唯一零点 则ａ
２ ，０≤ ≤１， ， ＝ （ ）
２．（２０１９天津文，８，５ 分）已知函数ｆ ｘ 若关
（ ）＝ １ ｘ ． １ １ １
ｘ ， ＞１ Ａ．－ Ｂ． Ｃ． Ｄ．１
２ ３ ２
答案 Ｃ
于ｘ的方程ｆ ｘ １ ｘ ａ ａ Ｒ 恰有两个互异的实数解 则
（ ）＝－ ＋ （ ∈ ） ， ６．（２０１７山东，１０，５分）已知当ｘ 时 函数ｙ ｍｘ ２
４ ∈［０，１］ ， ＝（ －１）
ａ的取值范围为 的图象与ｙ ｘ ｍ的图象有且只有一个交点 则正实数ｍ的
（ ） ＝ ＋ ，
[ ] ( ] 取值范围是
５ ９ ５ ９ （ ）
Ａ． ， Ｂ． ，
４ ４ ４ ４
( ] [ ] Ａ．（０，１］∪［２ ３，＋∞） Ｂ．（０，１］∪［３，＋∞）
５ ９ ５ ９
Ｃ． ， ∪｛１｝ Ｄ． ， ∪｛１｝ Ｃ．（０， ２］∪［２ ３，＋∞） Ｄ．（０， ２］∪［３，＋∞）
４ ４ ４ ４ 答案 Ｂ
答案 Ｄ
( )
３．（２０１９ 浙 江， ９， ４ 分） 设 ａ ｂ Ｒ 函 数 ｆ ｘ ７．（２０１８课标Ⅲ，１５，５分）函数ｆ ｘ ｘ π 在 的
， ∈ ， （ ） ＝ （ ）＝ｃｏｓ ３ ＋ ［０，π］
{ｘ ｘ ６
， ＜０， 零点个数为 ．
若函数ｙ ｆ ｘ ａｘ ｂ恰有 个零
１ ｘ３ １ ａ ｘ２ ａｘｘ ． ＝ （ ）－ － ３ 答案
－ （ ＋１） ＋ ，≥０ ３
３ ２ ８．（２０１８ 天 津， １４， ５ 分） 已 知 ａ 函 数 ｆ ｘ
点 则 ＞ ０， （ ） ＝
， （ ） {ｘ２ ａｘ ａ ｘ
ａ ｂ ａ ｂ ＋２ ＋ ， ≤０，若关于ｘ的方程ｆ ｘ ａｘ恰有 个互异
Ａ．
ａ
＜－１，
ｂ
＜０ Ｂ．
ａ
＜－１，
ｂ
＞０
－
ｘ２
＋２
ａｘ
－２
ａ
，
ｘ
＞０
． （ ）＝ ２
Ｃ． ＞－１， ＜０ Ｄ． ＞－１， ＞０ 的实数解 则ａ的取值范围是 ．
答案 Ｃ ，
答案
{ ｘ ｘ （４，８）
４．（２０１８课标Ⅰ，９，５ 分）已知函数 ｆ ｘ ｅ ， ≤０， ｇ ｘ ９．（２０１８ 浙 江， １５， ６ 分） 已 知 λ Ｒ 函 数 ｆ ｘ
（ ）＝ ｘ ｘ （ ）＝ ∈ ， （ ） ＝
ｌｎ ， ＞０， {ｘ ｘ λ
ｆ ｘ ｘ ａ．若ｇ ｘ 存在 个零点 则ａ的取值范围是 －４， ≥ ，当λ 时 不等式ｆ ｘ 的解集是 ．
（ ）＋ ＋ （ ） ２ ， （ ） ｘ２ ｘ ｘ λ． ＝２ ， （ ）＜０
－４ ＋３， ＜
Ａ．［－１，０） Ｂ．［０，＋∞） 若函数ｆ ｘ 恰有 个零点 则λ的取值范围是 ．
（ ） ２ ，
Ｃ．［－１，＋∞） Ｄ．［１，＋∞） 答案
答案 Ｃ （１，４）；（１，３］∪（４，＋∞）
５．（２０１７课标Ⅲ，１１，５分）已知函数ｆ ｘ ｘ２ ｘ ａ ｘ －１ － ｘ ＋１
（ ）＝ －２ ＋ （ｅ ＋ｅ ）
考点一 函数的零点与方程的根
Ｃ．（２，４） Ｄ．（４，＋∞）
{ ｘ ｘ 答案 Ｃ ｆ ｆ
１．（２０１５天津文，８，５分）已知函数ｆ ｘ ２－｜ ｜， ≤２，函 ∵ （１）＝ ６－ｌｏｇ２１＝６＞０， （２）＝ ３－ｌｏｇ２２＝２＞０，
数ｇ ｘ ｆ ｘ 则函数ｙ ｆ ｘ （ ） ｇ ＝ ｘ （ 的 ｘ － 零 ２ 点 ） ２ 个 ， 数 ｘ 为 ＞２， ｆ （４）＝ ４ ６ －ｌｏｇ２４＝ ２ ３ －２＜０，∴ 包含ｆ （ ｘ ） 零点的区间是 （２，４），
（ ）＝３－（２－ ）， ＝ （ ）－ （ ） 故选 ．
Ｃ
（ ） ３．（２０１１课标，１０，５分）在下列区间中 函数ｆ ｘ ｘ ｘ 的
， （ ）＝ｅ ＋４ －３
Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ 零点所在的区间为
答案 Ａ 由已知条件可得 ｇ ｘ ｆ ｘ （ ）
（ ） ＝ ３－ （２－ ） ＝ ( ) ( )
{ ｘ ｘ １ １
｜ －２｜＋１， ≥０，函数ｙ ｆ ｘ ｇ ｘ 的零点个数即为函数ｙ Ａ． － ，０ Ｂ． ０，
３－
ｘ２
，
ｘ
＜０
． ＝ （ ）－ （ ） ＝
(
４
) (
４
)
ｆ ｘ 与ｙ ｇ ｘ 图象的交点个数 在平面直角坐标系内作出函 １ １ １ ３
（ ） ＝ （ ） ， Ｃ． ， Ｄ． ，
数ｙ ｆ ｘ 与ｙ ｇ ｘ 的图象如图所示． ４ ２ ２ ４
＝ （ ） ＝ （ ） 答案 Ｃ 显然ｆ ｘ 为定义域Ｒ上的连续函数．如图作出ｙ
（ ）
ｘ 与ｙ ｘ的图象 由图象知函数ｆ ｘ ｘ ｘ 的零点
＝ｅ ＝３－４ ， （ ）＝ｅ ＋４ －３
( ) ( ) ( )
一定落在区间 ３ 内 又ｆ １ ４ ｆ １
０， ， ＝ ｅ－２＜０， ＝ ｅ－１＞
４ ４ ２
．故选 ．
０ Ｃ
由图可知函数ｙ ｆ ｘ 与ｙ ｇ ｘ 的图象有 个交点 所以函数
＝ （ ） ＝ （ ） ２ ，
ｙ ｆ ｘ ｇ ｘ 的零点个数为 选 ． 评析 本题考查函数零点的概念及求解方法，考查学生分析问
＝ （ ）－ （ ） ２， Ａ
题、解决问题的能力，属中等难度试题．
２．（２０１４北京文，６，５分）已知函数ｆ ｘ ６ ｘ．在下列区间
（ ）＝ ｘ －ｌｏｇ２ ４． （ ２０１６ 山 东 文， １５， ５ 分） 已 知 函 数 ｆ ｘ
（ ） ＝
中 包含ｆ ｘ 零点的区间是 { ｘ ｘ ｍ
， （ ） （ ） ｜ ｜， ≤ ，其中 ｍ ．若存在实数 ｂ 使得关于 ｘ
ｘ２ ｍｘ ｍ ｘ ｍ ＞０ ，
Ａ．（０，１） Ｂ．（１，２） －２ ＋４ ， ＞ ，
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １６３
的方程 ｆ ｘ ｂ 有三个不同的根 则 ｍ 的取值范围 ｂ 使函数ｇ ｘ ｆ ｘ ｂ有两个零点 则ａ的取值范围是 ．
（ ） ＝ ， ， （ ）＝ （ ）－ ，
是 ． 答案
（－∞，０）∪（１，＋∞）
答案 解析 当ａ 时 若ｘ ａ 则ｆ ｘ ｘ２ 当ｂ ａ２
（３，＋∞） ＜０ ， ∈（ ，＋∞）， （ ）＝ ， ∈（０， ）
解析 ｆ （ ｘ ） 的图象如图所示 ， 时 函数ｇ ｘ ｆ ｘ ｂ有两个零点 分别是ｘ ｂ ｘ ｂ．
， （ ）＝ （ ）－ ， １＝－ ， ２＝
当 ａ 时 ｆ ｘ 的图象如图所示
０≤ ≤１ ，（ ） ，
若存在实数ｂ 使得关于ｘ的方程ｆ ｘ ｂ有三个不同的根
， （ ）＝ ，
只需 ４ ｍ － ｍ２ ＜ ｍ ， 解之得ｍ ＞３ 或ｍ ＜０， 又ｍ ＞０， 所以ｍ ＞３ ． 易知函数ｙ ＝ ｆ （ ｘ ）－ ｂ最多有一个零点．
方法总结 分段函数问题 函数零点个数问题或方程根的个 当ａ 时 ｆ ｘ 的图象如图所示
、 ＞１ ， （ ） ，
数问题通常采用数形结合的思想方法来解决．
评析 本题考查基本初等函数及分段函数的图象，考查数形
结合的思想方法，属于难题．
５．（２０１６天津文，１４，５分）已知函数ｆ ｘ
（ ）＝
{ｘ２ ａ ｘ ａ ｘ
＋（４ －３） ＋３ ， ＜０， ａ 且ａ 在Ｒ上单调递减 且关
ｘ ｘ （ ＞０， ≠１） ，
ｌｏｇａ（ ＋１）＋１， ≥０
ｘ
于ｘ的方程 ｆ ｘ 恰有两个不相等的实数解 则ａ的取
值范围是 ｜ （ ）｜ ． ＝２－ ３ ， 当ｂ ∈（ ａ２ ， ａ３ ］ 时 ， 函数ｇ （ ｘ ）＝ ｆ （ ｘ ）－ ｂ有两个零点 ， 分别是ｘ １＝
３ｂ ｘ ｂ．
[ ) ， ２＝
答案 １ ２ 综上 ａ ．
， ， ∈（－∞，０）∪（１，＋∞）
３ ３ { ｘ ａ ｘ
ì ï ï－ ４ ａ －３ ≥０， ７．（２０１５北京理，１４，５分）设函数ｆ （ ｘ ）＝ ４ ２ （ － ｘ － ， ａ ）（ ｘ － ２ ａ ）， ｘ ≥ ＜１ １ ， ．
解析 函数ｆ ｘ 在Ｒ上单调递减 í ２ 解得 １ 若ａ 则ｆ ｘ 的最小值为
∵ （ ） ，∴ ï ａ ① ＝１， （ ） ；
î
ï０
ａ
＜ ＜１， ３
② 若ｆ （ ｘ ） 恰有 ２ 个零点 ， 则实数ａ的取值范围是 ．
３ ≥１， [ )
ａ ３ ．在同一直角坐标系下作出函数ｙ ｆ ｘ 与ｙ ｘ 答案 １
≤ ≤ ＝｜ （ ）｜ ＝２－ ①－１ ② ，１ ∪［２，＋∞）
４ ３ ２
的图象 如图所示． { ｘ ｘ
， 解析 当ａ 时 ｆ ｘ ２ －１， ＜１， 其大致图
① ＝１ ， （ ）＝ ｘ ｘ ｘ
４（ －１）（ －２）， ≥１，
象如图所示
：
ｘ
方程 ｆ ｘ 恰有两个不相等的实数解等价于ｙ ｆ ｘ
｜ （ ）｜＝２－ ＝｜ （ ）｜
３ 由图可知ｆ ｘ 的最小值为 ．
ｘ （ ） －１
的图象与ｙ ＝２－ 的图象恰有两个交点 ， 则需满足 ３ ａ ＜２， 得ａ ＜ 当ａ 时 显然函数ｆ ｘ 无零点
３ ② ≤０ ， （ ） ；
当 ａ 时 易知ｆ ｘ 在 上有一个零点 要使ｆ ｘ 恰
２ 综上可知 １ ａ ２ ． ０＜ ＜１ ， （ ） （－∞，１） ， （ ）
， ， ≤ ＜ 有 个零点 则当ｘ 时 ｆ ｘ 有且只有一个零点 结合图象
３ ３ ３ ２ ， ≥１ ， （ ） ，
ì ａ
ï ４ －３ 可知 ａ 即ａ １ 则 １ ａ
ï－ ≥０， ，２ ≥１， ≥ ， ≤ ＜１；
易错警示 ｆ ｘ 在Ｒ上单调递减 需满足í ２ 缺 ２ ２
（１） （ ） ， ï ａ 当ａ 时 ａ 由二次函数的性质可知 当ｘ 时 ｆ ｘ 有
ï０＜ ＜１， ≥１ ，２ ＞１， ， ≥１ ， （ ）
î ａ 个零点
３ ≥１， ２ ，
少条件是失分的一个原因 则要使ｆ ｘ 恰有 个零点 则需要ｆ ｘ 在 上无零点
； （ ） ２ ， （ ） （－∞，１） ，
由方程解的个数求参数范围往往利用数形结合思想将问 则 ａ 即ａ ．
（２） ２－ ≤０， ≥２
题转化为两个函数图象交点个数的问题是解决这类问题常用 [ )
综上可知 满足条件的ａ的取值范围是 １ ．
的方法． ， ，１ ∪［２，＋∞）
２
评析 本题主要考查分段函数的单调性及函数与方程，利用 ( )
８．（２０１５湖北文，１３，５ 分）函数 ｆ ｘ ｘ ｘ π ｘ２ 的
数形结合思想，将方程解的个数问题转化为两个函数图象交点 （ ）＝ ２ｓｉｎ ｓｉｎ ＋ －
２
个数的问题是求解这类问题的常用方法． 零点个数为 ．
{ｘ３ ｘ ａ 答案
６．（２０１５湖南理，１５，５分）已知函数ｆ ｘ ， ≤ ，若存在实数 ２
（ ）＝ ｘ２ ｘ ａ． 解析 ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ２ ｘ ｘ２ 函数ｆ ｘ 的零点个
， ＞ （ ）＝２ｓｉｎ ｃｏｓ － ＝ｓｉｎ ２ － ， （ ）
１６４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
数可转化为函数ｙ ｘ与ｙ ｘ２ 图象的交点个数 在同一 由图可知两函数图象有 个交点 则ｆ ｘ 的零点个数为 ．
１＝ｓｉｎ２ ２＝ ， ２ ， （ ） ２
坐标系中画出ｙ ｘ与ｙ ｘ２ 的图象如图所示
１＝ｓｉｎ２ ２＝ ：
时间： 分钟 分值： 分
３０ ５５
一、单项选择题 每题 分 共 分 ７．（２０１９皖南八校联考，１２） ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ的对边分别
（ ５ ， ３５ ） △ ， ，
１．（２０１９吉林长春外国语学校期中，４）函数 ｆ ｘ ｘ ｘ２ 是ａ ｂ ｃ 若 Ａ Ｃ ｆ ｘ ａｘ ｂｘ ｃｘ 则下列结论正确的
（ ）＝ ｌｇ －２ ＋３ ， ， ， ｓｉｎ ｃｏｓ ＜０， （ ）＝ ＋ － ，
的零点位于下列哪个区间 个数是
（ ） （ ）
ＡＢＣ是锐角三角形
Ａ．（４，５） Ｂ．（１，２） Ｃ．（２，３） Ｄ．（３，４） ①△
答案 Ｂ ｘ 都有ｆ ｘ
②∀ ∈（－∞，１）， （ ）＞０
２．（２０１９广东汕头达濠华侨中学、东厦中学第二次联考，１２）设 ｆ ｘ 在区间 上有解
③（ ）＝０ （１，２）
函数ｆ ｘ 是定义在Ｒ上周期为 的函数 且对任意的实数ｘ
（ ） ２ ， ， Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３
恒有ｆ ｘ ｆ ｘ ．当 ｘ 时 ｆ ｘ ｘ２ 若 ｇ ｘ 答案 Ｃ
（ ）－（－ ）＝ ０ ∈［－１，０］ ， （ ）＝ ， （ ）＝
ｆ ｘ ｘ在ｘ 上有且仅有三个零点 则ａ的取值
（ ）－ｌｏｇａ ∈（０，＋∞） ， 二、多项选择题 共 分
范围为 （ ５ ）
（ ） ８．（２０２１届山东滕州第一中学月考，１２）已知ｆ ｘ 是定义在Ｒ
（ ）
Ａ．［３，５］ Ｂ．［４，６］ Ｃ．（３，５） Ｄ．（４，６） 上的偶函数 且ｆ ｘ ｆ ｘ 当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ
答案 Ｃ ， （ ＋３）＝ （ －１）， ∈［０，２］ ，（ ）＝２ －１，
则下列结论正确的是
３．（２０２０广东揭阳三中第一次月考，５）若ｆ ｘ 是奇函数 且ｘ （ ）
是函数ｙ ｆ ｘ ｘ 的一个零点 则 ｘ 一定 （ 是 ） 下列哪个函 ， 数的 ０ Ａ． 当ｘ ∈［－２，０］ 时 ， ｆ （ ｘ ）＝２ － ｘ －１
零点 ＝ （ ）－ｅ ， － ０ Ｂ． ｆ （２０１９）＝１
（ ） ｙ ｆ ｘ 的图象关于点 对称
Ａ． ｙ ＝ ｆ （－ ｘ ）ｅ － ｘ －１ Ｂ． ｙ ＝ ｆ （ ｘ ）ｅ － ｘ ＋１ Ｃ． 函 ＝ 数 （ ｇ ） ｘ ｆ ｘ （ ｘ ２ 有 ，０） 个零点
ｙ ｆ ｘ ｘ ｙ ｆ ｘ ｘ Ｄ． （ ）＝ （ ）－ｌｏｇ２ ３
Ｃ． ＝ （ ）ｅ ＋１ Ｄ． ＝ （ ）ｅ －１ 答案 ＡＢＤ
答案 Ｃ
三、填空题 每题 分 共 分
４．（２０２０宁夏银川一中第一次月考，１２）已知定义在 上 （ ５ ， １５ ）
（０，＋∞） ９．（２０２０四川绵阳南山中学 ９ 月月考，１４）已知函数 ｆ ｘ
的单调函数ｆ ｘ 满足 ｘ ｆ ｆ ｘ ｘ 则方 （ ）＝
程ｆ ｘ ｆ ′ ｘ
（ ）
的解
∀
所
∈
在
（
区
０，
间
＋∞
是
）， ［ （ ）－ｌｏｇ２ ］＝３， {
－
ｘ２
＋
ａｘ
，
ｘ
≤１，若 ｘ ｘ Ｒ ｘ ｘ 使得ｆ ｘ ｆ ｘ 成立
( （ ）－ ) （ ）＝２ ( ) （ ） ａｘ ｘ ∃ １， ２∈ ， １≠ ２， （ １）＝ （ ２） ，
－１， ＞１，
１ １ 则实数ａ的取值范围是 ．
Ａ． ０， Ｂ． ，１
２ ２
答案
Ｃ．（１，２） Ｄ．（２，３）
（－∞，２）
答案 Ｃ １０．（２０２１届安徽“江淮十校”第二次质量检测）已知函数ｆ （ ｘ ）＝
５．（２０２０湖北黄冈模拟）求下列函数的零点 可以采用二分法 ì ï １ ｘ ｘ
， ï１－ ｜１－ ｜， ≤２，
的是 í ２ 则函数ｇ ｘ ｘｆ ｘ 的零点个数是
( （ ) ） ï （ ）＝ （ ）－１
ï１ ｆ ｘ ｘ
ｆ ｘ ｘ４ ｆ ｘ ｘ π ｘ π î （ －２），２＜ ≤６，
Ａ． （ ）＝ Ｂ． （ ）＝ｔａｎ ＋２ － ＜ ＜ ２
ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ ｘ ２ ２ ．
Ｃ． （ ）＝ｃｏｓ －１ Ｄ． （ ）＝ ｜２ －３｜ 答案
答案 Ｂ ７
６．（２０１９ 山东枣庄八中 １０ 月月考，１２）已知函数 ｆ ｘ
１１．（２０２０江苏南京学情调研，４）已知函数 ｆ
（
ｘ
）＝
ｘ３
－３
ｘ２
＋１，
（ ）＝ { ｘ ｘ
｜ｌｏｇａ｜ ｘ －１｜｜（ ａ ＞０， 且ａ ≠１）， 若ｘ １＜ ｘ ２＜ ｘ ３＜ ｘ ４， 且ｆ （ ｘ １）＝ ｆ （ ｘ ２） ｇ ｘ ｜２ －１｜＋１， ＞０， 若函数 ｙ ｇ ｆ ｘ ａ 有 个零点
ｆ ｘ ｆ ｘ 则 １ １ １ １
（ ）＝
－
１ ｘ２
－
ｘ
，
ｘ
≤０
． ＝ （ （ ））－ ６
＝ （ ３）＝ （ ４）， ｘ ＋ｘ ＋ｘ ＋ｘ ＝ （ ） ４
１ ２ ３ ４ 互不相同 则实数ａ的取值范围为 ．
（ ），
１ ( )
Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ． 答案 ３
２
，２
答案 Ｃ ４
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １６５
１．（２０１８豫西南部分示范性高中联考，７）函数ｆ ｘ ｘ ２ 的 ５．（２０１８辽宁朝阳一模）方程 ｘ ２ 在 内根的个数为
（ ）＝ｌｎ －ｘ２ ４ｓｉｎπ ＝
１－
ｘ ［－２，４］
零点所在的区间为
（ ） （ ）
Ａ．（０，１） Ｂ．（１，２） Ｃ．（２，３） Ｄ．（３，４） Ａ．６ Ｂ．７ Ｃ．５ Ｄ．８
答案 Ｂ 易知ｆ ｘ ｘ ２ 的定义域为 且在定 答案 Ｄ 由原方程得 ｘ １ 在同一直角坐标系中
（ ）＝ｌｎ －ｘ２ （０，＋∞）， ２ｓｉｎ π ＝ ｘ，
１－
义域上单调递增．
作出函数ｙ ｘ与ｙ １ 的图象 如图 由图象可知 在区
＝２ｓｉｎ π ＝ ｘ ， ， ，
ｆ ｆ １ １－
∵ （１）＝－２＜０， （２）＝ｌｎ２－ ＞０， 间 内 两函数图象共有 个交点 故选
２ ［－２，４］ ， ８ ， Ｄ．
ｆ ｆ 根据零点存在性定理知ｆ ｘ ｘ ２ 的
∴ （１）·（２）＜０，∴ （ ）＝ｌｎ －ｘ２
零点所在的区间为 ．故选 ．
（１，２） Ｂ
( )ｘ
－２
２．（２０１８内蒙古呼和浩特质量普查）函数ｆ ｘ ｘ １ 的
（ ）＝ｌｎ －
２
零点所在的区间是
（ ）
Ａ．（０，１） Ｂ．（１，２） Ｃ．（２，３） Ｄ．（３，４）
( ) ( )
－１ ０
答案 Ｃ ｆ １ ｆ １
∵ （１）＝－ ＝－２＜０，（２）＝ｌｎ２－ ＝－１
２ ２
ｆ １ ． ｆ ｆ ． { ｘ２ ｘ ｘ
＋ｌｎ２＜０，（３）＝－ ＋ｌｎ３＞０∴ （２） （３）＜０ ６．（２０１７北京朝阳一模，５）已知函数ｆ ｘ － ＋４ ， ≤２，有两
２ （ ）＝ ｘ ａ ｘ
函数的零点所在的区间是 ．选 ｌｏｇ２ － ， ＞２
∴ （２，３） Ｃ． 个不同的零点 则实数ａ的取值范围是
３．若ａ ｂ ｃ 则函数ｆ ｘ ｘ ａ ｘ ｂ ｘ ｂ ｘ ｃ ｘ ｃ ｘ ， （ ）
＜ ＜ ， （ ）＝（ － ）（ － ）＋（ － ）（ － ）＋（ － ）（ －
ａ 的两个零点分别位于区间 Ａ．［－１，０） Ｂ．（１，２］
） （ ）
ａ ｂ 和 ｂ ｃ 内 ａ 和 ａ ｂ 内 Ｃ．（１，＋∞） Ｄ．（２，＋∞）
Ａ．（
ｂ
，
ｃ
）
和
（
ｃ
， ）
内
Ｂ．（－∞，
ａ
）
和
（
ｃ
， ）
内
答案 Ｃ 当ｘ
≤２
时
，
令ｆ
（
ｘ
）＝－
ｘ２
＋４
ｘ
＝０，
得ｘ
＝０
或ｘ
＝４
Ｃ．（ ， ） （ ，＋∞） Ｄ．（－∞， ） （ ，＋∞） 舍去 故ｘ 时 ｆ ｘ 有一个零点．
答案 Ａ ａ ｂ ｃ ｆ ａ ａ ｂ ａ ｃ ｆ ｂ ｂ ｃ （ ）， ≤２ ， （ ）
∵ ＜ ＜ ，∴ （ ）＝（ － ）（ － ）＞０， （ ）＝（ － ） 当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ ａ是增函数
·（ ｂ － ａ ）＜０， ｆ （ ｃ ）＝（ ｃ － ａ ）（ ｃ － ｂ ）＞０， 由题 ＞ 意 ２ 知 ， ｘ （ 时 ）＝ｌ ｆ ｏｇ ｘ ２ － 必有一个零点 ，
由函数零点存在性定理可知 在区间 ａ ｂ ｂ ｃ 内分别存在 ＞２ ， （ ） ，
， （ ， ），（ ， ） 故ａ ｘ ｘ ａ ．故选 ．
一
又
个
函
零
数
点
ｆ ； ｘ 是二次函数 最多有两个零点 ７．（２０１
＝
８
ｌｏ
河
ｇ２
北
（
保
＞
定
２）
第
，∴
一次
＞１
模拟，１
Ｃ
２）定义在Ｒ上的偶函数ｆ （ ｘ ）
因此函数 （ ｆ ） ｘ 的两个零 ， 点分别位于区间 ， ａ ｂ ｂ ｃ 内 故 满足ｆ （ ｘ ＋１）＝－ ｆ （ ｘ ）， 当ｘ ∈［０，１］ 时 ， ｆ （ ｘ ）＝－２ ｘ ＋１， 设函数
（ ） （ ， ），（ ， ） ， ( ) ｘ
选 ． ｇ ｘ １ ｜ －１｜ ｘ 则函数ｆ ｘ 与ｇ ｘ 的图象所有交
Ａ （ ）＝ （－１＜ ＜３）， （ ） （ ）
４．（２０１７甘肃兰州高考实战模拟）已知ａ ｂ Ｒ 定义运算 ２
{ａ ａ ｂ ， ∈ ， “”： 点的横坐标之和为 （ ）
ａ ｂ ， － ≤１，函数ｆ ｘ ｘ２ ｘ ｘ Ｒ 若方程
＝ ｂ ａ ｂ （ ）＝（ －２）（ －１）， ∈ ， Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．８
ｆ （ ｘ ）－ ａ ＝ ， ０ 只 － 有 ＞１ 两 ， 个不同实数根 ， 则实数ａ的取值范围是 答案 Ｂ 因为ｆ （ ｘ ＋１）＝－ ｆ （ ｘ ）， 所以ｆ （ ｘ ＋１＋１）＝－ ｆ （ ｘ ＋１）＝
ｆ ｘ 所以ｆ ｘ 的周期为 ．又 ｆ ｘ 为偶函数 ｆ ｘ
（ ）， （ ） ２ （ ） ，∴ （１－ ）＝
（ ）
ｆ ｘ ｆ ｘ 故ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ 对称．函数ｇ ｘ
Ａ．［－２，－１］∪（１，２） Ｂ．（－２，－１］∪（１，２］ （
(
－１）
)
＝
ｘ
（ ＋１）， （ ） ＝１ （ ）
｜ －１｜
Ｃ．［－２，－１］∪［１，２］ Ｄ．（－２，－１］∪（１，２） １ 的图象关于直线 ｘ 对称 在同一平面直角坐标
答案 Ｂ 由ｘ２ －２－（ ｘ －１）≤１， 解得ｘ ∈［－１，２］， 故ｆ （ ｘ ）＝ ＝ ２ ＝１ ，
{ｘ２ －２， ｘ ∈［－１，２］，函数图象如图所示 可知 ｆ ｘ ａ 有两个 系内作出ｆ （ ｘ ） 与ｇ （ ｘ ） 在 （－１，３） 上的图象 ， 如图 ， 由图可知四
ｘ －１， ｘ ∉［－１，２］， ， （ ）＝ 个交点的横坐标关于ｘ ＝１ 对称 ， 其和为 ２×２＝４， 选 Ｂ．
不同实数根时 ａ的取值范围是 ．
， （－２，－１］∪（１，２］
８．（２０１７辽宁锦州质检（二））若方程 ｘ ａ有两个不等的实
｜ｌｎ ｜＝
根ｘ 和ｘ 则ｘ ｘ 的取值范围是
１ ２， １＋ ２ （ ）
Ａ．（１，＋∞） Ｂ．（ ２，＋∞）
Ｃ．（２，＋∞） Ｄ．（０，１）
{ ｘ ｘ
答案 Ｃ 令ｆ ｘ ｘ ｌｎ ， ≥１，
（ ）＝ ｜ｌｎ ｜＝ ｘ ｘ
－ｌｎ ，０＜ ＜１，
ｆ ｘ 在 上单调递减 在 上单调递增 且ｆ
∴ （ ） （０，１） ， （１，＋∞） ， （１）
１６６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
＝０，
方程 ｘ ａ有两个不等的实根ｘ 和ｘ 不妨设ｘ ｘ 则
∵ ｜ｌｎ ｜＝ １ ２， １＜ ２，
ｘ ｘ
０＜ １＜１＜ ２，
且 ｘ ｘ ａ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ
－ｌｎ １＝ｌｎ ２＝ ，∴ ｌｎ １＋ｌｎ ２＝ｌｎ １ ２＝０，∴ １ ２＝１，
ｘ ｘ ｘ １ 故选
∴ １＋ ２＝ １＋ｘ ＞２， Ｃ．
１
{ ｘ ｘ
９．（２０１７甘肃高台一中四模）设函数ｆ ｘ ｜ ＋２｜， ≤０，若关
（ ）＝ ｘ ｘ
｜ｌｏｇ２ ｜， ＞０，
于ｘ的方程ｆ ｘ ａ有四个不同的解ｘ ｘ ｘ ｘ 且ｘ ｘ ｘ
（ ）＝ １， ２， ３， ４， １＜ ２＜ ３
ｘ 则ｘ ｘ ｘ １ 的取值范围是 １２．（２０１７广东肇庆二模，１６）若偶函数ｙ ｆ ｘ ｘ Ｒ 满足ｆ ｘ
＜ ４， ３（ １＋ ２）＋ｘ２
３
ｘ
４
（ ）
ｆ ｘ 且当ｘ 时 ｆ ｘ
＝ （
ｘ２
）
则
，
方
∈
程
，
ｆ ｘ
（
＋２）＝－（ ）， ∈［０，２］ ， （ ）＝２－ ， （ ）＝ｓｉｎ
Ａ．（－３，＋∞） Ｂ．（－∞，３） Ｃ．［－３，３） Ｄ．（－３，３］ ｘ 在 内的根的个数为 ．
答案 Ｄ 由题意得ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｜ ｜ ［－１０，１０］
１＋ ２＝－２×２＝－４，－ｌｏｇ２ ３＝ｌｏｇ２ ４⇒ ３ ４ 答案
１０
＝１， 解析 函数ｙ ｆ ｘ 满足ｆ ｘ ｆ ｘ
∵ ＝ （ ） （ ＋２）＝－（ ），
所以ｘ ｘ ｘ １ ｘ １ 又易知 １ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ
３（ １＋ ２）＋ｘ２
３
ｘ
４
＝－４ ３＋ｘ
３
，
４
≤ ３＜１， ∴
函
（
数
＋４
ｙ
）＝
ｆ
（
ｘ
＋
是
２＋
周
２
期
）＝
为
－（
的
＋
函
２）
数
＝ （ ），
∴ ＝ （ ） ４ ，
所以ｘ ｘ ｘ １ ｘ １ 故选 由ｘ 时 ｆ ｘ ｘ２ 及 ｆ ｘ 是偶函数可作出函数
３（ １＋ ２）＋ｘ２
３
ｘ
４
＝－４ ３＋ｘ
３
∈（－３，３］， Ｄ．
ｆ ｘ
∈
在
［０，２］ ，
上
（
的
）
图
＝
象
２－
同时作
（
出函
）
数ｙ ｘ 在
１０．（２０１８安徽黄山一模，１２）已知定义在Ｒ上的函数ｆ ｘ 满足 （ ） ［－１０，１０］ ， ＝ｓｉｎ｜ ｜ ［－１０，
（ ） 上的图象 交点个数即为所求．
ｆ ｘ ｆ ｘ 且ｆ ｘ 是偶函数 当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ２．令 １０］ ，
（ ＋２）＝ （ ）， （ ） ， ∈［０，１］ ， （ ）＝
ｇ ｘ ｆ ｘ ｋｘ ｋ 若在区间 内 函数ｇ ｘ 有 个
（ ）＝ （ ）－ － ， ［－１，３］ ， （ ）＝０ ４
不相等实根 则实数ｋ的取值范围是
， （ ）
( ] ( ] [ ]
１ １ １ １
Ａ．（０，＋∞） Ｂ． ０， Ｃ． ０， Ｄ． ，
２ ４ ４ ３
答案 Ｃ ｆ ｘ 是偶函数 当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ２
当ｘ ∵ 即 （ ） ｘ 时 ， ｆ ∈ ｘ ［０，１］ ｘ ２ ， ｘ （ ２ ） ｆ ＝ ｘ ，∴ 即 １３．（２０１８ 浙江绍兴上虞二模（５ 月），１７） 设函数 ｆ （ ｘ ）＝
∈［－１，０］， － ∈［０，１］ ， （－ ）＝（－ ） ＝ ＝ （ ），
当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ２ 则当 ｘ 时 ｆ ｘ ｘ２． １ ａ ｘ ａ 有两个零点 则实数ａ的值是 ．
∈［－１，０］ ， （ ）＝ ， ∈［－１，１］ ， （ ）＝ ｘ － －４ ＋ ＋１ ，
ｆ ｘ ｆ ｘ 函数的周期为 ．由ｇ ｘ 得ｆ ｘ ｋｘ ｋ －１
∵ （ ＋２）＝ （ ），∴ ２ （ ）＝０， （ ）－ －
得ｆ ｘ ｋｘ ｋ ｋ ｘ 作出ｙ ｆ ｘ 在 上的函数 答案 １ 或 ７ 或
＝０， （ ）＝ ＋ ＝ （ ＋１）， ＝ （ ） ［－１，３］ － ４
图象如图所示 ２ ２
：
解析 令 １ ｔ 则ｘ １ 问题直接转化为函数ｇ ｔ
ｘ ＝ ， ＝ ｔ ＋１， （ ）＝
－１
ｔ ａ ４ ａ 有两个零点 等价于ｙ ｔ ａ ａ与ｙ ４
｜ － ｜－ ｔ ＋ －３ ， ＝｜ － ｜＋ ＝ ｔ ＋３
有两个交点．
设直线ｙ ｋ ｘ 经过点 则ｋ １ ．
＝ １（ ＋１） （３，１）， １＝
４
直线ｙ ｋ ｘ 经过定点 且由题意知直线 ｙ
∵ ＝ （ ＋１） （－１，０）， ＝
ｋ ｘ 与ｙ ｆ ｘ 的图象有 个交点 ｋ １ ．故选
（ ＋１） ＝ （ ） ４ ，∴０＜ ≤ Ｃ．
４
１１．（２０１７ 甘 肃 肃 南 一 中 模 拟） 已 知 函 数 ｆ ｘ
（ ） ＝
{ ｘ ｘ 由于折线ｙ ｔ ａ ａ的顶点在直线ｙ ｔ上运动
４ －４， ≤１， ｇ ｘ ｘ 则函数ｙ ｆ ｘ ｇ ｘ 的零点个 ＝｜ － ｜＋ ＝ ，
ｘ２ ｘ ｘ （ ）＝ｌｎ ， ＝ （ ）－ （ ）
－４ ＋３， ＞１， 直线ｙ ｔ与ｙ ４ 的交点坐标为Ａ Ｄ 由
数为 ． ＝ ＝ ｔ ＋３ （４，４）， （－１，－１），
答案
３ 图可知 ｙ ｔ ａ ａ与ｙ ４ 有两个交点．
解析 由ｙ ｆ ｘ ｇ ｘ 得ｆ ｘ ｇ ｘ 所以函数ｙ ， ＝｜ － ｜＋ ＝ ｔ ＋３
＝ （ ）－ （ ）＝０， （ ）＝ （ ）， ＝
ｆ ｘ ｇ ｘ 的零点个数即为函数ｆ ｘ 与函数ｇ ｘ 的图象的 由ｙ ｔ ａ ａ折线顶点为Ａ 得ａ
（ ）－ （ ） （ ） （ ） （１） ＝｜ － ｜＋ （４，４）， ＝４；
交点个数 在同一平面直角坐标系中作出函数ｆ ｘ 与函数ｇ
， （ ） ｙ ｔ ａ与ｙ ４ 相切时 ｔ２ ａ ｔ 令Δ
ｘ 的图象 如图所示 结合图象可知 函数ｆ ｘ 与函数 ｇ （２） ＝－ ＋２ ＝ ｔ ＋３ ， ＋（３－２ ） ＋４＝０， ＝０，
（ ） （ ）， ， （ ）
（ ｘ ） 的图象有三个不同的交点 ， 所以函数ｙ ＝ ｆ （ ｘ ）－ ｇ （ ｘ ） 有三 知ａ ＝－ １ 或ａ ＝ ７ ．
个零点．
２ ２
综上 实数ａ的值为 １ 或 ７ 或 ．
， － ４
２ ２
１４．（２０１８重庆酉阳一中期末）定义域为Ｒ的偶函数ｆ ｘ 满足
（ ）
ｘ Ｒ 有ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ 且当ｘ 时 ｆ ｘ
∀ ∈ ， （ ＋２）＝ （ ）－ （１）， ∈［２，３］ ， （ ）＝ －
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １６７
２ｘ２
＋１２
ｘ
－１８，
若函数ｙ
＝
ｆ
（
ｘ
）－ｌｏｇａ（｜
ｘ
｜＋１）
在
（０，＋∞）
上至多 零点
，
有三个零点 则ａ的取值范围是 ． 则有ｇ ｆ 可得 ｆ
， （４）＜（４）， ｌｏｇａ（４＋１）＜（４）＝－２，
æ ö
答案 ç ５ ÷ 即 １ 解得ａ ５或ａ ５ 又 ａ ５
è ，１ø∪（１，＋∞） ｌｏｇａ５＜－２，∴５＞ａ２， ＞ ＜－ ， ０＜ ＜１，∴ ＜
５ ５ ５ ５
解析 ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｆ ｆ ｆ æ ö
∵ （ ＋２）＝ （ ）－（１），∴ （－１＋２）＝ （－１）－（１）， ａ 故答案为ç ５ ÷ ．
又ｆ ｘ 是定义域为Ｒ的偶函数 ＜１， è ，１ø∪（１，＋∞）
（ ） ， ５
ｆ ｆ
∴ （－１）＝ （１），
ｆ 则有ｆ ｘ ｆ ｘ
∴ （１）＝０， （ ＋２）＝ （ ），
ｆ ｘ 是周期为 的偶函数．
∴ （ ） ２
当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ２ ｘ ｘ ２
∈［２，３］ ，（ ）＝－２ ＋１２ －１８＝－２（ －３） ，
函数的图象为开口向下 顶点为 的抛物线．
、 （３，０）
函数ｙ ｆ ｘ ｘ 在 上至多有三个零点
∵ ＝ （ ）－ｌｏｇａ（｜ ｜＋１） （０，＋∞） ，
令ｇ ｘ ｘ ｆ ｘ 的图象和ｇ ｘ 的图象在
（ ）＝ｌｏｇａ（｜ ｜＋１），∴ （ ） （ ） （０，＋
上至多有 个交点．
∞） ３
可以分两种情况 其一是有交点 其二是一个交点也没有
： ， ，
当一个交点都没有时 ａ ．
， ＞１
当有交点时 ｆ ｘ ｇ ｘ 可得 ａ
，∵ （ ）≤０，∴ （ ）≤０， ０＜ ＜１，
要使函数ｙ ｆ ｘ ｘ 在 上至多有三个
＝ （ ）－ｌｏｇａ（｜ ｜＋１） （０，＋∞）
