北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
3.3 指数与指数函数
基础篇 固本夯基
考点一 指数及指数幂的运算
1.(2022届广东惠州10月调研,8)某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d(每层玻璃的
厚度相同)及两层玻璃间夹空气层厚度l对保温效果的影响,利用热传导定律得到热传导量q满足关系式q=
λ |ΔT|
1
( λ l ) ,其中玻璃的热传导系数λ 1 =4×10-3焦耳/(厘米·度),不流通、干燥空气的热传导系数λ 2 =2.5×10-4
d 1 +2
λ d
2
焦耳/(厘米·度),|ΔT|为室内外温度差,q值越小,保温效果越好,现有4种型号的双层玻璃窗户,具体数据如下表:
每层玻璃厚度d(单位: 玻璃间夹空气层厚度l(单位:厘
型号
厘米) 米)
A型 0.4 3
B型 0.3 4
C型 0.5 3
D型 0.4 4
则保温效果最好的双层玻璃的型号是( )
A.A型 B.B型 C.C型 D.D型
答案 D
2.(2022届广东普宁段考,14)计算:(0.25)-2+ 2-( 1 ) −0.75 = .
83
16
答案 12
3.(2018上海,11,5分)已知常数a>0,函数f(x)= 2x 的图象经过点P( 6)、Q( 1),若2p+q=36pq,
p, q,−
2x+ax 5 5
则a= .
答案 6
4.(2022届山东潍坊四中第一次过程检测,17)计算:( 7) 0.5 +(0.1)-2+( 10)− 2 -(3π)0+37.
2 2 3
9 27 48
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解析 原式=√25+ 1 +(27) 3 2 -1+ 37 = 5 +100+ [ (3) 3] 3 2 -1+ 37 =99+ 5 + 9 + 37 =102.
9 0.12 64 48 3 4 48 3 16 48
考点二 指数函数的图象与性质
1.(2022届广东普宁段考,6)当0<a<b<1时,下列不等式中正确的是( )
1
A.(1-a >(1-a)b B.(1+a)a>(1+b)b
)b
b
C.(1-a)b>(1-a D.(1-a)a>(1-b)b
)2
答案 D
2.(2022届江苏常熟抽测一,7)已知f(x)是R上的奇函数,且对任意x∈R,有f(x+2)=-f(x),当x∈(0,1)时,
f(x)=2x-1,则f(log41)=( )
2
25 23 41
A.40 B. C. D.
16 41 23
答案 C
3.(2020天津,6,5分)设a=30.7,b=(1) −0.8 ,c=log
0.7
0.8,则a,b,c的大小关系为( )
3
A.a<b<c B.b<a<c
C.b<c<a D.c<a<b
答案 D
4.(2020广东揭阳三中第一次月考,6)函数f(x)=(1)
x2−6x+5
的单调递减区间为( )
3
A.(-∞,+∞) B.[-3,3]
C.(-∞,3] D.[3,+∞)
答案 D
5.(2020湖南炎陵一中模拟)已知a=log
2
3,b=(1) 0.2 ,c=log
4
7,则( )
3
A.b<c<a B.a<c<b C.c<a<b D.b<a<c
5.答案 A
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6.(多选)(2022届广东普宁二中9月月考,12)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王
子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表
示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如:[-3.2]=-4,[2.3]=2.已知函数f(x)= 2x -1,若g(x)=[f(x)],
1+2x 2
则下列叙述正确的是( )
A.f(x)是奇函数
B.f(x)在R上是减函数
C.g(x)是偶函数
D.g(x)的值域是{-1,0}
答案 AD
7.(2022届广东华侨中学月考,5)已知函数y=ax-2+1(a>0,且a≠1)的图象过定点P,若点P在直线
1 2
2mx+ny-6=0(m,n>0)上,则 + 的最小值为( )
m n
8 5
A.2 B. C.8 D.
3 3
答案 B
8.(2022届华南师大琼中附中月考,16)已知函数f(x)={ ax+1,x≥0, 为R上的单调递增函数,则实数a的
(a−1)ex,x<0
取值范围为 .
答案 (1,2]
综合篇 知能转换
考法 指数(型)函数的图象和性质
1.(2020课标Ⅱ理,11,5分)若2x-2y<3-x-3-y,则 ( )
A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0
C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0
答案 A
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2.(2021山西吕梁一模(文),18)已知定义域为R的函数f(x)=−2x+b是奇函数.
2x+1+a
(1)求a,b的值;
(2)若对于任意的t∈R,不等式f(t2-4t)+f(3t2-k)≤0恒成立,求k的取值范围.
解析
(1)∵函数f(x)=−2x+b是定义域为R的奇函数,∴由f(0)=0,解得b=1.所以f(x)= 1−2x
.由f(-1)=-
2x+1+a 2x+1+a
1−2−1 1−2
f(1)得 =- ,解得a=2.经检验,a=2,b=1时, f(x)是R上的奇函数.
1+a 22+a
(2)由(1)知: f(x)=−2x+1.任取x,x∈R,不妨设x<x,则f(x)-f(x)=−2x 1+1-−2x 2+1=
1 2 1 2 1 2
2x+1+2 2x
1
+1+2 2x
2
+1+2
(−2x 1+1)(2x 2 +1+2)−(2x 1 +1+2)(−2x 2+1)= 2x 2 +2−2x 1 +2 ,因为x<x,所以 < ,所以
1 2 2x
1
2x
2
(2x
1
+1+2)(2x
2
+1+2) (2x
1
+1+2)(2x
2
+1+2)
>
,所以f(x)>f(x).所以f(x)=−2x+1为减函数.不等式f(t2-4t)+f(3t2-k)≤0恒成立即t2-4t≥-(3t2-k)恒
2x
2
+2 2x
1
+2 1 2
2x+1+2
成立.即4t2-4t≥k恒成立,令y=4t2-4t=4(
t−
1) 2 -1,所以y
min
=-1.所以k≤(4t2-4t)
min
=-1,即k的取值范围为(-
2
∞,-1].
名师点睛 (1)由奇函数求参数的值,一般用f(-x)=-f(x),有时为了计算简便,我们可以对x取特殊值f(-1)=-f(1),
求出参数值后要代回检验;(2)解抽象函数型不等式利用函数的单调性解决.
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