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第 12 讲 指数函数
【基础知识网络图】
指数与指数函数
指 数
指数
指数
函 数
的概
运算
的 图
念
性质
像 与
性质
图象与性质
【基础知识全通关】
一、指数与指数幂的运算
1．根式
（1） 次方根的概念与性质
概念 一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根，其中 ， .
①当 是奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数.
这时， 的 次方根用符号 表示.
次
方
性质
根 ②当 是偶数时，正数 的 次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正
数 的正的 次方根用符号 表示，负的 次方根用符号 表示.正的
次方根与负的 次方根可以合并写成 .负数没有偶次方根.
③0的任何次方根都为0，记作 .（2）根式的概念与性质
概念
式子 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数.
① .
根
式
性质 ②当 为奇数时， .
③当 为偶数时， .
【注】速记口诀：
正数开方要分清，根指奇偶大不同，
根指为奇根一个，根指为偶双胞生．
负数只有奇次根，算术方根零或正，
正数若求偶次根，符号相反值相同．
负数开方要慎重，根指为奇才可行，
根指为偶无意义，零取方根仍为零．
2．实数指数幂
（1）分数指数幂
①我们规定正数的正分数指数幂的意义是 .
于是，在条件 下，根式都可以写成分数指数幂的形式.
② 正 数 的 负 分 数 指 数 幂 的 意 义 与 负 整 数 指 数 幂 的 意 义 相 仿 ， 我 们 规 定
且
.
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
（2）有理数指数幂
规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数.整数指数
幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数 ，均有下面的运算性质：
① ；
② ；
③ .
（3）无理数指数幂
对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数幂来理解，由于无理数是无限不循环小数，因
此可以取无理数的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它，最后我们也可得出无理数指数
幂是一个确定的实数.
一般地，无理数指数幂 是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性
质同样适用于无理数指数幂.
二、指数函数的图象与性质
1．指数函数的概念
一般地，函数 叫做指数函数，其中 是自变量，函数的定义域是
.
【注】指数函数 的结构特征：
(1)底数：大于零且不等于1的常数；
(2)指数：仅有自变量x；
(3)系数：ax的系数是1.
2．指数函数 的图象与性质
图象定义域
值域
奇偶性 非奇非偶函数
对称性 函数y=a−x与y=ax的图象关于y轴对称
过定点 过定点 ，即 时，
单调性 在 上是减函数 在 上是增函数
当 时， ； 当 时， ；
函数值的
变化情况
当 时， 当 时，
指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其
中0d>1>a>b>0.
【考点研习一点通】
考点01指数运算、化简、求值
1 1
+ =2
1.已知 3a =5b =c ，且 a b ，求c的值。【解析】
【总结】运算顺序(能否应用公式)；
2.计算下列各式：
(1) ；
1
1 − 7
( ) 3 ×(− ) 0 +80.25 ×√ 4 2+(√ 3 2×√3) 6
8 6
(2) ；
4 1
a3 −8a3b √3 b 3
÷(1−2 )×√a
2 2 a
(3)a3 +2√ 3ab+4b3 .
【解析】(1)原式 ；
(−1)(− 1 ) 1 1 1 1 3 + 1
(2)原式=
8 3 ×1+(23 ) 4 ×24 +(23 ) 6 ×(32 ) 6 =2+24 4 +22 ×33 =112
；
1 1 1 1 1
a3 (a−8b) a3 1 a3 + 3 + 3 (a−8b)
= × ×a3 = =a
1 1 1 1 1 1 1 1
(3)原式
(a3
)
2 +2a3b3 +(2b3
)
2 a3 −2b3 (a3
)
3 −(2b3
)
3
.
3．计算： －0＋＋ ＝______.
【答案】 π＋8
【解析】 原式＝ －1＋|3－π|＋
＝4－1＋π－3＋23
＝π＋8.4．计算： ＝________.(a>0，b>0)
【答案】
【解析】 原式＝ .
5．若 ，则 ＝________.
【答案】
【解析】 由 ，两边平方，得x＋x－1＝7，
再平方得x2＋x－2＝47.
∴x2＋x－2－2＝45.
∴ ＝.
思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计
算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
6．已知 则a，b，c的大小关系是________．
【答案】 cb>1，又 ∴c1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．00，即b<0.
考点03 指数函数的性质及应用
命题点1 比较指数式的大小
11.若2x－2y<3－x－3－y，则( )
A．ln(y－x＋1)>0 B．ln(y－x＋1)<0
C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<0
【答案】 A
【解析】 设函数f(x)＝2x－3－x.
因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增，
所以f(x)在R上单调递增．
原式等价于2x－3－x<2y－3－y，即f(x)0，所以A正确，B不正确．
因为|x－y|与1的大小关系不能确定，所以C，D不正确．
12.[高考改编题]若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是( )A．a＋b≤0 B．a－b≥0
C．a－b≤0 D．a＋b≥0
【答案】 D
【解析】 ∵ea＋πb≥e－b＋π－a，
∴ea－π－a≥e－b－πb，①
令f(x)＝ex－π－x，
则f(x)是R上的增函数，
①式即为f(a)≥f(－b)，
∴a≥－b，即a＋b≥0.
命题点2 解简单的指数方程或不等式
13. (1)若 ，则函数y＝2x的值域是( )
A. B.
C. D．[2，＋∞)
【答案】 B
【解析】 x－2＝(2－2)x－2＝2－2x＋4，
∴
即x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，
∴－3≤x≤1，此时y＝2x的值域为[2－3，21]，
即为.
14.已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为______．
【答案】
【解析】 当a<1时，41－a＝21，解得a＝；
当a>1时，代入不成立．故a的值为.
命题点3 指数函数性质的综合应用
15. (1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取
值范围是________．
【答案】 (－∞，4]
【解析】 令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝
2t是增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所
以m的取值范围是(－∞，4]．(2)不等式4x－2x＋1＋a>0对任意x∈R都成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】 (1，＋∞)
【解析】 原不等式可化为a>－4x＋2x＋1对x∈R恒成立，
令t＝2x，则t>0，∴y＝－4x＋2x＋1＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1≤1，
当t＝1时，y ＝1，∴a>1.
max
思维升华 (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原
则，比较大小还可以借助中间量．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、
最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
【考点易错】
易错01 根式、指数幂的化简与求值
【典例1】镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片
越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别
制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为 ， ， ．则这三种镜片中，制作出最
薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ）
A．甲同学和乙同学 B．丙同学和乙同学
C．乙同学和甲同学 D．丙同学和甲同学
【答案】C
【解析】
判断出 ， ， 的大小关系即可得出答案.
【详解】
， ．∵ ．∴ ．
又∵ ， ，∴ ．
∴有 ．
又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．
故选：C.【典例2】计算： ( 2 1) 1 2−(−9.6) 0− ( 8 ) 3 2 + (3) −2 ．
4 27 2
1
2
【答案】 .
【解析】分析：直接利用指数幂的运算法则求解即可,求解过程注意避免计算错误.
详解： ( 2 1) 1 2−(−9.6) 0− ( 8 ) 3 2 + (3) −2 = (9) 1 2−1− (2)3× 3 2 + (2) 2 = 3 −1= 1 ．
4 27 2 4 3 3 2 2
【规律方法】
化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意
运算的先后顺序．
【变式1】
2
1 7 23
1.计算：1.5－ 3 × 6 0＋80.25× 4 2 ＋( 3 2 × 3 )6－ 3
110
【答案】
1 1
23 3 1 23
＋2424＋2233－
2108110
3 3
【解析】原式＝ .
1 2
3 3 7 23
1
2 6 84 4 2 3
2.计算： × 0＋ × － ＝________.
【答案】2
1 1
23 23
3 1 2
3 24 24 3
【解析】原式＝ ×1＋ × － .
【易错提醒】
1.根式：
（1）任何实数均有奇次方根，仅有非负数才有偶次方根，负数没有偶次方根．
（2）＝0(n＞1，且n∈N*)．
（3）有限制条件的根式化简的步骤2.有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．
3.把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分，否则，有时会改变a的取值范
围而导致出错，如，a∈R，化成分数指数幂应为a，a∈R，而a＝，则有a≥0，所以化简时，
必须先确定a的取值范围．
4.结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形
式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不
能既有分母又有负分数指数幂．
易错02：根式、指数幂的条件求值
3 3
【典例3】已知x+x−1=3，则 x2+x − 2的值为__________．
【答案】2√5
【解析】
1 1 1 1
题意 (x2+x − 2) 2=x+2+x−1=5 ，∴ x2+x − 2=√5 ，
3 3 1 1
∴ x2+x − 2=(x2+x − 2)(x−1+x−1 )=√5(3−1)=2√5，
故答案为2√5．
1 1
x2 x 2 3 xx1
【典例4】设 ，求 的值．
【答案】7
【解析】
1 1
x2 x 2 3,
2
1 1
xx1 x2 x 2 232 27 .
【总结提升】
根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：
(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；
(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；
（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考1 1
查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如 (x2+x − 2) 2=x+2+x−1，
3 3 1 1
(x+x−1 ) 2=x2+2+x−2， x2+x − 2=(x2+x − 2)(x−1+x−1 ) ，解题时要善于应用公式变形．
【变式3】
1 1
a2 a 2 3
已知 ，求下列各式的值.
a2 a2 1
a1a1 a2 a2 aa11
（1） ；（2） ；（3）
(1)7;(2)47;(3)6.
【答案】
1 1
a2 a 2 3 a1a129 a1a1 7
【解析】（1）将 两边平方得 ，所以 .
a1a1 7 a2 a2 249 a2 a2 47
（2）将 两边平方得 ，所以 .
a2 a2 1 471
6.
aa11 71
（3）由（1）（2）可得
易错03：指数函数的图象
【典例5】如图，①②③④中不属于函数 ， ， 的一个是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【解析】
利用指数函数的图象与性质即可得出结果.
【详解】根据函数 与 关于 对称，可知①④正确，
函数 为单调递增函数，故③正确.
所以②不是已知函数图象.
故选：B
【典例6】函数y＝ax－ (a>0，且a≠1)的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
就 、 分类讨论可得正确的选项.
【详解】
当 时， 为增函数，当 时， 且 ，
故A,B 不符合.
当 时， 为减函数，当 时， ，故C不符合，D符合.
故选：D.
【总结提升】
1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、
伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．
3.识图的三种常用方法
（1）抓住函数的性质，定性分析：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从周期性，判断图象的循环往复；
④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.
(2)抓住函数的特征，定量计算：
从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．
（3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：
①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；
②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．
4.过定点的图象
(1)画指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)， .特别注
意，指数函数的图象过定点（0，1）；
y＝ax y＝ax
(2) 与 的图象关于y轴对称；
(3)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋
势；简记：撇增捺减．
易错04：指数函数的性质及其应用
【典例7】已知 ， 且 ，设 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
作差，对 分类讨论，利用指数函数的单调性即可求出.
【详解】当 时， 单调递增，因为 ，所以 ， ，
，
所以 ，所以 ；
当 时， 单调递减，因为 ，所以 ， ，
，
所以 ，所以 .
综上所述：
故选：A
【典例8】（2021·北京高三其他模拟）已知函数 则不等式
的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
作出函数 以及 的大致图象，数形结合即可求解.
【详解】
在同一坐标系中，作出函数 以及 的大致图象，观察 的区域，
由图象可知，在区间 和 上
，由此 的解集 .
故选：A
2x28x1
1
y (3 x1)
【典例9】函数 的值域是_________.
3
1 9
【答案】 ,39
3
【解析】
t 2x2 8x1（2 x2）2 9，
设
3 x1， x2 t x1 t
当 时， 有最大值是9；当 时， 有最小值是-9，
1
y ( )x
9t 9 ，由函数 3 在定义域上是减函数，
[39，39]． [39，39]．
∴原函数的值域是 故答案为
f(x)ax2(a 0,且a 1,x0) (3,0.5)
【典例10】已知函数 的图像经过点 ，
（1）求a值；
f(x)ax2(x0)
（2）求函数 的值域；
1
a
【答案】（1） 2（2）
（0,4]
【解析】
f xax2 3,0.5
（1）函数 的图像经过点a32 0.5
1
a
2
x2
1
f x x0
（2）由（1）可知
2
1
0 2 1 f x 在[0,） 上单调递减，则 f x 在x0时有最大值
2
1
f x f 0 f 4
max 2
f x0
又
f x （0,4]
函数 的值域为
【规律方法】
1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用
幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运
用．
2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定
时，要注意讨论底数的不同取值情况.
3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．如
图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之
间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.
规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
4.简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底
数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
5.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性
质分析判断．
6.有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象和性质，数形结
合求解．
【巩固提升】
1．设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解
【详解】
由 可得 ，所以 ，
所以有 ，
故选：B.
【点睛】
本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算
法则，属于基础题目.
2.函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )
【答案】A
【解析】将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－
∞，0]，只有A满足上述两个性质．3.已知函数 的定义域和值域都是 ，则
_____________.
【答案】
【详解】
若 ，则 在 上为增函数,所以 ，此方程组无解；
若 ，则 在 上为减函数,所以 ，解得 ，所以
.
考点：指数函数的性质.
4.下列各式比较大小正确的是( )
A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62
C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1
【答案】B
【解析】A中，因为函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，所以1.72.5<1.73.B中，因为y＝
0.6x在R上是减函数，－1<2，所以0.6－1>0.62.C中，因为0.8－1＝1.25，所以问题转化为
比较1.250.1与1.250.2的大小．因为y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，所以
1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2.D中，因为1.70.3>1，0<0.93.1<1，所以1.70.3>0.93.1.
5．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是 ( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
【答案】B
【解析】由f(1)＝得a2＝.又a>0，所以a＝，因此f(x)＝.
因为g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．
6．与函数y＝(a－1)x2－2x－1在同一个坐标系内的图象可能是( )【答案】C
【解析】两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数过点(0，－1)，故排除A，
D；二次函数的对称轴为直线x＝，当0＜a＜1时，指数函数单调递减，＜0，C符合题意；
当a＞1时，指数函数单调递增，＞0，B不符合题意，故选C.
7.已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是(
)
A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c D．2a＋2c<2
【答案】D
【解析】作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，因为af(c)>f(b)，结合图
象知，00，所以0<2a<1.所以f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，所以f(c)<1，所
以0f(c)，所以1－2a>2c－
1，所以2a＋2c<2，故选D.
8.函数y＝2x－x2的值域为( )
A. B.
C. D．(0,2]
【答案】A
【解析】因为2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，所以2x－x2≥1＝.所以函数y＝2x－x2的值域
为.9.设函数 ，若 ，则实数a的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当 时，不等式 可化为 ，
即 ，解得 ；
当 时，不等式 可化为 ，所以 ．
故 的取值范围是 .
故选C．
【名师点睛】利用指数函数的单调性，分别讨论当 及 时， 的取值范围，最后
综合即可得出结果．
f (x)
10. 已知函数 ，则 是
A．奇函数，且在R上是增函数 B．偶函数，且在(0,+∞)上是增函数
C．奇函数，且在R上是减函数 D．偶函数，且在(0,+∞)上是减函数
【答案】C【解析】易知函数 的定义域为 ，关于原点对称，
且 ，
则 ，
所以 是奇函数，
显然函数 是减函数.
故选C．
11.若函数 的最小值为 ，则实数 的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当 时，f（x）＝ ，单调递减，
∴f（x）的最小值为f(2)=1；
当x＞2时，f（x）＝ 单调递增，
若满足题意，只需 恒成立，
即 恒成立，
∴ ，∴a≥0.
故选D．
12.函数 的值域为________．
【答案】(0，2]【解析】设 ，又由指数函数 为单调递减函数，即可
求解．
由题意，设 ，
又由指数函数 为单调递减函数，
知当 时， ，
即函数 的值域为 ．
13．已知函数 （ 且 ）的图象过定点 ，则点 的坐标为
_______.
【答案】
【解析】由题意，令 ，可得 ，
P(2,2)
所以函数 （ 且 ）的图象过定点 .
14．已知 ，则 =__________.
【答案】
【解析】由题意得 ，∴ ，
， .
15．已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】 函数 的定义域为 ，∴ 恒成立，
即 恒成立，
，
，
故答案为 .
16．已知函数 ，若 ，则实数 的值是_______．
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又
则a＝ ．
故答案为 .
17．已知 ，则 __________．
【答案】3
【解析】由题设可得 ，则 ，
即 ，即 .故答案为 .
18．若不等式−x2+2x+3≤21−3a对任意实数x都成立，则实数a的最大值为________.
1
【答案】−
3
【解析】设f(x)=−x2+2x+3，不等式−x2+2x+3≤21−3a对任意实数x都成立，只需满
足f(x) ≤21−3a 即可，
max
f(x)=−x2+2x+3=−(x−1) 2+4⇒f(x) =4，
max
1
所以4≤21−3a ⇒a≤− ，
3
1
因此实数a的最大值为− .
3
19．已知函数 ，若 ，则函数 的图
象恒过定点__________．
【答案】
【解析】∵ ，∴函数 图象的对称轴为 ，
∴ ，即 ，
∴ ．
在 中，令 ，则 ．
∴函数 的图象恒过定点 ．
故答案为 ．20．（1） ；
（2） .
【答案】（1）2；（2）
【解析】（1）由题意，根据实数指数幂的运算性质，可得
.
（2）根据对数的运算性质，可得 ．
21．已知函数 .
（1）若 ，求方程 的根；
（2）若对任意 ， 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1） 时， ，
可得 ，
，
，解得 .
（2）令 ， ， .由 ，可得 ， 对 恒成立，
，当且仅当 ，即 时， 取得最小值为 ，
，故 ，
的取值范围为 .
22．已知函数 （ 且 ）是定义在 上的奇函数.
（1）求 的值；
（2）求函数 的值域；
（3）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】（1）∵ 是 上的奇函数，
∴ ，即 .
整理可得 ．
（注：本题也可由 解得 ，但要进行验证）
（2）由（1）可得 ，
∴函数 在 上单调递增，又 ，
∴ ，
∴ ．
∴函数 的值域为 ．
（3）当 时， ．
由题意得 在 时恒成立，
∴ 在 时恒成立．
令 ，则有 ，
∵当 时函数 为增函数，
∴ .
∴ .
故实数 的取值范围为 ．
【名师点睛】解决函数中恒成立问题的常用方法：
（1）分离参数法．若所求范围的参数能分离出来，则可将问题转化为 （或）恒成立的问题求解，此时只需求得函数 的最大（小）值即可．若函数的
最值不可求，则可利用函数值域的端点值表示．
（2）若所求的参数不可分离，则要根据方程根的分布或函数的单调性并结合函数的图象，
将问题转化为不等式进行处理．
