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§2.7 指数与指数函数
课标要求 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性
质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、
特殊点等性质，并能简单应用．
知识梳理
1．根式
(1)一般地，如果xn＝a，那么x 叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)()n＝a.
当n为奇数时，＝a，
当n为偶数时，＝|a|＝
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂： ＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂： ＝ ＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝ a r ＋ s；(ar)s＝ a r s；(ab)r＝ a r b r(a>0，b>0，r，s∈R)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是
R.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 00时， y >1 ； 当x<0时， y >1 ；当x<0时， 0< y <1 当x>0时， 0< y <1
增函数 减函数
常用结论
1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，.
2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即
在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)＝－4.( × )
(2)2a·2b＝2ab.( × )
(3)指数函数y＝ax与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．( √ )
(4)若am0，且a≠1)，则m0，b>0)，所以B正确；
对于C，＝ ＝，所以C正确；
对于D，因为(x＋x－1)2＝x2＋2＋x－2＝4，所以x＋x－1＝±2，所以D错误．
题型二 指数函数的图象及应用
例2 (1)(多选)已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为( )
A．a＝b B．01时，若3a＝6b＝k，则01，则3a<3b<2b·3b＝6b，故选项D错误．
(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
答案 (0,2)
解析 在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．
∴当00，且a≠1，b≠0)的图象不经过第三象限，则a，b的取值范围可能为( )
A．01，b<0 D．a>1,00或－1≤－b<0，解得b<0或01，则函数y＝ax的图象如图所示，要想f(x)＝ax－b的图象不经过第三象限，则需要向
上平移，故－b>0，解得b<0，即C正确，D错误．
题型三 指数函数的性质及应用
命题点1 比较指数式的大小
例3 (2024·海口模拟)已知a＝1.30.6，b＝－0.4，c＝0.3，则( )
A．c1.30＝1，b＝－0.4＝0.4，c＝0.3，
因为指数函数y＝x是减函数，
所以0.4<0.3<0＝1，
所以b1)，q：2x＋1－x<2，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 ∵ax<1，当a>1时，y＝ax是增函数，∴p：{x|x<0}．
对于不等式2x＋10，所以ex＋1>0，
所以函数f(x)的定义域为R，故A正确；
f(x)＝＝1－，
由ex>0 ex＋1>1 0<<1
⇒－2<⇒－<0 －1⇒<1－<1，
所以函数f(x⇒)的值域为(－1,1)，故B正确；
因为f(－x)＝＝＝＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数，故C正确；
因为函数y＝ex＋1是增函数，所以y＝ex＋1>1，
所以函数y＝是减函数，
所以函数y＝－是增函数，
故f(x)＝＝1－是增函数，故D不正确．
(2)(2023·银川模拟)函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值
为________．
答案 或
解析 当a>1时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递增，
由题意可得，f(2)－f(1)＝a2－a＝，
解得a＝或a＝0(舍去)；
当 00，则 ＝a
B．若m8＝2，则m＝±
C．若a＋a－1＝3，则 ＝±
D.＝2－π
答案 B
解析 对于A，根据分数指数幂的运算法则，可得 ，当a＝1时，
＝a；当a≠1时， ≠a，故A错误；
对于B，m8＝2，故m＝±，故B正确；
对于C，a＋a－1＝3，则 ＝a＋a－1＋2＝3＋2＝5，因为a>0，所以 ＝，
故C错误；
对于D，＝|2－π|＝π－2，故D错误．
2．已知函数f(x)＝ax－a(a>1)，则函数f(x)的图象不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 y＝ax(a>1)是增函数，经过点(0,1)，
因为a>1，
所以函数f(x)的图象需由函数y＝ax(a>1)的图象向下平移超过1个单位长度得到，
所以函数f(x)＝ax－a的图象如图所示．
故函数f(x)的图象不经过第二象限．
3．已知a＝31.2，b＝1.20，c＝－0.9，则a，b，c的大小关系是( )
A．a0.9>0，
所以31.2>30.9>30＝1，即a>c>b.
4．(2023·新高考全国Ⅰ)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[－2,0)
C．(0,2] D．[2，＋∞)
答案 D
解析 函数y＝2x在R上是增函数，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，
则函数y＝x(x－a)＝2－在区间(0,1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2，
所以a的取值范围是[2，＋∞)．
5．(2023·潍坊模拟)“关于x的方程a(2|x|＋1)＝2|x|没有实数解”的一个必要不充分条件是(
)
A．a≤ B．a>1
C．a≤或a≥1 D．a<或a≥1
答案 C
解析 a(2|x|＋1)＝2|x|，
因为2|x|＋1>0，所以a＝＝1－，
因为2|x|≥20＝1，
所以2|x|＋1≥2,0<≤，≤1－<1，
要使a(2|x|＋1)＝2|x|没有实数解，
则a<或a≥1，
由于a<或a≥1不能推出a≤，故A不成立；
由于a<或a≥1不能推出a>1，故B不成立；
由于a<或a≥1 a≤或a≥1，且a≤或a≥1不能推出a<或a≥1，故C正确；
D为充要条件，⇒不符合要求．
6．(2024·辽源模拟)已知函数f(x)＝2x－2－x＋1，若f(a2)＋f(a－2)>2，则实数a的取值范围是(
)
A．(－∞，1)
B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D．(－1,2)
答案 C
解析 令g(x)＝2x－2－x，定义域为R，且g(－x)＝－g(x)，
所以函数g(x)是奇函数，且是增函数，
因为f(x)＝g(x)＋1，f(a2)＋f(a－2)>2，则g(a2)＋g(a－2)>0，即g(a2)>－g(a－2)，
又因为g(x)是奇函数，
所以g(a2)>g(2－a)，
又因为g(x)是增函数，所以a2>2－a，
解得a<－2或a>1，
故实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞)．
二、多项选择题
7．已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(a2
B．∃a，b∈R，使得02＝2，
所以2a＋b<1，则a＋b<0，故B错误，D正确．
8．已知函数f(x)＝m－是定义域为R的奇函数，则下列说法正确的是( )
A．m＝
B．函数f(x)在R上的最大值为
C．函数f(x)是减函数
D．存在实数n，使得关于x的方程f(x)－n＝0有两个不相等的实数根
答案 AC
解析 因为函数f(x)＝m－是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝m－＝0，
解得m＝，此时f(x)＝－，
则f(－x)＝－＝－
＝－＝－1＋
＝－＝－f(x)，符合题意，故A正确；
又f(x)＝－＝－＝－，
因为ex>0，所以ex＋1>1，则0<<1，
所以－0，
且y＝在(0，＋∞)上单调递减，
所以f(x)＝－是减函数，故C正确；
因为f(x)是减函数，
所以y＝f(x)与y＝n最多有1个交点，
故f(x)－n＝0最多有一个实数根，
即不存在实数n，使得关于x的方程f(x)－n＝0有两个不相等的实数根，故D错误．
三、填空题
9． ＝________.
答案 81
解析 原式＝
＝2－1＋8＋(23×32)＝81.
10．(2023·福州模拟)写出一个同时具备下列性质的函数f(x)＝________.
①f(x＋1)＝f(x)f(1)；②f′(x)<0.
答案 e－x(答案不唯一)
解析 ∵f(x＋1)＝f(x)f(1)是加变乘，
∴考虑指数函数类型，
又f′(x)<0，∴f(x)是减函数，
∴f(x)＝e－x满足要求．
11．已知函数f(x)＝ 有最大值3，则a的值为________．
答案 1
解析 令g(x)＝ax2－4x＋3，
则f(x)＝g(x)，
∵f(x)有最大值3，∴g(x)有最小值－1，
则解得a＝1.
12．(2024·宁波模拟)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x 满足f(－x)＝－f(x)，则称函
0 0 0
数f(x)为“倒戈函数”．设f(x)＝3x＋m－1(m∈R，m≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，
则实数m的取值范围是________．
答案解析 ∵f(x)＝3x＋m－1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，
∴存在x∈[－1,1]满足f(－x)＝－f(x)，
0 0 0
∴ ＋m－1＝ －m＋1，
∴2m＝ ＋2，
构造函数y＝ ＋2，x∈[－1,1]，
0
令t＝ ，t∈，
则y＝－－t＋2＝2－在上单调递增，在(1,3]上单调递减，
∴当t＝1时，函数取得最大值0，
当t＝或t＝3时，函数取得最小值－，
∴y∈，
又∵m≠0，∴－≤2m<0，∴－≤m<0.
四、解答题
13．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值．
解 令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
当a>1时，因为x∈[－1,1]，
所以t∈，
又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，
所以y ＝(a＋1)2－2＝14，
max
解得a＝3或a＝－5(舍去)；
当00，则函数f(x)是减函数．
(3)因为存在t∈[0,4]，使f(k＋t2)＋f(4t－2t2)<0成立，且函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以不等式可转化为f(k＋t2)2t2－4t，所以k>t2－4t，
令g(t)＝t2－4t＝(t－2)2－4，
由题意可知，问题等价转化为k>g(t) ，
min
又因为g(t) ＝g(2)＝－4，所以k>－4，
min
即实数k的取值范围为(－4，＋∞)．
15．(2023·深圳模拟)已知α∈，a＝(cos α)sin α，b＝(sin α)cos α，c＝(cos α)cos α，则( )
A．b>c>a B．c>b>a
C．c>a>b D．a>b>c
答案 A
解析 已知α∈，则0(cos α)sin α＝a；
因为幂函数y＝xcos α在(0,1)上单调递增，故c＝(cos α)cos α<(sin α)cos α＝b，故b>c>a.
16．(2023·徐州模拟)正实数m，n满足e1－2m＋2－2m＝en－1＋n，则＋的最小值为________．
答案
解析 由e1－2m＋2－2m＝en－1＋n，得e1－2m＋(1－2m)＝en－1＋(n－1)，
令f(x)＝ex＋x，则原等式为f(1－2m)＝f(n－1)，显然函数f(x)为增函数，
于是1－2m＝n－1，即2m＋n＝2，
而m>0，n>0，
因此＋＝＋＝＋＋≥2＋＝，
当且仅当＝，即m＝n＝时取等号，
所以当m＝n＝时，＋取得最小值.
