文档文本内容
专题九 平面解析几何
课标解读
考情分析 备考指导
主题 内容
．理解直线的倾斜角和斜率的概念 掌握过
１ 、
两点的直线斜率的计算公式．
．能根据两条直线的斜率判定这两条直线
２
一、直线的方程 平行或垂直． ．直线与圆的问题求解一定要注意数形结
１
．掌握直线方程的几种形式 点斜式 两点 从近几年高考情况来看 直线 合的方法 充分利用圆的几何性质解题．
３ （ 、 ， ，
式及一般式 了解斜截式与一次函数的 和圆主要考查方程的求法 常 ．恰当选择直线和曲线方程形式 简化
）， ， ２ ，
关系． 以选择题 填空题的形式出 计算．
、
．能用解方程组的方法求两条相交直线的
现
；
对于圆锥曲线
，
基础题目
３
．合理运用消元技巧
，
涉及直线与圆锥曲
１
主要考查定义与方程 几何性 线的交点坐标问题 常常 设而不求 利
二、两直线的位 交点坐标．
、 ， “ ”，
置关系 ．掌握两点间的距离公式 点到直线的距离
质
，
特别是双曲线的几何性质 用根与系数的关系解题．
２ 、
公式 会求两条平行直线间的距离．
（
离心率
、
渐近线
）
及抛物线
４
．圆锥曲线的弦中点问题的解题技巧
：
代
、
的几何性质．解答题通常以椭 点相减法 点差法 ．
．掌握确定圆的几何要素 掌握圆的标准方 （ ）
１ ， 圆及抛物线为背景 考查直线 ．直线与椭圆或直线与抛物线的位置关系
程和一般方程． ， ５
与椭圆的位置关系 直线与抛 为基本题型 考查曲线的弦长 动点的轨
三、直线、圆的 ．能根据给定直线 圆的方程判断直线与圆 、 ， ，
２ 、 物线的位置关系 弦中点问 迹方程和有关几何量的求解等．掌握基本
位置关系 的位置关系． 、
题 定点问题 定值问题 轨迹 解题方法 先联立方程 二次方程和一次
．能根据给定两个圆的方程 判断两圆的位 、 、 、 ： （
３ ， 问题 取值范围问题 证明问 方程 再把几何条件代数化 最后结合函
置关系． 、 、 ）， ，
题及直线过定点问题． 数 不等式等知识 解决求值 范围 最值
、 ， 、 、
．了解圆锥曲线的实际背景 了解圆锥曲线 等问题．
１ ，
四、椭圆、双曲 在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
线、抛物线 ．掌握椭圆 双曲线 抛物线的定义 标准方程
２ 、 、 、
及简单的几何性质．
易错警示 总结提升
命题规律
设直线方程时 应注意讨论斜率不存 近几年平面解析几何题的呈现形式 第一
解决直线与圆锥曲线的位置关系的相关 （１） ， ：
在的情况． 问往往是求曲线的方程问题 第二问往往
问题 其常规思路是先把直线方程与圆锥 ；
， 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长 是直线与圆锥曲线相结合的问题．常常需
曲线方程联立 消元 化简 然后应用根与 （２）
， 、 ， 是在方程有解的情况下进行的 不要忽略 要应用根与系数的关系和判别式．
系数的关系建立方程 把已知几何条件代 ，
， 判别式．
数化转化为代数问题来解决．
５８２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）专题九 直线和圆的方程 ５８３
真题多维细目表
考题 涉分 题型 难度 考点 考向 解题方法 核心素养
转化法
２０２０北京，５ 选择题 易 圆的方程 圆心与原点距离的最小值 数学运算
４ 数形结合法
直线与圆、圆与 数学运算
２０２０课标Ⅰ理，１１ 选择题 中 直线与圆相切，直线方程 数形结合法
５ 圆的位置关系 逻辑推理
直线与圆的 半径、弦长的一半、 数学运算
２０２０课标Ⅰ文，６ 选择题 易 数形结合法
５ 位置关系 弦心距的关系 逻辑推理
命题规律与探究
．从 年高考情况来看 本专题内容的考题与往年相差不大 考题难度以中档为主 题型主要以选择题 填空题的形式出现
１ ２０２０ ， ， ， 、
如 年新高考 卷第 题Ｂ选项 课标 卷理数第 题 分值一般为 分．
（ ２０２０ Ⅰ ９ 、 Ⅰ １１ ）， ５
．本专题内容在高考试题中以考查直线 圆的方程及位置关系为主 常用的解题方法为数形结合法 转化法．注意待定系数法在求
２ 、 ， 、
解方程问题中的应用．
．在处理直线与圆的位置关系及弦长问题时 常利用几何法．
３ ，
．本章重点考查的学科核心素养为数学运算和逻辑推理 直观想象．
４ 、
命题变化与趋势
． 年高考对本专题内容的考查方式及题目难度变化不大 延续此前的考试风格 突出直线的基础地位．
１２０２０ ， ，
．考查内容主要体现在以下方面 求直线方程与圆的方程 以直线 圆的位置关系为背景考查与圆有关的弦长 弦中点 切线
２ ：① ；② 、 、 、
以及最值等问题 以直线 圆及圆锥曲线的融合为背景考查根与系数的关系 整体代换思想的应用．这些内容依然是高考考查
；③ 、 ，
的重点 因此在备考复习之中应加以重视．同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解题中的应用．
，
真题典例
核心考点 直线 圆的方程 方程 程 根据圆系的知识可知 直线ＡＢ是以
（１） 、 ； ， ，
直线与圆 圆与圆的位置关系． 设圆Ｃ ｘ２ ｙ２ Ｄ ｘ Ｅ ｙ Ｆ 圆Ｃ ＭＰ为直径的圆与圆 Ｍ 的公共弦 将
（２） 、 １： ＋ ＋ １ ＋ １ ＋ １＝０， ２： ☉ ，
命题要求 掌握确定圆的几何要素 ｘ２ ｙ２ Ｄ ｘ Ｅ ｙ Ｆ 若两圆相交 则 两圆方程相减即可求出直线ＡＢ的方程．
（１） ， ＋ ＋ ２ ＋ ２ ＋ ２＝０， ，
掌握圆的标准方程和一般方程 有一条公共弦 两圆方程相减得 Ｄ 命题规律 本章常考题型及方法
； ， （ １－
能根据给定直线 圆的方程判断直 Ｄ ｘ Ｅ Ｅ ｙ Ｆ Ｆ 即为圆Ｃ 方程中含有参数的直线与圆的位置
（２） 、 ２） ＋（ １－ ２） ＋ １－ ２＝０， １ （１）
线与圆的位置关系 与Ｃ 的公共弦所在直线的方程． 关系的判定．
； ２
能根据给定两个圆的方程 判断两 思路分析 由题意可判断直线 ｘ ｙ 利用相切或相交的条件求参数的值
（３） ， ２ ＋ ＋２＝ （２）
圆的位置关系． 与圆ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ 相离 根据圆 或取值范围．
０ ＋ －２ －２ －２＝０ ，
知识储备 以线段ＡＢ为直径的圆的 的知识可知 四点Ａ Ｐ Ｂ Ｍ共圆 且ＡＢ 利用相切或相交的条件求圆的切线
（１） ， ， ， ， ， （３）
方程 ＭＰ 根据 ＰＭ ＡＢ Ｓ 长或弦长．
⊥ ， ｜ ｜·｜ ｜ ＝４ △ ＰＡＭ＝４｜
已 直 ｙ １） 知 径 （ 两 点 的 ｙ － 圆 圆 ｙ Ａ ２ （ ） 的 相 ｘ ＝ １ 方 交 ， ０ ｙ ． 程 １ 时 ） 是 ， Ｂ 公 （ （ ｘ ｘ 共 － ２， ｘ 弦 ｙ １） ２） （ 所 ， ｘ 则 － 在 ｘ 以 ２ 直 ） Ａ ＋ 线 Ｂ （ ｙ 为 的 － Ｐ Ｍ ＡＢ Ａ Ｐ ｜ ｜ ⊥ 最 与 ｌ 小 ｜ 时 Ｐ ， Ａ ， 求 ｜ ｜ Ｍ ＝ 出 Ｐ 以 ｜ 最 ｜ Ｍ Ｍ 小 Ｐ Ｐ ， ｜ ２ 为 也 －４ 直 就 可 径 是 知 的 ｜ ， Ｐ 圆 当 Ｍ 的 直 ｜· 线 方 ｜ （ 何 （ 想 ４ ５ 量 ） ） 方 由 考 的 程 直 查 最 思 线 化 值 想 与 归 问 以 圆 与 题 及 的 转 ． 数 位 化 形 置 思 结 关 想 合 系 、 思 分 判 想 类 定 的 讨 有 应 论 关 用 几 思 ．
（２） ， 、
５８４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
真题多维细目表
考题 涉分 题型 难度 考点 考向 解题方法 核心素养
多项 椭圆、双曲线的定 椭圆、双曲线的标准方程、
２０２０新高考Ⅰ，９ 中 定义法 数学运算
５ 选择题 义和标准方程 双曲线的渐近线
圆锥曲线的 直线与椭圆的位置 定义法 数学运算
２０２０新高考Ⅰ，２２ 解答题 难
１２ 综合问题 关系、定值（点）问题 分类讨论法 逻辑推理
数学运算
２０２０天津，７ 选择题 中 双曲线的几何性质 求双曲线的方程 定义法
５ 逻辑推理
２０２０课标Ⅰ理，１５ 填空题 中 双曲线的几何性质 双曲线的离心率的求法 公式法 数学运算
５
逻辑推理
２０２０新高考Ⅰ，１３ 填空题 易 抛物线的几何性质 求抛物线过焦点的弦长 公式法
５ 数学运算
圆锥曲线的 逻辑推理
２０２０课标Ⅰ，文２１，理２０ 解答题 难 椭圆的定值、定点问题 直接法
１２ 综合问题 数学运算
双曲线的定义 定义法
２０２０课标Ⅰ文，１１ 选择题 中 求焦点三角形的面积 数学运算
５ 与标准方程 公式法
圆锥曲线的
２０２０北京，２０ 解答题 难 直线与圆锥曲线的位置关系 数形结合法 数学运算
１５ 综合问题
２０２０北京，１２ 填空题 中 双曲线的几何性质 由标准方程求焦点和渐近线 公式法 数学运算
５
２０２０北京，７ 选择题 易 抛物线的几何性质 抛物线的定义 定义法 数学运算
４
命题规律与探究
．从 年高考情况来看 本专题内容依然为高考热点 考题以中 高难度为主 题型涵盖选择题 填空题和解答题 分值约为
１ ２０２０ ， ， 、 ， 、 ，
分．
２０
．本专题内容在高考试题中命题形式多样 客观题主要考查圆锥曲线的定义 如 年新高考 卷第 题 方程和几何性质
２ ， （ ２０２０ Ⅰ ９ ）、
如 年课标 卷理数第 题考查求双曲线的离心率 解答题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系及其相关的弦长 弦
（ ２０２０ Ⅰ １５ ）， 、
中点 定点 最值范围等问题．
、 、
．在求解圆锥曲线方程时注意待定系数法与定义法的应用 在解决与圆锥曲线弦中点有关问题时注意点差法和根与系数的关系
３ ，
的应用．
．本章重点考查的学科核心素养为数学运算 直观想象和逻辑推理．
４ 、
命题变化与趋势
． 年高考对本章的考查方式及题目难度变化不大 延续此前的考试风格．
１２０２０ ，
．考查内容主要体现在以下方面 以圆锥曲线方程为背景考查标准方程的应用 如 年新高考 卷第 题 ． 以直线与圆
２ ：① （ ２０２０ Ⅰ ９ ） ②
锥曲线的位置关系为背景考查弦长 如 年新高考 卷第 题 可以直接用过抛物线焦点的弦长公式 也可以用通用的弦
（ ２０２０ Ⅰ １３ ， ，
长公式求解 ． 以直线与圆锥曲线的位置关系为载体考查定点 定值 取值范围以及存在性问题． 以平面几何知识或圆锥曲
） ③ 、 ， ④
线相关内容为载体考查动点轨迹方程的求解．这些内容均为高考考查的重点和热点 因此在备考复习中应加强训练 同时在备
， ，
考时还需要加强对数形结合思想 分类讨论思想 函数与方程思想在解决圆锥曲线综合问题中的应用．
、 、专题九 圆锥曲线 ５８５
９．１ 直线方程与圆的方程
§
注意 当直线与ｘ轴不垂直时 可设直线的方程为ｙ
（１） ， ＝
ｋｘ ｂ 当不确定直线的斜率是否存在时 可设直线的方程为ｋｙ ｘ
＋ ； ， ＋
ｂ ．
＋ ＝０
考点一 直线方程
特殊直线的方程 过Ｐ ｘ ｙ 且垂直于ｘ轴的直线方
（２） ， １（ １， １）
１．直线的倾斜角 程为ｘ ｘ 过Ｐ ｘ ｙ 且垂直于ｙ轴的直线方程为 ｙ ｙ ．
＝ １； １（ １， １） ④ ＝ １
对于一条与 ｘ 轴相交的直线 如果把 ｘ 轴绕着交点按 知识拓展 常见的直线系方程
（１） ，
逆时针 方向旋转到和直线重合时 所转的最小正角记为α
① ， ， 过定点Ｐ ｘ ｙ 的直线系方程 Ａ ｘ ｘ Ｂ ｙ ｙ
那么α就叫做直线的倾斜角． （１） （ ０， ０） ： （ － ０）＋ （ － ０）＝ ０
Ａ Ｂ不同时为 也可以表示为ｙ ｙ ｋ ｘ ｘ 和ｘ ｘ
规定 当直线ｌ与ｘ轴平行或重合时 它的倾斜角为 ． （ 、 ０）， － ０＝ （ － ０） ＝ ０；
（２） ： ， ０ 平行于直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ Ａ２ Ｂ２ 的直线系方程 Ａｘ
范围 直线的倾斜角α的取值范围是 ［ ， ） ． （２） ＋ ＋ ＝０（ ＋ ≠０） ：
（３） ： ② ０ π Ｂｙ Ｃ Ｃ Ｃ
２．直线的斜率 ＋ ＋ ０＝０（ ≠ ０）；
垂直于直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ Ａ２ Ｂ２ 的直线系方程 Ｂｘ
（３） ＋ ＋ ＝０（ ＋ ≠０） ：
定义 当直线ｌ的倾斜角α π时 其倾斜角α的正切 Ａｙ Ｃ
（１） ： ≠ ， － ＋ ０＝０；
值 α叫做这条直线的斜率 斜率通常
２
用小写字母ｋ表示 则ｋ （４）
过两条已知直线 ｌ
１：
Ａ
１
ｘ
＋
Ｂ
１
ｙ
＋
Ｃ
１＝０（
Ａ２
１＋
Ｂ２
１≠０）
和 ｌ
２：
ｔａｎ ， ， Ａ ｘ Ｂ ｙ Ｃ Ａ２ Ｂ２ 交点的直线系方程 Ａ ｘ Ｂ ｙ Ｃ
＝ｔａｎ α． λ ２ Ａ ＋ ｘ ２ Ｂ ＋ ｙ ２ Ｃ ＝０（ ２＋ λ ２≠ Ｒ ０ 这 ） 个直线系不包括直线 ： １ ｌ ＋ Ａ １ ｘ ＋ Ｂ ｙ １＋
范围 全体实数Ｒ． （ ２ ＋ ２ ＋ ２）＝０（ ∈ ， ２： ２ ＋ ２ ＋
（２） ： Ｃ 解题时 注意检验ｌ 的方程是否满足题意 以防丢解 ．
斜率公式 经过两点Ｐ ｘ ｙ Ｐ ｘ ｙ ｘ ｘ 的 ２＝０， ， ２ ， ）
（３） ： １（ １， １）， ２（ ２， ２）（ １≠ ２）
ｙ ｙ
直线的斜率公式为ｋ ２－ １ ． 考点二 圆的方程
Ｐ １ Ｐ ２ ＝③ ｘ ２－ ｘ １ 圆的方程
３．直线方程的几种形式
名称 方程 圆心 半径
名称 方程 说明 适用条件
标准 （ｘ ａ）２ （ｙ ｂ）２ ｒ２
ｋ是斜率 － ＋ － ＝ （ａ，ｂ） ｒ
斜截式 ｙ ｋｘ ｂ ， 方程 （ｒ ）
＝ ＋ ｂ是纵截距 与ｘ轴不 ＞０
一般 ｘ２ ｙ２ Ｄｘ Ｅｙ Ｆ ( Ｄ Ｅ )
点斜式 ｙ － ｙ ０＝ （ ｘ ０， ｙ ０） 是直线上的已知点 ， 垂直的直线 方程 （Ｄ ＋ ２ ＋ Ｅ ＋ ２ －４ ＋ Ｆ ＞ ＋ ０ ） ＝０ － ２ ， － ２ １ ２ Ｄ２ ＋ Ｅ２ －４ Ｆ
ｋ ｘ ｘ ｋ是斜率
（ － ０） 温馨提示 方程 ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２ ｒ２ 中 若没有给出ｒ
（１） （ － ） ＋（ － ） ＝ ， ＞
ｙ ｙ ｘ ｘ 与两坐标轴
－ １ － １ ｘ ｙ ｘ ｙ 是直线上 则圆的半径为 ｒ 实数ｒ可以取负值．
两点式 ｙ ｙ ＝ｘ ｘ （ １， １），（ ２， ２） 均不垂直的 ０， ｜ ｜，
２－ １ ２－ １ 的两个已知点 方程ｘ２ ｙ２ Ｄｘ Ｅｙ Ｆ 中 若Ｄ２ Ｅ２ Ｆ 方程表示
ｘ ｘ ｙ ｙ 直线 （２） ＋ ＋ ＋ ＋ ＝０ ， ＋ －４ ＝０，
（ １≠２，１≠２） ( Ｄ Ｅ )
不过原点且与
点
－ ，－ ；
若Ｄ２
＋
Ｅ２
－４
Ｆ
＜０，
方程不表示任何图形．
ｘ ｙ ａ是直线的横截距 ２ ２
截距式 ａ ＋ ｂ ＝１ ｂ是直线的纵截距 ， 两
垂
坐
直
标
的
轴
直
均
线
不
（３）
圆的一般方程的形式特点
：
ｘ２ 和ｙ２ 的系数相等且大于
（ｉ） ０；
当Ｂ
＝０
时
，－
Ｃ
Ａ
是直线的
（ｉｉ）
没有含ｘｙ的二次项
；
Ａ Ｃ 且Ｂ 是二元二次方程Ａｘ２ Ｂｘｙ Ｃｙ２ Ｄｘ Ｅｙ
横截距 （ｉｉｉ） ＝ ≠０ ＝０ ＋ ＋ ＋ ＋
Ｆ 表示圆的必要不充分条件．
Ａｘ Ｂｙ Ｃ ＋ ＝０
一般式 （ Ａ ＋ ２ ＋ Ｂ ＋ ２ ≠ ＝ ０） ０ 当Ａ ≠０， Ｂ ≠０ 时 ，－ Ｂ Ａ ， 所有直线 为 ｘ （４ ｘ ） 已知 ｘ ｘ Ｐ （ ｘ １， ｙ ｙ １） ｙ ， Ｑ （ ｙ ｘ ２ ｙ ， ｙ ２）， 则 ． 以ＰＱ为直径的圆的方程
Ｃ Ｃ （ － １）（ － ２）＋（ － １）（ － ２）＝０
分别为直线的斜
－ Ａ ，－ Ｂ
率 横截距 纵截距
、 、
[ ] [ ] ( )
π π π
Ｃ． ０， Ｄ． ０， ∪ ，π
４ ４ ２
答案 Ｂ
考点一 直线方程 ２．已知直线ｌ过点 且在纵轴上的截距为横轴上的截距的
（１，２），
１．直线ｘ α ｙ 的倾斜角的取值范围是 两倍 则直线ｌ的方程为
ｓｉｎ ＋ ＋２＝０ （ ） ， （ ）
[ ] [ ) ｘ ｙ ｘ ｙ
π ３ Ａ．２ － ＝０ Ｂ．２ ＋ －４＝０
Ａ．［０，π］ Ｂ． ０， ∪ π，π ｘ ｙ 或ｘ ｙ ｘ ｙ 或 ｘ ｙ
４ ４ Ｃ．２ － ＝０ ＋２ －２＝０ Ｄ．２ － ＝０ ２ ＋ －４＝０
答案 Ｄ
５８６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
３．（多选题）下列说法正确的是 ( ) ２ ( ) ２
（ ） ｘ １ ｙ ２ ２５ ｘ １ ｙ ２ ２５
ｘ ｙ Ｃ． － ＋（ ＋１） ＝ Ｄ． ＋ ＋（ －１） ＝
截距相等的直线都可以用方程 表示 ２ ４ ２ ４
Ａ． ａ ＋ ａ ＝１ 答案 Ｄ
方程ｘ ｍｙ ｍ Ｒ 能表示平行ｙ轴的直线 { }
Ｂ． ＋ －２＝０（ ∈ ） ６．若ａ ３ 则方程ｘ２ ｙ２ ａｘ ａｙ ａ２ ａ 表示
经过点Ｐ 倾斜角为θ的直线方程为ｙ θ ｘ ∈ －２，０，１， ， ＋ ＋ ＋２ ＋２ ＋ －１＝０
Ｃ． （１，１）， －１＝ｔａｎ （ －１） ４
经过两点Ｐ ｘ ｙ Ｐ ｘ ｙ 的直线方程为 ｙ ｙ ｘ 的圆的个数为
Ｄ． １（ １， １）， ２（ ２， ２） （ ２－ １）（ － （ ）
ｘ ｘ ｘ ｙ ｙ
１）－（ ２－ １）（ － １）＝０ Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３
答案 ＢＤ 答案 Ｂ
４．经过两条直线 ｘ ｙ 和ｘ ｙ 的交点 并且垂直于 ７．已知Ａ Ｂ Ｏ为坐标原点 则 ＡＢＯ的外接圆方
２ ＋３ ＋１＝０ －３ ＋４＝０ ， （０， ３）， （１，０）， ， △
直线 ｘ ｙ 的直线方程为 ． 程是
３ ＋４ －７＝０ （ ）
答案 ｘ ｙ
４ －３ ＋９＝０ Ａ． ｘ２ ＋ ｙ２ － ｘ － ３ ｙ ＝０ Ｂ． ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ ｘ ＋ ３ ｙ ＝０
考点二 圆的方程 Ｃ．
ｘ２
＋
ｙ２
－
ｘ
＋ ３
ｙ
＝０ Ｄ．
ｘ２
＋
ｙ２
＋
ｘ
－ ３
ｙ
＝０
答案 Ａ
５．已知点Ａ Ｂ 则以线段ＡＢ为直径的圆的方程为
（－２，－１）， （１，３）， ８．已知 ＡＢＣ三个顶点是 Ａ Ｂ Ｃ 则
△ （０，５）， （１，－２）， （－３，－４），
（ ） ＡＢＣ外接圆的方程为 ．
( ) ２ ( ) ２ △
Ａ． ｘ － １ ＋（ ｙ ＋１） ２ ＝２５ Ｂ． ｘ ＋ １ ＋（ ｙ －１） ２ ＝２５ 答案 （ ｘ ＋３） ２ ＋（ ｙ －１） ２ ＝２５
２ ２
ｘ ｙ
２．（２０２０浙江温州一模，１２）已知 与ｘ轴 ｙ轴分别交
＋ ＝１ ，
４ ２
于点Ａ Ｂ 则 ＡＢ 以线段ＡＢ为直径的圆的方程为
， ， ｜ ｜＝ ；
考点二 圆的方程 ．
１．（２０１７广东东莞二模，６）平面内动点Ｐ到两点Ａ
、
Ｂ的距离之 答案
２ ５；
ｘ２
＋
ｙ２
－４
ｘ
－２
ｙ
＝０
比为常数λ λ 且λ 则动点Ｐ的轨迹叫做阿波罗尼斯 解析 本题考查了两点之间的距离公式和利用圆心坐标和
（ ＞０， ≠１），
半径求圆的方程 属于基础题．
圆 若已知Ａ Ｂ λ １ 则此阿波罗尼斯圆的方 ，
， （－２，０）， （２，０）， ＝ ２ ， 由题意 可得点Ａ Ｂ 由两点间的距离公式得 ＡＢ
， （４，０）， （０，２）， ｜ ｜
程为
（ ） ２ ２ ．
ｘ２ ｙ２ ｘ ｘ２ ｙ２ ｘ ＝ ４ ＋（－２） ＝２ ５
Ａ． ＋ －１２ ＋４＝０ Ｂ． ＋ ＋１２ ＋４＝０ 以线段ＡＢ为直径的圆 其圆心为 半径为
， （２，１）， ５，
Ｃ． ｘ２ ＋ ｙ２ － ２０ｘ ＋４＝０ Ｄ． ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ ２０ｘ ＋４＝０ 故所求圆的方程为 （ ｘ －２） ２ ＋（ ｙ －１） ２ ＝５， 即ｘ２ ＋ ｙ２ －４ ｘ －２ ｙ ＝０ ．
答案 Ｄ ３ 由题意 设Ｐ ｘ ｙ ３ 一题多解 用向量法求圆的方程 ： 设Ｍ （ ｘ ， ｙ ） 为所求圆上任意
， （ ， ），
则 （ ｘ ＋２） ２ ＋ ｙ２ １
一点
，
则Ａ→Ｍ
·
Ｂ→Ｍ
＝０，
即
（
ｘ
－４）
ｘ
＋
ｙ
（
ｙ
－２）＝ ０，
即ｘ２
＋
ｙ２
－４
ｘ
－２
ｙ
（ ｘ －２） ２ ＋ ｙ２ ＝ ２ ， ＝０ ．
化简可得ｘ２ ｙ２ ２０ｘ 故选
＋ ＋ ＋４＝０， Ｄ．
３
所以直线的斜率ｋ α ［ ， ］．
＝２ｃｏｓ ∈ １ ３
设直线的倾斜角为θ，则有 θ ［ ， ］．
ｔａｎ ∈ １ ３
[ ]
考法一 求直线的倾斜角和斜率 又θ ［ ， ），所以θ π，π ，
∈ ０ π ∈
( [ ]) ４ ３
例１ 直线 ｘ α ｙ α π π 的倾斜角的 [ ]
２ ｃｏｓ － －３＝０ ∈ ， 即倾斜角的取值范围是 π，π ．
６ ３
取值范围是 ４ ３
（ ） 答案 Ｂ
[ ] [ ] [ ) [ ]
Ａ．
π
，
π
Ｂ．
π
，
π
Ｃ．
π
，
π
Ｄ．
π
，
２π 方法总结 １．求倾斜角的取值范围
６ ３ ４ ３ ４ ２ ４ ３
解析 直线 ２ ｘ ｃｏｓ α － ｙ －３＝０ 的斜率ｋ ＝２ｃｏｓ α， （１） 求出斜率ｋ ＝ｔａｎ α的取值范围 （ 若斜率不存在 ， 则倾斜
角为 °
[ ] ９０ ）；
因为α π，π ，所以 １ α ３， 利用正切函数的单调性 借助图象或单位圆确定倾斜角
∈ ≤ｃｏｓ ≤ （２） ，
６ ３ ２ ２ α的取值范围．
专题九 圆锥曲线 ５８７
２．求斜率的常用方法 点Ａ关于直线ｌ的对称点Ａ′的坐标
（１） ；
当倾斜角不是 °时 斜率ｋ α 直线ｍ ｘ ｙ 关于直线ｌ的对称直线ｍ′的方程
（１） ９０ ， ＝ｔａｎ ； （２） ：３ －２ －６＝０ ；
经过两点 Ｐ ｘ ｙ Ｐ ｘ ｙ 的直线的斜率为 ｋ 直线ｌ关于点Ａ 对称的直线ｌ′的方程．
（２） １（ １， １）， ２（ ２， ２） ＝ （３） （－１，－２）
ｙ ｙ 解题导引 设Ａ′ ｘ ｙ 由题意知ＡＡ′ ｌ及ＡＡ′的中点
２－ １ ｘ ｘ （１） （ ， ）， ⊥
ｘ
２－
ｘ
１
（ １≠ ２）；
在直线ｌ上 ， 列关于 ｘ ， ｙ 的方程组求解． （２） 直线 ｍ与直线 ｌ 相
Ａ
方程为Ａｘ Ｂｙ Ｃ Ｂ 的直线的斜率为ｋ 交 可求出交点坐标 在直线ｍ上另取一点Ｍ 求Ｍ关于ｌ的对
（３） ＋ ＋ ＝０（ ≠０） ＝－Ｂ； ， ， ，
称点Ｍ′ Ｍ′在直线ｍ′上 由交点和点Ｍ′即可求直线ｍ′的方程．
依据方向向量求斜率 以ａ ｍ ｎ ｍ 为方向向量 ， ，
（４） ， ＝（ ， ）（ ≠０） 解法一 可以在ｌ上取两个不同点Ｂ Ｃ 求其关于点Ａ的对
ｎ （３） ： ， ，
的直线的斜率ｋ 称点Ｂ′ Ｃ′ 由Ｂ′与Ｃ′在直线ｌ′上 可求ｌ′的方程．解法二 在ｌ′上
＝ ｍ； ， ， ， ：
任取一点Ｐ ｘ ｙ 利用相关点法求ｌ′的方程．解法三 易知ｌ′ ｌ
利用导数的几何意义求切线的斜率． （ ， ）， ： ∥，
（５） 可先设出ｌ′的方程 求出直线ｌ′上的一点坐标 再求解．
， ，
考法二 求直线的方程 解析 （ ）设Ａ′（ｘ，ｙ），
１
例２ 根据所给条件求直线的方程 ： ì ï ï ｙ ｘ ＋２· ２ ＝－１ ， ì ï ï ｘ ＝－ ３３，
经过点Ｐ 且在两坐标轴上的截距相等 由已知得í ＋１ ３ 解得í １３
（１） （４，１）， ；
经过点Ａ 倾斜角等于直线ｙ ｘ的倾斜角的 ï ï ｘ －１ ｙ －２ ， ï ïｙ ４ ．
（２） （－１，－３）， ＝３ î２× －３× ＋１＝０ î ＝
倍 ２ ２ １３
２ ； ( )
直线过点 且原点到该直线的距离为 Ａ′ ３３，４ ．
（３） （５，１０）， ５； ∴ －
经过点Ｂ 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． １３ １３
（４） （３，４）， （ ）在直线ｍ上取一点，如Ｍ（ ， ），
解析 （ ）设直线在ｘ，ｙ轴上的截距均为ａ，若ａ ，则直线 ２ ２ ０
１ ＝０ 则Ｍ（ ， ）关于直线ｌ的对称点必在ｍ′上．
２ ０
过点（ ， ）和（ ， ），所以直线的方程为ｙ １ ｘ，即ｘ ｙ ．若ａ 设Ｍ的对称点为Ｍ′（ａ，ｂ），则
０ ０ ４ １ ＝ －４ ＝０
４ ì ａ ｂ ì
ｘ ｙ ï ＋２ ＋０ ， ïａ ６ ，
，则设直线的方程为 ，因为直线过点（ ， ），所以 ４ ï２× －３× ＋１＝０ ï ＝ ( )
≠０ ａ ＋ ａ ＝１ ４ １ ａ í ２ ２ 解得í １３ 则Ｍ′ ６ ，３０ ．
ïｂ ï
ï －０ ２ ， ïｂ ３０， １３ １３
１ ，所以ａ ，所以直线的方程为ｘ ｙ ．综上可知，直线 îａ × ＝－１ î ＝
＋ ａ ＝１ ＝５ ＋ －５＝０ －２ ３ １３
易知 ｍ 与 ｌ 不平行， 设 ｍ 与 ｌ 的交点为 Ｎ， 则由
的方程为ｘ ｙ 或ｘ ｙ ．
－４ ＝０ ＋ －５＝０ { ｘ ｙ ， ( )
（ ）由已知设直线ｙ ｘ的倾斜角为α，则所求直线的倾斜 ２ －３ ＋１＝０ 得Ｎ（ ， ）． ｍ′经过点Ｎ（ ， ），Ｍ′ ６ ，３０ ，
２ ＝３ ｘ ｙ ４ ３ ∵ ４ ３
α ３ －２ －６＝０ １３ １３
角为 α．因为 α ，所以 α ２ｔａｎ ３ ． 由两点式得直线ｍ′的方程为 ｘ ｙ ．
２ ｔａｎ ＝３ ｔａｎ２ ＝ ２α＝－ ∴ ９ －４６ ＋１０２＝０
１－ｔａｎ ４ （ ）解法一：在直线ｌ上取点Ｂ（ ， ），Ｃ（ ， ），
又直线经过点 Ａ（ ， ），因此所求直线方程为 ｙ ３ １ １ ４ ３
－１ －３ ＋３＝ 则Ｂ，Ｃ关于点Ａ（ ， ）的对称点分别为 Ｂ′（ ， ）和
－１ －２ －３ －５
３ （ｘ ），即 ｘ ｙ ． （ ）
－ ＋１ ３ ＋４ ＋１５＝０ Ｃ′（ ， ）， ｋ －５－ －７ ２ ． 直线ｌ′的方程为ｙ ２ （ｘ
４ －６ －７ ∴ ＝ （ ）＝ ∴ ＋５＝ ＋
（ ）当斜率不存在时，直线方程为ｘ ，满足题意． －３－ －６ ３ ３
３ －５＝０ ），即 ｘ ｙ ．
当斜率存在时，设斜率为ｋ，则直线方程为ｙ ｋ（ｘ ）， ３ ２ －３ －９＝０
－１０＝ －５ 解法二：设Ｐ（ｘ，ｙ）为ｌ′上任意一点，
ｋ
即ｋｘ － ｙ ＋１０－５ ｋ ＝０ ．根据题意有｜１０
ｋ
－
２
５
＋１
｜ ＝５ ，解得ｋ ＝
４
３ ． 则
Ｐ
Ｐ
′
（
在
ｘ，
直
ｙ）
线
关
ｌ
于
上
点
，
Ａ（
（ －１
，
－ ｘ ２ ）
）的对
（
称点
ｙ）
为Ｐ′（
－ ， ２－
ｘ，
－４－
ｙ），
所求直线方程为 ｘ ｙ ． ∵ ∴２ －２－ －３ －４－ ＋１＝０
∴ ３ －４ ＋２５＝０ 化简得 ｘ ｙ ， 直线ｌ′的方程为 ｘ ｙ ．
综上，所求直线方程为ｘ 或 ｘ ｙ ． ２ －３ －９＝０ ∴ ２ －３ －９＝０
－５＝０ ３ －４ ＋２５＝０ 解法三： ｌ′ ｌ， 设ｌ′的方程为 ｘ ｙ ｃ ，ｃ ．
（ ）由题意可知，所求直线的斜率为 ． ∵ ∥ ∴ ２ －３ ＋ ＝０ ≠１
４ ±１ 在直线ｌ上取点Ｂ（ ， ），则点Ｂ关于Ａ（ ， ）的对称点
又过点（ ， ），所以由点斜式得ｙ （ｘ ）． １ １ －１ －２
３ ４ －４＝± －３ 为Ｂ′（ ， ）， Ｂ′在直线ｌ′上， ｃ ， ｃ ，
故所求直线的方程为ｘ ｙ 或ｘ ｙ ． －３ －５ ∵ ∴ －６＋１５＋ ＝０ ∴ ＝－９
－ ＋１＝０ ＋ －７＝０ ｌ′的方程为 ｘ ｙ ．
方法总结 １．求直线方程可分为两种类型 一是根据题目条 ∴ ２ －３ －９＝０
： 方法总结 常见对称问题的求解方法
件选择相应的直线方程形式 写出方程 这是直接法 二是根据直线 ：
， ， ； 中心对称
在题目中所具有的某些性质 先设出方程 含参数或待定系数 再 （１）
， （ ）， 若点Ｍ ｘ ｙ 与Ｎ ｘ ｙ 关于Ｐ ａ ｂ 对称 则由中点坐
确定其
２．
中
求
的
直
参
线
数
方
值
程
或
应
待
注
定
意
系
的
数
问 ，
然
题
后写出方程
，
这是间接法．
标公
①
式得 {ｘ ＝２
（
ａ －
１，
ｘ １，
１） （ ， ） （ ， ） ，
选择直线方程时 应注意分类讨论思想的应用 选用点 ｙ ｂ ｙ ．
（１） ， ： ＝２ － １
斜式或斜截式时 需讨论直线的斜率是否存在 选用截距式时 若直线关于直线外一点对称 则在已知直线上取一点 求
， ； ， ② ， ，
需讨论直线是否过原点． 出其对称点 再利用两直线平行 斜率相等 由点斜式得到所求
， ， ，
求直线方程时 如果没有特别要求 求出的方程应化为 直线方程．
（２） ， ，
一般式Ａｘ Ｂｙ Ｃ Ａ Ｂ不同时为 ． 轴对称
＋ ＋ ＝０（ ， ０） （２）
点关于直线的对称
①
考法三 对称问题 若两点Ｐ ｘ ｙ 与Ｐ ｘ ｙ 关于直线ｌ Ａｘ Ｂｙ Ｃ 对
１（ １， １） ２（ ２， ２） ： ＋ ＋ ＝０
例３ 已知直线ｌ ｘ ｙ 点Ａ 求 称 则线段Ｐ Ｐ 的中点在对称轴ｌ上 而且过点Ｐ Ｐ 的直线垂
：２ －３ ＋１＝０， （－１，－２）， ： ， １ ２ ， １， ２
５８８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
{ ｘ ｘ ｙ ｙ {（ ａ）２ （ ｂ）２ ｒ２，
Ａ １＋ ２ Ｂ １＋ ２ Ｃ ２－ ＋ －３－ ＝
直于对称轴ｌ 由方程组 · ＋ · ＋ ＝０，可得到点Ｐ 由题意得 （ ａ）２ （ ｂ）２ ｒ２，解得 ａ ，ｂ ，ｒ２
， ２ ２ １ －２－ ＋ －５－ ＝ ＝－１ ＝－２ ＝
Ａ ｙ ｙ Ｂ ｘ ｘ ａ ｂ ，
（ １－ ２）＝ （ １－ ２）， －２ －３＝０
关于ｌ对称的点Ｐ 的坐标 ｘ ｙ 其中Ａ ｘ ｘ ． ，故所求圆的方程为（ｘ ）２ （ｙ ）２ ．
２ （ ２， ２）（ ≠０， １≠ ２） １０ ＋１ ＋ ＋２ ＝１０
直线关于直线的对称 解法三：设圆的一般方程为ｘ２ ｙ２ Ｄｘ Ｅｙ Ｆ （Ｄ２ Ｅ２ Ｆ
② ＋ ＋ ＋ ＋ ＝０ ＋ －４
此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决 有两种情 ( Ｄ Ｅ )
， ）， 则 圆 心 坐 标 为 ， ， 由 题 意 得
况 一是已知直线与对称轴相交 二是已知直线与对称轴平行． ＞ ０ － －
： ； ２ ２
ì Ｄ ( Ｅ )
ï ，
ï－ －２× － －３＝０
例 （２０１８广东揭阳一模，３）若直线ｌ ｘ ｙ 与直线ｌ í ２ ２ 解得Ｄ ，Ｅ ，Ｆ ．
１： －３ ＋２＝０ ２： ï Ｄ Ｅ Ｆ ， ＝２ ＝４ ＝－５
ｍｘ ｙ ｂ 关于ｘ轴对称 则ｍ ｂ ï４＋９＋２ －３ ＋ ＝０
－ ＋ ＝０ ， ＋ ＝ （ ） î Ｄ Ｅ Ｆ ，
４＋２５－２ －５ ＋ ＝０
１ １ 故所求圆的方程为ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ ．
Ａ． Ｂ．－１ Ｃ．－ Ｄ．１ ＋ ＋２ ＋４ －５＝０
３ ３ （ ）解法一：设所求圆的方程为（ｘ ａ）２ （ｙ ｂ）２ ｒ２（ｒ ），
解析 直线ｌ ：ｘ ｙ 关于ｘ轴对称的直线为ｘ ｙ ３ － ＋ － ＝ ＞０
．由题意 知ｍ １ ． －３ ＋２＝０ ＋３ ＋２ 则圆心（ａ，ｂ）到直线ｘ － ｙ －３＝０ 的距离ｄ ＝ ｜ ａ － ｂ －３｜，
＝０ ≠０
ｙ ｂ ２
因为ｍｘ ｙ ｂ ，即ｘ ，且直线ｌ 与ｌ 关于ｘ轴 （ａ ｂ ）２
－ ＋ ＝０ －ｍ＋ｍ ＝０ １ ２ ∴ ｒ２ ＝ － －３ ＋ ３ ，即 ２ ｒ２ ＝ （ａ － ｂ －３ ）２ ＋３ ． ①
对称， ２ ２
ａ ｂ
ì ï １ ， ì ïｍ １ ， ∵ 所求圆与直线ｘ － ｙ ＝０ 相切， ∴ ｜ － ｜ ＝ ｒ，
ï－ｍ ＝３ ï ＝－ ２
所以有í 解得í ３ （ａ ｂ）２ ｒ２．
ïｂ ï ∴ － ＝２ ②
ï ， ïｂ ２ ， 又 圆心在直线ｘ ｙ 上， ａ ｂ ．
îｍ ＝２ î ＝－ ∵ ＋ ＝０ ∴ ＋ ＝０③
３ {ａ ，
( ) ＝１
则ｍ
＋
ｂ
＝－
１
＋ －
２
＝－１
． 联立
①②③
，解得 ｂ
＝－１
，
３ ３
答案 Ｂ ｒ ＝ ２ ，
故圆Ｃ的方程为（ｘ ）２ （ｙ ）２ ．
－１ ＋ ＋１ ＝２
解法二： 所求圆的圆心在直线ｘ ｙ 上，
∵ ＋ ＝０
设所求圆的圆心为（ａ， ａ）．
考法四 求圆的方程 ∴ －
ａ
又 所求圆与直线ｘ ｙ 相切， 半径ｒ ２｜ ｜ ａ ．
例４ 在平面直角坐标系中 经过三点 ∵ － ＝０ ∴ ＝ ＝ ２｜ ｜
（１） ， （０，０），（１，１），
２
（２，０） 的圆的方程为 ． 又所求圆截直线ｘ ｙ 所得的弦长为 ，圆心（ａ， ａ）
圆心在直线 ｘ ｙ 上 且过点 Ａ Ｂ － －３＝０ ６ －
的 （２ 圆 ） 的方程为 －２ －３＝０ ． ， （２，－３）， （－２， 到直线ｘ － ｙ －３＝０ 的距离ｄ ＝ ｜２ ａ －３｜，
－５）
已知圆Ｃ的圆心在直线ｘ ｙ 上 圆Ｃ与直线ｘ ｙ ２
（３） ＋ ＝０ ， － ＝０ æ ö２ （ ａ ）２
相切 且截直线ｘ ｙ 所得的弦长为 则圆 Ｃ 的方程为 ∴ ｄ２ ＋è ç ６ ø ÷ ＝ ｒ２，即 ２ －３ ＋ ３ ＝２ ａ２，
， － －３＝０ ６， ２ ２ ２
． 解得ａ
＝１
，
∴
圆Ｃ的方程为（ｘ
－１
）２
＋
（ｙ
＋１
）２
＝２
．
解析 （
１
）解法一：设圆的方程为ｘ２
＋
ｙ２
＋
Ｄｘ
＋
Ｅｙ
＋
Ｆ
＝０
（Ｄ２
＋
解法三：设所求圆的方程为ｘ２
＋
ｙ２
＋
Ｄｘ
＋
Ｅｙ
＋
Ｆ
＝０
（Ｄ２
＋
Ｅ２
－４
Ｆ
{Ｆ ， {Ｄ ， ( Ｄ Ｅ )
＝０ ＝－２ ），则圆心为 ， ，半径ｒ １ Ｄ２ Ｅ２ Ｆ，
Ｅ２
－４
Ｆ
＞０
），则
１＋１＋
Ｄ
＋
Ｅ
＋
Ｆ
＝０
，解得 Ｅ
＝０
， ＞０ －
２
－
２
＝
２
＋ －４
４＋２ Ｄ ＋ Ｆ ＝０ ， Ｆ ＝０ ， 圆心在直线ｘ ｙ 上， Ｄ Ｅ ，即Ｄ Ｅ ，
∵ ＋ ＝０ ∴ － － ＝０ ＋ ＝０ ①
故圆的方程为ｘ２ ｙ２ ｘ ． ２ ２
＋ －２ ＝０ 又 圆Ｃ与直线ｘ ｙ 相切，
解法二：可设Ｏ（ ， ），Ａ（ ， ），Ｂ（ ， ）， ∵ － ＝０
０ ０ １ １ ２ ０
Ｄ Ｅ
则ｋ ，ｋ ，所以ｋ ·ｋ ，即ＯＡ ＡＢ，
ＯＡ＝１ ＡＢ＝－１ ＯＡ ＡＢ＝－１ ⊥ － ＋
所以 ＯＡＢ是以Ａ为直角的直角三角形， ２ ２ １ Ｄ２ Ｅ２ Ｆ，
△ ∴ ＝ ＋ －４
则线段ＢＯ是所求圆的直径， ２ ２
即（Ｄ Ｅ）２ （Ｄ２ Ｅ２ Ｆ），
－ ＝２ ＋ －４
因此圆心为线段ＡＢ的中点（
１
，
０
），半径ｒ
＝
１
｜
ＯＢ
｜＝１
，
∴
Ｄ２
＋
Ｅ２
＋２
Ｄ·Ｅ
－８
Ｆ
＝０
．
②
２ ( Ｄ Ｅ )
故圆的方程为（ｘ ）２ ｙ２ ． 又知圆心 ， 到直线 ｘ ｙ 的距离 ｄ
－１ ＋ ＝１ － － － －３ ＝ ０ ＝
（ ）解法一：设点Ｃ为圆心，因为点Ｃ在直线ｘ ｙ 上， ２ ２
２ －２ －３＝０ Ｄ Ｅ
所以可设点Ｃ的坐标为（ ａ ，ａ）．又该圆经过Ａ，Ｂ两点，所以
２ ＋３ － ＋ －３ æ ö２
ＣＡ ＣＢ ， ２ ２ ，由已知得ｄ２ ç ６÷ ｒ２，
｜ ｜＝｜ ｜ ＋è ø ＝
即 （
２
ａ
＋３－２
）２
＋
（ａ
＋３
）２
＝
（
２
ａ
＋３＋２
）２
＋
（ａ
＋５
）２，解得 ａ ２
（Ｄ Ｅ ）２ （Ｄ２ Ｅ
２
２ Ｆ），
∴ － ＋６ ＋１２＝２ ＋ －４ ③
．所以圆心Ｃ的坐标为（ ， ），半径ｒ ， {Ｄ ，
＝－２ －１ －２ ＝ １０ ＝－２
故所求圆的方程为（ｘ ）２ （ｙ ）２ ． 联立 ，解得 Ｅ ，
＋１ ＋ ＋２ ＝１０ ①②③ ＝２
解法二：设所求圆的标准方程为（ｘ ａ）２ （ｙ ｂ）２ ｒ２， Ｆ ，
－ ＋ － ＝ ＝０
专题九 圆锥曲线 ５８９
故所求圆的方程为ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ ． 中垂线上 两圆内切或外切时 切点与两圆圆心在一条直线上．
＋ －２ ＋２ ＝０ ；③ ，
答案 （ ）ｘ２ ｙ２ ｘ （或（ｘ ）２ ｙ２ ） （ ）（ｘ ）２
１ ＋ －２ ＝０ －１ ＋ ＝１ ２ ＋１ ＋
（ｙ ）２ （或ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ ） （ ）（ｘ ）２ （ｙ ）２ 例 （２０１９北京清华附中高二期中，１０）已知圆Ｃ的圆心在直
＋２ ＝１０ ＋ ＋２ ＋４ －５＝０ ３ －１ ＋ ＋１ ＝２
（或ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ ） 线ｘ ｙ 上 且圆Ｃ过点 并与直线ｘ ｙ 相切 则圆Ｃ
＋ －２ ＋２ ＝０ － ＝０ ， （２，２） ＋ ＝０ ，
方法总结 １．选择方程的原则 的方程是 ．
已知条件多与圆心 半径有关 或与切线 弦长 弧长 圆心 解析 本题考查圆的方程的求法，考查学生分析问题与解
（１） 、 ， 、 、 、
角 距离等有关 则设圆的标准方程为 ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２ ｒ２ ｒ 决问题的能力，体现数学运算的核心素养．
、 ， （ － ） ＋（ － ） ＝ （ ＞０）；
已知圆上的三个点的坐标时 设圆的一般方程为ｘ２ ｙ２ 因为圆心在直线ｘ ｙ 上，所以设圆心（ａ，ａ），又因为圆
（２） ， ＋ ＋ － ＝０
Ｄｘ Ｅｙ Ｆ Ｄ２ Ｅ２ Ｆ ． ａ ａ
＋ ＋ ＝０（ ＋ －４ ＞０） 与直线ｘ ｙ 相切，所以圆的半径为 ｜ ＋ ｜ ａ ，又由圆
２．求圆的方程的方法 ＋ ＝０ ＝ ２｜ ｜
２ ２
１ ＋１
待定系数法 根据题意 选择方程形式 标准方程或一
（１） ：① ， （ 过点（ ， ）得 （ａ ）２ （ａ ）２ ａ ，解得ａ ，所以圆心
般方程 根据条件列出关于 ａ ｂ ｒ 或 Ｄ Ｅ Ｆ 的方程 组 ２ ２ －２ ＋ －２ ＝ ２｜ ｜ ＝１
解出
）
ａ
；
ｂ
②
ｒ或Ｄ Ｅ Ｆ 代入所选的
，
方
，
程中即
，
可
，
．
（ ）； 为（
１
，
１
），半径为
２
，所以圆Ｃ的方程为（ｘ
－１
）２
＋
（ｙ
－１
）２
＝２
．
③ ， 几 ， 何法 在 ， 求 ， 圆 ， 的方程过程中 常利用圆的一些性质或定 答案 （ｘ －１ ）２ ＋ （ｙ －１ ）２ ＝２
（２） ： ，
理直接求出圆心和半径 进而可写出标准方程．常用的几何性质
，
有 圆心在过切点且与切线垂直的直线上 圆心在任一弦的
：① ；②
ｘ ｙ 或 ｘ ｙ ｘ ｙ 或ｘ
Ｃ．４ ＋ －６＝０ ３ ＋２ －７＝０ Ｄ．３ ＋２ －７＝０ ＝１
答案 Ｃ
６．（多选题）（２０２０ 山东聊城一中月考，１０）若直线过点 Ａ
（１，
考法一 求直线的倾斜角和斜率
且在两坐标轴上截距的绝对值相等 则直线ｌ方程可能为
２）， ，
１．（２０１９ 湖南长沙长郡中学月考，５） 已知点 和
（－１，２） （ ）
æ ö ｘ ｙ ｘ ｙ
ç ３ ÷在直线ｌ ａｘ ｙ ａ 的同侧 则直线ｌ的倾斜角 Ａ． － ＋１＝０ Ｂ． ＋ －３＝０
è ，０ø ： － ＋１＝０（ ≠０） ， ｘ ｙ ｘ ｙ
３ Ｃ．２ － ＝０ Ｄ． － －１＝０
的取值范围是 答案 ＡＢＣ
（ ）
( ) ( ) ( )
π π π ３ 考法三 对称问题
Ａ． ， Ｂ． ０， ∪ π，π
４ ３ ３ ４
( ) ( ) ７．（２０２０河南郑州二模，４）圆 ｘ ２ ｙ ２ 关于直线ｘ
３ ５ ２ ３ （ ＋２） ＋（ －１２） ＝４ －
Ｃ． π， π Ｄ． π， π ｙ 对称的圆的方程为
４ ６ ３ ４ ＋８＝０ （ ）
答案 Ｄ ｘ ２ ｙ ２ ｘ ２ ｙ ２
Ａ．（ ＋３） ＋（ ＋２） ＝４ Ｂ．（ ＋４） ＋（ －６） ＝４
２．（２０２０广西玉林期末，７）直线ｌ经过点Ａ 在ｘ轴上的截 ｘ ２ ｙ ２ ｘ ２ ｙ ２
（１，２）， Ｃ．（ －４） ＋（ －６） ＝４ Ｄ．（ ＋６） ＋（ ＋４） ＝４
距的取值范围是 则其斜率ｋ的取值范围是 答案 Ｃ
（－３，３）， （ ）
８．（２０２０甘肃民勤一中期末，８）如图 已知Ａ
ｋ １ ｋ 或ｋ １ ，
Ａ．－１＜ ＜ Ｂ． ＞１ ＜ Ｂ 从点Ｐ 射出的光线经
５ ２ （４，０）、 （０，４）， （２，０）
ｋ １ 或ｋ ｋ １ 或ｋ
直线ＡＢ反射后再射到直线ＯＢ上
，
最后经
Ｃ． ＞
５
＜１ Ｄ． ＞
２
＜－１ 直线ＯＢ反射后又回到Ｐ点 则光线所经过
答案 Ｄ ，
的路程是
３．（２０２０百所名校单元示范卷（五），１３）直线 ｌ 经过 Ａ （ ）
（２，１），
Ｂ ｍ２ ｍ Ｒ 两点 那么直线 ｌ 的倾斜角 α 的取值范 Ａ．２ ５ Ｂ．３ ３
（１， ）， ∈ ，
围为 ． Ｃ．６ Ｄ．２ １０
答案 Ｄ
[ ] ( )
答案 π π ９．（２０１９豫南九校第四次联考，１４）已知 ＡＢＣ 的一个顶点
０， ∪ ，π △
４ ２ Ａ 且 Ｂ Ｃ的平分线所在直线的方程分别为ｘ ｙ
（２，－４）， ∠ ，∠ ＋ －２
考法二 求直线的方程 ｘ ｙ 则ＢＣ边所在直线的方程为 ．
＝０， －３ －６＝０，
答案 ｘ ｙ
４．（２０２０山西大同重点中学第六次模拟，７）数学家欧拉在 ＋７ －６＝０
１７６５
年提出定理 三角形的外心 重心 垂心依次位于同一直线上
： 、 、 ， 考法四 求圆的方程
且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半 这条直线被后
， １０．（２０２０重庆育才中学３月月考，７）圆Ｃ是以直线ｌ ｍ ｘ
人称为三角形的欧拉线 已知 ＡＢＣ的顶点Ａ Ｂ ：（２ ＋１） ＋
， △ （４，０）， （０，２）， ｍ ｙ ｍ 上的定点为圆心 为半径的圆 则圆Ｃ的方程为
且ＡＣ ＢＣ 则 ＡＢＣ的欧拉线方程为 （ ＋１） ＋２ ＝０ ，４ ，
＝ ， △ （ ）
ｘ ｙ ｘ ｙ （ ）
Ａ． －２ ＋３＝０ Ｂ．２ ＋ －３＝０ ｘ ２ ｙ ２ ｘ ２ ｙ ２
ｘ ｙ ｘ ｙ Ａ．（ ＋２） ＋（ －２） ＝１６ Ｂ．（ －２） ＋（ －２） ＝１６
Ｃ． －２ －３＝０ Ｄ．２ － －３＝０ ｘ ２ ｙ ２ ｘ ２ ｙ ２
答案 Ｄ Ｃ．（ －２） ＋（ ＋２） ＝１６ Ｄ．（ ＋２） ＋（ ＋２） ＝１６
答案 Ａ
５（２０２０ 豫西五校 ５ 月联考，５）过点 Ｐ
（１，２）
作直线 ｌ
，
若点 １１．（２０２０陕 西西安中学４月周考，５）已知圆Ｃ 经过Ｐ
Ａ （２，３）， Ｂ （４，－５） 到它的距离相等 ， 则直线ｌ的方程为 （ ） Ｑ （３，－１） 两点 ， 且在ｘ轴上截得的弦长为 ６， 则圆Ｃ的方程 （ 为 －２，４），
ｘ ｙ 或ｘ ｘ ｙ
Ａ．４ ＋ －６＝０ ＝１ Ｂ．３ ＋２ －７＝０
（ ）
５９０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ 上 且圆经过点Ａ Ｂ 则该圆的方程为
Ａ． ＋ －２ －４ －８＝０ ＝０ ， （２，－３）， （－２，－５），
ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ ．
Ｂ． ＋ ＋２ －４ －８＝０
ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ 或ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ 答案 ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ 或 ｘ ２ ｙ ２
Ｃ． ＋ －２ －４ －８＝０ ＋ －６ －８ ＝０ ＋ ＋２ ＋４ －５＝０（ （ ＋１） ＋（ ＋２） ＝１０）
ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ 或ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ １３．（２０１９湖北１月联考）过点Ａ 和Ｂ 且与ｘ轴相
Ｄ． ＋ ＋２ －４ －８＝０ ＋ －６ －８ ＝０ （０，１） （１，２），
答案 Ｃ 切的圆的方程为 ．
１２．（２０１９福建漳州八校期中联考，１４）已知圆心在直线ｘ ｙ 答案 ｘ ２ ｙ ２ 或 ｘ ２ ｙ ２
－２ －３ （ －１） ＋（ －１） ＝１ （ ＋３） ＋（ －５） ＝２５
５ ｘ 即 ｘ ｙ ．
（ －２）， ５ －４ ＋２＝０
４
４．（２０１９广东六校联考，１５）已知点Ｐ 及圆 ｘ ２ ｙ
（－１，２） （ －３） ＋（ －
考法三 对称问题 ２ 一束光线从点Ｐ出发 经ｘ轴上一点Ｑ反射后与圆相
４） ＝４， ，
１．（２０１７河北五校联考，５）直线ａｘ ｙ ａ 恒过定点Ｍ 则 切于点Ｔ 则 ＰＱ ＱＴ 的值为 ．
＋ ＋３ －１＝０ ， ， ｜ ｜＋｜ ｜
直线 ｘ ｙ 关于Ｍ点对称的直线方程为 答案
２ ＋３ －６＝０ （ ） ４ ３
ｘ ｙ ｘ ｙ 解析 点Ｐ关于ｘ轴的对称点为Ｐ′
Ａ．２ ＋３ －１２＝０ Ｂ．２ －３ －１２＝０ （－１，－２），
ｘ ｙ ｘ ｙ
Ｃ．２ －３ ＋１２＝０ Ｄ．２ ＋３ ＋１２＝０
答案 Ｄ 由ａｘ ｙ ａ 可得 ａ ｘ ｙ 令
＋ ＋３ －１＝０， （ ＋３）＋（ －１）＝ ０，
{ｘ
＋３＝０，可得ｘ ｙ Ｍ Ｍ不在直线 ｘ ｙ
ｙ ＝－３， ＝１，∴ （－３，１）， ２ ＋３ －６
－１＝０，
上 设直线 ｘ ｙ 关于Ｍ点对称的直线方程为 ｘ
＝０ ， ２ ＋３ －６＝０ ２ ＋
ｃ
ｙ ｃ ｃ 则｜－６＋３－６｜ ｜－６＋３＋ ｜ 解得ｃ 或ｃ
３ ＋ ＝０（ ≠－６）， ＝ ， ＝１２ ＝
４＋９ ４＋９
舍去 所求直线方程为 ｘ ｙ 故选 ．
－６（ ），∴ ２ ＋３ ＋１２＝０， Ｄ
２．（２０１８河北唐山模拟，１３）若直线ｌ与直线 ｘ ｙ 关于直
２ － －２＝０ 由反射的对称性可知 直线Ｐ′Ｑ与圆相切 ＰＱ ＱＴ Ｐ′Ｑ
线ｘ ｙ 对称 则ｌ的方程是 ． ， ，｜ ｜＋｜ ｜＝｜ ｜＋
＋ －４＝０ ， ＱＴ Ｐ′Ｔ
答案 ｘ ｙ ｜ ｜＝｜ ｜，
－ { ２ ＋ ｘ ２ ｙ ＝０ {ｘ ∵ 圆 （ ｘ －３） ２ ＋（ ｙ －４） ２ ＝４ 的圆心坐标为Ａ （３，４）， 半径ｒ ＝２，
解析 由 ２
ｘ
－
ｙ
－２＝０，得
ｙ
＝２，
∴ ｜
ＡＰ′
｜
２
＝（－１－３）
２
＋（－２－４）
２
＝５２，｜
ＡＴ
｜＝
ｒ
＝２，
＋ －４＝０ ＝２，
即两直线的交点坐标为 ＰＱ ＱＴ Ｐ′Ｔ ＡＰ′ ２ ＡＴ ２ ．
（２，２）， ∴ ｜ ｜＋｜ ｜＝｜ ｜＝ ｜ ｜ －｜ ｜ ＝４ ３
在直线 ｘ ｙ 上取一点Ａ
２ － －２＝０ （１，０）， 考法四 求圆的方程
设Ａ关于直线ｘ ｙ 的对称点的坐标为 ａ ｂ
＋ －４＝０ （ ， ）， １．（２０１８北京丰台一模，１０）圆心为 且与直线ｙ ｘ 相
ì ï ｂ （１，０）， ＝ ＋１
ïａ ＝１， {ａ ｂ {ａ 切的圆的方程是 ．
则í －１ 即 － －１＝０，解得 ＝４，
ï ï ａ ＋１ ｂ ａ ＋ ｂ －７＝０， ｂ ＝３， 答案 （ ｘ －１） ２ ＋ ｙ２ ＝２
î ＋ －４＝０， 解析 因为圆心为
２ ２ （１，０），
即对称点的坐标为 所以设圆的方程为 ｘ ２ ｙ２ ｒ２ ｒ
（４，３）， （ －１） ＋ ＝ （ ＞０），
ｙ ｘ 因为该圆与直线ｙ ｘ 相切
则ｌ的方程为 －２ －２ 整理得ｘ ｙ ． ＝ ＋１ ，
＝ ， －２ ＋２＝０
３－２ ４－２ 所以ｒ ｜１＋１｜ ．故所求圆的方程为 ｘ ２ ｙ２ ．
３．一束光线经过点Ｐ 射在直线ｌ ｘ ｙ 上 反射后经过 ＝ ＝ ２ （ －１） ＋ ＝２
（２，３） ： ＋ ＋１＝０ ， ２
点Ｑ 则入射光线所在直线的方程为 ． ２．（２０１８北京东城二模，１３）直线ｘ ｙ 被圆Ｃ所截得的弦
（１，１）， － －１＝０
答案 ５ ｘ －４ ｙ ＋２＝０ 长为 则圆Ｃ的方程可以为 ． 写出一个
２， （
解析 设点Ｑ 关于直线ｌ的对称点为Ｑ′ ｘ′ ｙ′ 连接 即可
（１，１） （ ， ），
）
ＱＱ′交ｌ于点Ｍ ， 由题知ｋ ｌ＝－１，∴ ｋ ＱＱ′＝１，∴ ＱＱ′所在直线的方 答案 ｘ２ ＋ ｙ２ ＝１（ 符合题意即可 ）
{ｘ ｙ ì ï ï ｘ ＝－ １ ， 解析 假设圆心Ｃ在原点 ， 则圆心 （０，０） 到直线 ｘ － ｙ －１＝０
程为ｙ ｘ 即ｘ ｙ 由 － ＝０， 解得í ２
－１＝ －１， － ＝０， ｘ ｙ ï 的距离ｄ ｜０－０－１｜ ２ 则 ｒ２ ｄ２ ｒ ｘ２ ｙ２
＋ ＋１＝０， ïｙ １ ＝ ＝ ， ２ － ＝ ２，∴ ＝１，∴ ＋
î ＝－ ， ２ ２
２ ．
∴ Ｍ ( －
２
１ ，－
２
１ ) ，∴ ì í ï ï ï
ï
１
１
＋
＋
２ ｘ ｙ ′ ′ ＝－ ２ １
１
， 解得 {ｘ ｙ ′ ′ ＝
＝
－
－
２
２
，
，
３．（ 且 ＝ ２ １ 与 ０１ 直 ９ 线 北京 ｙ ＝ 西 ｘ 城 相 期 切 末 的 文 圆 ， 的 １ 方 ０） 程 以 为 抛 物 线 ｙ ２ ＝ ８ ｘ 的 ． 焦点为圆心 ，
î ＝－ ， 答案 ｘ ２ ｙ２
２ ２ （ －２） ＋ ＝２
即Ｑ′ 由光学知识可知 点Ｑ′在入射光线所在的直线 解析 依题意可知 抛物线ｙ２ ｘ的焦点坐标为 圆
（－２，－２）， ， ， ＝８ （２，０），
上 又ｋ ３－（－２） ５ 入射光线所在的直线方程为ｙ 心到直线ｙ ｘ的距离即为圆的半径 半径为 ２ 故圆的标
， ＰＱ′＝ ＝ ，∴ －３＝ ＝ ， ＝ ２，
２－（－２） ４ ２
专题九 圆锥曲线 ５９１
准方程为 （ ｘ －２） ２ ＋ ｙ２ ＝２ ． ì ïａ １
４．（２０２０北京人大附中开学测试，１２）已知圆 Ｃ 的圆心位于第 ï ＝－ ，
３
二象限且在直线ｙ ｘ 上 若圆Ｃ与两个坐标轴都相切 则 {ｒ ａ ï
＝２ ＋１ ， ， 相切得 ＝－ ，所以解得íｂ １ 所以圆 Ｃ 的标准方程是
圆Ｃ的标准方程是 ． ｒ ｂ ï ＝ ，
＝ ， ３
( ) ( ) ï
答案 ｘ ＋ １ ２ ＋ ｙ － １ ２ ＝ １ î ïｒ ＝ １ ，
３ ３ ９ ( ) ( ) ３
解析 本题考查圆的方程的求法 直线与圆相切 考查学生 ２ ２
、 ， ｘ １ ｙ １ １ ．
＋ ＋ － ＝
推理论证能力及运算求解能力 体现数学运算的核心素养．
３ ３ ９
，
设圆心Ｃ ａ ｂ 半径为ｒ 由圆心Ｃ在直线ｙ ｘ 上 得ｂ
（ ， ）， ， ＝２ ＋１ ， ＝
{ａ
ａ 由圆心Ｃ ａ ｂ 在第二象限得 ＜０，由圆Ｃ与两坐标轴
２ ＋１， （ ， ） ｂ
＞０，
考点 直线方程与圆的方程 ５．（２０２１新高考适应卷，１４，５ 分）若正方形一条对角线所在直
１．（２０１８天津，１２，５分）在平面直角坐标系中 经过三点 线的斜率为 则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为
， （０，０）， ２，
的圆的方程为 ． ．
（１，１），（２，０） ，
答案 ｘ２
＋
ｙ２
－２
ｘ
＝０ 答案 １
２．（２０１６浙江，１０，６分）已知ａ ∈ Ｒ ， 方程ａ２ｘ２ ＋（ ａ ＋２） ｙ２ ＋４ ｘ ＋８ ｙ ３ ；－３
＋５ ａ ＝０ 表示圆 ， 则圆心坐标是 ， 半径是 ． ６．（２０１８课标Ⅱ，１９，１２分）设抛物线Ｃ ： ｙ２ ＝４ ｘ的焦点为Ｆ ， 过
答案 Ｆ且斜率为ｋ ｋ 的直线ｌ与Ｃ交于Ａ Ｂ两点 ＡＢ ．
（－２，－４）；５ （ ＞０） ， ，｜ ｜＝８
３．（２０１９浙江，１２，６分）已知圆Ｃ的圆心坐标是 ｍ 半径长 （１）
求ｌ的方程
；
（０， ），
是ｒ．若直线 ２ ｘ － ｙ ＋３＝０ 与圆 Ｃ 相切于点 Ａ （－２，－１）， 则 ｍ ＝ （２）
求过点Ａ
，
Ｂ且与Ｃ的准线相切的圆的方程．
， ｒ ＝ ．
７．（２０１７课标Ⅲ，２０，１２ 分）已知抛物线 Ｃ
：
ｙ２
＝２
ｘ
，
过点
（２，０）
的直线ｌ交Ｃ于Ａ Ｂ两点 圆Ｍ是以线段ＡＢ为直径的圆．
答案 ， ，
－２； ５ 证明 坐标原点Ｏ在圆Ｍ上
４．（２０１９北京，１１，５分）设抛物线ｙ２ ｘ的焦点为Ｆ 准线为ｌ． （１） ： ；
＝４ ， 设圆Ｍ过点Ｐ 求直线ｌ与圆Ｍ的方程．
则以Ｆ为圆心 且与ｌ相切的圆的方程为 ． （２） （４，－２），
，
答案 ｘ ２ ｙ２
（ －１） ＋ ＝４
考点一 直线的方程 答本题的关键是找到点Ｐ的轨迹．属中档题．
１．（２０１４四川文，９，５分）设ｍ Ｒ 过定点Ａ的动直线ｘ ｍｙ ２．（２０１３湖南理，８，５分）在等腰直角三角形ＡＢＣ中 ＡＢ ＡＣ
∈ ， ＋ ＝０ ， ＝ ＝
和过定点Ｂ的动直线ｍｘ ｙ ｍ 交于点Ｐ ｘ ｙ 则 ＰＡ 点Ｐ是边ＡＢ上异于Ａ Ｂ的一点．光线从点Ｐ出发 经ＢＣ
－ － ＋３＝０ （ ， ）， ｜ ｜＋ ４， ， ， ，
ＰＢ 的取值范围是 ＣＡ反射后又回到点Ｐ 如图 ．若光线ＱＲ经过 ＡＢＣ的重心
｜ ｜ （ ） （ ） △ ，
则ＡＰ等于
（ ）
Ａ．［ ５，２ ５］ Ｂ．［ １０，２ ５］
Ｃ．［ １０，４ ５］ Ｄ．［２ ５，４ ５］
答案 Ｂ 直线ｘ ｍｙ 过定点Ａ 直线ｍｘ ｙ ｍ
＋ ＝０ （０，０）， － － ＋３＝
过定点Ｂ ．
０ （１，３）
当ｍ 时 过定点Ａ的直线方程为ｘ 过定点Ｂ的直线方程
① ＝０ ， ＝０，
为ｙ 两条直线互相垂直 此时Ｐ ＰＡ ＰＢ ．
＝３， ， （０，３），∴ ｜ ｜＋｜ ｜＝４ ８ ４
Ａ．２ Ｂ．１ Ｃ． Ｄ．
３ ３
② 当ｍ ≠０ 时 ， 直线ｘ ＋ ｍｙ ＝０ 的斜率为 －ｍ １ ， 直线ｍｘ － ｙ － ｍ ＋３＝ 答案 Ｄ 以ＡＢ为ｘ轴 ＡＣ为ｙ轴建立如图所示的坐标系
， ，
由题可知 Ｂ Ｃ Ａ 则直线 ＢＣ 的方程
的斜率为ｍ． １ ｍ 两条直线互相垂直 即点Ｐ可 （４，０）， （０，４）， （０，０），
０ ∵ －ｍ× ＝－１，∴ ， 为ｘ ｙ ．
＋ －４＝０
视为以ＡＢ为直径的圆上的点．当点Ｐ与点Ａ或点Ｂ重合时
，
ＰＡ ＰＢ 有最小值 ．当点 Ｐ 不与点 Ａ 点 Ｂ 重合时
｜ ｜＋｜ ｜ １０ ， ，
ＰＡＢ为直角三角形 且 ＰＡ ２ ＰＢ ２ ＡＢ ２ ．由不等式
△ ， ｜ ｜ ＋｜ ｜ ＝｜ ｜ ＝１０
ＰＡ ２ ＰＢ ２
性质知 ＰＡ ＰＢ ｜ ｜ ＋｜ ｜ ＰＡ ＰＢ
｜ ｜＋｜ ｜≤２ ＝２ ５，∴ ｜ ｜＋｜ ｜
２
． 设Ｐ ｔ ｔ 由对称知识可得点Ｐ关于直线ＢＣ的对称
∈［ １０，２ ５］ （ ，０）（０＜ ＜４），
综合 得 ＰＡ ＰＢ ． 点Ｐ 的坐标为 ｔ 点Ｐ关于ｙ轴的对称点Ｐ 的坐标为
①② ｜ ｜＋｜ ｜∈［ １０，２ ５］ １ （４，４－）， ２
评析 本题考查直线的方程、两直线垂直及不等式的性质，解 ｔ 根据反射定理可知 Ｐ Ｐ 就是光线 ＲＱ 所在直线．由
（－，０）， １ ２
５９２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ｔ 则圆Ｃ的方程为 ．
Ｐ Ｐ 两点坐标可得直线 Ｐ Ｐ 的方程为 ｙ ４－ ｘ ｔ 设
１、 ２ １ ２ ＝ ４＋ ｔ（ ＋）， 答案 （ ｘ －２） ２ ＋ ｙ２ ＝９
ＡＢＣ的重心为Ｇ 易知Ｇ ( ４ ４ ) ．因为重心Ｇ ( ４ ４ ) 在光 解析 设圆Ｃ的方程为 （ ｘ － ａ ） ２ ＋ ｙ２ ＝ ｒ２ （ ａ ＞０），
△ ， ３ ， ３ ３ ， ３ ì ï ａ
线ＲＱ上
，
所以有 ４
＝
４－
ｔ
ｔ(
４
＋
ｔ
)
，
即
３
ｔ２
－４
ｔ
＝０
． 由题意可得í
ï
ïï
｜２
５
｜
＝
４
５
５
， 解得
{ａ
ｒ２
＝２，所以圆 Ｃ 的方程
３ ４＋ ３ î ａ ２ ２ ｒ２ ＝９，
（－ ） ＋（ ５） ＝ ，
所以ｔ ＝０ 或ｔ ＝ ４ ， 因为 ０＜ ｔ ＜４， 所以ｔ ＝ ４ ， 即ＡＰ ＝ ４ ， 故选 Ｄ ． 为 （ ｘ －２） ２ ＋ ｙ２ ＝９ ．
３ ３ ３
３．（２０１５课标Ⅱ理，７，５分）过三点Ａ Ｂ Ｃ 方法总结 待定系数法是求解圆方程的常用方法 一般步骤
（１，３）， （４，２）， （１，－７） ，
为 设出圆的方程 列出关于系数的方程组 并求出各系数
的圆交ｙ轴于Ｍ Ｎ两点 则 ＭＮ
， ， ｜ ｜＝ （ ） ① ；② ，
的值 检验各值是否符合题意 并写出满足题意的圆的方程．
；③ ，
Ａ．２ ６ Ｂ．８ Ｃ．４ ６ Ｄ．１０ 有时也可利用圆的几何性质进行求解．
答案 Ｃ 设圆心为Ｐ ａ ｂ 由点Ａ Ｃ 在圆
（ ， ）， （１，３）， （１，－７） 评析 本题主要考查点与圆的位置关系，点到直线的距离公式
上 知ｂ ３－７ ．再由 ＰＡ ＰＢ 得 ａ ．则 Ｐ 以及圆的方程的求法，考查方程思想方法的应用，注意圆心的
， ＝ ＝－２ ｜ ｜ ＝ ｜ ｜， ＝１ （１，－２），
２ 横坐标的取值范围是解决本题的关键．
ＰＡ ２ ２ 于是圆Ｐ的方程为 ｘ ２ ｙ
｜ ｜＝ （１－１） ＋（３＋２） ＝５， （ －１） ＋（ ｘ２ ｙ２
＋２）
２
＝２５
．令ｘ
＝０，
得ｙ
＝－２±２ ６，
则
｜
ＭＮ
｜＝｜（－２＋２ ６）－（－２－
７．（２０１５课标Ⅰ理，１４，５分）一个圆经过椭圆
１６
＋
４
＝１
的三个
． 顶点 且圆心在 ｘ 轴的正半轴上 则该圆的标准方程为
２ ６）｜＝４ ６ ， ，
４．（２０１５课标Ⅱ文，７，５分）已知三点Ａ Ｂ Ｃ ．
（１，０）， （０， ３）， （２，
( )
３），
则
△
ＡＢＣ外接圆的圆心到原点的距离为
（ ）
答案 ｘ
－
３ ２
＋
ｙ２
＝
２５
２ ４
５ ２１ ２ ５ ４ 解析 由已知得该圆经过椭圆的三个顶点 Ａ Ｂ
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． （４，０）、 （０，
３ ３ ３ ３ Ｃ ．易知线段ＡＢ的垂直平分线的方程为 ｘ ｙ ．
答案 Ｂ 在平面直角坐标系 ｘＯｙ 中画出 ＡＢＣ 易知 ２）、 （０，－２） ２ － －３＝０
△ ， ( )
ＡＢＣ是边长为 的正三角形 其外接圆的圆心为 Ｄ 令ｙ 得ｘ ３ 所以圆心坐标为 ３ 则半径ｒ ３
△ ２ ， ＝０， ＝ ， ，０ ， ＝４－ ＝
２ ２ ２
æ ö æ ö２ ( )
è
ç
１，
２ ３
ø
÷．因此
｜
ＯＤ
｜＝ １
２
＋è
ç２ ３
ø
÷
＝
７
＝
２１．故选
Ｂ
． ５ ．故该圆的标准方程为 ｘ
－
３ ２
＋
ｙ２
＝
２５．
３ ３ ３ ３ ２ ２ ４
５．（２０１５北京文，２，５分）圆心为 且过原点的圆的方程是 评析 本题考查圆和椭圆的方程，求出圆心坐标是解题关键．
（１，１）
８．（２０１４陕西理，１２，５分）若圆Ｃ的半径为 其圆心与点
（ ） １， （１，
ｘ ２ ｙ ２ ｘ ２ ｙ ２ 关于直线ｙ ｘ 对称 则圆 Ｃ 的标准方程为
Ａ．（ －１） ＋（ －１） ＝１ Ｂ．（ ＋１） ＋（ ＋１） ＝１ ０） ＝ ，
ｘ ２ ｙ ２ ｘ ２ ｙ ２ ．
Ｃ．（ ＋１） ＋（ ＋１） ＝２ Ｄ．（ －１） ＋（ －１） ＝２
答案 Ｄ 由题意得圆的半径为 ２， 故该圆的方程为 （ ｘ －１） ２ 答案 ｘ２ ＋（ ｙ －１） ２ ＝１
＋（ ｙ －１） ２ ＝２， 故选 Ｄ ． 解析 根据题意得点 （１，０） 关于直线ｙ ＝ ｘ对称的点 （０，１） 为
６．（２０１６天津文，１２，５分）已知圆Ｃ的圆心在ｘ轴的正半轴上 圆心 又半径ｒ 所以圆Ｃ的标准方程为ｘ２ ｙ ２ ．
， ， ＝１， ＋（ －１） ＝１
点Ｍ 在圆Ｃ上 且圆心到直线 ｘ ｙ 的距离为４ ５
（０， ５） ， ２ － ＝０ ，
５
时间： 分钟 分值： 分
４０ ５７
一、单项选择题 每题 分 共 分 答案 Ｂ
（ ５ ， ３５ ）
１．（２０２１届湖南、河北新高考联考１０月质量检测，４）过点Ｐ ４．（２０２１届河北衡水中学期中，５）已知直线ａｘ ｙ 与圆Ｃ
（１， ＋ －１＝０ ：
－ ３）
与圆ｘ２
＋
ｙ２
＝４
相切的直线方程是
（ ） （
ｘ
－１）
２
＋（
ｙ
＋
ａ
）
２
＝１
相交于Ａ
，
Ｂ
，
且
△
ＡＢＣ为等腰直角三角形
，
则实数ａ的值为
ｘ ｙ ｘ ｙ （ ）
Ａ． － ３ －４＝０ Ｂ． ＋ ３ －４＝０
ｘ ｙ ｘ ｙ １ 或 或
Ｃ． － ３ ＋４＝０ Ｄ． ＋ ３ ＋４＝０ Ａ． －１ Ｂ．－１ Ｃ．１ Ｄ．１ －１
答案 Ａ ７
答案 Ｄ
２．（２０２１届江苏南京期初检测，７）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 已
， ５．（２０２０广东广州华美学校３月考试，８） ａ 是 直线ｘ ｙ
知圆Ａ ：（ ｘ －１） ２ ＋ ｙ２ ＝１， 点Ｂ （３，０）， 过动点Ｐ引圆Ａ的切线 ， 切 和直线 ａ ｘ ａ２ｙ 互相垂直 “ 的 ＝１” “ ＋ ＋１
＝０ （ －２） ＋ ＋２＝０ ” （ ）
点为Ｔ．若ＰＴ ＰＢ 则动点Ｐ的轨迹方程为 充分不必要条件 必要不充分条件
＝ ２ ， （ ） Ａ． Ｂ．
ｘ２ ｙ２ ｘ ｘ２ ｙ２ ｘ 充要条件 既不充分也不必要条件
Ａ． ＋ －１４ ＋１８＝０ Ｂ． ＋ ＋１４ ＋１８＝０ Ｃ． Ｄ．
ｘ２ ｙ２ ｘ ｘ２ ｙ２ ｘ 答案 Ａ
Ｃ． ＋ －１０ ＋１８＝０ Ｄ． ＋ ＋１０ ＋１８＝０
答案 Ｃ ６．（２０１９江西抚州七校联考）过点 且与直线 ｘ ｙ 垂
（２，１） ３ －２ ＝０
３．（２０２１届北京入学定位考试，５）设Ｐ为圆ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ 直的直线方程为
＋ －２ －４ －４＝０ （ ）
上一点 则点Ｐ到直线 ｘ ｙ 距离的取值范围是 ｘ ｙ ｘ ｙ
， ３ －４ ＝０ （ ） Ａ．２ －３ －１＝０ Ｂ．２ ＋３ －７＝０
ｘ ｙ ｘ ｙ
Ａ．［２，４］ Ｂ．［０，４］ Ｃ．［１，２］ Ｄ．［０，９］ Ｃ．３ －２ －４＝０ Ｄ．３ ＋２ －８＝０
专题九 圆锥曲线 ５９３
答案 Ｂ 与ｙ轴的正半轴相切 且截ｘ轴所得弦长为 则圆Ｃ的方
， ４ ２，
７．（２０２１届山东开学质量检测，８）已知ｍ Ｒ 过定点Ａ的动直 程为 点Ｐ 到圆Ｃ上动点Ｑ的距离最大
∈ ， ， （６，５）
线ｍｘ ｙ 和过定点Ｂ的动直线ｘ ｍｙ ｍ 交于点Ｐ 则 值为 ．
＋ ＝０ － － ＋３＝０ ，
ＰＡ ＰＢ 的取值范围是 答案 ｘ ２ ｙ ２
｜ ｜＋ ３｜ ｜ （ ） （ －３） ＋（ －１） ＝９；８
三、解答题 共 分
Ａ．（ １０，２ １０］ Ｂ．（ １０， ３０］ （ １２ ）
１０．（２０２１届河北衡水中学期中，１８）已知圆 Ｃ 经过原点 Ｏ
Ｃ．［ １０， ３０） Ｄ．［ １０，２ １０］ （０，
答案 Ｄ 且与直线ｙ ｘ 相切于点Ｐ ．
０） ＝２ －８ （４，０）
二、填空题 每题 分 共 分 求圆Ｃ的方程
（ ５ ， １０ ） （１） ；
８．（２０２１届山东枣庄１１月期中，１３）若直线经过点Ａ 在圆Ｃ上是否存在两点Ｍ Ｎ关于直线ｙ ｋｘ 对称 且
（－５，２）， （２） ， ＝ －１ ，
且在ｘ轴上的截距等于在ｙ轴上的截距的 倍 则该直线的方 以线段ＭＮ为直径的圆经过原点 若存在 写出直线ＭＮ
２ ， ？ ，
程为 ． 的方程 若不存在 请说明理由．
； ，
答案 ｘ ｙ 或 ｘ ｙ
＋２ ＋１＝０ ２ ＋５ ＝０
９．（２０２０百师联盟期中联考）已知圆心在直线ｘ ｙ 上的圆Ｃ
－３ ＝０
５９４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
１．（２０１８浙江金华模拟，４）过点 且在ｘ轴上的截距是 ６．（２０１８湖北荆州二模，８）圆 ｘ ２ ｙ ２ 关于直线ｙ
（－１０，１０） （ －１） ＋（ －１） ＝２ ＝
在ｙ轴上截距的 倍的直线的方程为 ｋｘ 对称 则ｋ的值是
４ （ ） ＋３ ， （ ）
ｘ ｙ
Ａ． － ＝０ Ａ．２ Ｂ．－２ Ｃ．１ Ｄ．－１
ｘ ｙ 答案 Ｂ 圆 ｘ ２ ｙ ２ 关于直线ｙ ｋｘ 对称
Ｂ． ＋４ －３０＝０ ∵ （ －１） ＋（ －１） ＝２ ＝ ＋３ ，
ｘ ｙ 或ｘ ｙ 直线ｙ ｋｘ 过圆心
Ｃ． ＋ ＝０ ＋４ －３０＝０ ∴ ＝ ＋３ （１，１），
ｘ ｙ 或ｘ ｙ 即 ｋ 解得ｋ ．故选
Ｄ． ＋ ＝０ －４ －３０＝０ １＝ ＋３， ＝－２ Ｂ．
答案 Ｃ 当直线经过原点 即横截距与纵截距均为 时 它 ７．（２０１８安徽安庆模拟，８）设两条直线的方程分别为ｘ ｙ ａ
， ０ ， ＋ ＋ ＝０
的方程为
ｙ
－０
ｘ
－０ 即ｘ ｙ ．
和ｘ
＋
ｙ
＋
ｂ
＝０，
已知ａ
，
ｂ 是关于 ｘ 的方程 ｘ２
＋
ｘ
＋
ｃ
＝０
的两个实
＝ ， ＋ ＝０
１０－０ －１０－０ 根 且 ｃ １ 则这两条直线间距离的最大值为
ｘ ｙ ， ０≤ ≤ ， （ ）
当直线不经过原点时 设它的方程为 ８
， ａ＋ ａ ＝１，
４
２ ２ １
把 代入可得－１０ １０ 求得ａ １５． Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ２
（－１０，１０） ａ ＋ ａ ＝１， ＝ ４ ２ ２
４ ２ 答案 Ｂ 因为ａ ｂ是关于ｘ的方程ｘ２ ｘ ｃ 的两个实根
ｘ ｙ ， ＋ ＋ ＝０ ，
此时它的方程为 ２ 即ｘ ｙ ． 所以ａ ｂ ａｂ ｃ．因为直线ｘ ｙ ａ 和ｘ ｙ ｂ 之间的距
＋ ＝１， ＋４ －３０＝０ ＋ ＝－１， ＝ ＋ ＋ ＝０ ＋ ＋ ＝０
３０ １５ ａ ｂ
综上可得 该直线的方程为ｘ ｙ 或ｘ ｙ 故选 离ｄ ｜ － ｜
， ＋ ＝０ ＋４ －３０＝０， Ｃ． ＝ ，
２．（２０１９北京新学道临川学校高二月考，１）圆 ｘ ２ ｙ ２ ２
的圆心坐标和半径分别为 （ ＋１） ＋（ －２） 所以ｄ２ （ ａ ＋ ｂ ） ２ －４ ａｂ １－４ ｃ
＝４ （ ） ＝ ＝ ，
２ ２
Ａ．（－１，２），２ Ｂ．（１，－２），２ Ｃ．（－１，２），４ Ｄ．（１，－２），４
答案 Ａ 圆 ｘ ２ ｙ ２ 的圆心坐标为 半 因为 ｃ １
（ ＋１） ＋（ －２） ＝４ （－１，２）， ０≤ ≤ ，
径ｒ ．故选 ． ８
＝２ Ａ
３．（２０１９北京延庆一模文，２）圆心为 且与直线ｙ 相切 所以 １ ｃ
（０，１） ＝２ ≤１－４ ≤１，
的圆的方程为 ２
（ ） ｃ
Ａ．（ ｘ －１） ２ ＋ ｙ２ ＝１ Ｂ．（ ｘ ＋１） ２ ＋ ｙ２ ＝１ 所以 １ ≤ １－４ ≤ １ ，
４ ２ ２
ｘ２ ｙ ２ ｘ２ ｙ ２ [ ]
Ｃ． ＋（ －１） ＝１ Ｄ． ＋（ ＋１） ＝１
答案 Ｃ 圆心 到直线ｙ 的距离为圆的半径ｒ 即ｄ２ １ １
（０，１） ＝２ ＝１， ∈ ， ，
４ ２
所以圆的标准方程是ｘ２ ｙ ２ ． 故选
＋（ －１） ＝１ Ｃ．
４．（２０１９北京新学道临川学校高二月考，５）方程 ｘ２ ｙ２ ｘ 所以这两条直线之间的距离的最大值为 ２．
２ ＋２ －４ ＋
ｙ 表示的图形是 ２
８ ＋１０＝０ （ ） 故选
一个点 一个圆 Ｂ．
Ａ． Ｂ． 关键点拨 利用ａ ｂ是关于ｘ的方程ｘ２ ｘ ｃ 的实根得出ａ
一条直线 不存在 ， ＋ ＋ ＝０
Ｃ． Ｄ． ｂ ａｂ ｃ 写出两平行线之间距离的表达式 然后求解
答案 Ａ 本题考查二元二次方程与图形问题 考查学生直 ＋ ＝－１， ＝ ， ，
， 即可．
观想象能力与运算求解能力 渗透数学运算的核心素养．
， ８．（２０１９江西新余五校８月联考，８）已知圆Ｏ ｘ２ ｙ２ 过点Ｃ
方程
２
ｘ２
＋２
ｙ２
－４
ｘ
＋８
ｙ
＋１０＝０
可化为ｘ２
＋
ｙ２
－２
ｘ
＋４
ｙ
＋５＝０，
即
（
ｘ
－ 的直线ｌ与圆Ｏ交于Ｐ Ｑ两点 则当
：
ＯＰ
＋
Ｑ的
＝
面
９，
积最大
１） ２ ＋（ ｙ ＋２） ２ ＝０， 解得ｘ ＝１， ｙ ＝－２，∴ 方程 ２ ｘ２ ＋２ ｙ２ －４ ｘ ＋８ ｙ ＋１０ （ 时 ２， 直 １） 线ｌ的方程为 ， ， △
表示点 故选 ． ， （ ）
＝０ （１，－２）， Ａ ｘ ｙ 或 ｘ ｙ
５．（２０２０中学生标准学术能力基础性测试，２）已知圆Ｃ的方程 Ａ． － －３＝０ ７ － －１５＝０
ｘ ｙ 或 ｘ ｙ
为
２
ｘ２
＋２
ｙ２
－２
ｘ
＋４
ｙ
－１＝０，
则圆Ｃ的圆心坐标为
（ ）
Ｂ．
ｘ
＋
ｙ
＋３＝０
或
７
ｘ
＋
ｙ
－１５＝０
( ) ( ) Ｃ． ＋ －３＝０ ７ － ＋１５＝０
１ １ ｘ ｙ 或 ｘ ｙ
Ａ．（１，２） Ｂ．（１，－２） Ｃ． ，１ Ｄ． ，－１ Ｄ． ＋ －３＝０ ７ ＋ －１５＝０
２ ２ 答案 Ｄ 当直线ｌ的斜率不存在时 直线ｌ的方程为ｘ
答案 Ｄ 本题考查圆的一般方程 考查了学生的运算求解 ， ＝２，
，
能力 体现了数学运算的核心素养． 则Ｐ Ｑ的坐标为 所以Ｓ １
， ， （２， ５），（２，－ ５）， △ ＯＰＱ＝ ×２×２ ５＝
由 ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ 得 ｘ２ ｘ ｙ２ ｙ 从而有 ２
２ ＋２ －２ ＋４ －１＝０ ２（ － ）＋２（ ＋２ ）＝ １， ．当直线ｌ的斜率存在时 设直线ｌ的方程为ｙ ｋ ｘ
( ) ２ ( ) ２ ２ ５ ， －１＝ （ －２）
ｘ １ ｙ ２ ７ 所以圆Ｃ的标准方程为 ｘ １ ( ) ｋ
２ － ＋２（ ＋１） ＝ ， － ＋ ｋ １ 则圆心到直线ＰＱ的距离ｄ ｜１－２ ｜ 由平面几何知
ｙ ２ ２ ７ 圆心为 ( １ ２ ) 故选 ２ ≠ ２ ， ＝ １＋ ｋ２ ，
（ ＋１） ＝ ， ，－１ ， Ｄ．
方法总结
４
求圆心坐标
２
有两种方法 化标法 将圆的方程
识得
｜
ＰＱ
｜＝２ ９－
ｄ２
，
Ｓ
△ ＯＰＱ＝
１
×｜
ＰＱ
｜×
ｄ
＝
１
×２ ９－
ｄ２
×
ｄ
＝
：（１） ： ２ ２
化为标准方程 （ ｘ － ａ ） ２ ＋（ ｙ － ｂ ） ２ ＝ ｒ２ ， 从而知圆心坐标为 （ ａ ， ｂ ）， ｄ２ ｄ２ ( ９－ ｄ２ ＋ ｄ２ ) ２ ９ 当且仅当 ｄ２ ｄ２ 即ｄ２
公式法 圆的一般方程为 ｘ２ ｙ２ Ｄｘ Ｅｙ Ｆ 则圆心 （９－ ） ≤ ＝ ， ９－ ＝ ， ＝
（２） ： ＋ ＋ ＋ ＋ ＝０， ２ ２
( Ｄ Ｅ )
为 ． ９ 时 Ｓ 取得最大值 为 ９ ．因为 ９ 所以Ｓ 的最大
－ ，－ ， △ ＯＰＱ ， ２ ５＜ ， △ ＯＰＱ
２ ２ ２ ２ ２
专题九 圆锥曲线 ５９５
ｋ２ ｋ Ｐ到Ａ 和Ｂ 的距离之差最大
值为 ９ 此时４ －４ ＋１ ９ 解得ｋ 或ｋ 此时直线ｌ （１） （４，１） （０，４） ；
， ｋ２ ＝ ， ＝－１ ＝－７， Ｐ到Ａ 和Ｃ 的距离之和最小．
２ ＋１ ２ （２） （４，１） （３，４）
的方程为ｘ ｙ 或 ｘ ｙ 故选 ． 解析 设Ｂ关于ｌ的对称点为Ｂ′ ＡＢ′的延长线交ｌ于
＋ －３＝０ ７ ＋ －１５＝０， Ｄ （１） ，
９．（２０１９江苏海安中学期初）过点Ａ 斜率是直线ｙ ｘ Ｐ 在ｌ上另任取一点Ｐ 则 ＰＡ ＰＢ ＰＡ ＰＢ′ ＡＢ′
（－１，－３）， ＝３ ０， ， ｜ ｜－｜ ｜＝｜ ｜－｜ ｜＜｜ ｜
Ｐ Ａ Ｐ Ｂ′ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ 则Ｐ 即为所求．
的斜率的 １ 的直线方程为 ． ＝｜ ０ ｜－｜ ０ ｜＝｜ ０ ｜－｜ ０ ｜， ０
－
４
答案 ｘ ｙ
３ ＋４ ＋１５＝０
解析 设所求直线的斜率为ｋ 依题意有
，
ｋ １ ３ ．
＝－ ×３＝－
４ ４
又直线经过点Ａ
（－１，－３），
因此所求直线方程为ｙ ３ ｘ
＋３＝－ （ ＋１），
４
即 ｘ ｙ ．
３ ＋４ ＋１５＝０ 易求得直线ＢＢ′的方程为ｘ ｙ ．
１０．（２０１８江苏宿迁期末）已知光线通过点Ｍ 被直线ｌ ＋３ －１２＝０
（－３，４）， ： 设Ｂ′ ａ ｂ 则ａ ｂ ．
ｘ ｙ 反射 反射光线通过点Ｎ 则反射光线所在直 （ ， ）， ＋３ －１２＝０①
－ ＋３＝０ ， （２，６）， ( ａ ｂ )
线的方程是 ． 又线段ＢＢ′的中点 ＋４ 在ｌ上 故 ａ ｂ ．
， ， ３ － －６＝０②
答案 ｙ ｘ ２ ２
＝６ －６ 由 解得ａ ｂ 所以Ｂ′ ．
解析 由题意得反射光线经过点Ｍ 关于直线ｌ的对 ①② ＝３， ＝３， （３，３）
（－３，４） 所以ＡＢ′所在直线的方程为 ｘ ｙ ．
ìｙ ２ ＋ －９＝０
ï ïｘ －４ ＝－１， {ｘ 由 { ２ ｘ ＋ ｙ －９＝０，可得Ｐ 即为所求的点．
称点Ｑ
（
ｘ
，
ｙ
）
与点Ｎ
（２，６）
．由í
ïｘ
＋３
ｙ
解得
ｙ
＝１，
． ３
ｘ
－
ｙ
－１＝０
０（２，５），
ï －３ ＋４ ＝０ ( )
î － ＋３＝０ 设Ｃ关于ｌ的对称点为Ｃ′ 与 同理可得Ｃ′ ３ ２４ ．
２ ２ （２） ， （１） ，
ｙ ｘ ５ ５
所以Ｑ （１，０）， 所以反射光线所在直线的方程为 ６ － － ０ ０ ＝ ２ － － １ １ ， 即 连接ＡＣ′交ｌ 于 Ｐ １， 在 ｌ 上另任取一点 Ｐ ， 有 ｜ ＰＡ ｜＋｜ ＰＣ ｜ ＝
ＰＡ ＰＣ′ ＡＣ′ Ｐ Ｃ′ Ｐ Ａ Ｐ Ｃ Ｐ Ａ
１１． ｙ （２ ＝ ０ ６ １ ｘ － ９ ６ 北 ． 京新学道临川学校高二月考，１８）求圆心在直线 ｘ 故 ｜ Ｐ ｜＋ 即 ｜ 为所 ｜＞ 求 ｜ ． ｜＝｜ １ ｜＋｜ １ ｜＝｜ １ ｜＋｜ １ ｜，
＋ ｙ 解 －５ 析 ＝０ 上 本 ， 题 并 考 且 查 经 圆 过 的 原 方 点 程 Ｏ 的 和 求 点 法 Ａ （ 考 ４， 查 ０） 学 的 生 圆 的 的 运 方 算 程． 求解能 ３ 易知 １ { 直线 ｘ ＡＣ′ ｙ 的方程为 １９ ｘ ＋１７ ( ｙ －９３＝０ ) ，
， 联立 １９ ＋１７ －９３＝０，解得Ｐ １１ ２６ 即为所求的点．
力 体现数学运算的核心素养．
３
ｘ
－
ｙ
－１＝０，
１
７
，
７
，
由
，
直线和圆相交的性质可得 圆心在连接点Ｏ 和点 Ａ
１４．（２０２０皖北期中联考，１８）在平面直角坐标系ｘＯｙ中
，
圆Ｃ
：
， （０，０）
所成线段的中垂线ｘ 上 再根据圆心在直线 ｘ ｙ ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ ｍ 与直线ｘ ｙ 相切．
（４，０） ＝２ ， ３ ＋ －５ ＋ ＋４ －２ ＋ ＝０ － ３ ＋ ３－２＝０
所 ＝０ 以 上 所 ， 求 可 的 得 圆 圆 的 心 方 Ｃ 程 的 为 坐 （ 标 ｘ － 为 ２） （２ ２ ＋ ， （ － ｙ １ ＋ ） １ ， ） 故 ２ 半 ＝５ 径 ． ｒ ＝｜ ＯＣ ｜＝ ５ ． （ （２ １ ） ） 若 求 圆 圆 Ｃ Ｃ 上 的 有 方 两 程 点 ； Ｍ ， Ｎ关于直线ｘ ＋２ ｙ ＝０ 对称 ， 且 ｜ ＭＮ ｜＝
ｘ ｙ 求直线ＭＮ的方程．
１２．（２０１９江苏扬州中学期中）已知直线ｌ ． ２ ３，
：ｍ＋ ｍ＝１ 解析 将圆 Ｃ ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ ｍ 化为 ｘ ２
４－ （１） ： ＋ ＋４ －２ ＋ ＝０ （ ＋２） ＋
若直线ｌ的斜率等于 求实数ｍ的值 ｙ ２ ｍ
（１） ２， ； （ －１） ＝５－ ，
（２）
若直线ｌ分别与ｘ轴
、
ｙ轴的正半轴交于Ａ
，
Ｂ两点
，
Ｏ是
∵
圆Ｃ
：
ｘ２
＋
ｙ２
＋４
ｘ
－２
ｙ
＋
ｍ
＝０
与直线ｘ
－ ３
ｙ
＋ ３－２＝０
相切
，
坐标原点 求 ＡＯＢ面积的最大值及此时直线的方程．
， △ 圆心 到直线ｘ ｙ 的距离ｄ ｜－４｜
ｘ ｙ ∴ （－２，１） － ３ ＋ ３－２＝０ ＝ ＝２
解析
（１）
根据直线ｌ的方程
：ｍ＋ ｍ＝１
可得直线ｌ过点
１＋３
４－ ｒ 圆Ｃ的方程为 ｘ ２ ｙ ２ ．
ｍ ＝ ，∴ （ ＋２） ＋（ －１） ＝４
ｍ ｍ 所以ｋ ４－ 解得ｍ ． 圆Ｃ上有两点Ｍ Ｎ关于直线ｘ ｙ 对称 可设直
（ ，０），（０，４－ ）， ＝ ｍ ＝２， ＝－４ （２）∵ ， ＋２ ＝０ ，∴
－ 线ＭＮ的方程为 ｘ ｙ ｃ
由题意可知直线ｌ过点 ｍ ｍ ２ － ＋ ＝０，
（２） （ ，０），（０，４－ ）， ＭＮ 半径ｒ
则由ｍ ｍ 得 ｍ ∵ ｜ ｜＝２ ３， ＝２，
＞０，４－ ＞０ ０＜ ＜４，
则Ｓ ｍ （４－ ｍ ） －（ ｍ －２） ２ ＋４ 则ｍ 时 Ｓ 有最大值 ∴ 圆心 （－２，１） 到直线ＭＮ的距离为 ２ ２ －（ ３） ２ ＝１，
△ ＡＯＢ＝ ＝ ， ＝２ ， △ ＡＯＢ ｃ
２ ２ 即｜－４－１＋ ｜ 解得ｃ
此时直线ｌ的方程为ｘ ｙ ． ＝１， ＝５± ５，
２， ＋ －２＝０ ５
１３．（ 使 ２ 得 ０１９江苏溧阳中学周考）在直线ｌ ：３ ｘ － ｙ －１＝０ 上求一点Ｐ ， ∴ 直线ＭＮ的方程为 ２ ｘ － ｙ ＋５＋ ５＝０ 或 ２ ｘ － ｙ ＋５－ ５＝０ ．
：
