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A
版
高
考
数
学
／
１３０
１１．３ 二项分布与正态分布
§
５．二项分布的均值与方差
若Ｘ Ｂ ｎ ｐ 则Ｅ Ｘ ｎｐ Ｄ Ｘ ｎｐ（ ｐ） ．
～ （ ， ）， （ ）＝② ， （ ）＝③ １－
考点一 条件概率、相互独立事件及二项分布 考点二 正态分布
１．条件概率及其性质 １．正态曲线及其特点
一般地 设Ａ Ｂ为两个事件 且Ｐ Ａ 称Ｐ Ｂ Ａ 正态曲线的定义
（１） ， ， ， （ ）＞０， （ ｜ ）＝ （１）
Ｐ（ＡＢ） （ ｘ － μ ）２
① Ｐ（Ａ）
为在事件Ａ发生的条件下
，
事件Ｂ发生的概率． 函数φ
μ ， σ（
ｘ
）＝
１
σ·ｅ
－ ２σ２
，
ｘ
∈（－∞，＋∞）（
其中实数μ
２π
条件概率具有的性质 和σ σ 为参数 的图象为正态分布密度曲线 简称正态曲线．
（２） （ ＞０） ） ，
Ｐ Ｂ Ａ 正态曲线的特点
（ｉ）０≤ （ ｜ ）≤１； （２）
如果Ｂ和Ｃ是两个互斥事件 则Ｐ Ｂ Ｃ Ａ Ｐ Ｂ Ａ 曲线位于ｘ轴上方且与ｘ轴不相交
（ｉｉ） ， （ ∪ ｜ ）＝ （ ｜ ） （ｉ） ；
Ｐ Ｃ Ａ ． 曲线是单峰的 它关于直线 ｘ μ 对称
＋ （ ｜ ） （ｉｉ） ， ④ ＝ ；
２．全概率公式
曲线在ｘ μ处达到峰值 １
一般地
，
设Ａ
１，
Ａ
２，…，
Ａ
ｎ
是一组两两互斥的事件
，
Ａ
１∪
Ａ
２∪
（ｉｉｉ） ＝
２π
σ；
…∪ Ａ ｎ＝ Ω ， 且Ｐ （ Ａ ｉ）＞０， ｉ ＝１，２，…， ｎ ， 则对任意的事件Ｂ ⊆ Ω ， 有 （ｉｖ） 曲线与ｘ轴之间的面积为 １；
ｎ
当σ一定时 曲线随着μ的变化而沿ｘ轴移动
Ｐ （ Ｂ ）＝ ∑ｉ＝ Ｐ （ Ａ ｉ） Ｐ （ Ｂ ｜ Ａ ｉ）， 称此公式为全概率公式． （ｖ） 当μ一定时 ， 曲线的形状由σ确定 σ越小 曲 ； 线越 瘦
３．相互 １ 独立事件 （ｖｉ） ， ， ， “
高 σ越大 曲线越 矮胖 ．
对于事件Ａ Ｂ 若Ａ的发生与Ｂ的发生互不影响 则称 ”； ， “ ”
（１） 、 ， ， ２．正态分布
Ａ Ｂ是相互独立事件．
、 正态分布的定义及表示
若 Ａ 与 Ｂ 相互独立 则 Ｐ Ｂ Ａ Ｐ Ｂ Ｐ ＡＢ （１）
（２） ， （ ｜ ）＝ （ ）， （ ）＝ 如果对于任何实数ａ ｂ ａ ｂ 随机变量Ｘ满足Ｐ ａ Ｘ ｂ
Ｐ Ｂ Ａ Ｐ Ａ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ ． ， （ ＜ ）， （ ＜ ≤ ）
（ ｜ ）· （ ）＝ （ ）· （ ） ｂ
φ ｘ ｘ 则 称 Ｘ 的 分 布 为 正 态 分 布 记 作
若Ａ与Ｂ相互独立 则Ａ与Ｂ Ａ与Ｂ Ａ与Ｂ也都相互独立． ＝ ∫ａ μ ， σ （ ） ｄ ， ，
（３） ， ， ，
若Ｐ ＡＢ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ 则Ａ与Ｂ相互独立． Ｘ Ｎ（μ，σ２） ．
（４） （ ）＝ （ ） （ ）， ⑤ ～
４．独立重复试验与二项分布 正态分布的三个常用数据
（２）
Ｐ μ σ Ｘ μ σ ．
独立重复试验 二项分布 （ｉ） （ － ＜ ≤ ＋ ）≈０６８２７；
Ｐ μ σ Ｘ μ σ ．
（ｉｉ） （ －２ ＜ ≤ ＋２ ）≈０９５４５；
Ｐ μ σ Ｘ μ σ ． ．
（ｉｉｉ） （ －３ ＜ ≤ ＋３ ）≈０９９７３
一般地 在ｎ次独立重复试验
，
一般地 在相同条件下重 ｎ重伯努利试验 中 设事件Ａ
， （ ） ，
复做的 ｎ 次试验称为 ｎ 发生的次数为Ｘ 在每次试验中
定义 ，
次独立重复试验 也叫ｎ 事件Ａ发生的概率为ｐ 此时称
（ ，
重伯努利试验 随机变量Ｘ服从二项分布 记
） ，
作Ｘ Ｂ ｎ ｐ
～ （ ， ）
用Ａ ｉ ｎ 表示 在ｎ次独立重复试验中 事件Ａ
ｉ（ ＝１，２，…， ） ，
计算 第 ｉ 次试验结果 则 恰好发生ｋ次的概率为Ｐ Ｘ
， （ ＝
公式 Ｐ
（
Ａ
１
Ａ
２…
Ａ
ｎ）＝
Ｐ
（
Ａ
１）·
ｋ
）＝ Ｃ
ｋ
ｎ
ｐｋ
（１－
ｐ
）
ｎ－ｋ
（
ｋ
＝０，１，２，
Ｐ Ａ Ｐ Ａ ｎ
（ ２）… （ ｎ） …， ）
有第 站 棋子开始位于第 站 选手抛掷均匀骰
０，１，２，…，１００ ， ０ ，
子进行游戏 若掷出骰子向上的点数不大于 则棋子向前跳出
， ４，
一站 否则 棋子向前跳出两站 直到跳到第 站或第 站
考法一 独立重复试验及二项分布问题的求解方法 ； ， ， ９９ １００
时 游戏结束．设游戏过程中棋子出现在第ｎ站的概率为Ｐ ．
， ｎ
例１ （２０２０福建泉州适应性测试，２０）某游戏棋盘上标 当游戏开始时 若抛掷均匀骰子 次后 求棋子所走站
（１） ， ３ ，
专
题
十
一
概
率
与
统
计
／
１３１
数之和Ｘ的分布列与数学期望
；
证明 Ｐ １ Ｐ Ｐ １ Ｐ ｎ
（２） ： ｎ ＋１＋ ｎ＝ ｎ＋ ｎ －１（１≤ ≤９８）；
３ ３
若最终棋子落在第 站 则记选手落败 若最终棋子落
（３） ９９ ， ，
在第 站 则记选手获胜 请分析这个游戏是否公平．
１００ ， ，
解析 （ ）由题意知，随机变量Ｘ的可能取值为 、 、 、 ，
１ ３ ４ ５ ６
( ) ( )
３ ２
Ｐ（Ｘ ） ２ ８ ，Ｐ（Ｘ ） ２· ２ · １ ４ ，
＝３ ＝ ＝ ＝４ ＝Ｃ３ ＝
３ ２７ ３ ３ ９ 求ａ ｂ ｃ的值及居民月用水量在 ． 内的频数
( ) ２ ( ) ３ （１） ， ， ２～２５ ；
Ｐ（Ｘ ） １· ２ · １ ２ ，Ｐ（Ｘ ） １ １ ． 根据此次调查 为使 ％以上居民月用水价格为 元／
＝５ ＝Ｃ３ ＝ ＝６ ＝ ＝ （２） ， ８０ ４
３ ３ ９ ３ ２７ 立方米 应将ｗ定为多少 精确到小数点后 位
所以，随机变量Ｘ的分布列如下表所示： ， ？ （ ２ ）
若将频率视为概率 现从该市随机调查 名居民的月用
Ｘ （３） ， ３
３ ４ ５ ６ 水量 将月用水量不超过 ． 立方米的人数记为Ｘ 求其分布列
， ２ ５ ，
及均值．
Ｐ ８ ４ ２ １
２７ ９ ９ ２７ 解题导引
所以Ｅ（Ｘ） ８ ４ ２ １ ．
＝３× ＋４× ＋５× ＋６× ＝４
２７ ９ ９ ２７
（ ）证明：依题意，当 ｎ 时，棋子要到第（ｎ ）站，有
２ １≤ ≤９８ ＋１ 利用频率分布直方图估计ｗ．
两种情况： （２）
由第ｎ站跳 站到第（ｎ ）站，其概率为 ２ Ｐ ；由第（ｎ ）
１ ＋１ ｎ －１ 解析 （ ） 前四组频数成等差数列，
３ １ ∵
频率
站跳 站到第（ｎ ）站，其概率为 １ Ｐ ．所以，Ｐ ２ Ｐ 所对应的 也成等差数列，
２ ＋１ ｎ －１ ｎ ＋１ ＝ ｎ＋ ∴ 组距
３ ３
( ) 设ａ ． ｄ，ｂ ． ｄ，ｃ ． ｄ，
１ Ｐ ．同时加上 １ Ｐ 得Ｐ １ Ｐ ２ Ｐ １ Ｐ １ Ｐ ＝０２＋ ＝０２＋２ ＝０２＋３
ｎ －１ ｎ ｎ ＋１＋ ｎ＝ ｎ＋ ｎ －１ ＋ ｎ＝ ． （ ． ． ｄ ． ｄ ． ｄ ． ｄ ． ． ． ） ，
３ ３ ３ ３ ３ ３ ∴０５× ０２＋０２＋ ＋０２＋２ ＋０２＋３ ＋０２＋ ＋０１＋０１＋０１ ＝１
解得ｄ ． ， ａ ． ，ｂ ． ，ｃ ． ．
Ｐ ｎ＋ ３ １ Ｐ ｎ －１ （ １≤ ｎ ≤９８ ）． 居民月 ＝ 用 ０ 水 １ 量 ∴ 在 ＝０３ ． 内 ＝０ 的 ４ 频率 ＝０ 为 ５ ． ． ． ．
２～２５ ０５×０５＝０２５
（ ）按照（ ）的分析，棋子跳到第 站的概率为Ｐ ２ Ｐ 居民月用水量在 ． 内的频数为 ． ．
３ ２ ９９ ９９＝ ３ ９８ （ ）由题图及（ ） ２ 可 ～ 知 ２５ ，居民月用水量 ０ 小 ２５ 于 ×１０ ． ０＝ 的 ２５ 频率为 ．
２ １ ２５ ０７
１ Ｐ ，由于跳到第 站时，自动停止游戏，故有Ｐ １ Ｐ ， ． ， 为使 ％以上居民月用水价格为 元／立方米，
＋ ９７ ９９ １００＝ ９８ ＜０８ ∴ ８０ ４
３ ３ ．
所以Ｐ Ｐ ，即最终棋子落在第 站的概率大于落在第 应规定ｗ ． ０１ ． ． ．
１００＜ ９９ ９９ １００ ＝２５＋ ． ×０５≈２８３
站的概率，游戏不公平． ０１５
（ ）将频率视为概率，设Ａ（单位：立方米）代表居民月用水
３
方法总结 １．ｎ次独立重复试验中事件Ａ恰好发生ｋ次的 量，可知Ｐ（Ａ
≤２
．
５
）
＝０
．
７
，
概率求法 由题意，Ｘ Ｂ（ ， ． ），
： ～ ３ ０７
ｎ次独立重复试验中事件Ａ恰好发生ｋ次可看作 Ｃ ｋ ｎ 个互斥 Ｐ（Ｘ ＝０ ） ＝Ｃ ０ ３×０ ． ３ ３ ＝０ ． ０２７ ，
事件的和 其中每一个事件都可看作ｋ个Ａ事件与 ｎ ｋ 个Ａ事 Ｐ（Ｘ ） １ ． ２ ． ． ，
， （ － ） ＝１ ＝Ｃ３×０３ ×０７＝０１８９
件同时发生 只是发生的次序不同 其发生的概率都是 ｐｋ Ｐ（Ｘ ） ２ ． ． ２ ． ，
， ， （１－ ＝２ ＝Ｃ３×０３×０７ ＝０４４１
ｐ ｎ － ｋ 其中ｐ为在一次试验中事件Ａ发生的概率 ．因此 ｎ次独 Ｐ（Ｘ ） ３ ． ３ ． ．
） （ ） ， ＝３ ＝Ｃ３×０７ ＝０３４３
立重复试验中事件Ａ恰好发生ｋ次的概率为 Ｃ ｋ ｎ ｐｋ （１－ ｐ ） ｎ － ｋ． ∴ Ｘ的分布列为
２．写二项分布时 首先确定随机变量Ｘ的取值 然后用公式
， ， Ｘ
Ｐ （ Ｘ ＝ ｋ ）＝Ｃ ｋ ｎ ｐｋ （１－ ｐ ） ｎ － ｋ计算概率即可． Ｐ ． ０ ． １ ． ２ ． ３
３．若离散型随机变量 Ｘ Ｂ ｎ ｐ 则 Ｅ Ｘ ｎｐ Ｄ Ｘ ００２７ ０１８９ ０４４１ ０３４３
～ （ ， ）， （ ）＝ ， （ ）＝
ｎｐ （１－ ｐ ）， 即其均值和方差的求解既可以利用定义 ， 也可以直接 ∵ Ｘ ～ Ｂ （３，０ ． ７），∴ Ｅ （ Ｘ ）＝ ｎｐ ＝２ ． １ ．
代入上述公式．
考法二 正态分布问题的解题方法
经典例题教师用书
例 （２０１８广东顺德一模，１９）某市市民用水拟实行阶梯水价
例２ （２０２０山东仿真联考）某公司采购了一批零件
，
为
，
每人月用水量不超过ｗ立方米的部分按 元／立方米收费 超出 了检测这批零件是否合格 从中随机抽测 个零件的长度 单
４ ， ， １２０ （
ｗ立方米的部分按 元／立方米收费 从该市随机调查了 位 位 分米 按数据分成 ． ． ． ． ． ． ．
１０ ， １００ ： ）， ［１ ２，１ ３］，（１ ３，１ ４］，（１ ４，１ ５］，（１ ５，
市民 获得了他们某月的用水量数据 整理得到如下频率分布直 ． ． ． ． ． 这 组 得到如图所示的频率分布直
， ， １６］，（１６，１７］，（１７，１８］ ６ ，
方图 并且前四组频数成等差数列． 方图 其中长度大于或等于 ． 分米的零件有 个 其长度分
， ， １ ５９ ２０ ，
别为 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ．
１５９，１５９，１６１，１６１，１６２，１６３，１６３，１６４，１６５，１６５，１６５，
． ． ． ． ． ． ． ． ． 以这 个零
１６５，１６６，１６７，１ ６８，１ ６９，１ ６９，１ ７１，１ ７２，１ ７４， １２０
件在各组的长度的频率估计整批零件在各组长度的概率．
A
版
高
考
数
学
／
１３２
概率Ｐ ． ． ，且随机变量Ｘ服从二项分布Ｂ（ ， ． ），
＝２×０３５＝０７ ３ ０７
则Ｐ（Ｘ ） ０ （ ． ）３ ． ，Ｐ（Ｘ ） １ （ ． ）２
＝０ ＝Ｃ３× １－０７ ＝００２７ ＝１ ＝Ｃ３× １－０７
． ． ，Ｐ（Ｘ ） ２（ ． ） ． ２ ． ，Ｐ（Ｘ ） ３
×０７＝０１８９ ＝２ ＝Ｃ３ １－０７ ×０ ７ ＝０ ４４１ ＝３ ＝Ｃ３×
． ３ ． ，
０７ ＝０３４３
故随机变量Ｘ的分布列为
Ｘ
０ １ ２ ３
Ｐ ． ． ． ．
求这批零件的长度大于 ． 分米的频率 并求频率分 ００２７ ０１８９ ０４４１ ０３４３
（１） １ ６０ ， Ｅ（Ｘ） ． ． ． ． ． （或Ｅ（Ｘ）
布直方图中ｍ ｎ ｔ的值 ＝０×００２７＋１×０１８９＋２×０４４１＋３×０３４３＝２１
， ， ； ． ． ）．
若从这批零件中随机选取 个 记Ｘ为抽取的零件长度 ＝３×０７＝２１
（２） ３ ， （ ）由题意可知μ ． ，σ ． ，
在 ． ． 的个数 求Ｘ的分布列和数学期望 ３ ＝１５ ＝０１
（１４，１６］ ， ； 则Ｐ（μ σ Ｙ μ σ） Ｐ（ ． Ｙ ． ） ． ；
若变量Ｓ满足 Ｐ μ σ Ｓ μ σ ． ． 且 － ＜ ≤ ＋ ＝ １４＜ ≤１６ ＝０７
（３） ｜ （ － ＜ ≤ ＋ ）－０ ６８２ ６｜≤０ ０５ Ｐ（μ σ Ｙ μ σ） Ｐ（ ． Ｙ ． ） ． ． ．
Ｐ μ σ Ｓ μ σ ． ． 则称变量 Ｓ 满足近似于 －２ ＜ ≤ ＋２ ＝ １ ３＜ ≤１ ７ ＝０ １２５＋０ ３５＋０ ３５＋
｜ （ －２ ＜ ≤ ＋２ ）－０９５４４｜≤００５， ． ． ，因为 ． ． ． ． ，
正态分布Ｎ μ σ２ 的概率分布．如果这批零件的长度Ｙ 单位 分 ０１２５＝０９５ ｜０７－０６８２６｜＝００１７４≤００５
（ ， ） （ ： ． ． ． ． ，
米 满足近似于正态分布Ｎ ． ． 的概率分布 则认为这批 ｜０９５－０９５４４｜＝０００４４≤００５
） （１ ５，０ ０１） ， 所以这批零件的长度满足近似于正态分布Ｎ（ ． ， ． ）的
零件是合格的 将顺利被签收 否则 公司将拒绝签收．试问该批 １ ５ ０ ０１
， ； ， 概率分布，应认为这批零件是合格的，能被签收．
零件能否被签收
解析 （ ）由
？
题意可知 个样本零件中长度大于 ． 分
方法总结 １．对于正态分布Ｎ
（
μ
，
σ２
），
由直线ｘ
＝
μ是正态
１ １２０ １ ６０
曲线的对称轴知
米的零件共有 个，
１８ Ｐ Ｘ μ Ｐ Ｘ μ ．
（１） （ ≥ ）＝ （ ≤ ）＝０５；
则这批零件的长度大于 ． 分米的频率为１８ ． ， 对任意的ａ 有Ｐ Ｘ μ ａ Ｐ Ｘ μ ａ
１６０ ＝０１５ （２） ， （ ＜ － ）＝ （ ＞ ＋ ）；
１２０
Ｐ Ｘ ｘ Ｐ Ｘ ｘ
记Ｙ为零件的长度，则Ｐ（
１
．
２≤
Ｙ
≤１
．
３
）
＝
Ｐ（
１
．
７＜
Ｙ
≤１
．
８
）
＝
（３） （ ＜ ０）＝１－ （ ≥ ０）；
Ｐ ａ Ｘ ｂ Ｐ Ｘ ｂ Ｐ Ｘ ａ ．
（４） （ ＜ ＜ ）＝ （ ＜ ）－ （ ≤ ）
３ ＝０ ． ０２５ ，Ｐ（ １ ． ３＜ Ｙ ≤１ ． ４ ） ＝ Ｐ（ １ ． ６＜ Ｙ ≤１ ． ７ ） ＝ １５ ＝０ ． １２５ ， ２．服从Ｎ μ σ２ 的随机变量Ｘ在某个区间内取值的概率的
（ ， ）
１２０ １２０
求法
Ｐ（ ． Ｙ ． ） Ｐ（ ． Ｙ ． ） １ （ ． ． ） ：
１４＜ ≤１５ ＝ １５＜ ≤１６ ＝ × １－２×０ ０２５－２×０ １２５ ＝ 利用Ｐ μ σ Ｘ μ σ Ｐ μ σ Ｘ μ σ Ｐ μ σ
２ （１） （ － ＜ ≤ ＋ ）， （ －２ ＜ ≤ ＋２ ）， （ －３
． ． ． Ｘ μ σ 的值直接求
． ，故ｍ ００２５ ． ，ｎ ０１２５ ． ，ｔ ０３５ ． ． ＜ ≤ ＋３ ） ；
０３５ ＝ ． ＝０２５ ＝ ． ＝１２５ ＝ ． ＝３５ 充分利用正态曲线的对称性和曲线与ｘ轴之间的面积
０１ ０１ ０１ （２）
（ ）由（ ）可知从这批零件中随机选取 个，长度在（ ． ， ． ］的 为 这些特殊性质求解．
２ １ １ １４ １６ １
