北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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11.3 二项分布与正态分布
考点1二项分布
1.(2015广东理,13,5分)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p= .
1
答案
3
1
解析 因为X~B(n,p),所以E(X)=np=30,D(X)=np(1-p)=20,解得n=90,p= .
3
2.(2016山东理,19,12分)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮
活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则
3 2
“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是 ,乙每轮猜对的概率是 ;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,
4 3
各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:
(1)“星队”至少猜对3个成语的概率;
(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望EX.
解析 (1)记事件A:“甲第一轮猜对”,记事件B:“乙第一轮猜对”,记事件C:“甲第二轮猜对”,记事件
D:“乙第二轮猜对”,记事件E:“‘星队’至少猜对3个成语”.
由题意,E=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD,
由事件的独立性与互斥性,得
P(E)=P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)
=P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)·P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)·P(D)
=3×2×3×2+2×(1 2 3 2 3 1 3 2)
× × × + × × ×
4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3
2
= .
3
2
所以“星队”至少猜对3个成语的概率为 .
3
(2)由题意,随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.
由事件的独立性与互斥性,得
1 1 1 1 1
P(X=0)= × × × = ,
4 3 4 3 144北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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P(X=1)=2×(3 1 1 1 1 2 1 1)= 10 = 5 ,
× × × + × × ×
4 3 4 3 4 3 4 3 144 72
3 1 3 1 3 1 1 2 1 2 3 1 1 2 1 2 25
P(X=2)= × × × + × × × + × × × + × × × = ,
4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 144
3 2 1 1 1 1 3 2 12 1
P(X=3)= × × × + × × × = = ,
4 3 4 3 4 3 4 3 144 12
P(X=4)=2×(3 2 3 1 3 2 1 2)= 60 = 5 ,
× × × + × × ×
4 3 4 3 4 3 4 3 144 12
3 2 3 2 36 1
P(X=6)= × × × = = .
4 3 4 3 144 4
可得随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4 6
1 5 25 1 5 1
P
144 72 144 12 12 4
1 5 25 1 5 1 23
所以数学期望EX=0× +1× +2× +3× +4× +6× = .
144 72 144 12 12 4 6
评析 本题考查了随机事件发生的概率及离散型随机变量的分布列与数学期望,确定随机变量可能的取值
是解题的关键.属于中档题.
3.(2015湖南理,18,12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装
有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球.在摸出的2个球中,若
都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;
(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.
解析 (1)记事件A={从甲箱中摸出的1个球是红球},
1
A={从乙箱中摸出的1个球是红球},
2
B={顾客抽奖1次获一等奖},
1
B={顾客抽奖1次获二等奖},
2
C={顾客抽奖1次能获奖}.
由题意,A 与A 相互独立,A A 与A A 互斥,B 与B 互斥,且B=AA,B=A A +A A,C=B+B.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
4 2 5 1
因为P(A)= = ,P(A)= = ,
1 2
10 5 10 2北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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2 1 1
所以P(B)=P(AA)=P(A)P(A)= × = ,
1 1 2 1 2
5 2 5
P(B)=P(A A +A A)=P(A A )+P(A A)
2 1 2 1 2 1 2 1 2
=P(A)P(A )+P(A )P(A)
1 2 1 2
=P(A)[1-P(A)]+[1-P(A)]P(A)
1 2 1 2
=2×( 1)+( 2)×1=1.
1− 1−
5 2 5 2 2
1 1 7
故所求概率为P(C)=P(B+B)=P(B)+P(B)= + = .
1 2 1 2
5 2 10
(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为1,所以X~B( 1).
3,
5 5
于是P(X=0)= C0(1) 0 (4) 3 = 64 ,
3 5 5 125
P(X=1)= C1(1) 1 (4) 2 = 48 ,
3 5 5 125
P(X=2)= C2(1) 2 (4) 1 = 12 ,
3 5 5 125
P(X=3)= C3(1) 3 (4) 0 = 1 .
3 5 5 125
故X的分布列为
X 0 1 2 3
64 48 12 1
P
125 125 125 125
1 3
X的数学期望为E(X)=3× = .
5 5
4.(2014辽宁理,18,12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图
所示.北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望E(X)及方差D(X).
解析 (1)设A 表示事件“日销售量不低于100个”,
1
A 表示事件“日销售量低于50个”,
2
B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”.因此
P(A)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,
1
P(A)=0.003×50=0.15,
2
P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.
(2)X可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为
P(X=0)= ·(1-0.6)3=0.064,
C0
3
P(X=1)= ·0.6(1-0.6)2=0.288,
C1
3
P(X=2)= ·0.62(1-0.6)=0.432,
C2
3
P(X=3)= ·0.63=0.216.
C3
3
分布列为
X 0 1 2 3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
因为X~B(3,0.6),所以期望E(X)=3×0.6=1.8,方差D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72.
5.(2014安徽理,17,12分)甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,
2 1
则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为 ,乙获胜的概率为 ,各局比赛结果相互独立.
3 3
(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;
(2)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列和均值(数学期望).
解析 用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,A 表示“第k局甲获胜”,B 表示“第k局乙获胜”,
k k北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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2 1
则P(A)= ,P(B)= ,k=1,2,3,4,5.
k k
3 3
(1)P(A)=P(AA)+P(BAA)+P(ABAA)
1 2 1 2 3 1 2 3 4
=P(A)P(A)+P(B)P(A)P(A)+P(A)·P(B)P(A)P(A)
1 2 1 2 3 1 2 3 4
=(2) 2 +1×(2) 2 +2×1×(2) 2 =56.
3 3 3 3 3 3 81
56
所以甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率为 .
81
(2)X的可能取值为2,3,4,5.
P(X=2)=P(AA)+P(BB)
1 2 1 2
5
=P(A)P(A)+P(B)P(B)= ,
1 2 1 2
9
P(X=3)=P(BAA)+P(ABB)
1 2 3 1 2 3
2
=P(B)P(A)P(A)+P(A)P(B)P(B)= ,
1 2 3 1 2 3
9
P(X=4)=P(ABAA)+P(BABB)
1 2 3 4 1 2 3 4
10
=P(A)P(B)P(A)P(A)+P(B)P(A)P(B)P(B)= ,
1 2 3 4 1 2 3 4
81
8
P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)= .
81
故X的分布列为
X 2 3 4 5
5 2 10 8
P
9 9 81 81
5 2 10 8 224
EX=2× +3× +4× +5× = .
9 9 81 81 81
评析 本题考查了独立事件同时发生,互斥事件至少有一个发生、分布列、均值等概率知识;考查应用意识、
运算求解能力;准确理解题意是解题的关键;准确运算求解是得分的关键.
6.(2014山东理,18,12分)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划
分为两个不相交的区域C,D,某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在C
1
上记3分,在D上记1分,其他情况记0分.对落点在A上的来球,队员小明回球的落点在C上的概率为 ,在D
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1 1 3
上的概率为 ;对落点在B上的来球,小明回球的落点在C上的概率为 ,在D上的概率为 .假设共有两次
3 5 5
来球且落在A,B上各一次,小明的两次回球互不影响.求:
(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;
(2)两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望.
解析 (1)记A为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),
i
1 1 1 1 1
则P(A)= ,P(A)= ,P(A)=1- - = ;
3 1 0
2 3 2 3 6
记B为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),
i
1 3 1 3 1
则P(B)= ,P(B)= ,P(B)=1- - = .
3 1 0
5 5 5 5 5
记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”.
由题意,D=AB+AB+AB+AB,
3 0 1 0 0 1 0 3
由事件的独立性和互斥性,
P(D)=P(AB+AB+AB+AB)
3 0 1 0 0 1 0 3
=P(AB)+P(AB)+P(AB)+P(AB)
3 0 1 0 0 1 0 3
=P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)
3 0 1 0 0 1 0 3
1 1 1 1 1 3 1 1 3
= × + × + × + × = ,
2 5 3 5 6 5 6 5 10
3
所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为 .
10
(2)由题意,随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6,
由事件的独立性和互斥性,得
1 1 1
P(ξ=0)=P(AB)= × = ,
0 0
6 5 30
1 1 1 3 1
P(ξ=1)=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)= × + × = ,
1 0 0 1 1 0 0 1
3 5 6 5 6
1 3 1
P(ξ=2)=P(AB)= × = ,
1 1
3 5 5
1 1 1 1 2
P(ξ=3)=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)= × + × = ,
3 0 0 3 3 0 0 3
2 5 5 6 15
1 3 1 1 11
P(ξ=4)=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)= × + × = ,
3 1 1 3 3 1 1 3
2 5 3 5 30北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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1 1 1
P(ξ=6)=P(AB)= × = .
3 3
2 5 10
可得随机变量ξ的分布列为:
ξ 0 1 2 3 4 6
1 1 1 2 11 1
P
30 6 5 15 30 10
1 1 1 2 11 1 91
所以数学期望Eξ=0× +1× +2× +3× +4× +6× = .
30 6 5 15 30 10 30
7.(2014大纲全国理,20,12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、
0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.
(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;
(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.
解析 记A表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2,
i
B表示事件:甲需使用设备,
C表示事件:丁需使用设备,
D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.
(1)D=A
1
·B·C+A
2
·B+A
2
·B·C,
P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(A)= ×0.52,i=0,1,2,(3分)
i Ci
2
所以P(D)=P(A·B·C+A·B+A·B·C)
1 2 2
=P(A
1
·B·C)+P(A
2
·B)+P(A
2
·B·C)
=P(A
1
)P(B)P(C)+P(A
2
)P(B)+P(A
2
)P(B)P(C)
=0.31.(6分)
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,则
P(X=0)=P(B·A
0
·C)
=P(B)P(A
0
)P(C)
=(1-0.6)×0.52×(1-0.4)
=0.06,
P(X=1)=P(B·A
0
·C+B·A
0
·C+B·A
1
·C)
=P(B)P(A
0
)P(C)+P(B)P(A
0
)P(C)+P(B)P(A
1
)P(C)
=0.6×0.52×(1-0.4)+(1-0.6)×0.52×0.4+(1-0.6)×2×0.52×(1-0.4)=0.25,
P(X=4)=P(A·B·C)=P(A)P(B)P(C)=0.52×0.6×0.4=0.06,
2 2
P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,
