北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
专题十二 数系的扩充与复数的引入
基础篇
考点一 复数的概念与几何意义
考向一 复数的概念
1.(2022辽宁大连一中期中,2)若复数z满足z(1+i)=2i,则z的虚部为( )
A.i B.-i C.1 D.-1
答案 C
2.(2020浙江,2,4分)已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a= ( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
答案 C
z
3.(2023届贵州遵义新高考协作体入学质量监测,2)若复数z=3-4i,则 的虚部为(
zz-1
)
1 1 1 1
A. iB.- iC. D.-
6 6 6 6
答案 D
4.(2023届湖北摸底联考,1)若复数z满足(1+i)z=|1+i|,则z的虚部为 ( )
√2 √2
A.- iB.- C.√2D.-√2
2 2
答案 B
5.(2023届福建漳州质检,2)若复数z满足z+i=z·i(i为虚数单位),则|z|= ( )
√2
A. B.1C.√2 D.2
2
答案 A
6.(2023届沈阳四中月考,2)已知i是虚数单位,若复数z=a+bi(a、b∈R)满足zi=z,则
( )
A.a2+b2=1 B.a+b=1
C.a+b=0 D.a2-b2=1
答案 C
7.(2022全国乙文,2,5分)设(1+2i)a+b=2i,其中a,b为实数,则 ( )
A.a=1,b=-1 B.a=1,b=1
C.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1
答案 A
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2+i
8.(2023届长沙雅礼实验中学入学考,2)若复数z= 的实部与虚部相等,则实数a的值
a+i
为( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
答案 A
9.(2020课标Ⅰ文,2,5分)若z=1+2i+i3,则|z|=( )
A.0 B.1 C.√2 D.2
答案 C
10.(2022北京,2,4分)若复数z满足i·z=3-4i,则|z|=( )
A.1 B.5 C.7 D.25
答案 B
1
11.(2020课标Ⅲ理,2,5分)复数 的虚部是 ( )
1-3i
3 1 1 3
A.- B.- C. D.
10 10 10 10
答案 D
12.(多选)(2023届海南琼海嘉积中学月考,9)已知i为虚数单位,下列命题中正确的是
( )
A.若x,y∈C,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1
B.(a2+1)i(a∈R)是纯虚数
C.若z2+z2 =0,z ,z ∈C,则z =z =0
1 2 1 2 1 2
D.当m=4时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是纯虚数
答案 BD
-10i
13.(多选)(2023届辽宁六校期初考试,9)已知复数z= ,则下列说法正确的是 (
2+i
)
A.复数z在复平面内对应的点在第四象限
B.复数z的虚部为-4
C.复数z的共轭复数z=2-4i
D.复数z的模|z|=2√5
答案 BD
2
14.(多选)(2023届广东佛山南海、三水摸底,9)下面是关于复数z= (i为虚数单位)
1-i
的命题,其中真命题为 ( )
A.|z|=√2
B.z-z2=1+i
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C.z的共轭复数为-1+i
D.z的虚部为1
答案 AD
15.(2019江苏,2,5分)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的
值是 .
答案 2
考向二 复数的几何意义
1-3i
1.(2023届江苏扬州高邮学情调研,2)已知i为虚数单位,则复数z= 在复平面内对
1+2i
应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 C
2.(2020北京,2,4分)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则i·z= ( )
A.1+2i B.-2+i
C.1-2i D.-2-i
答案 B
1
3.(2022福建漳州一模,2)已知z=|√3i-1|+ ,则在复平面内z对应的点位于 (
1+i
)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 D
4.(2019课标Ⅱ理,2,5分)设z=-3+2i,则在复平面内z对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 C
5.(2022武汉部分重点中学联考,2)若复数z满足z=(1+i)(2-i),则z的共轭复数在复平面
内对应的点在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 D
6.(2022江苏如皋中学月考,5)已知复数z满足|z-1|=|z-i|,则在复平面上z对应的点的轨迹
为 ( )
A.直线 B.线段
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C.圆 D.等腰三角形
答案 A
7.(2019课标Ⅰ理,2,5分)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则 (
)
A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1
C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1
答案 C
考点二 复数的运算
1.(2022全国甲文,3,5分)若z=1+i,则|iz+3z|=( )
A.4√5B.4√2C.2√5D.2√2
答案 D
2.(2022山东烟台、德州一模,2)若复数z满足(1+2i)z=4+3i,则z= ( )
A.-2+i B.-2-i C.2+i D.2-i
答案 C
3.(2021新高考Ⅰ,2,5分)已知z=2-i,则z(z+i)= ( )
A.6-2i B.4-2i C.6+2i D.4+2i
答案 C
4.(2022新高考Ⅰ,2,5分)若i(1-z)=1,则z+z= ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
答案 D
5.(2022新高考Ⅱ,2,5分)(2+2i)(1-2i)= ( )
A.-2+4i B.-2-4i C.6+2i D.6-2i
答案 D
z
6.(2022全国甲理,1,5分)若z=-1+√3i,则 = ( )
zz-1
A.-1+√3iB.-1-√3i
1 √3 1 √3
C.- + iD.- - i
3 3 3 3
答案 C
2-i
7.(2020新高考Ⅰ,2,5分) = ( )
1+2i
A.1 B.-1 C.i D.-i
答案 D
8.(2020新高考Ⅱ,2,5分)(1+2i)(2+i)= ( )
A.-5i B.5i C.-5 D.5
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答案 B
9.(2020课标Ⅱ文,2,5分)(1-i)4= ( )
A.-4 B.4 C.-4i D.4i
答案 A
1 √3
10.(多选)(2022湖南师大附中二模,9)设复数z=- + i,则下列命题中正确的是 (
2 2
)
A.|z|2=z·z
B.z2=z
√3
C.z的虚部是 i
2
D.若zn∈R,则正整数n的最小值是3
答案 ABD
1
11.(2019浙江,11,4分)复数z= (i为虚数单位),则|z|= .
1+i
√2
答案
2
综合篇
考法 复数代数形式的四则运算的解题方法
1.(2023届山西长治质量检测,1)设复数z满足(1+i)z=i,则|z|=( )
√2 √2 1
A.1 B. C. D.
2 4 4
答案 B
z
2.(2022河北省级联测第八次联考,2)已知复数z=2+i,则 = ( )
z-i
1 1 3
A.1+ iB. - i
2 4 4
1 3 1
C. + iD.1- i
4 4 2
答案 C
3.(2021全国乙理,1,5分)设2(z+z)+3(z-z)=4+6i,则z= ( )
A.1-2i B.1+2i C.1+i D.1-i
答案 C
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4.(2021全国乙文,2,5分)设iz=4+3i,则z= ( )
A.-3-4i B.-3+4i C.3-4i D.3+4i
答案 C
z(z-i)
5.(2022山东青岛二中期末,2)已知z=2-i,则 =( )
1+i
A.3-i B.1-3i C.4+2i D.4-2i
答案 A
6.(2023届河北沧州摸底,2)设复数z=1+i(i为虚数单位),则|z2-zz|= ( )
A.0 B.√2C.2D.2√2
答案 D
7.(多选)(2023届河北衡水重点高中联考,9)若复数z满足z(z+2i)=8+6i,则 ( )
A.z的实部为3
B.z的虚部为1
C.zz=√10
D.z在复平面上对应的点位于第一象限
答案 ABD
1
8.(2022湖北黄冈中学等二十一所重点中学联考三,13)定义z ,z ∈C,z z = (|z +z |2-|z -
1 2 1 2 4 1 2 1
z |2),z z =z z +i(z iz ).若z =3+4i,z =1+4√3i,则|z z |= .
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
答案 35
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专题综合检测
一、单项选择题
2i
1.(2022 T8联考,2)已知z= -1+2i,则复数z在复平面内对应的点位于 ( )
1-i
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 B
3-i
2.(2019课标Ⅰ文,1,5分)设z= ,则|z|= ( )
1+2i
A.2 B.√3C.√2 D.1
答案 C
3.(2022湖北部分重点中学联考,1)若z=-1+i.设ω=zz,则ω= ( )
A.2i B.2 C.2+2i D.2-2i
答案 B
4.(2022山东威海期中,3)设复数z满足|z-(1+i)|=1,则|z|的最大值为 ( )
A.√2-1B.√2+1 C.2 D.3
答案 B
5.(2022辽东南协作体期中,1)设复数z满足(1+i)z=3+i,则|z|= ( )
A.√2B.2C.2√2D.√5
答案 D
z
6.(2022辽宁部分高中期中,1)若z=5+12i,其中i为虚数单位,则 = ( )
|z|
A.-1 B.1
5 12 5 12
C. + iD. - i
13 13 13 13
答案 D
7.(2022广东江门陈经纶中学月考,2)欧拉公式eiθ=cos θ+isin θ(e是自然对数的底数,i是
虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的.它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了
三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,当θ=π时,就有
2 020π
eiπ+1=0,根据上述背景知识,试判断
e
-i·
3
表示的复数在复平面内对应的点位于 (
)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
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答案 B
8.(2017课标Ⅰ理,3,5分)设有下面四个命题:
1
p :若复数z满足 ∈R,则z∈R;
1 z
p :若复数z满足z2∈R,则z∈R;
2
p :若复数z ,z 满足z z ∈R,则z =z ;
3 1 2 1 2 1 2
p :若复数z∈R,则z∈R.
4
其中的真命题为 ( )
A.p ,p B.p ,p
1 3 1 4
C.p ,p D.p ,p
2 3 2 4
答案 B
二、多项选择题
9.(2022山东潍坊二模,9)若复数z =2+3i,z =-1+i,其中i是虚数单位,则下列说法正确的
1 2
是 ( )
z
A.
1∈R
z
2
B.z ·z =z ·z
1 2 1 2
C.若z +m(m∈R)是纯虚数,则m=-2
1
D.若z ,z 在复平面内对应的向量分别为⃗OA,⃗OB(O为坐标原点),则|⃗AB|=5
1 2
答案 BCD
2
10.(2021山东德州二模,9)已知复数z = (i为虚数单位),下列说法正确的是 (
1 -1+i
)
A.z 对应的点在第三象限
1
B.z 的虚部为-1
1
C.z4=4
1
D.满足|z|=|z |的复数z对应的点在以原点为圆心,2为半径的圆上
1
答案 AB
三、填空题
11.(2020课标Ⅱ理,15,5分)设复数z ,z 满足|z |=|z |=2,z +z =√3+i,则|z -z |= .
1 2 1 2 1 2 1 2
答案 2√3
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