北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
专题十二 数系的扩充与复数的引入
一、选择题
1.(2021安徽宣城第二次调研,2)若复数(4+ai)(1+i)(i为虚数单位,a∈R)为纯虚数,则a的值为( )
A.-4 B.3 C.4 D.5
答案 C ∵(4+ai)(1+i)=4+ai+4i+ai2=4-a+(a+4)i,∴4-a=0,a+4≠0,则a=4.故选C.
2.(2021湘豫名校联盟4月联考,2)已知复数z满足z+z=8,z·z=25,则z=( )
A.3±4i B.±3+4i C.4±3i D.±4+3i
答案 C 设z=a+bi(a,b∈R),依题意得2a=8,a2+b2=25.解得a=4,b=±3,所以z=4±3i.故选C.
(x-2)i-1
3.(2022届河南省实验中学11月月考,2)已知i为虚数单位,若 为纯虚数,则实数x的值为( )
-i
A.1 B.2 C.-1 D.-2
(x-2)i-1 (x-2)i2-1·i
答案 B 因为 = =-(x-2)-i为纯虚数,所以x-2=0,则x=2.故选B.
-i -i·i
4.(2022届重庆缙云教育联盟11月质检,2)如图,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,复数z 和
1
|z |
z 2 对应的点分别是A和B,则 2 等于( )
z
1
A.2 B.1 C.5 D.√5
|z | |z |
答案 D 由题图知,A(0,1),B(2,-1),∴z 1 =i,z 2 =2-i,则 2 = 2 = √5 .故选D.
z |z |
1 1
2-i
5.(2022届安徽淮南第一中学月考三,2)若复数z= (i为虚数单位),则复数z在复平面内对应的点位于(
i
)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
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2-i
答案 B ∵z= =-1-2i,∴z=-1+2i,∴复数z在复平面内对应的点(-1,2)位于第二象限.故选B.
i
6.(2020内蒙古赤峰二模,2)设复数z在复平面上对应的点为(1,-1),z为z的共轭复数,则( )
A.z+z是纯虚数 B.z-z是实数
z
C.z·z是纯虚数 D. 是纯虚数
z
答案 D ∵复数z在复平面上对应的点为(1,-1),∴z=1-i, ∴z=1+i.对于A,z+z=1-i+1+i=2,z+z是实数,故A错
误;对于B,z-z=1-i-1-i=-2i,z-z是纯虚数,故B错误;
对于C,z·z=(1-i)(1+i)=2,z·z是实数,故C错误;
z 1+i z
对于D, = =i, 是纯虚数,故D正确.故选D.
z 1-i z
名师点睛 复数的分类:
{
实数(b=0),
z=a+bi
{纯虚数(a=0),
虚数(b≠0)
非纯虚数(a≠0).
7.(2022届内蒙古海拉尔第二中学期中,2)已知i为虚数单位,以下四个说法中正确的是( )
A.已知复数z满足|z-1|=|z+1|,则复数z在复平面内对应的点的轨迹为圆
B.复数z=3-i的虚部为-i
C.若z=(1+2i)2,则复数z在复平面内对应的点位于第二象限
D.i+i2+i3+i4=0
答案 D 对于A:|z-1|=|z+1|=|z-(-1)|表示复数z对应的点到点A(1,0)和点B(-1,0)的距离相等,故复数z对应
的点的轨迹是线段AB的垂直平分线,故A不正确.
对于B:复数z的虚部为-1,故B错误.
对于C:z=(1+2i)2=-3+4i,z=-3-4i,故复数z在复平面内对应的点(-3,-4)在第三象限,故C错误.
对于D:i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0,故D正确.故选D.
8.(2022届银川一中月考三,2)已知复数z满足(1+i)z=4(i为虚数单位),则复数z在复平面内对应的点所在的象
限为( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4 4(1-i)
答案 D 由题意得z= = =2-2i,故复数z在复平面内对应的点(2,-2)在第四象限.故选
1+i (1+i)(1-i)
D.
9.(2022届长春外国语学校期中,5)已知i为虚数单位,若zi+2=z,则|z2|=( )
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A.√2 B.4 C.2√2 D.2
2 2(1+i) 2(1+i)
答案 D ∵zi+2=z,∴z= = = =1+i,
1-i (1-i)(1+i) 2
∴z2=(1+i)2=2i,∴|z2|= =2.故选D.
√02+22
a-2i
10.(2022届河北衡水第一中学调研一,2)已知i为虚数单位,复数z= (a∈R)是纯虚数,则1+ai的虚部为(
1-i
)
A.2 B.2i C.-2 D.-2i
a-2i (a-2i)(1+i) a+2 a-2
答案 C ∵z= = = + i是纯虚数,
1-i (1-i)(1+i) 2 2
a+2
{ =0,
∴ 2 ∴a=-2.∴1+ai的虚部为-2.故选C.
a-2
≠0,
2
易错警示 注意复数z=a+bi(a,b∈R)的实部是a,虚部是“i”的系数b,不能写成bi.
11.(2022届昆明第一中学双基检测三,2)已知i为虚数单位,则i+i2+i3+…+i2 021=( )
A.i B.-i C.1 D.-1
答案 A 因为i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4n+4=i-1-i+1=0(n∈N),
所以i+i2+i3+…+i2 021=505×0+i2 021=i.故选A.
|z |
12.(2022届江西智学联盟联考一,2)已知i为虚数单位,复数z 1 =3-4i,z 2 =cos 2x-isin 2x,则 1 =( )
z
2
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 D z 1= 3-4i =(3-4i)(cos2x+isin2x) =(3-4i)(cos 2x+isin 2x)
z cos2x-isin2x (cos2x-isin2x)(cos2x+isin2x)
2
=(3cos 2x+4sin 2x)+i(3sin 2x-4cos 2x),
|z |
∴ 1 = √(3cos2x+4sin2x)2+(3sin2x-4cos2x)2 = √25(cos22x+sin22x) =5.故选
z
2
D.
13.(多选)(2021济南十一学校联考,9)欧拉公式exi=cos x+isin x(其中i为虚数单位,x∈R)是由瑞士著名数学家
欧拉创立的,该公式将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的联系,在复变函数论里面
占有非常重要的地位,被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式,下列选项正确的是 ( )
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A.复数e2i对应的点位于第三象限
π
B. i为纯虚数
e2
exi 1
C.复数 的模等于
√3+i 2
π 1 √3
D. e6 i的共轭复数为
2
-
2
i
BC 对于A,e2i=cos 2+isin 2,∵2∈(π ),∴cos 2∈(-1,0),sin 2∈(0,1),∴e2i表示的复数在复平面中对应的
,π
2
点位于第二象限,故A错误;
π π π π
对于B,
e2
i=cos
2
+isin
2
=i,则
e2
i为纯虚数,故B正确;
对于C,
| exi | =|cosx+isinx|= |cosx+isinx|
=
√cos2x+sin2x= 1
,故C正确;
√3+i √3+i |√3+i| 2 2
π π π √3 1 π √3 1
对于D, e6 i=cos
6
+isin
6
=
2
+
2
i,可得 e6 i的共轭复数为
2
-
2
i,故D错误,故选BC.
二、填空题
14.(2022届云南十五校11月联考,14)已知i为虚数单位,z 为复数,且|z|=2,则|z+2i|的最大值为 .
1 1 1
答案 4
解析 设z
1
=a+bi(a,b∈R),则z
1
+2i=a+(b+2)i.设复数z
1
表示复平面内的点Z,∵|z
1
|=2,∴
√a2+b2
=2,即a2+b2=4,
故Z的轨迹是以(0,0)为圆心,2为半径的圆.又|z+2i|= ,表示点(a,b)到点(0,-2)之间的距离,易
1 √a2+(b+2)2
知|z+2i|的最大值为4.
1
z-i 1
15.(2022届河南重点中学模拟一,13)若 = (i为虚数单位),则z= .
1+i i
答案 1z
1+i
解析 由题意可得z= +i=-i+1+i=1.
i
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