北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
专题十二 数系的扩充与复数的引入
一、单项选择题
1.(2023届西南“三省三校”联考一,2)已知复数z满足i3z=1+i(i是虚数单位),则z的
共轭复数是 ( )
A.-1-i B.-1+i
C.1-i D.1+i
1+i 1+i (1+i)·i i2+i
答案 A 由题意可知z= = = = =-1+i,所以z的共轭复数为-1-i,故
i3 −i −i2 1
选A.
2.(2023届陕西咸阳高新一中质检二,2)设a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点
位于实轴上,则a= ( )
A.0 B.-1 C.1 D.√2
答案 B ∵复数(1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i在复平面内对应的点位于实轴上,∴a+1=0,
即a=-1.故选B.
3.(2023届广西北海模拟,2)已知复数z满足z=(a2-9)+(a+3)i(a∈R),若z为纯虚数,则
a= ( )
A.-3 B.±3 C.3 D.0
答案 C 因为z=(a2-9)+(a+3)i(a∈R)为纯虚数,所以a2-9=0且a+3≠0,所以a=3.故选
C.
4.(2023届广西桂林七星田家炳中学月考,3)复数z=1-i,则|z(z+i)|= ( )
A.2 B.4 C.√2 D.√10
答案 C 因为z=1-i,所以z=1+i,所以z(z+i)=(1+i)(1-i+i)=1+i,所以|z(z+i)|=|1+i|=
√12+12=√2.故选C.
5.(2023届河南洛阳六校联考,9)已知i为虚数单位,且复数z(1+2i)=i-i2 022,下面关于复
数z的三个命题:
1
①复数z的虚部为- i;
5
②|z|=3;
③复数z的共轭复数z对应的点在第一象限.
其中正确命题的个数为 ( )
A.0 B.2 C.3 D.1
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1+i (1+i)(1−2i) 3 1
答案 D 因为z(1+2i)=i-i2 022=i-(i4)505·i2=1+i,所以z= = = − i.
1+2i (1+2i)(1−2i) 5 5
复数z的虚部为- 1 ,故①错误;|z|= √ (3) 2 + ( − 1) 2 = √10 ,故②错误;z= 3 + 1 i,则复数z
5 5 5 5 5 5
(3 1)
的共轭复数z对应的点 , 在第一象限,故③正确.故选D.
5 5
6.(2022甘肃平凉二模,2)在复平面内,复数z ,z 对应的点分别是(0,2),(-1,1),则复数
1 2
z z 的虚部为 ( )
1 2
A.2i B.-2i
C.2 D.-2
答案 D 由题意可知z =2i,z =-1+i,所以z z =2i(-1+i)=-2-2i,则复数z z 的虚部为-2.故
1 2 1 2 1 2
选D.
7.(2021河南信阳质检,2)已知复数z=i+i2 020,则|z|等于( )
A.√2 B.1 C.0 D.2
答案 A ∵z=i+i2 020=i+i4×505=i+1,
∴|z|=√2,故选A.
z
8.(2022陕西模拟,2)在复平面内,复数z对应的点为(3,4),则 = ( )
z−2−2i
11 2 11 2
A. + i B. − i
5 5 5 5
C.1-2i D.1+2i
答案 B 因为复数z对应的点为(3,4),所以z=3+4i,
z 3+4i (3+4i)(1−2i) 11 2
所以 = = = − i,故选B.
z−2−2i 1+2i (1+2i)(1−2i) 5 5
二、多项选择题
9.(2022湖北八市联考,10)2022年1月,中国科学技术大学潘建伟团队和南方科技大学
范靖云团队发表学术报告,分别独立通过实验验证了虚数i在量子力学中的必要性,再次
说明了虚数i的重要性.对于方程x3=1,它的两个虚数根分别为( )
1+√3i 1−√3i
A. B.
2 2
−1+√3i −1−√3i
C. D.
2 2
答案 CD 将方程x3=1移项、因式分解可得(x-1)(x2+x+1)=0,x=1为实数根,要求虚数
−1±√3i
根,则解方程x2+x+1=0,得x= .故选CD.
2
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10.(2022武汉2月调研,9)已知两个复数z ,z 满足z z =i,且z =1-i,则下列说法正确的是
1 2 1 2 1
( )
−1+i 1
A.z = B.|z |=
2 2 1 |z |
2
C.|z +z |≥2 D.z ·z =-i
1 2 1 2
i i i(1+i) 1 1
答案 ABD ∵z z =i,z =1-i,∴z = = = =− + i,故A正确;
1 2 1 2 z 1−i (1−i)(1+i) 2 2
1
∵z z =i,
1 2
∴|z ·z |=|z |·|z |=1,即|z |= 1 ,故B正确;又z +z = 1 − 1 i,∴|z +z |= √ (1) 2 + ( − 1) 2 = √2
1 2 1 2 1 |z | 1 2 2 2 1 2 2 2 2
2
≤2,故C错误;
1 i ( 1 i)
∵z =1+i,z =− − ,∴z ·z =(1+i)· − − =-i,故D正确.故选ABD.
1 2 2 2 1 2 2 2
11.(2021广东湛江一模,9)若复数z=√3-i,则 ( )
A.|z|=2 B.|z|=4
C.z的共轭复数z=√3+i D.z2=4-2√3i
答案 AC 依题意得|z|=√ (√3) 2+(−1) 2=2,故A选项正确,B选项错误;z=√3+i,C选项
正确;z2=(√3-i)2=3-2√3i+i2=2−2√3i,D选项错误,故选AC.
1 √3
12.(2022湖南师大附中二模,9)设复数z=- + i,则下列命题中正确的是 ( )
2 2
A.|z|2=z·z
B.z2=z
√3
C.z的虚部是 i
2
D.若zn∈R,则正整数n的最小值是3
答案 ABD 对于A,由于|z|= √ ( − 1) 2 + (√3) 2 =1,z·z= ( − 1 + √3 i )( − 1 − √3 i ) =1,所
2 2 2 2 2 2
1 √3 1 √3
以|z|2=z·z,A正确;对于B,由z2=- − i=z,知B正确;对于C,由z=- + i,可得z的
2 2 2 2
√3 1 √3 1 √3
虚部是 ,C错误;对于D,由z=- + i,可得z2=- − i,z3=1,所以若zn∈R,则正整
2 2 2 2 2
数n的最小值是3,D正确.故选ABD.
三、填空题
13.(2022福建龙岩一模,13)复数z =cos x-isin x,z =sin x-icos x,则|z ·z |= .
1 2 1 2
答案 1
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解析 z ·z =(cos x-isin x)(sin x-icos x)=-i(sin2x+cos 2x)=-i,故|z ·z |=1.
1 2 1 2
3+i
14.(2022辽宁鞍山二模,13)已知i为虚数单位,则 = (写成最简形式).
1−i
答案 1+2i
3+i (3+i)(1+i) 3+3i+i+i2
解析 = = =1+2i.
1−i (1−i)(1+i) 2
1 √3
z2
15.(2022长沙雅礼中学等十六校二模,13)已知复数z =- + i,z = 1 ,则z =
1 2 2 2 z2+z +2 2
1 1
.
1 √3
答案 - + i
2 2
1 √3
解析 因为z =- + i,
1 2 2
2
( 1 √3 ) 1 √3
− + i − − i
2 2 2 2 1 √3
所以z = = =− − i,则z
2 ( 1 √3 ) 2 ( 1 √3 ) 1 √3 ( 1 √3 ) 2 2 2
− + i + − + i +2 − − i+ − + i +2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 √3
=- + i.
2 2
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