曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
综合测试一
（时间：120 分钟，分值：150 分）
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的)
1.(2022河南开封二模,1)设x,y∈R,集合A={1,2x},B={x,y},若A∩B={1},则A∪B=( )
2
A.{ 1} { 1}
1, B. -1,
2 2
C.{ 1} { 1}
-1,1, D. 1,2,
2 2
答案 C 由题意可得,2x=1 1 { 1} { 1},所以
,解得x=−1,则y= ,则A= 1, ,B= -1,
2 2 2 2
A∪B={ 1},故选C.
-1,1,
2
2.(2022西安二模,1)已知复数z满足z(1+2i)=|4-3i|(其中i为虚数单位),则复数z的虚部为(
)
A.-2 B.-2i C.1 D.i
5 5(1-2i)
答案 A 由z(1+2i)=|4-3i|=√42+(-3)2=5,得z= = =1-2i,∴复
1+2i (1+2i)(1-2i)
数z的虚部为-2.故选A.
3.(2022豫南九校4月联考,6)在△ABC中,G为△ABC的重心,M为AC上一点,且满足⃗MC
=3⃗AM,则⃗GM=( )
1 1 1 1
A. ⃗AB+ ⃗ACB.− ⃗AB− ⃗AC
3 12 3 12
1 7 1 7
C. ⃗AB+ ⃗ACD.− ⃗AB− ⃗AC
3 12 3 12
2 1 1
答案 B 因为G为△ABC的重心,所以⃗AG= × (⃗AB+⃗AC)= (⃗AB+⃗AC),又知⃗MC=3
3 2 3
1 1 1 1 1
⃗AM,所以⃗AM= ⃗AC,所以⃗GM=⃗GA+⃗AM=− (⃗AB+⃗AC)+ ⃗AC=− ⃗AB− ⃗AC,故
4 3 4 3 12
选B.
4.(2022豫北名校联盟4月联考,12)“莫言下岭便无难,赚得行人错喜欢.”出自南宋诗人杨
万里的作品《过松源晨炊漆公店》.如图是一座山的示意图,山大致呈圆锥形,山脚呈圆形,
半径为40 km,山高为40√15 km,B是山坡SA上一点,且AB=40 km.为了发展旅游业,要曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
建设一条从A到B的环山观光公路,这条公路从A出发后先上坡,后下坡,当公路长度最
短时,下坡路段长为( )
A.60 km B.12√6 km
C.72 km D.12√15 km
答案 C 圆锥的母线长为 =160 km,
√(40√15)2+402
2×π×40 π π
所以 = ,即圆锥的侧面展开图是圆心角为 的扇形,如图,沿SA展开圆锥
160 2 2
的侧面,连接A'B,过点S作A'B的垂线,垂足为H,
由两点之间线段最短,知观光公路为图中的线段A'B,A'B=
√SA'2+SB2=√1602+1202
=200 km.
记点P为A'B上任一点,连接PS,
上坡时,P到山顶S的距离|PS|越来越小,下坡时,P到山顶S的距离|PS|越来越大,∴下坡段
SB2 1202
的公路,即图中的线段HB.由Rt△SA'B∽Rt△HSB,得HB= = =72 km.
A'B 200
因此下坡路段长为72 km.
5.(2022河南适应性检测,6)两个相同的正方体骰子,六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6,同时
掷两个骰子,则两个骰子朝上的面上的数字之积能被6整除的概率为( )
11 5 5 1
A. B. C. D.
36 18 12 3
答案 C 易知基本事件总数为6×6=36,朝上的面上的数字之积能被6整除的基本事件
有(1,6),(6,1),(2,3),(3,2),(2,6),(6,2),(3,4),(4,3),(3,6),(6,3),(4,6),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6),共15个,
15 5
∴所求概率P= = .故选C.
36 12
6.(2022天津新华中学3月统练,7)将函数y=sin 2x的图象向右平移φ
( π) [ π] ( 5π π)
0<φ< 个单位长度得到y=f(x)的图象,若函数f(x)在区间 0, 上单调递增,且f(x)的最大负零点在区间 - ,-
2 4 12 6
上,则φ的取值范围是( )
A.(π π] (π π)
, B. ,
6 4 6 2曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
C.( π π] ( π π)
, D. ,
12 4 12 2
答案 C 由题意得f(x)=sin(2x-2φ),
∵函数f(x)在区间[ π] π≤-2φ,且π-2φ≤π π,∴0<φ≤π
0, 上单调递增,∴− ,又0<φ<
4 2 2 2 2 4
①.
kπ kπ
令2x-2φ=kπ(k∈Z),得x= +φ(k∈Z),故函数f(x)的零点为x= +φ(k∈Z).
2 2
∵f(x)的最大负零点在区间(
-
5π
,-
π)
上,∴−
5π
<
kπ
+φ<−
π(k∈Z),即-
12 6 12 2 6
5π kπ π kπ
− <φ<− − (k∈Z)②.
12 2 6 2
π π
由①②令k=-1,可得 <φ≤ .故选C.
12 4
一题多解 (特值法)由题意得f(x)=sin(2x-2φ),观察选项可取φ=
π ( 2π),当x∈[ π] 2π∈
,可得f(x)=sin 2x- 0, 时,2x−
3 3 4 3
[ 2π π] π ( π) [ π] π
- ,- ,此时f(x)先减后增,不符合题意,故排除B,D;取φ= ,可得f(x)=sin 2x- ,易知f(x)在 0, 上单调递增,令2x−
3 6 6 3 4 3
=kπ(k∈Z),得x=π
+
kπ(k∈Z),则函数f(x)的最大负零点为x=-π ∈(
-
5π
,-
π),符合题意,
6 2 3 12 6
排除A,故选C.
7.(2022江苏金陵中学二模,8)设a=e1.1-2√7,b=√1.4-1,c=2ln 1.1,则( )
A.a<b<c B.a<c<b
C.b<a<c D.c<a<b
答案 A 由e3<28,得√e3<√28 ,即
e
3
2<2√7
,所以e1.1<e1.5=
1.4
+1.2
3 √1.4 1.2
e2,所以e1.1<2√7,则e1.1−2√7<0,即a<0.由√1.4−1= ×1.2−1<
1.2 2
-1<0.184,即0<b<0.184.
设f(x)=ln x-2(x-1) 1 4 (x-1)2 ≥0,所以f(x)在(0,+∞)
(x>0),则f '(x)= − =
x+1 x (x+1)2 x(x+1)2
2(x-1)
上单调递增,又f(1)=0,故当x∈(1,+∞)时, f(x)>0,即ln x> ,当x∈(0,1)时, f(x)<0,即
x+1曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
2(x-1) 2×(1.1-1)
ln x< ,又1.1>1,则ln 1.1> ≈0.095,所以c=2ln 1.1>0.19,即
x+1 1.1+1
c>0.19,综上,a<b<c,故选A.
8.(2022八省八校联考二,6)如图,已知正四面体ABCD的棱长为1,过点B作截面α分别交
1
侧棱AC,AD于E,F两点,且四面体ABEF的体积为四面体ABCD体积的 ,则EF的最小
3
值为( )
√2 √3 1 √3
A. B. C. D.
2 2 3 3
1 1
答案 D 由V = V 得S = S .
B-AEF
3
B-ACD △AEF
3
△ACD
1 1 AC·AD 1
由S
△AEF
=
2
·AE·AF·sin∠EAF,S
△ACD
=
2
AC·AD·sin∠CAD,得AE·AF=
3
=
3
.在△AEF
中,由余弦定理得EF2=AE2+AF2-2AE·AF·cos∠EAF=AE2+AF2-AE·AF≥2AE·AF-
1 √3 √3
AE·AF=AE·AF= ,当且仅当A=EAF= 时取等号,∴EF的最小值为 ,故选D.
3 3 3
二、多项选择题(本题共8小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项
符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.(2022湖北部分学校11月质量检测,12)如图,边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是
AB,BC的中点,将△ADE,△CDF,△BEF分别沿DE,DF,EF折起,使A,B,C重合于点P,则下
列结论正确的是( )
A.PD⊥EF
2
B.点P到平面DEF的距离为
3
C.三棱锥P-DEF的外接球的体积为2√6π
1
D.二面角P-EF-D的余弦值为-
3
答案 AB 对于A,取EF的中点H,连接PH,DH,曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
由题意知△PEF和△DEF为等腰三角形,∴PH⊥EF,DH⊥EF,又∵PH∩DH=H,∴EF⊥平面
PDH,又PD⊂平面PDH,∴PD⊥EF,A正确.对于B,易知PE,PF,PD两两垂直,且
√2 3√2
PE=PF=1,PD=2,易求得PH= ,DH= ,设点P到平面DEF的距离为h,
2 2
由V =V 可得
D-PEF P-DEF
1 1 1 1 3√2 2 √6 4
× ×1×1×2= × ×√2× ×h,解得h= ,B正 确.以PE,PF,PD为棱构造长方,则体长方体的外接球就是三棱锥P−DEF的 外 接,长球方体的体对角线就是外接球的直径2R,则2R=√12+12+22=√6,∴R= ,∴所求外接球的体积为 πR3=√6
3 2 3 2 2 3 2 3
π,C错误.对于D,∵DH⊥EF,PH⊥EF,平面PEF∩平面DEF=EF,∴∠PHD为二面角P-EF-D的
PH 1
平面角,在Rt△PHD中,cos∠PHD= = ,D错误.故选AB.
DH 3
10.(2021八省联考,9)已知函数f(x)=xln(1+x),则( )
A. f(x)在(0,+∞)上单调递增
B. f(x)有两个零点
C.曲线y=f(x)在点(
-
1
, f
(
-
1))处切线的斜率为-1-ln 2
2 2
D. f(x)是偶函数
答案 AC 对于选项A,∵f(x)=xln(1+x),
x
∴f '(x)=ln(1+x)+ ,当x∈(0,+∞)时,f '(x)>0恒成立,因此f(x)在(0,+∞)上单调递增,A正
x+1
确;
对于选项B,令f(x)=xln(1+x)=0,可得x=0或ln(1+x)=0,解得x=0,B不正确;
x
对于选项C,∵f '(x)=ln(1+x)+ ,
1+x
∴f '( 1) 1-1=-ln 2-1,故C正确;
- =ln
2 2
对于选项D,由于f(x)的定义域为(-1,+∞),定义域不关于原点对称,故D不正确.
11.(2022山东师大附中开学考试,11)过抛物线y2=4x的焦点F作直线交抛物线于A,B两
点,M为线段AB的中点,则下列结论正确的是( )
1
A.以线段AB为直径的圆与直线x=- 相交
2
B.以线段BM为直径的圆与y轴相切
9
C.当⃗AF=2⃗FB时,|AB|=
2
D.|AB|的最小值为4
答案 ACD 由题意知抛物线的焦点坐标为(1,0),准线为直线x=-1.对于A,点M到准线
x=-1的距离为
1 1 1
(|AF|+|BF|)= |AB|,所以以线段AB为直径的圆与直=线−1x相切,所以以线段AB为直径的圆与直=线−x
2 2 2
一定相交,故A中结论正确.曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
1
对于B,线段BM的中点到y轴的距离与 |BM|不一定相等,故B中结论不正确.
2
对于C,设A( y
1
2
,y
)
,B
( y
2
2
,y
),由
⃗AF
=2
⃗FB,得y1=−2y2,1−
y
1
2
=
y
2
2 -2,解得 y2=2,
4 1 4 2 4 2 2
则
y2 y2
8+2 9,故C中结论正确.
y2=8,故|AB|= 1+ 2+2= +2=
1 4 4 4 2
对于D,当AB为抛物线的通径时,|AB|最小,为4.故D中结论正确.故选ACD.
12.(2022山东济宁第一中学开学考,12)已知定义域为R的函数f(x)的图象连续不断,且
∀x∈R, f(x)+f(-x)=4x2,当x∈(0,+∞)时, f '(x)<4x,若f(2m+1)-f(-m)≤6m2+8m+2,则实数m的
取值可以为( )
1 1
A.-1 B.- C. D.1
3 3
答案 BCD ∀x∈R, f(x)+f(-x)=4x2,则f(x)-2x2=-[f(-x)-2x2],令g(x)=f(x)-2x2,所以g(x)=-g(-
x),故函数g(x)为奇函数,又当x∈(0,+∞)时,f '(x)<4x,则g'(x)=f '(x)-4x<0,所以g(x)在(0,+∞)
上单调递减,又函数f(x)的图象连续不断,则g(x)在R上单调递减,因为f(2m+1)-f(-
m)≤6m2+8m+2,所以f(2m+1)-2(2m+1)2≤f(-m)-2(-m)2,即g(2m+1)≤g(-m),故2m+1≥-m,解得
1 1 1
m≥- ,所以m的取值可以为− , ,1.故选BCD.
3 3 3
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分）
13.(2022江西金太阳联考,13)( x2- 1 ) 6 的展开式的中间项为 .
3x
20
答案 - x3
27
解析 ( x2- 1 ) 6 的展开式的中间项为 C3 (x2)3( - 1 ) 3 =− 20x3.
3x 6 3x 27
14.(2022河南中原名校4月联考,14)若在平面直角坐标系xOy中,直线x-y=2与直线x-
y=4分别被圆x2+y2=r2(r>0)截得的弦长之比为3∶1,则r= .
√35
答案
2
解析 圆x2+y2=r2的圆心(0,0)到直线x-y=2的距离为
|0-0-2| 2√r2-2 35 √35
=√2,则所截得的弦长为2√r2-2,同理,直线x−y=4被圆x2+ y2=r2截得的弦长为2√r2-8,由题意得 =3,解得r2= ,又r>0,所以r=
√12+(-1)2 2√r2-8 4 2
15.(2022东北三省三校二模,15)椭圆C:x2 y2
=1(a>b>0)的左焦点为点F,过原点O的直
+
a2 b2
线与椭圆交于P,Q两点,若∠PFQ=120°,|OF|=√3,|OP|=√7,则椭圆C的离心率为
.曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
√3
答案
3
解析 设椭圆C的右焦点为H,连接PH,QH,则由椭圆的对称性可知四边形PFQH为平行
四边形,设|PH|=m,|PF|=n,则|FQ|=m,∵∠PFQ=120°,∴∠FPH=60°,∵|OF|=
,在△PFQ中,|PQ|2=|PF|2+|FQ|2-2|PF||FQ|·cos
√3,|OP|=√7,∴|FH|=2√3,|PQ|=2√7
120°,即28=m2+n2+mn①.
在△PFH中,|FH|2=|PF|2+|PH|2-2|PF||PH|·cos 60°,即12=m2+n2-mn②.
由①-②得16=2mn,∴mn=8,
又∵28=m2+n2+mn=(m+n)2-mn=4a2-mn,
∴4a2=28+8=36.∴a2=9,即a=3.又∵c=|OF|=√3,
c √3
∴椭圆的离心率e= = .
a 3
16.(2022河南新乡二模,14)已知函数f(x)=mx-cos x在R上单调递增,则m的最小值为
.
答案 1
解析 由题可知f '(x)=m+sin x≥0在R上恒成立,则m≥-sin x恒成立,故m≥1.所以m的最
小值为1.
四、解答题
3 1
17.(2022河南开封模拟,17)已知数列{a }是公比不为1的等比数列,a =1,且a , a4, a
n 1 3 5
4 2
成等差数列.
(1)求数列{a }的通项公式;
n
(2)记b
n
=-log
2
a
n+1
,求数列{b
n
}的前n项和S
n
.
a
n+1
解析 (1)设等比数列{a }的公比为q,
n
1 3
由题意得a + a5=2× a ,即q2-3q+2=0,
3 4
2 4
解得q=2或q=1(舍去),
所以a =a qn-1=2n-1.
n 1
(2)由(1)得b
n
=-log
2
a
n+1=−
n ,
a 2n
n+1
所以S
n
=-(
1×
1
+2×
1
+3×
1
+…+n×
1 ),①
2 22 23 2n
