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专题十二 数系的扩充与复数的引入
基础篇
2. 考点 一 复数的概念与几何意义 复数的几何意义
1.
复数的有关概念
内容 概念
形如 ａ ｂ 的数叫做复数ꎬ其中 ａ 为实
复数 ＋ ｉ
部ꎬｂ为虚部
其中 ａ ｂ Ｒ 为虚数单位.
ꎬ ꎬ ∈ ꎬｉ
复数相等 ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ且ｂ ｄ
＋ ｉ＝ ＋ ｉ⇔ ＝ ＝
向量Ｏ→Ｚ的长度叫做复数 ｚ ａ ｂ 的模ꎬ 考点 二 复数的运算
＝ ＋ ｉ
复数的模 记作 ｚ 或 ａ ｂ ꎬ即 ｚ ａ ｂ
｜ ｜ ｜ ＋ ｉ｜ ｜ ｜ ＝ ｜ ＋ ｉ ｜ 设 ｚ ａ ｂ ｚ ｃ ｄ ａ ｂ ｃ ｄ Ｒ 则
１ ＝ ＋ ｉꎬ ２ ＝ ＋ ｉ( ꎬ ꎬ ꎬ ∈ )ꎬ
ａ２ ｂ２
＝ ＋ ｚ ｚ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ
复数ｚ ａ ｂ 的共轭复数为 ａ ｂ ꎬ记为 １± ２ ＝( ＋ ｉ)±( ＋ ｉ)＝ ( ± )＋( ± )ｉꎻ
共轭复数 ＝ ＋ ｉ － ｉ ｚ ｚ ａ ｂ ｃ ｄ ａｃ ｂｄ ｂｃ ａｄ
ｚꎬ即ｚ ａ ｂ １ ２ ＝( ＋ ｉ)( ＋ ｉ)＝ ( － )＋( ＋ )ｉꎻ
＝ － ｉ ｚ ａ ｂ ａｃ ｂｄ ｂｃ ａｄ
其中 ａ ｂ ｃ ｄ Ｒ 为虚数单位. １ ＋ ｉ ＋ － ｃ ｄ .
ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ∈ ꎬｉ ｚ ＝ｃ ｄ ＝ｃ２ ｄ２ ＋ｃ２ ｄ２ ｉ( ＋ ｉ≠０)
２ ＋ ｉ ＋ ＋
5
年
高
考
3
年
模
拟
A
版
高
考
数
学
３３８
综合篇
考法 复数代数形式的四则运算的解题方法 ( )
３＋２ｉ ｉ －２＋３ｉ ３ .故选 .
( ) ＝ ＝－１＋ ｉ Ｂ
复数的加法 减法 乘法运算可以类比多 －２ｉ ｉ ２ ２
、 、 答案
项式的加法 减法 乘法运算 除法运算的关键 Ｂ
、 、 ꎬ 例2 ( 全国乙理ꎬ ꎬ 分)已知 ｚ ꎬ
是分子 分母同乘分母的共轭复数 解题时要 ２０２２ ２ ５ ＝１－２ｉ
、 ꎬ 且 ｚ ａｚ ｂ ꎬ其中 ａꎬｂ 为实数ꎬ则 ( )
注意把 的幂写成最简形式.在进行复数的代 ＋ ＋ ＝０
ｉ ａ ꎬｂ ａ ꎬｂ
数运算时 记住以下结论 可提高计算速度. Ａ. ＝１ ＝－２ Ｂ. ＝－１ ＝２
ꎬ ꎬ ａ ꎬｂ ａ ꎬｂ
Ｃ. ＝１ ＝２ Ｄ. ＝－１ ＝－２
２ １＋ｉ １－ｉ 解析 由题意知 ｚ ꎬ所以 ｚ ａｚ ｂ
１)(１±ｉ) ＝±２ｉꎻ ＝ｉꎻ ＝－ｉꎻ ＝１＋２ｉ ＋ ＋ ＝１－２ｉ
１－ｉ １＋ｉ
ａ( ) ｂ ａ ｂ ( ａ ) ꎬ又 ｚ ａｚ ｂ ꎬ
ｂ ａ ａ ｂ ａ ｂ Ｒ ＋ １＋２ｉ ＋ ＝ ＋ ＋１＋ ２ －２ ｉ ＋ ＋ ＝０
２)－ ＋ ｉ＝ｉ( ＋ ｉ)( ꎬ ∈ )ꎻ
{ａ ｂ ꎬ
ｎ ｎ ｎ ｎ ｎ ｎ
４ ＋１ ４ ＋２ ４ ＋３ ４ ＋４ ４ ＋１ ４ ＋２ 所以ａ ｂ ( ａ ) ꎬ所以 ＋ ＋１＝０ 解得
３)ｉ ＝ｉꎬｉ ＝－１ꎬｉ ＝－ｉꎬｉ ＝１ꎬｉ ＋ｉ ＋
＋ ＋１＋ ２ －２ ｉ＝０ ａ ꎬ
４ ｎ ＋３ ４ ｎ ＋４ ｎ Ｎ. ２ －２＝０
ｉ ＋ｉ ＝０ꎬ ∈
{ａ ꎬ
例1 ( 全国甲ꎬ ꎬ 分)已知( )２ｚ ＝１ 故选 .
２０２１ ３ ５ １－ｉ ＝３＋ ｂ ꎬ Ａ
ꎬ则 ｚ ( ) ＝－２
２ｉ ＝ 答案
Ａ
３ ３ ３ ３
Ａ.－１－ ｉ Ｂ.－１＋ ｉ Ｃ.－ ＋ｉ Ｄ.－ －ｉ
２ ２ ２ ２
解 析 由 题 意 得 ｚ ３＋２ｉ ３＋２ｉ
＝ ( )２ ＝ ＝
１－ｉ －２ｉ
