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专题十五 机械振动 机械波
基础篇
考点 一 机械振动 ２．（ 江苏， ， 分）半径为 Ｒ 的圆盘边缘有
２０２１ ４ ４
一钉子 Ｂ 在水平光线下 圆盘的转轴 Ａ 和钉
１．（ 北京， ， 分）在如图所示的 ｘＯｙ 坐标 ， ，
２０２２ ６ ３
子 Ｂ 在右侧墙壁上形成影子 Ｏ 和 Ｐ 以 Ｏ
系中 一条弹性绳沿ｘ 轴放置 图中小黑点代 。
， ，
为原点在竖直方向上建立坐标系 ｔ 时从
表绳上的质点 相邻质点的间距为 ａ ｔ 。 ＝０
， 。 ＝０
图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘 角速
时 ｘ 处的质点 Ｐ 开始沿 ｙ 轴做周期为 ，
， ＝０ ０ 度为 ω 则 Ｐ 做简谐运动的表达式为
。
Ｔ 振幅为 Ａ 的简谐运动 ｔ ３Ｔ 时的波形如
、 。 ＝
（ ）
４
图所示 下列说法正确的是
。 （ ）
ｘ Ｒ ωｔ π ｘ Ｒ ωｔ π
Ａ． ＝ ｓｉｎ （ － ） Ｂ． ＝ ｓｉｎ （ ＋ ）
２ ２
ｘ Ｒ ωｔ π ｘ Ｒ ωｔ π
Ｃ． ＝２ ｓｉｎ （ － ） Ｄ． ＝２ ｓｉｎ （ ＋ ）
ｔ 时 质点 Ｐ 沿 ｙ 轴负方向运动 ２ ２
Ａ． ＝０ ， ０
答案 Ｂ 经过时间 ｔ Ｂ Ａ 连线绕圆心 Ａ 转
， 、
ｔ ３Ｔ 时 质点 Ｐ 的速度最大
Ｂ． ＝ ， ４ 过的角度 θ ωｔ 此时 ｘ Ｒ θ Ｒ θ
４ ＝ ， ＝ ｃｏｓ ＝ ｓｉｎ （ ＋
ｔ ３Ｔ 时 质点 Ｐ 和 Ｐ 相位相同 π Ｒ ωｔ π 正确
Ｃ． ＝ ， ３ ５ ）＝ ｓｉｎ （ ＋ ），Ｂ 。
４ ２ ２
ａ ３．（ 湖北， ， 分）如
该列绳波的波速为８ ２０２２ ５ ４
Ｄ． Ｔ
图所示 质量分别为 ｍ
，
和 ｍ 的小物块 Ｐ 和 Ｑ 用轻质弹簧连接后
答案 Ｄ 由图像知 ｔ ３ Ｔ 时 质点 Ｐ 的
２ ，
， ＝ ， ６
４ 放在水平地面上 Ｐ 通过一根水平轻绳连接
，
起振方向沿ｙ 轴正方向 则质点Ｐ 的起振方
， ０ 到墙上 Ｐ 的下表面光滑 Ｑ 与地面间的动
。 ，
向为 ｙ 轴正方向 错 ｔ ３Ｔ 时 质点 Ｐ 位 摩擦因数为 μ 最大静摩擦力等于滑动摩擦
，Ａ ； ＝ ， ４ ，
5 ４
力 用水平拉力将 Ｑ 向右缓慢拉开一段距
年
。
高
移为 Ａ 此时质点 Ｐ 速度为零 错 ｔ ３ Ｔ
考 3 ， ４ ，Ｂ ； ＝ ４ 离 ， 撤去拉力后 ， Ｑ 恰好能保持静止 。 弹簧
年 形变始终在弹性限度内 弹簧的劲度系数为
时 Ｐ 和 Ｐ 两质点运动方向相反 相位差为
模 ，
， ３ ５ ，
拟 ｋ 重力加速度大小为 ｇ 若剪断轻绳 Ｐ 在
， 。 ，
A π 错 在３Ｔ 时间内 绳波沿 ｘ 轴传播距离
，Ｃ ； ， 随后的运动过程中相对于其初始位置的最
版
２ ４
高 ａ ａ 大位移大小为
考 为 ａ 故波速 ｖ ６ ８ 对 （ ）
物 ６ ， ＝ ＝ Ｔ ，Ｄ 。
理 ３Ｔ
４
２４０
μｍｇ μｍｇ μｍｇ μｍｇ 平衡位置 故当ｘ 从 ． 到 ． 的过程
２ ４ ６ ， ０ ０５ ｍ ０ １５ ｍ
Ａ． ｋ Ｂ． ｋ Ｃ． ｋ Ｄ． ｋ
中 棒的动能先增大后减小 正确 同理可
， ，Ａ 。
答案 Ｃ 对 Ｑ 根据平衡条件有 ｋｘ μｍｇ
知 当ｘ 从 ． 到 ． 的过程中 棒从最
， ＝２ ，
， ０ ２１ ｍ ０ ２５ ｍ ，
μｍｇ
高点向平衡位置运动 加速度方向竖直向
则弹簧伸长量ｘ ２ 剪断轻绳后 Ｐ 的
，
＝ ｋ 。 ，
下 大小逐渐减小 正确 ｘ ． 与 ｘ
， ，Ｂ 。 ＝０ ３５ ｍ ＝
运动为简谐运动 故其最大位移为 ｘ
， ２ ＝ ． 时 棒竖直方向振动的速度大小相等
０ ４５ ｍ ， ，
μｍｇ
４ 即 正确 方向相反 但水平方向还有随河水运动的速
ｋ ， Ｃ 。 ，
度 故棒的速度方向不是相反的 错误 由
４．［ 湖南， （ ）， 分］（多选）下端附着 ， ，Ｃ 。
２０２２ １６ １ ５
Ｆ Ｆ
重物的粗细均匀木棒 竖直浮在河面 在重 Ｆ Ｆ ρｇＳ Ａ 解得 Ａ １ － ２ 正确 波
， ， １ － ２ ＝ ×２ ， ＝ ρｇＳ ，Ｄ 。
力和浮力作用下 沿竖直方向做频率为 ２
， １ Ｈｚ 是振动传播形成的 介质内 水 的质点并不
的简谐运动 与此同时 木棒在水平方向上 ， （ ）
； ， 随波迁移 而木棒沿ｘ 轴匀速运动 故棒的运
随河水做匀速直线运动 如图 所示 以 ， ，
， （ａ） 。 动不是机械横波 错误
木棒所受浮力 Ｆ 为纵轴 木棒水平位移 ｘ 为 ，Ｅ 。
， 思路分析
横轴建立直角坐标系 浮力 Ｆ 随水平位移 ｘ
， 图（ ）不是常见的振动图像，由于水流速度
ｂ
的变化如图 所示 已知河水密度为 ρ 木
（ｂ） 。 ， 恒定，故沿 ｘ 轴方向的位移可表征时间。 棒
棒横截面积为Ｓ 重力加速度大小为ｇ 下列
， 。 的振动是由重力与浮力的合力提供回复力，
说法正确的是
（ ） 而重力恒定，故浮力的变化周期等于振动周
期，再由浮力的极值来确定棒在竖直方向上
振动的对应位置即可。
５．［ 河北， （ ）， 分］如图 一弹簧振子
２０２１ １６ １ ４ ，
沿 ｘ 轴做简谐运动 振子零时刻向右经过 Ａ
，
点 时第一次到达 Ｂ 点 已知振子经过 Ａ
ｘ 从 ． 到 ． 的过程中 木棒的动 ，２ ｓ ， 、
Ａ． ０ ０５ ｍ ０ １５ ｍ ， Ｂ 两点时的速度大小相等 内经过的路程
能先增大后减小 ，２ ｓ
为 ． 则该简谐运动的周期为
ｘ 从 ． 到 ． 的过程中 木棒加速 ５ ６ ｍ， ｓ，
Ｂ． ０ ２１ ｍ ０ ２５ ｍ ， 振幅为
度方向竖直向下 大小逐渐变小 ｍ。
，
ｘ ． 和 ｘ ． 时 木棒的速度大
Ｃ． ＝０ ３５ ｍ ＝０ ４５ ｍ ，
小相等 方向相反
，
木棒在竖直方向做简谐运动的振幅 答案 ．
Ｄ． ４ ２ ８
Ｆ Ｆ 解析 振子经过 Ａ Ｂ 两点时的速度大小相
为 １ － ２ 、
ρＳｇ 等 Ａ Ｂ 两点关于 Ｏ 点对称 振子从 Ａ 向右
２ ， 、 ，
木棒的运动为向 ｘ 轴正方向传播的机械横 振动第 次回到 Ｂ 的时间与振子从 Ｂ 向左 专
Ｅ． １ 题
十
波 波速为 ． 振动第 次回到 Ａ 的时间相等 且两者时间 五
， ０ ４ ｍ／ｓ
１ ，
答案 ＡＢＤ 由图可知 ｘ 从 到 ． 的过 之和恰好为一个周期 故周期 Ｔ 内 机
， ０ ０ ２ ｍ ， ＝４ ｓ，２ ｓ 械
程中 浮力 Ｆ 从最大值减小到最小值 Ｆ 振
．
， ， ＝ 经过的路程恰好为 倍振幅 故振幅 Ａ ５ ６ 动
ρｇＳＨ 可知棒在竖直方向上从最低点运动到 ２ ， ＝
机
， ２
械
最高点 由对称性知 ｘ ． 时棒恰好经过 ． 波
， ＝０ １ ｍ ｍ＝２ ８ ｍ。
２４１
由图可知此时 Ｍ 处的质点正从波峰开始向
考点 二 机械波
下振动 则经过半个周期 质点到达波谷 Ｐ
， ，
１．（ 天津， ， 分）一列沿 ｘ 轴正方向传播 处 机械波的波速由介质决定 频率增大
２０２１ ４ ５ 。 ， ，
的简谐横波 传播速度 ｖ ｔ 时位 波长变短 但波速不变
， ＝１０ ｍ／ｓ， ＝０ ， 。
于坐标原点的质点从平衡位置沿ｙ 轴正方向 ３．［ 河北， （ ）］一列简谐横波沿 ｘ 轴正
２０２２ １６ １
运动 下列图形中哪个是 ｔ ． 时的波形 方向传播 波速为 在传播方向上有
， ＝０ ６ ｓ ， １０ ｍ／ｓ。
Ｐ Ｑ 两质点 坐标分别为 ｘ ｘ
（ ） 、 ， Ｐ ＝１ ｍ， Ｑ ＝６ ｍ。
波传播到 Ｐ 点开始计时 该点的振动图像如
，
图所示 则简谐波的波长为 经过
， ｍ，
Ｑ 点第一次到达正向最大位
ｓ，
Ａ Ｂ
移处
。
Ｃ Ｄ
答案 Ｂ 通过选项可以观察出简谐波的波
λ 答案 ．
长为 λ 根据 ｖ 可求得 Ｔ ． ２ ０ ５５
＝４ ｍ， ＝ Ｔ， ＝０ ４ ｓ。
解析 从振动图像可以看出周期 Ｔ ．
＝０ ２ ｓ，
根据波沿 ｘ 轴正方向传播 ｔ 时刻位于坐
， ＝０ 则波长λ ｖＴ Ｐ Ｑ 两质点相距 ｘ
＝ ＝２ ｍ； 、 Δ ＝５
标原点处的质点从平衡位置沿ｙ 轴正方向运
ｘ
则波传到 Ｑ 点用时 ｔ Δ ． Ｑ 点起
动 可知 ｔ 时刻的波形如 选项所示 ｍ， １ ＝ ｖ ＝０ ５ ｓ，
， ＝０ Ａ 。 ０
． 时间内 经历了 ． 个周期 波形向右 振后从平衡位置向上运动 第一次到达正向
～０ ６ ｓ ， １ ５ ， ，
传递了 ． 个波长 将波形向右平移 ． 个 Ｔ
１ ５ 。 １ ５ 最大位移处用时 ｔ ． 故 ｔ ｔ ｔ
波长 即坐标原点平移到坐标 ｘ 处 整 ２ ＝ ＝０ ０５ ｓ， ＝ １ ＋ ２ ＝
４
， ＝６ ｍ ，
．
个波形顺次右推 再将 至 间图形补充
０ ５５ ｓ。
， ０ ６ ｍ
完整 可知 正确 ４．［ 全国乙， （ ）， 分］介质中平衡位置
２０２２ ３４ １ ５
， Ｂ 。
２．［ 广东， （ ）， 分］如图所示 某同学 在同一水平面上的两个点波源Ｓ 和Ｓ 二者
２０２２ １６ １ ６ ， １ ２，
做简谐运动的振幅相等 周期均为 ． 当
握住软绳的一端周期性上下抖动 在绳上激
， ０ ８ ｓ。
，
Ｓ 过平衡位置向上运动时 Ｓ 也过平衡位置
发了一列简谐波 从图示时刻开始计时 经
。 ， １ ， ２
向上运动 若波速为 则由 Ｓ 和 Ｓ 发
过半个周期 ， 绳上 Ｍ 处的质点将运动至 。 ５ ｍ／ｓ， １ ２
出的简谐横波的波长均为 Ｐ 为
选填 Ｎ Ｐ 或 Ｑ 处 加快抖动 ｍ。
（ “ ”“ ” “ ”） 。 ，
波源平衡位置所在水平面上的一点 与 Ｓ
波的频率增大 波速 选填 增大
， １、
， （ “ ”
年 5 “ 减小 ” 或 “ 不变 ”）。 Ｓ ２ 平衡位置的距离均为 １０ ｍ， 则两波在 Ｐ 点
高 引起的振动总是相互 填 加强 或
考 （ “ ”
3 削弱 的 当 Ｓ 恰好在平衡位置向上运动
年 “ ”） ； １
模 时 平衡位置在 Ｐ 处的质点 填 向
拟 ， （ “
上 或 向下 运动
A
” “ ”） 。
版 答案 Ｐ 不变
答案 加强 向下
４
高
解析 质点只在平衡位置上下做简谐运动
考 λ
物 解析 由 ｖ 知 λ ｖＴ 两波源的频
理 而不会随波迁移 即 Ｍ 点不会运动到 Ｑ 处 ＝ Ｔ， ＝ ＝４ ｍ。
， ，
２４２
率相等 振动情况相同 Ｐ 点到 Ｓ Ｓ 的距离 内波源通过的路程为 ｓ Ａ
， ， １、 ２ （２）４ ｓ ＝４ ＝１６ ｃｍ
相等 波程差为 所以 Ｐ 点为振动加强点 由题图可知在 ｔ 时波源的起振方向向
， ０， 。 （３） ＝０
Ｐ 点到Ｓ 的距离ｓ ． λ 故Ｐ 处质点 上 则在 时ｘ ｖｔ 知ｔ 时该波刚
１ ＝１０ ｍ＝２ ５ ， ， ４ ｓ ＝ ＝２ ｍ， ＝４ ｓ
的振动情况与Ｓ 的振动情况相反 故Ｐ 处的 好传到位置为 的质点 且波源刚好回到
１ ， ２ ｍ ，
质点向下运动 平衡位置 因为该波沿ｘ 轴正方向传播 则有
。 ， ，
５．［ 全国甲， （ ）， 分］一平面简谐横波 如图所示的波形图
２０２２ ３４ １ ５ 。
以速度 ｖ 沿 ｘ 轴正方向传播 ｔ 时
＝２ ｍ／ｓ ， ＝０
刻的波形图如图所示
。
介质中平衡位置在坐标
原点的质点 Ａ 在 ｔ 时 ７．［ 全国甲， （ ）， 分］均匀介质中质
＝０ ２０２１ ３４ ２ １０
刻的位移 ｙ 该 点 Ａ Ｂ 的平衡位置位于 ｘ 轴上 坐标分别为
＝ ２ ｃｍ。 、 ，
波的波长为 频率为 和ｘ 某简谐横波沿 ｘ 轴正方向传
ｍ， Ｈｚ。 ０ Ｂ＝１６ ｃｍ。
ｔ 时刻 质点 Ａ 填 向上运动 播 波速为ｖ 波长大于 振幅
＝２ ｓ ， （ “ ” ， ＝２０ ｃｍ／ｓ， ２０ ｃｍ，
速度为零 或 向下运动 为ｙ 且传播时无衰减 ｔ 时刻Ａ Ｂ
“ ” “ ”）。 ０ ＝１ ｃｍ， 。 ＝０ 、
答案 ． 向下运动 偏离平衡位置的位移大小相等 方向相同
４ ０ ５ 、 ，
运动方向相反 此后每隔 ｔ ． 两者偏离
解析 由 ｔ 时刻质点 Ａ 的位移为 ｙ ， Δ ＝０ ６ ｓ
＝０ ＝ ２
平衡位置的位移大小相等 方向相同 已知
、 。
２Ａ 可知从坐标原点到 ｘ ． 处的 在 ｔ 时刻 ｔ 质点 Ａ 位于波峰 求
ｃｍ＝ ， ＝１ ５ ｍ
２ １ （ １＞０）， 。
从ｔ 时刻开始 质点Ｂ 最少要经过多长
距离为３λ 故λ 则ｆ ｖ ． 当ｔ （ⅰ） １ ，
， ＝４ ｍ， ＝ λ ＝０ ５ Ｈｚ。 时间位于波峰
８ ；
Ｔ 时质点 Ａ 的状态与 ｔ 时刻相同 ｔ 时刻质点 Ｂ 偏离平衡位置的位移
＝２ ｓ＝ ＝０ ， （ⅱ） １ 。
由波沿 ｘ 轴正方向传播可知 质点 Ａ 向下 答案 ． ．
， （ⅰ）０ ８ ｓ （ⅱ）－０ ５ ｃｍ
运动 解析 因 ｔ 时刻 Ａ 位于波峰 Ａ Ｂ 间水
。 （ⅰ） １ ， 、
６．（ 海南， ， 分）一列沿 ｘ 轴正方向传 平距离 ｘ λ 且波由 Ａ 向 Ｂ 传播 故
Δ ＝１６ ｃｍ＜ ， ，
２０２１ １６ １０
ｘ
播的简谐横波 其波源的平衡位置在坐标原
质点 Ｂ 到达波峰所需最短时间 ｔ Δ ．
， ： ＝ ｖ ＝０ ８ ｓ
点 波源在 内的振动图像如图 所
， ０～４ ｓ （ａ） 由 每隔 ｔ ． 两者偏离平衡位置
示 已知波的传播速度为 ． （ⅱ） “ Δ ＝０ ６ ｓ
， ０ ５ ｍ／ｓ。 的位移大小相等 方向相同 可知 Ｔ ｔ ．
、 ” ＝２Δ ＝１
２ ｓ
因波速 ｖ
＝２０ ｃｍ／ｓ
故波长 λ ｖＴ
图 图 ＝ ＝２４ ｃｍ
（ａ） （ｂ）
求这列横波的波长 由于 ｘ ２λ 故 Ｂ 的振动状态滞后 专
（１） ； Δ ＝１６ ｃｍ＝ ， 题
３ 十
求波源在 内通过的路程
五
（２） ４ ｓ ；
于 Ａ 的相位 φ ２ ４
在图 中画出 ｔ 时刻的波形图 ＝ ×２π＝ π 机
（３） （ｂ） ＝４ ｓ 。 ３ ３ 械
答案 见解析 振
ｔ 时刻 Ａ 质点的位移 ｙ ｙ
（１）２ ｍ （２）１６ ｃｍ （３） １ Ａ＝ ０ ＝１ ｃｍ 动
解析 由题图 可知 Ａ Ｔ
（１） （ａ） ＝４ ｃｍ， ＝４ ｓ 机
故 Ｂ 质点的位移 ｙ ｙ ４ ． 械
根据波长与波速的关系有 λ ｖＴ Ｂ＝ ０ ｃｏｓ π＝－０ ５ ｃｍ 波
＝ ＝２ ｍ ３
２４３
综合篇
拓展 一 振动的两种基本模型
１．（ 浙江 月选考， ， 分）如图所示 一
２０２２ ６ １１ ３ ，
根固定在墙上的水平光滑杆 两端分别固定
，
着相同的轻弹簧 两弹簧自由端相距 ｘ 套
， 。
在杆上的小球从中点以初速度 ｖ 向右运动
， 小球振动的固有频率是
Ａ． ４ Ｈｚ
小球将做周期为 Ｔ 的往复运动 则
， （ ） 小球做受迫振动时周期一定是
Ｂ． ４ ｓ
圆盘转动周期在 附近时 小球振幅显
Ｃ． ４ ｓ ，
著增大
小球做简谐运动
Ａ．
圆盘转动周期在 附近时 小球振幅显
Ｔ Ｄ． ４ ｓ ，
小球动能的变化周期为
著减小
Ｂ．
２
两根弹簧的总弹性势能的变化周期为 Ｔ 答案 Ｃ 小球振动的固有周期 Ｔ 则
＝４ ｓ，
Ｃ．
ｖ
小球的初速度为 时 其运动周期为 Ｔ 其固有频率为 ｆ １ ． 错误 小球
＝ Ｔ ＝０ ２５ Ｈｚ，Ａ ；
Ｄ． ， ２
２
做受迫振动时周期等于驱动力的周期 即等
答案 Ｂ 小球与弹簧接触前一段时间内速
，
于圆盘转动周期 不一定等于固有周期
度大小不变 因此 小球的运动不是简谐运
， ４ ｓ，Ｂ
， ，
错误 圆盘转动周期为 时 驱动力周期等
动 错误 动能和弹性势能都是标量 由对
； ４ ｓ ，
，Ａ ； ，
于振动系统的固有周期 小球发生共振现
称性知 小球动能与两根弹簧总弹性势能的
，
，
象 振幅显著增大 正确 错误
Ｔ
， ，Ｃ ，Ｄ 。
变化周期均为 故 错误 正确 若小球
， Ｃ ，Ｂ ； ３．（ 山东德州模拟， ）用图甲所示的装置
２ ２０２２ １２
ｖ 可以测量物体做匀加速直线运动的加速度
初速度为 由弹簧振子的模型特点知 球与 ，
， ，
用装有墨水的小漏斗和细线做成单摆 水平
２
，
弹簧的接触时间不变 因此周期不是 Ｔ 故
纸带中央的虚线在单摆平衡位置的正下方
， ２ ，
。
错误
物体带动纸带一起向左运动时 让单摆小幅
Ｄ 。
，
２．（ 天津河西质调， ）如图甲所示 一个有
度前后摆动 于是在纸带上留下径迹 图乙
２０２１ ４ ，
， 。
固定转动轴的竖直圆盘转动时 固定在圆盘 为某次实验中获得的纸带的俯视图 径迹与
， ，
上的小圆柱带动一个 形支架在竖直方向 中央虚线的交点分别为 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 用刻度尺
Ｔ 、 、 、 ，
振动 形支架的下面系着一个由弹簧和小 测出 Ａ Ｂ 间的距离为 ｘ Ｃ Ｄ 间的距离为
5 ，Ｔ 、 １； 、
年 球组成的振动系统 圆盘静止时 让小球做 ｘ 已知单摆的摆长为 Ｌ 重力加速度为 ｇ
高 。 ， ２。 ， ，
考
简谐运动 其振动图像如图乙所示 圆盘匀 则此次实验中测得物体的加速度为
3
， 。 （ ）
年
速转动时 小球做受迫振动 小球振动稳定
模
， ，
拟
时 下列说法正确的是
A ， （ ）
版
高
ｘ ｘ ｇ ｘ ｘ ｇ
考
物 （ ２ － １） （ ２ － １）
理 Ａ． ２Ｌ Ｂ． ２Ｌ
π ２π
２４４
ｘ ｘ ｇ ｘ ｘ ｇ 波形图 虚线为 ｔ 时的波形图 以下关
（ ２ － １） （ ２ － １） ， ２ ＝５ ｓ 。
Ｃ． ２Ｌ Ｄ． ２Ｌ 于平衡位置在 Ｏ 点处质点的振动图像 可能
４π ８π ，
答案 Ｂ 由题意可知 ＡＢ 段 ＢＣ 段 ＣＤ 段 正确的是
， 、 、 （ ）
的时间相等且都等于单摆的半周期 由匀变
，
æＴö
２
速直线运动规律得 ｘ ｘ ａç ÷ 其中 Ｔ
２ － １ ＝２ è ø ，
２
Ｌ
为单摆周期 则 Ｔ 联立解得 ａ
， ＝ ２π ｇ ， ＝
ｘ ｘ ｇ
（ ２ － １） 故 错误 正确
２Ｌ ， Ａ、Ｃ、Ｄ ，Ｂ 。
２π
拓展 二 波的传播方向和质点振动方向的互
判方法
Ａ Ｂ
１．（ 山东， ， 分）
２０２２ ９ ４
（多选）一列简谐横波
沿 ｘ 轴传播 平衡位置
，
位于坐标原点 Ｏ 的质点振动图像如图所示
。
Ｃ Ｄ
当 ｔ 时 简谐波的波动图像可能正确
＝ ７ ｓ ， 答案 ＡＣ 若波沿 ｘ 轴正方向传播 由图像
，
的是
（ ）
可知 ｎＴ ３Ｔ 当 ｎ 时 Ｔ 且 ｔ
， ＋ ＝３ ｓ， ＝０ ， ＝４ ｓ， １ ＝
４
时原点处的质点在平衡位置且正向 ｙ 轴
２ ｓ
正方向运动 故 错误 正确 若波沿 ｘ 轴
， Ｂ ，Ａ ；
Ｔ
负方向传播 由图像可知 ｎＴ 当 ｎ
， ， ＋ ＝３ ｓ， ＝
４
时 Ｔ 且 ｔ 时原点处的质点在
０ ， ＝１２ ｓ， １ ＝２ ｓ
平衡位置且正向 ｙ 轴负方向运动 故 错
， Ｄ
误 正确
，Ｃ 。
３．［ 联考（ ）， ］如图甲为一列简谐横
２０２１ Ｔ８ ２ ４
答案 ＡＣ 因为 ｔ 时位于原点 Ｏ 的质点
＝０ 波在 ｔ ． 时刻的波形图 Ｐ 点是平衡位
＝０ ２０ ｓ ，
在正向最大位移一半的位置 故该质点的振
置在 ｘ ． 处的质点 Ｑ 点是平衡位置在
，
＝１ ０ ｍ ，
æ ö
动方程为 ｙ ç２π ｔ π÷ 由图得 ｘ ． 处的质点 Ｍ 点是平衡位置在 ｘ
＝２０ ｓｉｎ è Ｔ · ＋ ø ｃｍ， ＝４ ０ ｍ ， ＝
６ ． 处的质点 图乙为质点 Ｍ 的振动图像
８ ０ ｍ ； 。
Ｔ 故 ｔ 时该质点的位置 ｙ 专
＝１２ ｓ， ＝７ ｓ ７ ＝２０ ｓｉｎ 下列说法正确的是 题
æ ö （ ） 十
ç２π π÷ 因该简谐波传播 五
è ×７＋ ø ｃｍ＝－１０ ３ ｃｍ，
１２ ６ 机
械
方向未知 故选 项
振
， Ａ、Ｃ 。
动
２．（ 山东， ， 分）（多选）一列简谐横波
２０２１ １０ ４ 机
械
沿 ｘ 轴传播 如图所示 实线为 ｔ 时的 该波沿 ｘ 轴负方向传播 波速为 波
， ， １ ＝２ ｓ Ａ． ， ４０ ｍ／ｓ
２４５
质点 Ｍ 与质点 Ｑ 的振动方向总是相同 λ
Ｂ． １２ 错误 由图可知λ 则ｖ
ｓ，Ｂ ； ＝１２ ｍ， ＝ Ｔ ＝１３
在 ． 时间内 质点Ｍ通过的路程为 ．
１３
Ｃ． ０４ ｓ ， １０ ｍ
正确 由同侧法可知ｔ 时 ｘ
在 ． 时间内 质点 Ｐ 向左前进 ． ｍ／ｓ，Ｃ ； ＝１ ｓ ， ＝６ ｍ
Ｄ． ０ ４ ｓ ， １６ ０ ｍ
处的质点沿 ｙ 轴正方向运动 错误
答案 Ａ 由图甲可知 这列波的波长 λ ，Ｄ 。
， ＝８
５．［ 课标 ， （ ）， 分］（多选）一简谐
λ ２０１９ Ⅰ ３４ １ ５
由图乙可知Ｔ ． 利用 ｖ 得 ｖ
ｍ， ＝０ ２ ｓ， ＝ Ｔ ＝４０ Ｔ
横波沿 ｘ 轴正方向传播 在 ｔ 时刻 该波
， ＝ ，
由图乙可知 ｔ ． 时 Ｍ 点向上振动 ２
ｍ／ｓ， ＝０ ２０ ｓ ，
的波形图如图 所示 Ｐ Ｑ 是介质中的两
结合图甲可知这列波向 ｘ 轴负方向传播 （ａ） ， 、
，Ａ
个质点 图 表示介质中某质点的振动图
正确 由图甲可知 质点 Ｑ 和质点 Ｍ 的平衡 。 （ｂ）
； ，
像 下列说法正确的是
λ 。 （ ）
位置相距 则它们的振动方向总相反 错
， ，Ｂ
２
误 在 ． 即 Ｔ 时间内 质点 Ｍ 通过的路
； ０ ４ ｓ ２ ，
程为 ． 错误 在波的传播过
２×０ ４ ｍ＝０．８ ｍ，Ｃ ；
程中 介质中的质点只在平衡位置附近振
，
动 不会随着波迁移 错误
， ，Ｄ 。
质点 Ｑ 的振动图像与图 相同
４．（ 湖北， ， 分）（多选）一列简谐横波沿 Ａ． （ｂ）
２０２１ １０ ４ 在 ｔ 时刻 质点 Ｐ 的速率比质点 Ｑ 的大
Ｂ． ＝０ ，
ｘ 轴传播 在ｔ 时刻和 ｔ 时刻的波形分
， ＝０ ＝１ ｓ 在 ｔ 时刻 质点 Ｐ 的加速度的大小比质
Ｃ． ＝０ ，
别如图中实线和虚线所示 已知 ｘ 处的质
。 ＝０ 点 Ｑ 的大
点在 内运动的路程为 ． 下列说
０～１ ｓ ４ ５ ｃｍ。 平衡位置在坐标原点的质点的振动图像
Ｄ．
法正确的是
（ ） 如图 所示
（ｂ）
在 ｔ 时刻 质点 Ｐ 与其平衡位置的距离
Ｅ． ＝０ ，
比质点 Ｑ 的大
Ｔ
答案 ＣＤＥ 由图 可知 在 时刻 该质
（ｂ） ， ，
２
点处于平衡位置且向 ｙ 轴负方向运动 再从
，
波沿 ｘ 轴正方向传播 图 中利用 上下坡法 结合波沿 ｘ 轴正
Ａ． （ａ） “ ”，
波源振动周期为 ． Ｔ
Ｂ． １ １ ｓ 方向传播可知 在 时刻 质点 Ｑ 在平衡位
， ，
波的传播速度大小为
２
Ｃ． １３ ｍ／ｓ
置且向 ｙ 轴正方向运动 平衡位置在原点处
ｔ 时 ｘ 处的质点沿 ｙ 轴负方向 ，
Ｄ． ＝１ ｓ ， ＝６ ｍ
的质点在平衡位置且向 ｙ 轴负方向运动 所
运动 ，
5
以 错误 正确 分析可知 在 ｔ 时刻
年 答案 ＡＣ 由题意 ｘ 处的质点在 Ａ ，Ｄ 。 ， ＝０ ，
高 ， ＝０ ０～１ ｓ
考 质点Ｐ 位于波谷 此时质点Ｐ 的速率为 加
内通过的路程为 ． 则结合图可知 ｔ ， ０，
3
４ ５ ｃｍ， ＝０
年 速度最大 位移最大 但质点 Ｑ 在平衡位置
模 时刻 ｘ 处的质点沿 ｙ 轴的负方向运动 由 ， ， ，
拟 ＝０ ， 速率最大 加速度为 位移为 所以 错
质点的振动方向和波的传播方向关系可知 ， ０， ０， Ｂ
A ， 误 和 均正确
版
该波的传播方向沿 ｘ 轴的正方向 正确 由 ，Ｃ Ｅ 。
，Ａ ；
高
考
物 题意可知 的时间间隔为１３Ｔ 解得 Ｔ
理 ，０～１ ｓ ， ＝
１２
２４６
负向传播 则３ λ ｎλ 故λ ２４ ｎ
拓展 三 波传播的多解性问题 ， ＋ ＝６ ｍ， ＝ ｎ ｍ（
４ ４ ＋３
１．（ 辽宁， ， 分）一列沿 ｘ 轴负方向传播
则波速 ｖ ６ ｎ
２０２１ ７ ４
＝０，１，２，…）， ＝ ｎ ｍ／ｓ（ ＝０，１，
的简谐横波 ｔ 时的波形如图 所示 ４ ＋３
， ＝２ ｓ （ａ） ，
当 ｎ 时 ｖ 当 ｎ 时 ｖ
ｘ 处质点的振动图像如图 所示 则 ２，…）， ＝０ ， ＝２ ｍ／ｓ， ＝１ ， ＝
＝２ ｍ （ｂ） ，
波速可能是 ６ 故 正确
（ ） ｍ／ｓ。 Ｂ、Ｃ 。
７
疑难突破
由于波的传播方向未知，故出现多解。 本题
难点是将相距 的两个质点放在一个波
６ ｍ
动图像中，确定出波长，再结合 ｖ λ／Ｔ 进行
＝
１ ２ ３ ４
计算。
Ａ． ｍ／ｓ Ｂ． ｍ／ｓ Ｃ． ｍ／ｓ Ｄ． ｍ／ｓ
５ ５ ５ ５
答案 Ａ 由图 可知 周期 Ｔ ｔ ３．（ 浙江 月选考， ， 分）（多选）位于
（ｂ） ， ＝４ ｓ， ＝２ ｓ ２０２２ ６ １６ ２
时 ｘ 处的质点位于平衡位置处 下一 ｘ ． 的波源 ｐ 从 ｔ 时刻开始振动 形
， ＝２ ｍ ， ＝０ ２５ ｍ ＝０ ，
时刻将沿 ｙ 轴负半轴向下运动 故有 ｎ 成的简谐横波沿 ｘ 轴正负方向传播 在 ｔ
， （２ ＋１） ， ＝
λ ． 时波源停止振动 ｔ ． 时的部分波
ｎ 解得 λ ４ ｎ ２ ０ ｓ ， ＝２ １ ｓ
＝２ ｍ（ ＝０，１，２，…）， ＝ ｎ ｍ（ 形如图所示 其中质点 ａ 的平衡位置 ｘ
２ ２ ＋１ ， ａ ＝
λ ． 质点 ｂ 的平衡位置 ｘ ． 下
则有 ｖ １ ｎ １ ７５ ｍ， ｂ ＝－０ ５ ｍ。
＝０，１，２，…）， ＝ Ｔ ＝ ｎ ｍ／ｓ（ ＝０，
２ ＋１ 列说法正确的是
（ ）
当 ｎ 时 ｖ １ 故选
１，２，…）， ＝２ ， ＝ ｍ／ｓ， Ａ。
５
２．（ 天津理综， ， 分）（多选）一列简谐横
２０１９ ７ ６
波沿 ｘ 轴传播 已知 ｘ 轴上 ｘ 和 ｘ
， １ ＝１ ｍ ２ ＝
处质点的振动图像分别如图 图 所 ．沿 ｘ 轴正负方向传播的波发生干涉
７ ｍ １、 ２ Ａ
示 则此列波的传播速率可能是 ．ｔ ． 时 波源的位移为正
， （ ） Ｂ ＝０ ４２ ｓ ，
．ｔ ． 时 质点 ａ 沿 ｙ 轴负方向振动
Ｃ ＝２ ２５ ｓ ，
．在 到 内 质点ｂ 运动总路程是 ．
Ｄ ０ ２ ｓ ， ２ ５５ ｍ
答案 ＢＤ 沿 ｘ 轴正负方向传播的波不会
叠加 不会发生干涉 错误 在 ｔ ． 波
， ，Ａ ； ＝２ ０ ｓ
． 源停止振动后 其振动形式在ｔ ． 时分别
Ａ．７ ｍ／ｓ Ｂ．２ ｍ／ｓ Ｃ．１ ２ ｍ／ｓ Ｄ．１ ｍ／ｓ ， ＝２ １ ｓ
向左和向右传至ｘ 和ｘ ． 处 由 ｘ
答案 ＢＣ 若波沿 ｘ 轴正向传播 则 １ λ ＝０ ＝０ ５ ｍ ， Δ ＝
， ＋ ｘ
４ ． ｔ ． 可知波速 ｖ Δ ．
专
０ ２５ ｍ、Δ ＝０ １ ｓ ＝ ｔ ＝２ ５ ｍ／ｓ，
题
ｎλ 故λ ２４ ｎ 由振 Δ 十
＝６ ｍ， ＝ ｎ ｍ（ ＝０，１，２，…）， 从题图中看出波长 λ 则波的周期 Ｔ 五
４ ＋１ ＝１ ｍ， ＝
动图像可知波的周期 Ｔ 故波速 ｖ λ ． 机
＝ ４ ｓ， ＝ ． ２ ０ ｓ 波源振动完整的 个周 械
ｖ ＝０ ４ ｓ， ． ＝５， ５ 振
０ ４ ｓ 动
６ ｎ 当 ｎ 时 ｖ
ｎ ｍ／ｓ（ ＝ ０， １， ２，…）， ＝１ ， ＝ 期后停止振动 停止振动前波源从负向位移
４ ＋１ ， 机
械
． 当 ｎ 时 ｖ 若波沿 ｘ 轴 回到平衡位置 则分析可知波源 ｐ 从 ｔ 时 波
１ ２ ｍ／ｓ， ＝０ ， ＝６ ｍ／ｓ。 ， ＝０
２４７
刻开始由平衡位置向上振动 ｔ ． 时 波
， ＝０ ４２ ｓ ， 同理 若 θ ５π 则周期 Ｔ 最大值为 由
， ＝－ ， ２ ｓ；
源正处于平衡位置上方向上振动 位移为
６
，
以上分析可见 错误 正确
正 正确 在ｔ ． 时质点ａ 位于波谷 与
，Ｃ ，Ｄ 。
，Ｂ ； ＝２ １ ｓ ，
５．［ 课标 ， （ ）， 分］（多选）一列简
Ｔ
ｔ ． 的时间间隔 ｔ′ ． 则ｔ ． ２０１８ Ⅲ ３４ １ ５
＝２ ２５ ｓ Δ ＝０ １５ ｓ＜ ， ＝２ 谐横波沿 ｘ 轴正方向传播 在 ｔ 和 ｔ
２ ， ＝ ０ ＝
时质点 ａ 沿 ｙ 轴正方向振动 错误 波 ． 时的波形分别如图中实线和虚线所
２５ ｓ ，Ｃ ； ０ ２０ ｓ
源 ｐ 从 ｔ 时刻开始振动 在 ｔ ． 时 质 示 已知该波的周期Ｔ ． 下列说法正
＝０ ， ＝０ ３ ｓ ， 。 ＞０ ２０ ｓ。
点 ｂ 开始振动 即在 到 内 质点 ｂ 运动 确的是
， ０ ２ ｓ ， （ ）
Ｔ
的时间为 ｔ ． Ｔ 质点 ｂ 运动总路
＝１ ７ ｓ＝４ ＋ ，
４
程 ｓ Ａ Ａ 则ｓ ． 正确
＝１７ ， ＝１５ ｃｍ， ＝２ ５５ ｍ，Ｄ 。
４．（ 天津理综， ， 分）（多选）一振子沿 ｘ
２０１８ ８ ６
轴做简谐运动 平衡位置在坐标原点 ｔ 波速为 ．
， 。 ＝０ Ａ． ０ ４０ ｍ／ｓ
时振子的位移为 ． ｔ 时位移为 波长为 ．
－０ １ ｍ， ＝ １ ｓ Ｂ． ０ ０８ ｍ
． 则 ｘ ． 的质点在 ｔ ． 时位于波谷
０ １ ｍ， （ ） Ｃ． ＝０ ０８ ｍ ＝０ ７０ ｓ
ｘ ． 的质点在 ｔ ． 时位于波谷
若振幅为 ． 振子的周期可能为２ Ｄ． ＝０ ０８ ｍ ＝０ １２ ｓ
Ａ． ０ １ ｍ， ｓ
若此波传入另一介质中其波速变为
３
Ｅ．
． 则 它 在 该 介 质 中 的 波 长 为
若振幅为 ． 振子的周期可能为４
０ ８０ ｍ／ｓ，
Ｂ． ０ １ ｍ， ｓ
５ ．
０ ３２ ｍ
若振幅为 ． 振子的周期可能为
Ｃ． ０ ２ ｍ， ４ ｓ 答案 ＡＣＥ 由图像可知 该波的波长 λ
， ＝
若振幅为 ． 振子的周期可能为
Ｄ． ０ ２ ｍ， ６ ｓ
． 错 误 ｔ ｎＴ １ Ｔ
答案 ＡＤ 简谐运动的位移方程为 ｘ Ａ １６ ｃｍ ＝ ０ １６ ｍ， Ｂ ； Δ ＝ ＋
＝ ·
２
æ ö
ｔ
ç２πｔ θ÷ 当振幅 Ａ ． 时 由 ｔ 时 ｎ 可得 Ｔ Δ ． 即
ｓｉｎè Ｔ ＋ ø， ＝０ １ ｍ ， ＝０ （ ＝０，１，２，…）， ＝ ＞ ０ ２０ ｓ，
ｎ １
＋
ｘ ． 得 θ π 由ｔ 时ｘ ． 有 ２
＝－０ １ ｍ ＝－ ； ＝１ ｓ ＝０ １ ｍ
．
２ ０ ２０ ｓ ． 解得ｎ Ｔ ． 波速 ｖ
æ ö ＞０ ２０ ｓ， ＝０， ＝０ ４０ ｓ， ＝
ç２π π÷ 则２π π ｋ π ｋ ｎ １
ｓｉｎè Ｔ － ø ＝１， Ｔ － ＝２ π＋ （ ＝０，１， ＋
２ ２ ２ ２
λ ．
ｋ 时 Ｔ ｋ 时 Ｔ ２ ０ １６ ． 正确 ｔ ．
２，…）， ＝ ０ ， ＝ ２ ｓ； ＝ １ ， ＝ ｓ； Ｔ ＝ ． ｍ／ｓ＝０ ４０ ｍ／ｓ，Ａ ；Δ １ ＝０ ７０ ｓ
３ ０ ４０
ｋ 时 Ｔ ２ 由以上分析可见 正确 Ｔ ３ Ｔ 即 从 ｔ 时 刻 开 始 到 ｔ
5 ＝２ ， ＝ ｓ， ，Ａ ，Ｂ ＝ ＋ ， ＝ ０ ＝
年 ５ ４
高 错误 当振幅 Ａ ． 时 由 ｔ 时 ｘ
考 。 ＝ ０ ２ ｍ ， ＝ ０ ＝ ． 时刻 ｘ ． 的质点振动了Ｔ ３Ｔ
3 ０ ７０ ｓ ， ＝０ ０８ ｍ ＋ ，
４
年 ． 得 θ π或 θ ５π 若 θ π 由 ｔ
模 －０ １ ｍ ＝－ ＝－ ； ＝－ ， ＝ 则可知ｔ ． 时 该质点位于波谷 正
拟 ６ ６ ６ ＝ ０ ７０ ｓ ， ，Ｃ
A 时 ｘ ． 有 æ ç２π π ö ÷ １ 则当２π 确 ｔ ． ３ Ｔ １Ｔ 则ｘ ． 的质
版 １ ｓ ＝ ０ １ ｍ ｓｉｎè Ｔ － ø ＝ ， Ｔ － ；Δ ２ ＝０ １２ ｓ＝ ＜ ， ＝０ ０８ ｍ
１０ ２
６ ２
高
点在ｔ ． 时位于平衡位置和波峰之间的
考 ＝０ １２ ｓ
物 π π时 Ｔ 当２π π ５ 时 Ｔ
理 ＝ ， ＝６ ｓ； Ｔ － ＝ π ， ＝２ ｓ； 某一位置 错误 机械波传入另一介质中
６ ６ ６ ６ ，Ｄ ； ，
２４８
其周 期 不 变 则 波 长 λ′ ｖ′Ｔ ． 解多解问题的方法
， ＝ ＝０ ３２ ｍ， Ｅ
正确 对于多解问题，一般先分析各种可能的情
。
疑难突破 况，写出通式，然后再由通式得到各种可能
的解。
专
题
十
五
机
械
振
动
机
械
波
２４９
应用篇
应用 多普勒效应的应用 超声波被血管中的血流反射后 探测器接
Ｂ． ，
收到的超声波频率发生变化
１．［ 海南单科， （ ）， 分］（多选）警车
２０１８ １６ １ ４
观察者听到远去的列车发出的汽笛声 音
向路上的车辆发射频率已知的超声波 同时 Ｃ． ，
， 调会变低
探测反射波的频率 下列说法正确的是
。 同一声源发出的声波 在空气和水中传播
Ｄ． ，
（ ） 的速度不同
车辆匀速驶向停在路边的警车 警车探测
Ａ． ， 天文学上观察到双星 相距较近 均绕它
到的反射波频率增高 Ｅ． （ 、
们连线上某点做圆周运动的两颗恒星 光
车辆匀速驶离停在路边的警车 警车探测 ）
Ｂ． ， 谱随时间的周期性变化
到的反射波频率降低
答案 ＢＣＥ 因为光速大于声速 所以雷雨
警车匀速驶向停在路边的汽车 探测到的 ，
Ｃ． ， 天传播相等距离时 先看到闪电 后听到雷
反射波频率降低 ， ，
声 不属于多普勒效应 错误 超声波被血
警车匀速驶离停在路边的汽车 探测到的 ， ，Ａ ；
Ｄ． ， 管中的血流反射后 由于血液流动使反射的
反射波频率不变 ，
波的频率发生改变 则探测器接收到的频率
答案 ＡＢ 车辆匀速驶向停在路边的警车 ，
， 发生变化 属于多普勒效应 正确 当列车
两者间距变小 产生多普勒效应 警车探测 ， ，Ｂ ；
， ， 远离观察者时 观察者听到的汽笛声的音调
到的反射波频率增高 故 正确 同理 错 ，
， Ａ ， Ｃ 会变低 属于多普勒效应 正确 同一声波
误 车辆匀速驶离停在路边的警车 两者间 ， ，Ｃ ；
； ， 在不同介质中传播的速度不同 不属于多普
距变大 产生多普勒效应 警车探测到的反 ，
， ， 勒效应 错误 天文学上观察双星 由于双
射波频率降低 故 正确 同理 错误 ，Ｄ ； ，
， Ｂ ， Ｄ 。 星周期性运动而使接收到的光的频率发生
２．［ 课标 ， （ ）， 分］（多选）在下列
２０２０ Ⅰ ３４ １ ５ 变化 即双星光谱随时间周期性变化 可用
现象中 可以用多普勒效应解释的有 ， ，
， （ ） 多普勒效应解释 正确
雷雨天看到闪电后 稍过一会儿才能听到 ，Ｅ 。
Ａ． ，
雷声
