北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
版
专题十二 数系的扩充与复数的引入
考点一 复数的概念与几何意义
1.(2021浙江,2,4分)已知a∈R,(1+ai)i=3+i(i为虚数单位),则a= ( )
A.-1 B.1 C.-3 D.3
答案 C 解题指导:先将等式左边化成a+bi(a,b∈R)的形式,然后利用复数相等的充要条件得出结果.
解析 由(1+ai)i=3+i,得-a+i=3+i,所以-a=3,即a=-3.故选C.
{a=c,
方法总结 设z=a+bi,z=c+di(a,b,c,d∈R),则z=z 的充要条件是
1 2 1 2 b=d.
2.(2022浙江,2,4分)已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i(i为虚数单位),则 ( )
A.a=1,b=-3 B.a=-1,b=3
C.a=-1,b=-3 D.a=1,b=3
答案 B ∵a+3i=bi+i2=-1+bi,∴a=-1,b=3.故选B.
3.(2022北京,2,4分)若复数z满足i·z=3-4i,则|z|= ( )
A.1 B.5 C.7 D.25
3−4i (3−4i)·(−i)
答案 B 由i·z=3-4i可知,z= = =-4-3i,故|z|=√(−4) 2+(−3) 2=5.故选B.
i i(−i)
2.(2022新高考Ⅰ,2,5分)若i(1-z)=1,则z+z= ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
1
答案 D 由题意知1-z= =-i,所以z=1+i,则z=1-i,所以z+z=(1+i)+(1-i)=2,故选D.
i
4.(2022全国乙文,2,5分)设(1+2i)a+b=2i,其中a,b为实数,则 ( )
A.a=1,b=-1 B.a=1,b=1
C.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1
答案 A 由题意知(a+b)+2ai=2i,
{a+b=0, { a=1,
所以 解得 故选A.
2a=2, b=−1,
5.(2022全国乙理,2,5分)已知z=1-2i,且z+az+b=0,其中a,b为实数,则 ( )
A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2
C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-2北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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答案 A 由题意知z=1+2i,所以z+az+b=1-2i+a(1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i,又z+az+b=0,所以
{a+b+1=0, { a=1,
a+b+1+(2a-2)i=0,所以 解得 故选A.
2a−2=0, b=−2,
6.(2021全国乙理,1,5分)设2(z+z)+3(z-z)=4+6i,则z= ( )
A.1-2i B.1+2i C.1+i D.1-i
答案 C 设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi,代入2(z+z)+3(z-z)=4+6i,得4a+6bi=4+6i,所以a=1,b=1,故
z=1+i.故选C.
7.(2019课标Ⅱ文,2,5分)设z=i(2+i),则z=( )
A.1+2i B.-1+2i
C.1-2i D.-1-2i
答案 D 本题主要考查复数的有关概念及复数的运算;考查学生的运算求解能力;考查数学运算的核心素
养.
∵z=i(2+i)=2i+i2=-1+2i,∴z=-1-2i,故选D.
解题关键 正确理解共轭复数的概念是求解的关键.
8.(2017课标Ⅲ文,2,5分)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案 C z=i(-2+i)=-2i+i2=-2i-1=-1-2i,所以复数z在复平面内对应的点为(-1,-2),位于第三象限.故选C.
9.(2017课标Ⅲ理,2,5分)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=( )
1 √2
A. B. C.√2 D.2
2 2
答案 C 本题考查复数的运算及复数的模.
2i 2i(1−i) 2(1+i)
∵(1+i)z=2i,∴z= = = =1+i.
1+i (1+i)(1−i) 2
∴|z|= = .
√12+12 √2
一题多解 ∵(1+i)z=2i,∴|1+i|·|z|=|2i|,即 ·|z|=2,∴|z|= .
√12+12 √2
10.(2017课标Ⅰ文,3,5分)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A.i(1+i)2 B.i2(1-i) C.(1+i)2 D.i(1+i)
答案 C 本题考查复数的运算和纯虚数的定义.
A.i(1+i)2=i×2i=-2;北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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B.i2(1-i)=-(1-i)=-1+i;
C.(1+i)2=2i;
D.i(1+i)=-1+i,故选C.
11.(2016课标Ⅰ理,2,5分)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=( )
A.1 B.√2 C.√3 D.2
答案 B ∵x,y∈R,(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi,
{x=1,
∴ ∴|x+yi|=|1+i|=√12+12=√2.故选B.
y=1,
评析 本题考查复数相等的条件,属容易题.
12.(2016课标Ⅰ文,2,5分)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=( )
A.-3 B.-2 C.2 D.3
答案 A ∵(1+2i)(a+i)=(a-2)+(2a+1)i,
∴a-2=2a+1,解得a=-3,故选A.
解后反思 将复数化为x+yi(x,y∈R)的形式,然后建立方程是解决问题的关键.
评析 本题主要考查复数的运算及复数的有关概念,将复数化为x+yi(x,y∈R)的形式是解题关键.
13.(2016课标Ⅱ文,2,5分)设复数z满足z+i=3-i,则z=( )
A.-1+2i B.1-2i C.3+2i D.3-2i
答案 C z=3-2i,所以z=3+2i,故选C.
z
14.(2016课标Ⅲ文,2,5分)若z=4+3i,则 =( )
|z|
4 3 4 3
A.1 B.-1 C. + i D. - i
5 5 5 5
z 4 3
答案 D 由z=4+3i得|z|=√32+42=5,z=4-3i,则 = - i,故选D.
|z| 5 5
2i
15.(2015安徽理,1,5分)设i是虚数单位,则复数 在复平面内所对应的点位于( )
1−i
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2i 2i(1+i) 2i
答案 B ∵ = =-1+i,∴复数 在复平面内所对应的点是(-1,1),它位于第二象限.
1−i 2 1−i
1+z
16.(2015课标Ⅰ理,1,5分)设复数z满足 =i,则|z|=( )
1−z
A.1 B.√2 C.√3 D.2北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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答案 A 由已知1+z=i,可得z=i−1= (i−1) 2 =−2i=i,∴|z|=|i|=1,故选A.
1−z i+1 (i+1)(i−1) −2
17.(2015湖北理,1,5分)i为虚数单位,i607的共轭复数为( )
····
A.i B.-i C.1 D.-1
答案 A ∵i607=i4×151+3=(i4)151·i3=-i,
∴i607的共轭复数为i.
18.(2014课标Ⅱ理,2,5分)设复数z,z 在复平面内的对应点关于虚轴对称,z=2+i,则zz=( )
1 2 1 1 2
A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i
答案 A 由题意得z=-2+i,∴zz=(2+i)(-2+i)=-5,故选A.
2 1 2
19.(2014重庆理,1,5分)复平面内表示复数i(1-2i)的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案 A i(1-2i)=i-2i2=2+i,对应复平面上的点为(2,1),在第一象限.选A.
1
20.(2014课标Ⅰ文,3,5分)设z= +i,则|z|=( )
1+i
1 √2 √3
A. B. C. D.2
2 2 2
答案 B z= 1 +i= 1−i +i= 1 + 1 i,因此|z|=√ (1) 2 (1) 2 =√1=√2,故选B.
+
1+i 2 2 2 2 2 2 2
21.(2013课标Ⅰ理,2,5分)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为( )
4 4
A.-4 B.- C.4 D.
5 5
5 5(3+4i) 3 4 4
答案 D ∵|4+3i|=√42+32=5,∴z= = = + i,虚部为 ,故选D.
3−4i 25 5 5 5
22.(2013课标Ⅱ文,2,5分)| 2 |=( )
1+i
A.2√2 B.2 C.√2 D.1
答案 C | 2 |=|2(1−i)|=|1-i|= .选C.
√2
1+i 2
2
23.(2012课标理,3,5分)下面是关于复数z= 的四个命题:
−1+i北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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p:|z|=2, p:z2=2i,
1 2
p:z的共轭复数为1+i, p:z的虚部为-1.
3 4
其中的真命题为( )
A.p,p B.p,p C.p,p D.p,p
2 3 1 2 2 4 3 4
2 2(−1−i)
答案 C z= = =-1-i,所以|z|=√2,p 为假命题;z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p 为真命题;z
−1+i (−1+i)(−1−i) 1 2
=-1+i,p 为假命题;p 为真命题.故选C.
3 4
评析 本题考查了复数的运算及复数的性质,考查了运算求解能力.
−3+i
24.(2012课标文,2,5分)复数z= 的共轭复数是( )
2+i
A.2+i B.2-i C.-1+i D.-1-i
−3+i (−3+i)(2−i) −5+5i
答案 D z= = = =-1+i,z=-1-i,故选D.
2+i (2+i)(2−i) 5
评析 本题考查了复数的运算,易忽略共轭复数而错选.
2+i
25.(2011课标理,1,5分)复数 的共轭复数是( )
1−2i
3 3
A.- i B. i C.-i D.i
5 5
2+i (2+i)(1+2i)
答案 C = =i,其共轭复数为-i,故选C.
1−2i (1−2i)(1+2i)
评析 本题考查复数的除法运算和共轭复数的概念,属容易题.
26.(2016课标Ⅱ,1,5分)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是( )
A.(-3,1) B.(-1,3)
C.(1,+∞) D.(-∞,-3)
{m+3>0, {m>−3,
答案 A 由已知可得 ⇒ ⇒-3<m<1.故选A.
m−1<0 m<1
方法总结 复数的实部、虚部分别是其在复平面内对应点的横坐标、纵坐标,所以研究复数在复平面内的
对应点的位置时,关键是确定复数的实部和虚部.
27.(2016山东,1,5分)若复数z满足2z+z=3-2i,其中i为虚数单位,则z=( )
A.1+2i B.1-2i
C.-1+2i D.-1-2i
答案 B 设z=a+bi(a、b∈R),则2z+z=2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3-2i,∴a=1,b=-2,∴z=1-2i,故选B.
28.(2019江苏,2,5分)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是 .北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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答案 2
解析 本题考查了复数的概念及运算,考查了学生的运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.
∵(a+2i)(1+i)=(a-2)+(a+2)i的实部为0,
∴a-2=0,解得a=2.
解题关键 掌握复数的有关概念及代数形式的四则运算是解题的关键.
29.(2017江苏,2,5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是 .
答案 √10
解析 本题考查复数的运算.
∵z=(1+i)(1+2i)=1+2i+i+2i2=3i-1,
∴|z|= = .
√32+(−1) 2 √10
30.(2016江苏,2,5分)复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是 .
答案 5
解析 (1+2i)(3-i)=3+5i-2i2=5+5i,所以z的实部为5.
31.(2016北京理,9,5分)设a∈R.若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a= .
答案 -1
解析 (1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i,∵a∈R,该复数在复平面内对应的点位于实轴上,∴a+1=0,∴a=-1.
32.(2015天津,9,5分)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为 .
答案 -2
解析 ∵(1-2i)(a+i)=2+a+(1-2a)i为纯虚数,
{1−2a≠0,
∴ 解得a=-2.
2+a=0,
33.(2015重庆理,11,5分)设复数a+bi(a,b∈R)的模为√3,则(a+bi)(a-bi)= .
答案 3
解析 复数a+bi(a,b∈R)的模为 = ,则a2+b2=3,则(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2-b2·i2=a2+b2=3.
√a2+b2 √3
考点二 复数的运算
1.(2021新高考Ⅰ,2,5分)已知z=2-i,则z(z+i)= ( )
A.6-2i B.4-2i C.6+2i D.4+2i
答案 C ∵z=2-i,∴z=2+i,
∴z(z+i)=(2-i)(2+i+i)=(2-i)(2+2i)=4+4i-2i-2i2=6+2i.故选C.北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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2.(2022新高考Ⅱ,2,5分)(2+2i)(1-2i)= ( )
A.-2+4i B.-2-4i C.6+2i D.6-2i
答案 D (2+2i)(1-2i)=2-4i+2i-4i2=6-2i,故选D.
3.(2022全国甲文,3,5分)若z=1+i,则|iz+3z|= ( )
A.4√5B.4√2C.2√5D.2√2
答案 D ∵z=1+i,∴iz=i-1,3z=3(1-i)=3-3i,
∴iz+3z=2-2i,∴|iz+3z|=2√2.故选D.
4.(2021全国甲理,3,5分)已知(1-i)2z=3+2i,则z=( )
3 3
A.-1- iB.−1+ i
2 2
3 3
C.- +iD.− -i
2 2
答案 B 解法一:由题意得z= 3+2i 3+2i (3+2i)·i −2+3i 3i.
= = = =−1+
(1−i) 2 −2i (−2i)·i 2 2
解法二:设z=a+bi(a,b∈R).
由(1-i)2z=3+2i得(1-i)2(a+bi)=3+2i,
∴-2i(a+bi)=2b-2ai=3+2i,
3 3
∴a=-1,b= ,∴z=-1+ i.故选B.
2 2
z
5.(2022全国甲理,1,5分)若z=-1+√3i,则 = ( )
zz−1
1 √3 1 √3
A.-1+√3iB.−1−√3iC.− + iD.− − i
3 3 3 3
答案 C 因为z=-1+ i,所以 z −1+√3i −1+√3i 1 √3i,故
√3 = = =− +
zz−1 (−1+√3i)(−1−√3i)−1 1+3−1 3 3
选C.
6.(2021全国乙文,2,5分)设iz=4+3i,则z= ( )
A.-3-4i B.-3+4i C.3-4i D.3+4i
答案 C 解题指导:解法一:直接用复数的除法运算求解;
解法二(待定系数法):利用方程思想求解.
解析 解法一:由题意得z=4+3i (4+3i)i 4i−3=3-4i,故选C.
= =
i i2 −1
