北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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6.2 平面向量的数量积及其应用
考点1 平面向量数量积的定义夹角及模的的问题
1.（2023全国甲文，3）已知向量 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
则 ， ，
所以 ，故选：B.
2.（2023全国乙文，6）正方形 的边长是2， 是 的中点，则 （ ）
A. B. 3 C. D. 5
【答案】B
【解析】方法一：以 为基底向量，可知 ，
则 ，
所以 ；
方法二：如图，以 为坐标原点建立平面直角坐标系，
则 ，可得 ，
所以 ；
方法三：由题意可得： ，北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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在 中，由余弦定理可得 ，
所以 .
故选：B.
3.(2022全国乙理,3,5分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=√3,|a-2b|=3,则a·b=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
答案 √3
C 由|a-2b|=3,可得|a-2b|2=a2-4a·b+4b2=9,又|a|=1,|b|= ,所以a·b=1,故选C.
4.(2015山东理,4,5分)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则⃗BD·⃗CD=( )
3 3 3 3
A.- a2 B.- a2 C. a2 D. a2
2 4 4 2
1 3
答案 D ⃗BD·⃗CD=(⃗BC+⃗CD)·⃗CD=⃗BC·⃗CD+⃗CD2= a2+a2= a2.
2 2
2√2
5.(2015重庆理,6,5分)若非零向量a,b满足|a|= |b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为( )
3
π π 3π
A. B. C. D.π
4 2 4
答案 A ∵(a-b)⊥(3a+2b),∴(a-b)·(3a+2b)=0⇒3|a|2-a·b-2|b|2=0⇒3|a|2-|a|·|b|·
cos <a,b>-2|b|2=0.
2√2 8 2√2 √2
又∵|a|= |b|,∴ |b|2- |b|2·cos <a,b>-2|b|2=0.∴cos <a,b>= .∵<a,b>∈[0,π],
3 3 3 2
π
∴<a,b>= .选A.
4北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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6.(2015重庆文,7,5分)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为( )
π π 2π 5π
A. B. C. D.
3 2 3 6
答案 C 因为a⊥(2a+b),所以a·(2a+b)=0,
得到a·b=-2|a|2,设a与b的夹角为θ,则cos θ= a·b =−2|a|2 =-1,又0≤θ≤π,所以θ=2π,故选C.
|a||b| 4|a|2 2 3
7.(2015课标Ⅱ文,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案 C 因为2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),所以(2a+b)· a=(1,0)·(1,-1)=1×1+0×(-1)=1.故选C.
8.(2015四川理,7,5分)设四边形ABCD为平行四边形,|⃗AB|=6,|⃗AD|=4.若点M,N满足⃗BM=3⃗MC,⃗DN=2
⃗NC,则⃗AM·⃗NM=( )
A.20 B.15 C.9 D.6
3 1 1 1 1
答案 C 依题意有⃗AM=⃗AB+⃗BM=⃗AB+ ⃗BC,⃗NM=⃗NC+⃗CM= ⃗DC- ⃗BC= ⃗AB- ⃗BC,所
4 3 4 3 4
以
⃗AM
·
⃗NM
=(⃗AB+ 3
⃗BC
)·(1
⃗AB−
1
⃗BC
)=1 ⃗AB2- 3 ⃗BC2=9.故选C.
4 3 4 3 16
9.(2015广东文,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,⃗AB=(1,-2),⃗AD=(2,1),则
⃗AD·⃗AC=( )
A.5 B.4 C.3 D.2
答案 A ∵四边形ABCD是平行四边形,∴⃗AC=⃗AB+⃗AD=(3,-1),∴⃗AD·⃗AC=2×3+1×(-1)=5.选A.
10.(2014课标Ⅱ,理3,文4,5分)设向量a,b满足|a+b|=√10,|a-b|=√6,则a·b=( )
A.1 B.2 C.3 D.5
答案 A ∵|a+b|=√10,∴a2+2a·b+b2=10.①
又|a-b|=√6,∴a2-2a·b+b2=6.②
①-②,得4a·b=4,即a·b=1,故选A.
11.(2014大纲全国文,6,5分)已知a、b为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案 B (2a-b)·b=2a·b-|b|2=2×1×1×cos 60°-12=0,故选B.
12.(2014大纲全国理,4,5分)若向量a、b满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=( )北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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√2
A.2 B.√2 C.1 D.
2
答案 B 由题意得
{ (a+b)·a=a2+a·b=0,
⇒-2a2+b2=0,即-2|a|2+|b|2=0,又|a|=1,∴|b|= .故选B.
√2
(2a+b)·b=2a·b+b2=0
13.(2016课标Ⅲ,3,5分)已知向量 =(1 √3), =(√3 1),则∠ABC=( )
⃗BA , ⃗BC ,
2 2 2 2
A.30° B.45° C.60° D.120°
答案 A cos∠ABC= ⃗BA·⃗BC =√3,所以∠ABC=30°,故选A.
|⃗BA|·|⃗BC| 2
思路分析 由向量的夹角公式可求得cos∠ABC的值,进而得∠ABC的大小.
14.(2022新高考Ⅱ,4,5分)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,则t= ( )
A.-6 B.-5 C.5 D.6
答案 C 由题意可得c=(3+t,4),
由<a,c>=<b,c>得cos<a,c>=cos<b,c>,
3(3+t)+4×4 3+t
即 = ,解得t=5,故选C.
5√(3+t) 2+42 √(3+t) 2+42
15.(2022北京,10,4分)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则
⃗PA·⃗PB的取值范围是 ( )
A.[-5,3] B.[-3,5]
C.[-6,4] D.[-4,6]
答案
D 解法一:取AB的中点D,
⃗PA·⃗PB
=(
⃗PC+⃗CA)·( ⃗PC+⃗CB)= ⃗PC2
+(
⃗CA+⃗CB)·
⃗PC+⃗CA·⃗CB=⃗PC2+2⃗CD·⃗PC=1+5×1×cos θ=1+5cos θ(θ为⃗CD与⃗PC的夹角),因为θ∈[0,π],
所以⃗PA·⃗PB∈[-4,6].
解法二:建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,3),B(-4,0),设P(cos θ,sin θ),θ∈[0,2π),
则⃗PA·⃗PB=(-cos θ,3-sin θ)·(-4-cos θ,-sin θ)
3
=cos2θ+4cos θ+sin2θ-3sin θ=1+4cos θ-3sin θ=1+5cos(θ+φ),其中tan φ= ,
4
因为θ∈[0,2π),所以⃗PA·⃗PB∈[-4,6].故选D.北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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16.(2019课标Ⅱ文,3,5分)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=( )
A.√2 B.2 C.5√2 D.50
答案 A 本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量模的计算;考查数学运算的核心素养.
∵a=(2,3),b=(3,2),∴a-b=(-1,1),∴|a-b|= = ,故选A.
√(−1) 2+12 √2
一题多解 ∵a=(2,3),b=(3,2),∴|a|2=13,|b|2=13,a·b=12,则|a-b|= = = .
√a2−2a·b+b2 √13−2×12+13 √2
故选A.
17.（2023课标II，13）已知向量 ， 满足 ， ，则 ______．
【答案】
【解析】法一：因为 ，即 ，
则 ，整理得 ，
又因为 ，即 ，则 ，所以 .
法二：设 ，则 ，
由题意可得： ，则 ，
整理得： ，即 .
18.(2021全国甲文,13,5分)若向量a,b满足|a|=3,|a-b|=5,a·b=1,则|b|= .
答案 3√2
解析 依题意可得|a-b|= =5,解得|b|=3 .
√(a−b) 2=√|a|2−2a·b+|b|2=√9−2+|b|2 √2
19.(2017课标Ⅰ理,13,5分)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .
答案 2√3
解析 本题考查向量数量积的计算.北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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1
由题意知a·b=|a|·|b|cos 60°=2×1× =1,则|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4a·b=4+4+4=12.
2
所以|a+2b|=2√3.
20.(2014重庆文,12,5分)已知向量a与b的夹角为60°,且a=(-2,-6),|b|=√10,则a·b= .
答案 10
解析 由a=(-2,-6),得|a|= =2 ,
√(−2) 2+(−6) 2 √10
∴a·b=|a||b|cos<a,b>=2√10×√10×cos 60°=10.
21.(2016北京文,9,5分)已知向量a=(1,√3),b=(√3,1),则a与b夹角的大小为 .
π
答案
6
a·b 1×√3+√3×1 √3
解析 ∵cos<a,b>= = = ,
|a|·|b| 2×2 2
π
∴a与b夹角的大小为 .
6
1
22.(2015浙江,13,4分)已知e,e 是平面单位向量,且e·e= .若平面向量b满足b·e=b·e=1,则|b|= .
1 2 1 2 1 2
2
2
答案 √3
3
1
解析 令e 与e 的夹角为θ,∴e·e=|e|·|e|cos θ=cos θ= ,又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.因为b·(e-e)=0,所以b与
1 2 1 2 1 2 1 2
2
1 2
e、e 的夹角均为30°,从而|b|= = √3.
1 2
cos30° 3
1
23.(2014课标Ⅰ理,15,5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若⃗AO= (⃗AB+⃗AC),则⃗AB与⃗AC的夹角为
2
.
答案 90°
1
解析 由⃗AO= (⃗AB+⃗AC)可知O为BC的中点,即BC为圆O的直径,又因为直径所对的圆周角为直角,所
2
以∠BAC=90°,所以⃗AB与⃗AC的夹角为90°.
24.(2014湖北文,12,5分)若向量⃗OA=(1,-3),|⃗OA|=|⃗OB|,⃗OA·⃗OB=0,则|⃗AB|= .
答案 2√5
解析 | |=| - |= ,
⃗AB ⃗OB ⃗OA √⃗OA2+⃗OB2−2⃗OB·⃗OA北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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∵| |=| |= = , · =0,
⃗OA ⃗OB √12+(−3) 2 √10⃗OA ⃗OB
∴|⃗AB|=√20=2√5,故答案为2√5.
25.(2019课标Ⅲ文,13,5分)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos<a,b>= .
√2
答案 -
10
解析 本题考查平面向量夹角的计算,通过向量的坐标运算考查学生的运算求解能力,体现运算法则与运算
方法的素养要素.
由题意知cos<a,b>= a·b =
2×(−8)+2×6
=-√2.
|a|·|b| √22+22×√(−8) 2+62 10
考点2.平面向量数量积的应用
1.（2023课标I，3）已知向量 ，若 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ， ，
由 可得， ，
即 ，整理得： ．
故选：D．
2.（2023全国甲理，4） 向量 ，且 ，则 （
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为 ,所以 ,即 ,即 ,
