北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
第五章 平面向量
§5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐
标表示
— 五年高考 —
考点1 平面向量的概念及线性运算
1.(2020新高考Ⅱ,3,5分)若D为△ABC的边AB的中点,则⃗CB= ( )
A.2⃗CD-⃗CA B.2⃗CA-⃗CD
C.2⃗CD+⃗CA D.2⃗CA+⃗CD
答案 A
2.(2017课标Ⅱ文,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则 ( )
A.a⊥b B.|a|=|b|
C.a∥b D.|a|>|b|
答案 A
以下为教师用书专用(1—5)
1.(2015课标Ⅰ理,7,5分)设D为△ABC所在平面内一点,⃗BC=3⃗CD,则 ( )
1 4 1 4
A.⃗AD=- ⃗AB+ ⃗AC B.⃗AD= ⃗AB- ⃗AC
3 3 3 3
4 1 4 1
C.⃗AD= ⃗AB+ ⃗AC D.⃗AD= ⃗AB- ⃗AC
3 3 3 3
4 4 1 4
答案 A ⃗AD=⃗AB+⃗BD=⃗AB+⃗BC+⃗CD=⃗AB+ ⃗BC=⃗AB+ (⃗AC-⃗AB)=- ⃗AB+ ⃗AC.故
3 3 3 3
选A.
2.(2014课标Ⅰ文,6,5分)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则⃗EB+⃗FC=( )
1 1
A.⃗AD B. ⃗AD C.⃗BC D. ⃗BC
2 2
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答案 A 设 =a, =b,则 =-1b+a, =-1a+b,从而 + =( 1 )+( 1 )
⃗AB ⃗AC ⃗EB ⃗FC ⃗EB ⃗FC - b+a - a+b
2 2 2 2
1
= (a+b)=⃗AD,故选A.
2
3.(2015课标Ⅱ理,13,5分)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ= .
1
答案
2
λ 1
解析 由于a,b不平行,所以可以以a,b作为一组基底,于是λa+b与a+2b平行等价于 = ,即
1 2
1
λ= .
2
4.(2015北京理,13,5分)在△ABC中,点M,N满足⃗AM=2⃗MC,⃗BN=⃗NC.若⃗MN=x⃗AB+y⃗AC,则
x= ,y= .
1 1
答案 ;-
2 6
解析 由⃗AM=2⃗MC知M为AC上靠近C的三等分点,由⃗BN=⃗NC知N为BC的中点,作出草
图如下:
1 1 2 1 1
则有⃗AN= (⃗AB+⃗AC),所以⃗MN=⃗AN-⃗AM= (⃗AB+⃗AC)- ·⃗AC= ⃗AB- ⃗AC,
2 2 3 2 6
1 1
又因为⃗MN=x⃗AB+y⃗AC,所以x= ,y=- .
2 6
1 2
5.(2013江苏,10,5分)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD= AB,BE= BC.若⃗DE=λ⃗AB
1
2 3
+λ⃗AC(λ,λ 为实数),则λ+λ 的值为 .
2 1 2 1 2
1
答案
2
1 2 1 2 1 2
解析 ⃗DE=⃗DB+⃗BE= ⃗AB+ ⃗BC= ⃗AB+ (⃗AC-⃗AB)=- ⃗AB+ ⃗AC,
2 3 2 3 6 3
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1 2 1
∵⃗DE=λ
1
⃗AB+λ
2
⃗AC,∴λ
1
=- ,λ
2
= ,故λ
1
+λ
2
= .
6 3 2
考点2 平面向量基本定理及坐标运算
1.(2017课标Ⅲ理,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切
的圆上.若⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AD,则λ+μ的最大值为 ( )
A.3 B.2√2 C.√5 D.2
答案 A
2.(2018课标Ⅲ文,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ= .
1
答案
2
3.(2019上海,9,5分)过曲线y2=4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2=4x交于A、B,A
在B上方,M为抛物线上一点,⃗OM=λ⃗OA+(λ-2)⃗OB,则λ= .
答案 3
以下为教师用书专用(1—7)
1.(2015课标Ⅰ文,2,5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量⃗AC=(-4,-3),则向量⃗BC= ( )
A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4)
答案 A 根据题意得⃗AB=(3,1),∴⃗BC=⃗AC-⃗AB=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A.
2.(2014北京文,3,5分)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b= ( )
A.(5,7) B.(5,9)
C.(3,7) D.(3,9)
答案 A 由a=(2,4)知2a=(4,8),所以2a-b=(4,8)-(-1,1)=(5,7).故选A.
3.(2014广东文,3,5分)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a= ( )
A.(-2,1) B.(2,-1) C.(2,0) D.(4,3)
答案 B b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1).故答案为B.
4.(2014福建理,8,5分)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是 ( )
A.e=(0,0),e=(1,2) B.e=(-1,2),e=(5,-2)
1 2 1 2
C.e=(3,5),e=(6,10) D.e=(2,-3),e=(-2,3)
1 2 1 2
答案 B 设a=ke+ke,
1 1 2 2
A选项,∵(3,2)=(k 2 ,2k 2
),∴{k
2
=3,
无解.
2k =2,
2
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B选项,∵(3,2)=(-k+5k,2k-2k),
1 2 1 2
∴{-k
1
+5k
2
=3, 解之得{k
1
=2,
2k -2k =2, k =1.
1 2 2
故B中的e,e 可把a表示出来.
1 2
同理,C、D选项同A选项,无解.
5.(2017山东文,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,则λ= .
答案 -3
解析 本题考查向量平行的条件.
∵a=(2,6),b=(-1,λ),a∥b,
∴2λ-6×(-1)=0,∴λ=-3.
6.(2016课标Ⅱ文,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m= .
答案 -6
m 4
解析 因为a∥b,所以 = ,解得m=-6.
3 -2
易错警示 容易把两个向量平行与垂直的条件混淆.
评析 本题考查了两个向量平行的充要条件.
π
7.(2014陕西,13,5分)设0<θ< ,向量a=(sin 2θ,cos θ),b=(cos θ,1),若a∥b,则tan θ= .
2
1
答案
2
π
解析 ∵a∥b,∴sin 2θ×1-cos2θ=0,∴2sin θcos θ-cos2θ=0,∵0<θ< ,∴cos θ>0,∴2sin θ=cos
2
1
θ,∴tan θ= .
2
— 三年模拟 —
A组 考点基础题组
考点1 平面向量的概念及线性运算
1.(2020河北廊坊第一次联考,6)在△ABC中,⃗BD=2⃗DC,E是AD的中点,则⃗AE= ( )
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1 1 1 1
A. ⃗AB+ ⃗AC B. ⃗AB- ⃗AC
6 3 3 6
1 1 1 1
C. ⃗AB- ⃗AC D. ⃗AB+ ⃗AC
6 3 3 6
答案 A
1
2.(2021广东韶关一模,3)在△ABC中,点M为AC上的点,且⃗AM= ⃗MC,若⃗BM=λ⃗BA+μ⃗BC,则
2
λ-μ的值是 ( )
1 1 2
A.1 B. C. D.
2 3 3
答案 C
3.(2020山东枣庄统考,6)如图,在△ABC中,点D,E是线段BC上两个动点,且⃗AD+⃗AE=x⃗AB+y
1 4
⃗AC,则 + 的最小值为 ( )
x y
3 5 9
A. B.2 C. D.
2 2 2
答案 D
考点2 平面向量基本定理及坐标运算
1.(2021湖北二模,8)在△ABC中,AB=4,AC=6,BC=5,点O为△ABC的外心,若⃗AO=λ⃗AB+μ⃗AC,则
λ+μ= ( )
2 3 4 5
A. B. C. D.
3 5 7 9
答案 C
2.(2021湖南岳阳一模,6)已知等边三角形ABC的边长为4,O为三角形内一点,且⃗OA+⃗OB+2
⃗OC=0,则△AOB的面积是 ( )
8√3 4√3
A.4√3 B. C. D.2√3
3 3
答案 D
3.(2019广东江门一模,7)△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,CD⊥AB,垂足为D,则⃗CD= ( )
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4 3 3 4
A. ⃗CA+ ⃗CB B. ⃗CA+ ⃗CB
7 7 7 7
16 9 9 16
C. ⃗CA+ ⃗CB D. ⃗CA+ ⃗CB
25 25 25 25
答案 C
4.(2021广东揭阳4月联考,7)在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,M,N分别是AB,AD上的动点,且满
足2|⃗AM|+|⃗AN|=1,设⃗AC=x⃗AM+y⃗AN,则2x+3y的最小值为 ( )
A.48 B.49 C.50 D.51
答案 B
B组 综合应用题组
时间 : 40 分钟 分值 : 55 分
一、单项选择题(每小题5分,共30分)
λ
1.(2021百校大联考第6次联考,9)已知向量a=(3,100),若λa=(3λ,2μ)(λ,μ∈R),则 =( )
μ
1 1
A.50 B.3 C. D.
50 3
答案 C
2.(2020湖南永州祁阳二模,8)△ABC中,点D在AB上,CD平分∠ACB,若⃗CB=a,⃗CA=b,|a|=2,|b|=3,
则⃗CD= ( )
1 2 2 1
A. a+ b B. a+ b
3 3 3 3
3 2 2 3
C. a+ b D. a+ b
5 5 5 5
答案 C
3.(2021山东烟台一模,6)平行四边形ABCD中,AB=4,AD=3,∠BAD=60°,Q为CD的中点,点P在
对角线BD上,且⃗BP=λ⃗BD,若⃗AP⊥⃗BQ,则λ= ( )
1 1 2 3
A. B. C. D.
4 2 3 4
答案 A
4.(2019河北3月质检,6)在△ABC中,O为△ABC的重心.若⃗BO=λ⃗AB+μ⃗AC,则λ-2μ= ( )
1 4 4
A.- B.-1 C. D.-
2 3 3
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答案 D
5.(2021广东深圳一模,8)骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动,深受大众喜
爱.如图是某一自行车的平面结构示意图.已知图中的圆A(前轮),圆D(后轮)的半径均为√3,
△ABE,△BEC,△ECD均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点,则在骑该自行车的过
程中,⃗AC·⃗BP的最大值为 ( )
A.18 B.24 C.36 D.48
答案 C
6.(2021重庆一模,7)五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系.在如
图所示的五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且|⃗PT|=√5-1,若 - =λ
⃗ES ⃗AP
|⃗AT| 2
⃗BQ(λ∈R),则λ= ( )
√5+1 √5-1 √5+1 1-√5
A. B. C.- D.
2 2 2 2
答案 D
二、多项选择题(每小题5分,共15分)
7.(2020山东省实验中学第二次诊断,11)关于平面向量a,b,c,下列说法中不正确的是 ( )
A.若a∥b且b∥c,则a∥c
B.(a+b)·c=a·c+b·c
C.若a·b=a·c,且a≠0,则b=c
D.(a·b)·c=a·(b·c)
答案 ACD
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1
8.(2021广东珠海一模,10)在△ABC中,D为AC上一点且满足⃗AD= ⃗DC,若P为BD上一点,且
3
满足⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AC(λ,μ为正实数),则下列结论正确的是 ( )
1
A.λμ的最小值为16 B.λμ的最大值为
16
1 1 1 1
C. + 的最大值为16 D. + 的最小值为4
λ 4μ λ 4μ
答案 BD
9.(2021福建三明三模,9)设P是△OAB内部的一点,以下可能成立的是 ( )
2 1 2 4
A.⃗OP= ⃗OA+ ⃗OB B.⃗OP= ⃗OA+ ⃗OB
5 5 5 5
2 1 2 4
C.⃗OP= ⃗OA+ ⃗AB D.⃗OP= ⃗OA+ ⃗AB
5 5 5 5
答案 AC
三、填空题(每小题5分,共10分)
10.(2021辽宁沈阳市郊联体一模,13)已知平面向量a=(3,4),非零向量b满足b⊥a,则满足条件
的一个向量b= .
答案 (4,-3)(答案不唯一)
11.(2019广东七校第二次联考,16)已知G为△ABC的重心,过点G的直线与边AB,AC分别相交
3
于点P,Q,若⃗AP= ⃗AB,则△ABC与△APQ面积的比值为 .
5
20
答案
9
— 一年原创 —
1.(2021 5·3原创题)在正六边形ABCDEF中,对角线BD,CF相交于点P.若⃗AP=x⃗AB+y⃗AF,则
x+y= ( )
5 7
A.2 B. C.3 D.
2 2
答案 B
2.(多选题)(2021 5·3原创题)三角形ABC中,AB=AC,D在线段BC上,⃗AC=⃗AB+λ⃗BD,下列说法
正确的是 ( )
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A.λ∈(0,1)
B.若⃗AD=m⃗AB+n⃗AC,则nλ=1
C.若∠BAC=120°,AD=BD,则λ=3
D.若λ=2,则⃗AD=⃗AB+⃗AC
答案 BC
3.(多选题)(2021 5·3原创题)下列命题正确的是( )
A.⃗AB-⃗AC+⃗BD-⃗CD=0
B.在△ABC中,若O点满足⃗OA+⃗OB+⃗OC=0,则O点是△ABC的重心
C.若a=(1,1),把a向右平移2个单位,得到的向量的坐标为(3,1)
D.在△ABC中,若
⃗CP
=λ( ⃗CA
+
⃗CB ),λ∈R,则P点的轨迹经过△ABC的内心
|⃗CA| |⃗CB|
答案 ABD
4.(2021 5·3原创题)如图,在△ABC中,M,N分别是边AB,AC的中点,点O是线段MN上异于端
点的一点,且满足λ⃗OA+3⃗OB+4⃗OC=0(λ≠0),则λ= .
答案 7
9 / 9
