北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
微专题四 立体几何中的结构不良问题
1.(2024石景山一模,17)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面
ABCD,PA=AD=CD=2,BC=3,PC=2√3.
(1)求证:CD⊥平面PAD;
(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求平面PBC与平面PAD所成锐
二面角的大小.
条件①:AB=√5;
条件②:BC∥平面PAD.
注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解
答,按第一个解答计分.
解析 (1)证明:连接AC,因为PA⊥平面ABCD,AC,CD 平面ABCD,所以
PA⊥AC,PA⊥CD.
⊂
又PC=2√3,PA=2,所以AC=2√2.
因为AD=DC=2,所以AC2=AD2+DC2,所以AD⊥CD,
又PA⊥CD,AD∩PA=A,AD,PA 平面PAD,
所以CD⊥平面PAD.
⊂
(2)选条件①.
AC2+BC2-AB2 8+9-5 √2
在△ABC中,由余弦定理的推论可得cos∠ACB= = = ,
2AC·BC 2×2√2×3 2
π π
因为∠ACB为三角形内角,所以∠ACB= ,又∠ACD= ,
4 4
π
所以∠BCD= ,即BC⊥CD.
2
以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系(x轴与DC平行),
由PA=AD=CD=2,BC=3,
可得A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),
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则⃗BC=(0,3,0),⃗CP=(-2,-2,2),⃗DC=(2,0,0).
易得平面PAD的一个法向量为⃗DC=(2,0,0),
设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),
{m·⃗BC=0, { 3 y=0,
则 即
m·⃗CP=0, -2x-2y+2z=0,
令z=1,则x=1,所以m=(1,0,1),
设平面PBC与平面PAD所成锐二面角为θ,
| m·⃗DC | | 2 | √2
则cos θ=|cos<m,⃗DC>|= = = ,
|m|·|⃗DC| √2·2 2
π
所以平面PBC与平面PAD所成锐二面角为 .
4
选条件②.
因为BC∥平面PAD,BC 平面ABCD,平面ABCD∩平面PAD=AD,则BC∥AD(线面平
行的性质定理),
⊂
π π
又∠ADC= ,则∠BCD= ,即BC⊥CD.
2 2
以A为坐标原点,建立空间直角坐标系A-xyz.
下同选条件①.
2.(2024海淀一模,17)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,M为BP的中点,AM∥平面
CDP.
(1)求证:BC=2AD.
(2)若PA⊥AB,AB=AP=AD=CD=1,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一
个作为已知,使四棱柱P-ABCD存在且唯一确定.
(i)求证:PA⊥平面ABCD;
(ii)设平面CDP∩平面BAP=l,求二面角C-l-B的余弦值.
条件①:BP=DP;
条件②:AB⊥PC;
条件③:∠CBM=∠CPM.
注:如果选择的条件不符合要求,第(i)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,
按第一个解答计分.
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解析 (1)取PC的中点N,连接MN,ND,
1
因为M为BP的中点,所以MN∥BC,MN= BC,
2
因为AD∥BC,所以AD∥MN,所以A,M,N,D四点共面,
因为AM∥平面CDP,平面AMND∩平面CDP=DN,AM 平面AMND,所以AM∥DN(线
面平行的性质定理),
⊂
所以四边形AMND为平行四边形,所以MN=AD,
所以BC=2AD.
(2)选条件①:BP=DP.
(i)证明:取BC的中点E,连接AE,AC,
由(1)知BC=2AD,所以EC=AD=1,
因为EC∥AD,所以四边形AECD是平行四边形,
1
所以AE=CD=1,所以AE= BC,
2
所以∠BAC=90°,即AB⊥AC.
因为BP=DP,AB=AD=1,PA=PA,所以△PAB≌△PAD,
所以∠PAB=∠PAD,因为AB⊥PA,所以∠PAB=90°,
所以∠PAD=90°,即AP⊥AD,
又因为AB∩AD=A,AB,AD 平面ABCD,
所以AP⊥平面ABCD.
⊂
(ii)由(i)知AP⊥平面ABCD,而AC 平面ABCD,
所以AP⊥AC,所以AB,AC,AP两两垂直.
⊂
建立空间直角坐标系A-xyz如图所示,
1 √3
√3 ,
则可得A(0,0,0),C(0, ,0),D -2 2 ,0 ,P(0,0,1),
( 1 √3 ) ( 1 √3 )
所以⃗CD= - ,- ,0 ,⃗PD= - , ,-1 ,⃗AC=(0,√3,0),
2 2 2 2
设平面PDC的法向量为m=(x,y,z),
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{- 1 x- √3 y=0,
{m·⃗CD=0, 2 2
则 即
m·⃗PD=0, 1 √3
- x+ y-z=0,
2 2
令x=√3,则y=-1,z=-√3,于是m=(√3,-1,-√3),
易知⃗AC为平面PAB的一个法向量,
⃗AC·m -√3 √7
所以cos<⃗AC,m>= = =- ,
|⃗AC|·|m| √3·√3+1+3 7
√7
由图可得二面角C-l-B的平面角为锐角,所以二面角C-l-B的余弦值为 .
7
选条件③:∠CBM=∠CPM.
(i)同选条件①得到AB⊥AC.
因为∠CBM=∠CPM,所以CB=CP,
因为AB=AP=1,CA=CA,所以△ABC≌△APC,
所以∠PAC=∠BAC=90°,即PA⊥AC,
因为PA⊥AB,AB∩AC=A,AB、AC 平面ABCD,
所以PA⊥平面ABCD.
⊂
(ii)同选条件①.
不可选条件②,理由如下:
同选条件①得到AB⊥AC,
又PA⊥AB,PA∩AC=A,PA、AC 平面PAC,
所以AB⊥平面PAC,又因为PC 平面PAC,
⊂
所以AB⊥PC,即AB⊥PC是由已知条件可推出的条件,
⊂
故不可选条件②.
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