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回扣 2 复数、平面向量
1．复数的相关概念及运算法则
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类
①z是实数⇔ b ＝ 0 ；
②z是虚数⇔ b ≠ 0 ；
③z是纯虚数⇔ a ＝ 0 且 b ≠ 0 .
(2)共轭复数
复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数＝ a － b i .
(3)复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝.
(4)复数相等的充要条件
a＋bi＝c＋di⇔ a ＝ c 且 b ＝ d (a，b，c，d∈R)．
特别地，a＋bi＝0⇔ a ＝ 0 且 b ＝ 0 (a，b∈R)．
(5)复数的运算法则
加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝ ( a ± c ) ＋ ( b ± d )i ；
乘法：(a＋bi)(c＋di)＝ ( ac － bd ) ＋ ( ad ＋ bc )i ；
除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝ ＋ i( c ＋ d i ≠ 0) ．(其中a，b，c，d∈R)
2．复数的几个常见结论
(1)(1±i)2＝±2i.
(2)＝i，＝－i.
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
3．平面向量基本定理
如果e ，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有
1 2
一对实数λ ，λ ，使a＝λe ＋λe.若e ，e 不共线，我们把{e ，e}叫做表示这一平面内所有
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向量的一个基底．
4．向量a与b的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)
叫做向量a与b的夹角．当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向．如果a与b的夹
角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
5．平面向量的数量积
(1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b＝ | a||b |·cos θ .(2)设a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a·b＝xx ＋ yy.
1 1 2 2 1 2 1 2
6．两个非零向量平行、垂直的充要条件
若a＝(x，y)，b＝(x，y)，则
1 1 2 2
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔xy － xy ＝ 0.
1 2 2 1
(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔xx ＋ yy ＝ 0.
1 2 1 2
7．利用数量积求长度
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
(2)若A(x，y)，B(x，y)，则
1 1 2 2
|AB|＝.
8．利用数量积求夹角
设a，b为非零向量，若a＝(x，y)，b＝(x，y)，θ为a与b的夹角，
1 1 2 2
则cos θ＝ ＝ .
9．三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则：
(1)O为△ABC的外心⇔|OA|＝|OB|＝|OC|＝.
(2)O为△ABC的重心⇔OA＋OB＋OC＝0.
(3)O为△ABC的垂心⇔OA·OB＝OB·OC＝OC·OA.
(4)O为△ABC的内心⇔aOA＋bOB＋cOC＝0.
1．复数z为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0(z＝a＋bi，a，b∈R)．还要注意巧妙运用参数
问题和合理消参的技巧．
2．复数的运算与多项式运算类似，要注意利用i2＝－1化简合并同类项．
3．若AP＝λ(λ∈(0，＋∞))，则点P的轨迹过△ABC的内心．
4．找向量的夹角时，需把向量平移到同一个起点，共起点容易忽视．
