北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
专题五 三角函数与解三角形
5.1 任意角与弧度制、三角函数的概念
考点 任意角与弧度制、三角函数的概念
1.(2022全国甲理,8,5分)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的
“会圆术”.如图,A´B是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是AB的中点,D在A´B上,CD⊥AB.“会圆术”给
CD2
出A´B的弧长的近似值s的计算公式:s=AB+ .当OA=2,∠AOB=60°时,s= ( )
OA
11−3√3 11−4√3 9−3√3 9−4√3
A. B. C. D.
2 2 2 2
答案 B 连接OC,如图.
∵C是AB的中点,OA=OB=2,∴OC⊥AB.
又∵CD⊥AB,
∴D,C,O三点共线.
∵∠AOB=60°,∴AB=2,OC=√3,CD=2-√3,
2
∴s=2+(2−√3) 11−4√3,故选B.
=
2 2
2.(2019北京文,8,5分)如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.图中
阴影区域的面积的最大值为( )
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A.4β+4cos β B.4β+4sin β
C.2β+2cos β D.2β+2sin β
答案 B 本题主要考查扇形面积、三角形面积公式及应用;主要考查学生的推理论证能力和运算求解能力;
考查的核心素养是数学运算.
由圆的性质易知,当|PA|=|PB|时,阴影部分的面积最大,其面积为△PAB的面积与弓形的面积之和.
作PD⊥AB于D点,由∠APB=β,知∠DOB=β(O为圆心).所以|OD|=2cos β,|PD|=2+2cos β,|AB|=4sin β.所以
1 1 1
S = ·|AB|·|PD|=4sin β(1+cos β).S =S -S = ·2β·22- ·4sin β·2cos β=4β-4sin β·
△PAB 2 弓形 扇形OAB △OAB 2 2
cos β.
故阴影部分的面积为S +S =4sin β+4sin βcos β+4β-4sin βcos β=4β+4sin β.故选B.
△PAB 弓形
思路分析 本题阴影部分由一个三角形与一个弓形构成,当β确定时,弓形面积是确定的,故三角形面积最大
时,阴影部分面积最大.
3.(2014大纲全国文,2,5分)已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α=( )
4 3 3 4
A. B. C.- D.-
5 5 5 5
答案 D 由三角函数的定义知cos α= −4 =-4.故选D.
√(−4) 2+32 5
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