北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
第四章 三角函数与解三角形
§4.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公
式
— 专题检测 —
一、单项选择题
2
1.(2021北京丰台一模,4)在平面直角坐标系xOy中,角α以Ox为始边,且sin α= .把角α的终边绕
3
端点O逆时针旋转π弧度,这时终边对应的角是β,则sin β=( )
2 2 √5 √5
A.- B. C.- D.
3 3 3 3
2 2
答案 A 由题意可知β=π+α,∵sin α= ,∴sin β=sin(π+α)=-sin α=- ,故选A.
3 3
π
2.(2021北京门头沟二模,6)“sin α=cos α”是“α=2kπ+ ,k∈Z”的 ( )
4
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B 若sin α=cos α,则sin α-cos α=0,即sin( π)=0,故α-π=kπ,k∈Z,解得α=π
α-
4 4 4
π π π π
+kπ,k∈Z,∵α= +kπ,k∈Z⇒/ α= +2kπ,k∈Z,α= +2kπ,k∈Z⇒α= +kπ,k∈Z,∴“sin α=cos α”是
4 4 4 4
π
“α=2kπ+ ,k∈Z”的必要不充分条件,故选B.
4
3.(2021北京平谷一模,10)某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm,秒针绕点O匀速旋转,
当时间t=0时,点A与钟面上标“12”的点B重合,当t∈[0,60]时,将A,B两点间的距离d(单位:cm)
表示成t(单位:s)的函数,则d等于 ( )
t t πt πt
A.5sin B.10sin C.5sin D.10sin
2 2 30 60
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t πt
答案 D 由题意可知,经过t秒,秒针转过的角度为∠AOB= ×2π= ,取AB的中点C,连接OC,
60 30
∠AOB πt
则根据直角三角形的性质可得d=|AB|=2|OA|sin∠AOC=2×5×sin =10sin .故选D.
2 60
4.(2021宁夏银川重点中学2月月考,5)已知tan x=sin( π),则sin x= ( )
x+
2
-1±√5 1-√3 √5-1 √3-1
A. B. C. D.
2 2 2 2
答案 C 因为tan x=sin( π),所以tan x=cos x,所以sin x=cos2x,即sin x=1-sin2x,即sin2x+sin
x+
2
-1±√5 √5-1
x-1=0,解得sin x= ,又-1≤sin x≤1,所以sin x= ,故选C.
2 2
5.(2021江西宜春重点中学第七次月考,3)如图是某品牌手机的商标图案,制作时以曲线段AB为分
2πR
界线,截去一部分图形而成,已知该分界线是一段半径为R的圆弧,若圆弧的长度为 ,则A,B两
3
点间的距离为( )
A.R B.√2R C.√3R D.2R
2
2π πR 2
答案 C 因为半径为R的圆弧的长度为 R,所以该圆弧所对的圆心角为3 = π.
3 3
R
π √3 √3
如图,∠AOD= ,在Rt△AOD中,AD=AO·sin∠AOD=R× = R,所以AB=2AD=√3R,即A,B两点间
3 2 2
的距离为√3R,故选C.
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6.(2021黑龙江牡丹江二模,6)角α的终边上一点P(a,2a)(a≠0),则2sin α-cos α= ( )
√5 √5
A. B.-
5 5
√5 √5 3√5 3√5
C. 或- D. 或-
5 5 5 5
{
√5
,a>0,
答案 D 由角α的终边上一点P(a,2a)(a≠0),得cos α= a = a = 5
√a2+(2a)2 √5|a| √5
- ,a<0,
5
{
2√5
,a>0, {
3√5
,a>0,
sin α= 2a = 2a = 5 所以2sin α-cos α= 5
√a2+(2a)2 √5|a| 2√5 3√5
- ,a<0, - ,a<0,
5 5
3√5
即2sin α-cos α=± ,故选D.
5
7.(2021贵州遵义五校2月模拟,5)已知α∈( π π),sin 2α=-24,则tan(π+α)=( )
- ,
4 4 25
3 3 4 3 3 4
A.- B.- 或- C. D. 或-
4 4 3 4 4 3
2sinαcosα 2tanα 24 3 4
答案 A sin 2α=2sin αcos α= = =- ,解得tan α=- 或- ,又∵α∈
sin2α+cos2α tan2α+1 25 4 3
( π π),∴tan α∈(-1,1),∴tan α=-3,∴tan(π+α)=tan α=-3.故选A.
- ,
4 4 4 4
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8.(2021广西桂林十八中3月模拟,6)在平面直角坐标系中,动点M在单位圆上按逆时针方向做匀
速圆周运动,第12分钟末刚好转动一周,若点M的初始位置的坐标为(1 √3),则运动到第3分
,
2 2
钟末时,动点M所在位置的坐标为( )
A.(√3 1) B.( 1 √3)
, - ,
2 2 2 2
C.( √3 1) D.( √3 1)
- , - ,-
2 2 2 2
3 π
答案 C 每12分钟转动一周,则运动到第3分钟末时,转过的角度为 ×2π= ,故点M的初始位
12 2
置的坐标为(1 √3),则运动到第3分钟末时动点M所处位置的坐标为( √3 1),故选C.
, - ,
2 2 2 2
9.(2021河南洛阳重点中学模拟,6)现有如下结论:①若点P(a,2a)(a≠0)为角α的终边上一点,则sin
2√5 1 √3 1 3 √5
α= ;②同时满足sin α= ,cos α= 的角有无数个;③设tan α= 且π<α< π,则sin α=- ;④
5 2 2 2 2 5
设cos(sin θ)·tan(cos θ)>0(θ为象限角),则θ是第一象限角,其中正确结论的序号为 ( )
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
2√5
答案 B 对于①,当角α的终边在第三象限时,sin α=- ,故①错误;
5
1 √3 π
对于②,同时满足sin α= ,cos α= 的角α为2kπ+ (k∈Z),有无数个,故②正确;
2 2 6
3 1 √5 2√5
对于③,因为π<α< π,tan α= ,所以sin α=- ,cos α=- ,故③正确;
2 2 5 5
对于④,因为cos(sin θ)·tan(cos θ)>0,cos(sin θ)>0恒成立,所以tan(cos θ)>0,即0<cos θ≤1,∴θ是第
一象限角或第四象限角,故④错误,综上可知选B.
10.(2021浙江绍兴新昌高三上期末,7)已知sin θ-cos θ=sin θcos θ,则角θ所在的区间可能是 (
)
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A.( π) B.(π π)
0, ,
4 4 2
C.(π 3π) D.(3π )
, ,π
2 4 4
答案 B 设t=sin θ-cos θ(-√2≤t≤√2),
则t2=1-2sin θcos θ,即t2=1-2t,所以t=√2-1>0.
所以{sinθ>cosθ, 所以θ∈(π π ),k∈Z,故选B.
+2kπ, +2kπ
sinθcosθ>0, 4 2
名师点睛 本题主要考查了三角恒等式的应用,三角函数在各象限内的符号,关键点是确定等号两
端式子的取值范围,考查了学生分析问题、解决问题的能力.
二、多项选择题
11.(2020山东师范大学附属中学第三次月考,12)在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点在原点O,
以x轴的非负半轴为始边,终边经过点P(1,m)(m<0),则下列各式的值恒大于0的是( )
sinα
A. B.cos α-sin α
tanα
C.sin αcos α D.sin α+cos α
答案 AB 本题考查了三角函数的定义,三角函数值的符号的判断,考查了逻辑推理的核心素养.
由题意知sin α<0,cos α>0,tan α<0.
sinα
选项A, >0;选项B,cos α-sin α>0;
tanα
选项C,sin αcos α<0;选项D,sin α+cos α的符号不确定.故选AB.
三、填空题
12.(2021北京顺义第二次统练,14)已知α是任意角,且满足cos( π)=sin α(k∈Z),则常数k
α+k·
6
的一个取值为 .
答案 -3(答案不唯一)
解析 ∵cos( π)=sin α(k∈Z),∴k·π=-π+2kπ(k∈Z),则k=-3+12k(k∈Z).本题答案不唯一.
α+k·
6 6 2
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13.(2021北京海淀一模,14)若实数α,β满足方程组{1+2cosα=2cosβ,则β的一个值是
√3+2sinα=2sinβ,
.
答案 0(答案不唯一)
1
{cosα=- +cosβ,
解析 ∵{1+2cosα=2cosβ, ∴ 2
√3+2sinα=2sinβ, √3
sinα=- +sinβ,
2
又cos2α+sin2α=1,∴( 1) 2 +( √3) 2 =1,整理得sin( π)=1,∴β+π=π+2kπ或β+π
cosβ- sinβ- β+
2 2 6 2 6 6 6
5π 2π
= +2kπ,k∈Z,∴β=2kπ或β= +2kπ,k∈Z,故可取β=0.本题答案不唯一.
6 3
14.(2021安徽马鞍山一模,14)在平面直角坐标系xOy中,点P(x,y)是单位圆O上第一象限内的点,
0 0
∠xOP=α,若cos(
α+
π)=-11,则x
0
的值为 .
3 14
1
答案
7
解析 因为点P(x,y)是单位圆O上第一象限内的点,∠xOP=α,所以α是第一象限角,且x=cos
0 0 0
α,y=sin α,
0
因为cos( π)=-11<0,所以α+π为第二象限角,
α+
3 14 3
所以sin( α+ π)=√ 1-cos2( α+ π)=5√3,
3 3 14
故x
0
=cos α=cos [(
α+
π)
-
π] =cos(
α+
π)cosπ+sin(
α+
π)sinπ=-11×1+5√3×√3=1.
3 3 3 3 3 3 14 2 14 2 7
15.(2021山西三市五校3月联考,14)已知cos(π )+sin(π )=1,则cos2(3 )+cos β-1
-α +β π+α
2 2 2
的取值范围为 .
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答案 [ 1 ]
- ,0
4
解析 由已知得cos β=1-sin α,∵-1≤cos β≤1,∴-1≤1-sin α≤1,即0≤sin α≤2,又-1≤sin α≤1,∴0≤sin
α≤1.由诱导公式可得cos2(3 )+cos β-1=sin2α+cos β-1=sin2α+1-sin α-1=sin2α-sin α=
π+α
2
( 1) 2 -1.当sin α=1时,上式取得最小值-1;当sin α=0或sin α=1时,上式取得最大值0,故
sinα-
2 4 2 4
所求代数式的取值范围为[ 1 ].
- ,0
4
7 / 7
