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专题4.2 任意角和弧度制及三角函数的概念-重难点题型精练
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022春•阳朔县校级月考）与﹣30°角终边相同的角的集合是（ ）
A．{ | ＝k⋅360°+30°，k Z} B．{ | ＝k⋅360°+330°，k Z}
C．{α|α＝k⋅360°﹣330°，∈k Z} D．{α|α＝k⋅360°﹣260°，∈k Z}
【解题αα思路】根据已知条件∈，结合终边相同的角的α定α义，即可求解． ∈
【解答过程】解：∵﹣30°＝330°﹣360°，
∴由终边相同的角的定义的可知，
﹣30°角终边相同的角的集合是{ | ＝k⋅360°+330°，k Z}．
故选：B． αα ∈
2．（5分）（2021春•浦东新区校级期中）下列说法中正确的是（ ）
A．第一象限角都是锐角
B．三角形的内角必是第一、二象限的
C．不相等的角终边一定不相同
D．不论是用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关
【解题思路】根据任意角与象限角的定义，对选项中的命题真假性判断即可．
【解答过程】解：对于A，第一象限的角不一定是锐角，所以A错误；
对于B，三角形内角的取值范围是（0， ），所以三角形内角的终边也可以在y轴正半轴上，所以B错
误； π
π 5π
对于C，不相等的角也可能终边相同，如 与 ，所以C错误；
2 2
对于D，根据角的定义知，角的大小与角的两边长度大小无关，所以D正确．
故选：D．
3．（5分）（2022春•桃源县月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．第二象限的角为钝角
B．第二象限的角必大于第一象限的角
C．﹣150是第二象限角
D．﹣252°16′、467°44′、1187°44′是终边相同的角
【解题思路】根据已知条件，结合象限角的定义，即可求解．
【解答过程】解：对于A，当角为510°时，该角为第二象限角，但非钝角，故A错误，对于B，分别设第一象限角为730°，第二象限角为510°，
但第一象限的角大于第二象限的角，故B错误，
对于C，﹣150°为第三象限角，故C错误，
对于D，﹣252°16′＝﹣252°16′+360°×0，467°44′＝﹣252°16′+360°×2，1187°44′＝﹣252°16′
+360°×4，
故﹣252°16′、467°44′、1187°44′是终边相同的角，故D正确．
故选：D．
4．（5分）（2022春•西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，角 以Ox为始边，若sin ＜cos ，且
tan ＞1，则 的终边位于（ ） α α α
A．α第一象限α B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解题思路】由题意画出图形，取交集得答案．
3π π
【解答过程】解：由sin ＜cos ，得− +2kπ＜ ＜ +2kπ，k Z．
4 4
α α α ∈
π π
由tan ＞1，得 +kπ＜α＜ +kπ，k Z．
4 2
α ∈
3π π
取交集，可得− +2kπ＜ ＜− +2kπ，k Z．
4 2
α ∈
∴ 的终边位于第三象限．
故α选：C．
4π 4π
5．（5分）（2022•凤阳县校级三模）在平面直角坐标系中，若角 的终边经过点P(sin ，cos )，
3 3
α
sin2α+1
则 =（ ）
cos2α
1 7 5
A．− B．− C．5 D．
2 2 2
√3 1
【解题思路】根据已知条件，可得点P的坐标为（− ，− ），再结合二倍角公式，以及“弦化
2 2切”公式，即可求解．
4π 4π
【解答过程】解：∵角 的终边经过点P(sin ，cos )，
3 3
α
√3 1 √3
∴点P的坐标为（− ，− ），∴tanα= ，
2 2 3
2
+1
sin2α+1 sin2α+sin2α+cos2α 2sin2α+cos2α 2tan2α+1 3 5
∴ = = = = = ．
cos2α cos2α−sin2α cos2α−sin2α 1−tan2α 1 2
1−
3
故选：D．
6．（5分）（2022春•昌江区校级期中）已知 是第二象限角，则（ ）
α α α
A． 是第一象限角 B．sin ＞0
2 2
C．sin2 ＜0 D．2 是第三或第四象限角
【解题思α路】由题意，利用象限角的定义和表示方α法，二倍角的正弦公式，得出结论．
π
【解答过程】解：∵ 是第二象限角，∴sin ＞0，cos ＜0，且 2k + ＜ ＜2k + ，k Z，
2
α α α π α π π ∈
π α π α
∴k + ＜ ＜k + ，k Z，故 为第一或第三象限角，故A错误；
4 2 2 2
π π ∈
α
由于sin 可为正数，也可为负数，故B错误；
2
由于san2 ＝2sin •cos ＜0，故C正确；
由于4k +α＜2 ＜α4k +α2 ，k Z，
故2 是π第π三或α第四象π限角π 或交∈的终边落在y轴的非正半轴上，故D错误，
故选α：C．
7．（5分）（2022春•琼海校级期末）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的
问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问
题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深
CD=2−√3，锯道AB＝2，则图中^ACB与弦AB围成的弓形的面积为（ ）π √3 2π π √3 π √3
A． − B． −√3 C． − D． −
2 2 3 3 2 3 3
【解题思路】设圆的半径为r，利用勾股定理求出r，再根据扇形的面积及三角形面积公式计算可得．
【解答过程】解：现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示，
用锯去锯这木材，若锯口深CD=2−√3，锯道AB＝2，
1
设圆的半径为r，则OD=r−CD=r−(2−√3)，AD= AB=1，
2
由勾股定理可得OD2+AD2＝OA2，即 ，
[r−(2−√3)] 2+1=r2
解得r＝2，所以OA＝OB＝2，AB＝2，
π 1 π √3 2π
所以∠AOB= ，因此S =S −S = × ×22− ×22= −√3．
3 弓形 扇形AOB △AOB 2 3 4 3
故选：B．
8．（5分）（2022春•湛江期末）如图，角 的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点A（x ，
1
α
2π
y ），角β=α+ 的始边与角 的始边重合，且终边与单位圆交于点B（x ，y ），记f（ ）＝y ﹣y .
1 2 2 1 2
3
α α
若角 为锐角，则f（ ）的取值范围是（ ）
α α
1 √3 1 3 √3 1 √3 3
A．(− ， ) B．(− ， ) C．(− ， ) D．(− ， )
2 2 2 2 2 2 2 2
【解题思路】根据三角函数的定义，可得 y ，y 表达式，根据两角和的正弦公式、辅助角公式，可得 f
1 2
（ ）的解析式，根据 的范围，结合正弦函数的性质，即可得答案．
α αy y 2π
【解答过程】解：由题意得sinα= 1 = y ，sinβ= 2 = y ，β=α+ ，
OA 1 OB 2 3
所 以
2π 1 √3 3 √3 π
f(α)= y −y =sinα−sinβ=sinα−sin(α+ )=sinα−(− sinα+ cosα)= sinα− cosα=√3sin(α− )
1 2 3 2 2 2 2 6
π
因为α∈(0， )，
2
π π π
所以α− ∈(− ， )，
6 6 3
π 1 √3
则sin(α− )∈(− ， )，
6 2 2
√3 3
所以f（ ）的取值范围是(− ， )．
2 2
α
故选：D．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022春•上饶期末）下列转化结果正确的有（ ）
17 1 11 √3
A．sin π= B．tan(− π)=−
6 2 6 3
7 π
C．﹣150°化成弧度是− π D． 化成度是15°
6 12
【解题思路】根据三角函数的诱导公式，以及弧度数和角度的转化公式，即可依次求解．
17 5 5 π 1
【解答过程】解：sin π=sin(2π+ π)=sin π=sin = ，故A正确，
6 6 6 6 2
11 π π √3
tan(− π)=tan( −2π)=tan = ，故B错误，
6 6 6 3
5
﹣150°化成弧度是− π，故C错误，
6
π
化成度是15°，故D正确．
12
故选：AD．
10．（5分）（2022春•安徽期中）下列结论正确的是（ ）
7π
A．− 是第三象限角
6
B．若角 为锐角，则角2 为钝角
α απ 3π
C．若圆心角为 的扇形弧长为 ，则该扇形面积为
3 2
π
3
D．若角 的终边过点P（﹣3，4），则cosα=−
5
α
【解题思路】由象限角的概念判断A；举例说明B错误；由扇形弧长与面积公式判断C；由任意角的三
角函数的定义判断D．
7π π
【解答过程】解：− =− − ，是第二象限角，故A错误；
6 6
π
π π
角 = 为锐角，角2 = 为锐角，故B错误；
6 3
α α
π π
圆心角为 的扇形弧长为 ，设半径为r，则 ⋅r=π，即r＝3，
3 3
π
1 3π
可得该扇形面积为 ⋅π⋅3= ，故C正确；
2 2
3
若角 的终边过点P（﹣3，4），则|OP|=√(−3) 2+42=5，得cosα=− ，故D正确．
5
α
故选：CD．
11．（5分）（2021秋•保定期末）已知 为锐角，角 的终边上有一点M（﹣sin ，cos ），x轴的正半
轴和以坐标原点O为圆心的单位圆的交θ点为N，则（α ） θ θ
π
A．若 （0，2 ），则α= +θ
2
α∈ π
π
B．劣弧^MN的长度为 +θ
2
α
C．劣弧^MN所对的扇形OMN的面积为是
2
D．sin +sin ＞1
【解题α思路】θ根据题意，结合诱导公式化简整理，可判断A的正误；根据弧长公式，可判断B的正误；
根据扇形面积公式，可判断C的正误；根据同角三角函数的关系，可判断D的正误，即可得答案．
π π π
【解答过程】解：A：（﹣sin ，cos ）＝（﹣cos（ − ），sin（ − ））＝（cos[ ﹣（ − ）]，
2 2 2
θ θ θ θ π θ
π π π π
sin[ ﹣（ − ）]）＝（cos（ + ），sin（ + ）），故 = + ，故A正确；
2 2 2 2
π θ θ θ α θ
π π
B：劣弧MN的长度为（ + ）×1= + ，故B正确；
2 2
θ θ1 α
C：只有当0＜ ＜2 时，扇形OMN的面积为S= ×1× = ，故C不正确；
2 2
α π α
π
D：sin +sin ＝sin（ + ）+sin ＝sin +cos ，
2
α θ θ θ θ θ
因为 为锐角，故（sin +cos ）2＝sin2 +cos2 +2sin cos ＞1，可得sin +cos ＞1．故D正确．
故选：θABD． θ θ θ θ θ θ θ θ
12．（5分）（2022春•赣州期中）在平面直角坐标系xOy中，圆心为O的单位圆与x轴正半轴的交点为
A，角 的终边与单位圆相交于点P，将点P沿单位圆按逆时针方向旋转角 后到点Q（a，b），
α β
π 2π
[0，2 ]，β∈[ ， ]，以下命题正确的是（ ）
6 3
α∈ π
3 4 4
A．若P( ， )，则tanα=
5 5 3
√2 √2
B．若sin(α+β)= ，则b=
2 2
3 4 √2 √2
C．若P( ， )，sin(α+β)= ，则cosβ=
5 5 2 5
π 1
D．若α= ，则1−2b2 ∈[−1， ]
6 2
【解题思路】由题意，利用任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式，正弦函数的定义域和值域，
逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
4
3 4 5 4
【解答过程】解：由题意，若P( ， )，则tan = = ，故A正确；
5 5 3 3
α 5
√2
∵b＝sin（ + ）= ，故B正确；
2
α β
3 4 3 4 π π π 11π
若P( ， )，则cos = ，sin = ， （ ， ），∴ + （ ， ）．
5 5 5 5 6 4 3 12
α α α∈ α β∈
√2 3π 3π π √2
∵sin(α+β)= ，∴ + = ，∴cos（ + ）＝cos =−cos =− ，
2 4 4 4 2
α β α β
√2 3 √2 4 √2
则cos ＝cos[（ + ）﹣ ]＝cos（ + ） cos +sin（ + ） sin =− × + × = ，故C错误；
2 5 2 5 10
β α β α α β α α β α
π π 5π 1
若α= ，则 + （ ， ），b＝sin（ + ） [ ，1]，
6 3 6 2
α β∈ α β ∈1
则1−2b2 ∈[−1， ]，故D正确，
2
故选：ABD．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
θ θ θ
13．（5分）（2022春•黄浦区校级期中）已知 是第三象限角，且满足|sin |=sin ，则 的终边在第
2 2 2
θ
二 象限．
θ θ θ
【解题思路】由 是第三象限角，可得 为第二或第四象限角，结合|sin |＝sin 求得答案．
2 2 2
θ
3π
【解答过程】解：∵ 是第三象限角，∴ +2k ＜ ＜ +2k ，k Z，
2
θ π π θ π ∈
π θ 3π θ
则 +k ＜ ＜ +k ，k Z，即 为第二或第四象限角，
2 2 4 2
π π ∈
θ θ
又|sin |＝sin ，
2 2
θ
∴ 为第二象限角，
2
故答案为：二．
14．（5 分）（2021 秋•上期末）已知扇形的圆心角为 ，其弧长是其半径的 2 倍，则
θ
sinθ |cosθ| |tanθ|
+ + = ﹣ 1 ．
|sinθ| cosθ tanθ
【解题思路】先求出角 ，在判断所在的象限，即可化简．
θ l
【解答过程】解：圆心角 = =2，
r
θ
π
∵ ＜2＜ ，
2
π
∴sin ＞0，cos ＜0，tan ＜0，
sθinθ |cθosθ| |tθanθ|
∴ + + =1﹣1﹣1＝﹣1，
|sinθ| cosθ tanθ
故答案为：﹣1.
15．（5分）（2022春•锦州期末）已知角 的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线
α
3π 8
y＝﹣2x上，则cos2 ( +α)+sin(π+2α)= ．
2 5
【解题思路】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得 tan 的值，进而利用诱导公式，同角三角函
α数基本关系式以及二倍角公式即可化简求解．
【解答过程】解：在直线y＝﹣2x上任取一点P（m，﹣2m）（m≠0），
由已知角 的终边在直线y＝﹣2x上，
α−2m
所以tan = =−2，
m
α
3π
所 以 cos2 ( +α)+sin(π+2α)=sin2 ﹣ sin2
2
α α
sin2α−2sinαcosα tan2α−2tanα 4−2×(−2) 8．
= = = =
sin2α+cos2α tan2α+1 4+1 5
8
故答案为： ．
5
16．（5分）（2022春•沙坪坝区校级期中）某同学欲为台灯更换一种环保材料的灯罩，如图所示，该灯罩
是一个有上底面无下底面的圆台．经测量，灯罩的上底面直径为18cm，下底面直径为34cm，灯罩的侧
2π
面展开图是一个圆心角为 的扇环，则新灯罩所需环保材料的面积为 70 5 cm2．（结果保置 ）
3
π π
【解题思路】作出圆台轴截面图象和侧面展开图，找到边长对应关系，再结合扇形面积和圆的面积公式，
即可求解．
【解答过程】解：如图为圆台轴截面：
如图为圆台侧面展开图：圆台上底面半径为r ＝9，下底面半径为r ＝17，
1 2
2πr 2πr
l = 1=3r l = 2=3r
1 2 1， 2 2 2，
π π
3 3
则扇形面积为 r l ﹣ r l ＝ （r •3r ﹣r •3r ） 624 ，
22 11 2 2 1 1 =3π(r2−r2 )=3π(172−92 )=
2 1
π π π π
则新灯罩所需环保材料的面积为： 705 ．
624π+πr2=624π+81π=
1
π
故答案为：705 ．
π
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2021秋•定西校级月考）已知sin ＜0，tan ＞0．
（1）求 角的集合； θ θ
θθ
（2）求 终边所在象限；
2
θ θ θ
（3）试判断sin cos tan 的符号．
2 2 2
【解题思路】（1）由已知可得 为第三象限角，即解得 角的集合．
θ πθ 3π θ
（2）由（1）可得： （k + ，k + ），k Z，分k是偶数，奇数时，讨论即可得解．
2 2 4
∈ π π ∈
θ θ θ
（3）利用条件判断角的范围，然后判断sin cos tan 的符号．
2 2 2
【解答过程】解：（1）∵sin ＜0，
θ∴ 为第三、四象限角或在y轴的负半轴上，
∵θtan ＞0，
∴ 为θ第一、三象限角，
θ 3π
∴ 为第三象限角，即 角的集合为：{ |2k + ，2k + ，k Z}．
2
θ θ θ π π π ∈
θ π 3π
（2）由（1）可得： （k + ，k + ），k Z，
2 2 4
∈ π π ∈
θ
当k是偶数时， 在第二象限，
2
θ
当 k是奇数时， 在第四象限，
2
θ π 3π
（3）∵ （k + ，k + ），
2 2 4
∈ π π
θ
∴当k是偶数时， 在第二象限，
2
θ θ θ θ θ θ
则tan ＜0，sin ＞0，cos ＜0．可得：sin cos tan ＞0，
2 2 2 2 2 2
θ
当 k是奇数时， 在第四象限，
2
θ θ θ θ θ θ
则tan ＜0，sin ＜0，cos ＞0．可得：sin cos tan ＞0，
2 2 2 2 2 2
θ θ θ
综上，sin cos tan ＞0．
2 2 2
18．（12分）（2022春•平罗县校级月考）已知 ＝﹣1090°．
（1）把 写成 +k•360°（k Z，0°≤ ＜360°）α 的形式，并指出它是第几象限角
（2）写出α与 终β边相同的角∈ 构成的β集合S，并把S中适合不等式﹣360°≤ ＜360°的元素 写出来．
【解题思路】α（1）利用终边相θ 同的角的表示方法，把角 写成 +k•360°（θk Z，0°≤ ＜3θ60°）的形式，
然后指出它是第几象限的角； α β ∈ β
（2）利用终边相同的角的表示方法，通过k的取值，求出 ，且﹣360°≤ ＜360°．
【解答过程】解：（1）∵﹣1090°＝﹣4×360°+350°，270°＜θ350°＜360°，θ
∴把角 写成 +k•360°（k Z，0°≤ ＜360°）的形式为：﹣1090°＝﹣4×360°+350°，
它是第四α象限的β角． ∈ β
（2）∵ 与 的终边相同，
∴令 ＝θk•36α0°+350°，k Z，
θ ∈∴S＝{ | ＝k•360°+350°，k Z}
当k＝﹣θ1θ，0，满足题意， ∈
得到 ＝﹣10°，350°
19．（1θ2分）（2021秋•张家口期末）已知扇形的圆心角是 ，半径为r，弧长为l．
（1）若 ＝135°，r＝10，求扇形的弧长l； α
（2）若扇α形AOB的周长为22，当扇形的圆心角 为多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求出此时扇
形面积的最大值． α
【解题思路】（1）由已知结合扇形的面积公式即可直接求解；
（2）结合扇形周长可得l与r的关系，然后结合二次函数性质可求扇形面积的最大值及此时的 ．
3π 3π 15π α
【解答过程】解：（1）若 = ，r＝10，求扇形的弧长l＝ r= ×10= ；
4 4 2
α α
（2）由题意得l+2r＝22，
1 121 11
则S= lr＝（11﹣r）r＝﹣r2+11r= −（r− ）2，
2 4 2
11 121
根据二次函数的性质可知，当r= 时，扇形面积取得最大值 ，
2 4
l
又l＝22﹣2r＝11， = =2．
r
α
20．（12分）（2022•成都开学）在平面直角坐标系xOy中，角 、 的顶点和始边分别与坐标原点O和x
α β
1
轴的非负半轴重合，角 （如图所示）的终边与单位圆的交点A的纵坐标为 ．
3
α
（1）求cos 与sin 的值；
（2）若角 α的终边α位于第三象限，且与角 的终边相互垂直，求tan 的值．
β α β
【解题思路】（1）由题意首先利用点的坐标确定sin 的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求
cos 的值； α
（2α）由（1）利用同角三角函数基本关系式可求得tan 的值，进而利用诱导公式即可求解tan 的值．
α β1 √ 1 2√2
【解答过程】解：（1）由题意可知，sin = ，可得cos =− 1−( ) 2=− ；
3 3 3
α α
sinα √2
（2）由（1）可得tan = =− ，
cosα 4
α
π 1
所以由题意可得tan ＝tan（ + ）=− =2√2．
2 tanα
β α
21．（12分）（2022春•永春县校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作角 和 ，
α β
π π
（0， ）， （ ， ），其终边分别交单位圆于 A、B两点．若 A、B两点的横坐标分别是
2 2
α∈ β∈ π
3 √2
，− ．
5 10
（1）求tan ，tan 的值；
（2）求扇形αAOB（β 与劣弧^AB对应的扇形）的面积S的值．
3 √2
【解题思路】（1）利用任意角的三角函数的定义得到cos = ，cos =− ，然后利用同角三角函数
5 10
α β
关系求解即可；
（2）由题意得到∠AOB＝ ﹣ ，利用正切的两角差公式求出tan（ ﹣ ），然后结合角的范围，求出
﹣ ，再利用扇形的面积公β式求α解即可． β α β
α 3 √2
【解答过程】解：（1）由任意角的三角函数的定义可得，cos = ，cos =− ，
5 10
α β
π π
∵α∈(0， )，β∈( ，π)，
2 2
∴sin 4，sin √ √2 7√2，
= =√1−cos2β= 1−(− ) 2=
5 10 10
α β
4 7√2
sinα 5 4 10
则tan = = = ，tan = =−7；
cosα 3 3 √2
−
α 5 β 10（2）∵∠AOB＝ ﹣ ，
β α 4
−7−
tanβ−tanα 3 −25
∴tan∠AOB＝tan（ ﹣ ）= = = =1，
1+tanαtanβ 4 −25
1+(−7)×
β α 3
π π
∵α∈(0， )，β∈( ，π)，
2 2
π π
∴0＜ ﹣ ＜ ，则 ﹣ = ，即扇形AOB的圆心角θ= ，
4 4
β α π β α
1 1 1 π π
∴S= lr= θr2= × ×12= ．
2 2 2 4 8
22．（12分）（2022•虹口区二模）如图，某公园拟划出形如平行四边形 ABCD的区域进行绿化，在此绿
化区域中，分别以∠DCB和∠DAB为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与BD相
切．
（1）若AD=4√37，AB=3√37，BD=37（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；
（2）若扇形的半径为10米，圆心角为135°，则∠BDA多大时，平行四边形绿地ABCD占地面积最小？
【解题思路】（1）利用余弦定理求出A的值，再利用等面积法求出扇形的半径，即可求出扇形的面积；
（2）根据平行四边形绿地ABCD面积S等于底乘以高，利用三角函数的辅助角公式求出最值即可．
【解答过程】解：（1）△ABD中，AD＝4√37，AB＝3√37，BD＝37，
所以cosA (4√37) 2+(3√37) 2 −372 1，
= =−
2×4√37×3√37 2
2π
又因为A （0， ），所以A= ，
3
∈ π
1 1 2π
设扇形的半径为r，则S△ABD = •37•r= •4√37•3√37•sin ，
2 2 3
解得r＝6√3，
1 2π
所以扇形的面积为S扇形 = × ×(6√3) 2=36 ，
2 3
π
所以两块花卉景观扇形的面积为72 米2；
（2）连接A与切点O，设∠BDA＝π，
θ1 10
△AOD中，AD＝OA• = ，
sinθ sinθ
10
在△OAB中，AB= ，
sin(45°−θ)
在△ABE中，BE＝ABsin45°，
10 10 50√2
平行四边形绿地ABCD的面积为S＝AD•BE= • sin45°= ，0°＜ ＜
sinθ sin(45°−θ) sinθsin(45°−θ)
θ
45°，
√2 √2 √2 √2 1
令 f（ ）＝sin sin（45°﹣ ）＝sin （ cos − sin ）= （sin cos ﹣sin2 ）= （ sin2
2 2 2 2 2
θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ
1−cos2θ 1 √2 √2 √2 1 π √2 π
− ）= （ sin2 + cos2 − ）= sin（2 + ）− ， （0， ），
2 2 2 2 2 2 4 4 4
θ θ θ θ∈
π π 3π π 2−√2
所以2 + （ ， ），当 = ，即 ＝22.5°时，f（ ）取得最大值为 ，此时S取得最小值；
4 4 4 8 4
θ ∈ θ θ θ
所以∠BDA＝22.5°时，平行四边形绿地ABCD占地面积最小．
