北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
专题五 三角函数与解三角形
§5.1 三角函数的概念、同角三角函数
的基本关系及诱导公式
【5 年高考】
考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式
1.(2020课标Ⅱ理,2,5分)若α为第四象限角,则 ( )
A.cos 2α>0 B.cos 2α<0 C.sin 2α>0 D.sin 2α<0
答案 D
3
2.(2016课标Ⅲ,5,5分)若tan α= ,则cos2α+2sin 2α= ( )
4
64 48 16
A. B. C.1 D.
25 25 25
答案 A
3.(2018课标Ⅱ,15,5分)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)= .
1
答案 -
2
4.(2017北京,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin
1
α= ,则cos(α-β)= .
3
7
答案 -
9
5.(2018浙江,18,14分)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P
( 3 4).
- ,-
5 5
(1)求sin(α+π)的值;
5
(2)若角β满足sin(α+β)= ,求cos β的值.
13
[教师专用题组]
【5 年高考】
考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式
1.(2019北京文,8,5分)如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.图中阴
影区域的面积的最大值为 ( )北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
A.4β+4cos β B.4β+4sin β
C.2β+2cos β D.2β+2sin β
答案 B 本题主要考查扇形面积、三角形面积公式及应用;主要考查学生的推理论证能力和运算求解能力;
考查的核心素养是数学运算.
由圆的性质易知,当|PA|=|PB|时,阴影部分的面积最大,其面积为△PAB的面积与弓形的面积之和.
作PD⊥AB于D点,由∠APB=β,知∠DOB=β(O为圆心).所以|OD|=2cos β,|PD|=2+2cos β,|AB|=4sin β.所以
1 1 1
S = ·|AB|·|PD|=4sin β(1+cos β).S =S -S = ·2β·22- ·4sin β·2cos β=4β-
△PAB 弓形 扇形OAB △OAB
2 2 2
4sin βcos β.
故阴影部分的面积为S +S =4sin β+4sin βcos β+4β-4sin βcos β=4β+4sin β.故选B.
△PAB 弓形
思路分析 本题阴影部分由一个三角形与一个弓形构成,当β确定时,弓形面积是确定的,故三角形面积最大
时,阴影部分面积最大.
2.(2018北京文,7,5分)在平面直角坐标系中, ⏜ , ⏜ , ⏜ , ⏜ 是圆x2+y2=1上的四段弧(如图),点P在其中一
ABCD EFGH
段上,角α以Ox为始边,OP为终边.若tan α<cos α<sin α,则P所在的圆弧是( )
A. ⏜ B. ⏜ C. ⏜ D. ⏜
AB CD EF GH
答案 C 本题主要考查三角函数的概念,同角三角函数的基本关系式.
若点P在 ⏜ 或 ⏜ (不包含端点A,D)上,则角α在第一象限,此时tan α-sin α=tan α(1-cos α)>0,与
AB CD
tan α<sin α矛盾,故排除A,B.
若点P在 ⏜ (不包含端点G)上,则角α在第三象限,此时tan α>0,cos α<0,与tan α<cos α矛盾,故排除D,故
GH
选C.
3.(2014课标Ⅰ文,2,5分)若tan α>0,则 ( )
A.sin α>0 B.cos α>0 C.sin 2α>0 D.cos 2α>0
答案 C 由tan α>0得α是第一或第三象限角,若α是第三象限角,则A,B错;由sin 2α=2sin αcos α知sin
2α>0,C正确;α取π时,cos 2α=2cos2α-1=2×(1) 2 -1=-1<0,D错.故选C.
3 2 2
评析 本题考查三角函数值的符号,判定时可运用基本知识、恒等变形及特殊值等多种方法,具有一定的灵
活性.
4.(2014大纲全国文,2,5分)已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α= ( )北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
4 3 3 4
A. B. C.- D.-
5 5 5 5
答案 D 由三角函数的定义知cos α= -4 =-4.故选D.
√(-4)2+32 5
5
5.(2015福建文,6,5分)若sin α=- ,且α为第四象限角,则tan α的值等于 ( )
13
12 12 5 5
A. B.- C. D.-
5 5 12 12
5
答案 D ∵sin α=- ,α为第四象限角,
13
12 sinα 5
∴cos α=√1-sin2α= ,∴tan α= =- .故选D.
13 cosα 12
6.(2014大纲全国理,3,5分)设a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则 ( )
A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b
答案 C ∵b=cos 55°=sin 35°>sin 33°=a,∴b>a.
sin35°
又∵c=tan 35°= >sin 35°=cos 55°=b,∴c>b.∴c>b>a.故选C.
cos35°
√10
7.(2013浙江理,6,5分)已知α∈R,sin α+2cos α= ,则tan 2α= ( )
2
4 3 3 4
A. B. C.- D.-
3 4 4 3
5 3 3
答案 C (sin α+2cos α)2= ,展开得3cos2α+4sin αcos α= ,再由二倍角公式得 cos 2α+2sin 2α=0,故tan
2 2 2
3
sin2α 3
2α= =-2=- ,选C.
cos2α 4
2
评析 本题考查同角三角函数的基本关系式和三角恒等变换,考查转化与化归思想,考查学生灵活应用公式
的能力和运算求解能力.三角函数求值问题关键在于观察角与角之间的关系和三角函数名之间的关系.
5
8.(2013大纲全国文,2,5分)已知α是第二象限角,sin α= ,则cos α= ( )
13
12 5 5 12
A.- B.- C. D.
13 13 13 13
答案 A ∵α是第二象限角,∴cos α<0.
12
∴cos α=-√1-sin2α=- .故选A.
13
评析 本题考查三角函数值在各象限的符号,同角三角函数关系,属容易题.
9.(2013广东文,4,5分)已知sin(5π )=1,那么cos α= ( )
+α
2 5
2 1 1 2
A.- B.- C. D.
5 5 5 5北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
答案 C ∵sin(5π )=sin(π )=cos α,∴cos α=1.故选C.
+α +α
2 2 5
10.(2017北京文,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin
1
α= ,则sin β= .
3
1
答案
3
解析 本题考查三角函数的诱导公式.
1
由角α与角β的终边关于y轴对称,可得β=(2k+1)π-α,k∈Z,∵sin α= ,∴sin β=sin[(2k+1)π-α]=
3
1
sin α= .
3
11.(2011江西文,14,5分)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴.若P(4,y)是角θ终边上一点,且sin
2√5
θ=- ,则y= .
5
答案 -8
解析 P(4,y)是角θ终边上一点,由三角函数的定义知sin θ= y ,又sin θ=-2√5,∴ y =-
√16+ y2 5 √16+ y2
2√5
,解得y=-8.
5
评析 本题主要考查任意角三角函数的定义,考查运算求解能力,由题意得 y =-2√5是本题求解的
√16+ y2 5
关键.
12.(2016四川文,11,5分)sin 750°= .
1
答案
2
1
解析 sin 750°=sin(720°+30°)=sin 30°= .
2
解后反思 利用诱导公式把大角化为小角.
评析 本题考查了三角函数的诱导公式.
13.(2013课标Ⅱ理,15,5分)设θ为第二象限角,若tan( π)=1,则sin θ+cos θ= .
θ+
4 2
√10
答案 -
5
1
-1
[( π) π] 2 1
解析 tan θ=tan θ+ - = =- ,
4 4 1 3
1+
2
1 10 9
∴sin θ=- cos θ,将其代入sin2θ+cos2θ=1得 cos2θ=1,∴cos2θ= ,又易知cos θ<0,
3 9 10北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
3 √10 √10
∴cos θ=- √10,∴sin θ= ,故sin θ+cos θ=- .
10 10 5
【3 年模拟】
时间:40分钟 分值:70分
一、单项选择题(每题5分,共30分)
9π
1.(2021届山东枣庄第三中学第二次阶段测试,1)下列与角 的终边相同的角的表达式中正确的是 (
4
)
9π
A.2kπ+45°(k∈Z) B.k·360°+ (k∈Z)
4
5π
C.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+ (k∈Z)
4
答案 C
2.(2021届江苏扬州期中检测,7)我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术:“割之弥细,所失弥
少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣”.这可视为中国古代极限思想的佳作.割圆术可以视为
将一个圆内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示),当n变得很大时,等腰三角形的面积之和近似等于
圆的面积.运用割圆术的思想,可得到sin 2°的近似值为(π取近似值3.14) ( )
A.0.035 B.0.026 C.0.018 D.0.033
答案 A
(π ) (11π )
cos(π+α)cos +α cos -α
2 2
3.(2020安徽六安一中3月周考(二),1)化简 的结果是 (
(9π )
cos(π-α)sin(-π-α)sin +α
2
)
A.-1 B.1 C.tan α D.-tan α
答案 C
4.(2020山东潍坊线上测试,1)sin 225°= ( )
1 √2 √3
A.- B.- C.- D.-1
2 2 2
答案 B
5.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
π
(2020湖南长沙一中月考,8)如图,点A为单位圆上一点,∠xOA= ,点A沿单位圆按逆时针方向旋转角α到点B
3
( √2 √2),则sin α= ( )
- ,
2 2
-√2+√6 √2-√6 √2+√6 √2+√6
A. B. C. D.-
4 4 4 4
答案 C
6.(2021届江苏扬州中学10月月考,6)如图,直角坐标系中,角α( π)、角β( π )的终边分别
0<α< - <β<0
2 2
交单位圆于A,B两点,若B点的纵坐标为- 5 ,且满足S
△AOB
=√3,则sin α·(
√3cos
α
-sin
α)+1的
13 4 2 2 2 2
值为( )
5 12 12 5
A.- B. C.- D.
13 13 13 13
答案 B
二、多项选择题(共5分)
7.(2020山东师范大学附属中学第三次月考,12)在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点在原点O,以x轴的非负
半轴为始边,终边经过点P(1,m)(m<0),则下列各式的值恒大于0的是( )
sinα
A. B.cos α-sin α
tanα
C.sin αcos α D.sin α+cos α
答案 AB
三、填空题(每题5分,共25分)
8.(2021届广东东华高级中学第二次联考,13)已知角α终边上一点P的坐标为(-√6,1),
则sin 2α= .
2√6
答案 -
7
9.(2021届广东佛山顺德第二次教学质量检测,15)已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,将北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
角α的终边绕原点逆时针旋转π后与单位圆x2+y2=1交于点P(4 3),则sin 2α= .
,
4 5 5
7
答案 -
25
π
10.(2021届上海嘉定一中测试,8)已知顶点在原点的锐角α绕原点逆时针转过 后,终边交单位圆于P
3
( 1 ),则sin α= .
- ,y
3
√2 √3
答案 +
3 6
1 sin2α-sin2α
11.(2020山东师范大学附属中学月考,14)已知tan α= ,则 的值为 .
3 1+cos2α
5
答案
18
12.(2019江西金太阳联考卷(六),15)已知sin α和cos α是方程4x2+2√6x+m=0的两个实数根,则sin3α-cos3α=
.
5√2
答案 ±
8
四、解答题(共10分)
13.(2019山东夏津一中月考,19)已知tan(π )=2.
+α
4
(1)求tan α的值;
2sin2α+sin2α
(2)求 的值.
1+tanα
