北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
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第四章 三角函数与解三角形
§4.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公
式
— 五年高考 —
考点两行 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式
1.(2020课标Ⅱ理,2,5分)若α为第四象限角,则 ( )
A.cos 2α>0 B.cos 2α<0 C.sin 2α>0 D.sin 2α<0
答案 D
2.(2019课标Ⅰ文,7,5分)tan 255°= ( )
A.-2-√3 B.-2+√3
C.2-√3 D.2+√3
答案 D
3.(2018课标Ⅰ文,11,5分)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有
2
两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α= ,则|a-b|= ( )
3
1 √5 2√5
A. B. C. D.1
5 5 5
答案 B
4.(2018北京文,7,5分)在平面直角坐标系中, ⏜ , ⏜ , ⏜ , ⏜ 是圆x2+y2=1上的四段弧(如图),
ABCD EF GH
点P在其中一段上,角α以Ox为始边,OP为终边.若tan α<cos α<sin α,则P所在的圆弧是(
)
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A. ⏜ B. ⏜ C. ⏜ D. ⏜
AB CD EF GH
答案 C
5.(2018浙江,18,14分)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过
点P( 3 4).
- ,-
5 5
(1)求sin(α+π)的值;
5
(2)若角β满足sin(α+β)= ,求cos β的值.
13
解析 (1)由角α的终边过点P( 3 4)得sin α=-4,所以sin(α+π)=-sin α=4.
- ,-
5 5 5 5
(2)由角α的终边过点P( 3 4)得cos α=-3,
- ,-
5 5 5
5 12
由sin(α+β)= 得cos(α+β)=± .
13 13
由β=(α+β)-α得cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,
56 16
所以cos β=- 或cos β= .
65 65
思路分析 (1)由三角函数的定义得sin α的值,由诱导公式得sin(α+π)的值.
(2)由三角函数的定义得cos α的值,由同角三角函数的基本关系得cos(α+β)的值,由两角差的
余弦公式得cos β的值.
以下为教师用书专用(1—12)
1.(2019北京文,8,5分)如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,
大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( )
A.4β+4cos β B.4β+4sin β
C.2β+2cos β D.2β+2sin β
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答案 B 本题主要考查扇形面积、三角形面积公式及应用;主要考查学生的推理论证能力
和运算求解能力;考查的核心素养是数学运算.
由圆的性质易知,当|PA|=|PB|时,阴影部分的面积最大,其面积为△PAB的面积与弓形的面积之
和.
作PD⊥AB于D点,由∠APB=β,知∠DOB=β(O为圆心).所以|OD|=2cos β,|PD|=2+2cos β,|AB|
1 1 1
=4sin β.所以S = ·|AB|·|PD|=4sin β(1+cos β).S =S -S = ·2β·22- ·4sin β·2cos
△PAB 2 弓形 扇形OAB △OAB 2 2
β=4β-4sin βcos β.
故阴影部分的面积为S +S =4sin β+4sin βcos β+4β-4sin βcos β=4β+4sin β.故选B.
△PAB 弓形
思路分析 本题阴影部分由一个三角形与一个弓形构成,当β确定时,弓形面积是确定的,故三
角形面积最大时,阴影部分面积最大.
2.(2014课标Ⅰ文,2,5分)若tan α>0,则( )
A.sin α>0 B.cos α>0 C.sin 2α>0 D.cos 2α>0
答案 C 由tan α>0得α是第一或第三象限角,若α是第三象限角,则A,B错;由sin 2α=2sin
αcos α知sin 2α>0,C正确;α取π时,cos 2α=2cos2α-1=2×(1) 2-1=-1<0,D错.故选C.
3 2 2
评析 本题考查三角函数值的符号,判定时可运用基本知识、恒等变形及特殊值等多种方法,
具有一定的灵活性.
3.(2014大纲全国文,2,5分)已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α= ( )
4 3 3 4
A. B. C.- D.-
5 5 5 5
答案 D 由三角函数的定义知cos α= -4 =-4.故选D.
√(-4)2+32 5
5
4.(2015福建文,6,5分)若sin α=- ,且α为第四象限角,则tan α的值等于 ( )
13
12 12 5 5
A. B.- C. D.-
5 5 12 12
5
答案 D ∵sin α=- ,α为第四象限角,
13
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12 sinα 5
∴cos α=√1-sin2α= ,∴tan α= =- .故选D.
13 cosα 12
5.(2014大纲全国理,3,5分)设a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则 ( )
A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b
答案 C ∵b=cos 55°=sin 35°>sin 33°=a,∴b>a.
sin35°
又∵c=tan 35°= >sin 35°=cos 55°=b,∴c>b.∴c>b>a.故选C.
cos35°
√10
6.(2013浙江理,6,5分)已知α∈R,sin α+2cos α= ,则tan 2α= ( )
2
4 3 3 4
A. B. C.- D.-
3 4 4 3
5 3 3
答案 C (sin α+2cos α)2= ,展开得3cos2α+4sin αcos α= ,再由二倍角公式得 cos
2 2 2
3
sin2α 3
2α+2sin 2α=0,故tan 2α= =-2=- ,选C.
cos2α 4
2
评析 本题考查同角三角函数的基本关系式和三角恒等变换,考查转化与化归思想,考查学生
灵活应用公式的能力和运算求解能力.三角函数求值问题关键在于观察角与角之间的关系和
三角函数名之间的关系.
5
7.(2013大纲全国文,2,5分)已知α是第二象限角,sin α= ,则cos α= ( )
13
12 5 5 12
A.- B.- C. D.
13 13 13 13
答案 A ∵α是第二象限角,∴cos α<0.
12
∴cos α=-√1-sin2α=- .故选A.
13
评析 本题考查三角函数值在各象限的符号,同角三角函数关系,属容易题.
8.(2013广东文,4,5分)已知sin(5π )=1,那么cos α= ( )
+α
2 5
2 1 1 2
A.- B.- C. D.
5 5 5 5
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答案 C ∵sin(5π )=sin(π )=cos α,∴cos α=1.故选C.
+α +α
2 2 5
9.(2017北京文,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于
1
y轴对称.若sin α= ,则sin β= .
3
1
答案
3
解析 本题考查三角函数的诱导公式.
1
由角α与角β的终边关于y轴对称,可得β=(2k+1)π-α,k∈Z,∵sin α= ,∴sin β=sin[(2k+1)π-
3
1
α]=sin α= .
3
10.(2011江西文,14,5分)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴.若P(4,y)是角θ终
2√5
边上一点,且sin θ=- ,则y= .
5
答案 -8
解析 P(4,y)是角θ终边上一点,由三角函数的定义知sin θ= y ,又sin θ=-2√5,∴
√16+ y2 5
y =-2√5,解得y=-8.
√16+ y2 5
评析 本题主要考查任意角三角函数的定义,考查运算求解能力,由题意得 y =-2√5
√16+ y2 5
是本题求解的关键.
11.(2016四川文,11,5分)sin 750°= .
1
答案
2
1
解析 sin 750°=sin(720°+30°)=sin 30°= .
2
解后反思 利用诱导公式把大角化为小角.
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评析 本题考查了三角函数的诱导公式.
12.(2013课标Ⅱ理,15,5分)设θ为第二象限角,若tan( π)=1,则sin θ+cos θ= .
θ+
4 2
√10
答案 -
5
1
-1
[( π) π] 2 1
解析 tan θ=tan θ+ - = =- ,
4 4 1 3
1+
2
1 10 9
∴sin θ=- cos θ,将其代入sin2θ+cos2θ=1得 cos2θ=1,∴cos2θ= ,又易知cos θ<0,∴cos θ=-
3 9 10
3 √10 √10
√10,∴sin θ= ,故sin θ+cos θ=- .
10 10 5
— 三年模拟 —
A组 考点基础题组
考点两行 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式
1.(2021辽宁沈阳市郊联体一模,3)已知2sin(π-α)=3sin π+α ,则sin2α-1sin 2α-cos2α=( )
2 2
5 1 5 1
A. B.- C.- D.
13 13 13 13
答案 B
2.(2021广东肇庆二模,7)已知角α的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它
√6
的终边与以O为圆心的单位圆相交于A点.若A的横坐标为 ,则 ( )
6
√6 2
A.sin α= B.cos 2α=-
6 3
√5 √5
C.sin 2α=- D.tan 2α=-
3 2
答案 B
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3.(2020湖南永州祁阳二模,6)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直
线y=-2x上,则sin 2θ= ( )
3 3 4 4
A. B.- C. D.-
5 5 5 5
答案 D
4.(2020山东潍坊一模,3)在平面直角坐标系xOy中,点P(√3,1),将向量⃗OP绕点O按逆时针方
π
向旋转 后得到向量⃗OQ,则点Q的坐标是 ( )
2
A.(-√2,1) B.(-1,√2) C.(-√3,1) D.(-1,√3)
答案 D
5.(2019河北六校第三次联考,5)若sin α是方程5x2-7x-6=0的根,则
sin ( -α- 3 π ) sin (3π -α ) tan2(2π-α)
2 2
= ( )
(π ) (π )
cos -α cos +α sin(π+α)
2 2
3 5 4 5
A. B. C. D.
5 3 5 4
答案 B
6.(2021东北三省四市教研联合体二模,13)已知角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非
负半轴重合,点(2,-1)在终边上,则cos 2α= .
3
答案
5
7.(2021山东聊城二模,14)如图是某商业小区的平面设计图,初步设计该小区边界轮廓是半径
为200米,圆心角为120°的扇形AOB.O为南门位置,C为东门位置,小区里有一条平行于AO的
200√6
小路CD,若OD= 米,则圆弧AC的长为 米.
3
答案 50π
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2
8.(2020广东茂名化州二模,15)已知曲线f(x)= x3在点(1, f(1))处的切线的倾斜角为α,则
3
sin2α-cos2α
的值为 .
2sinαcosα+cos2α
3
答案
5
B组 综合应用题组
时间 : 30 分钟 分值 : 50 分
一、单项选择题(每小题5分,共25分)
7
1.(2020山东九校联考,6)已知点A在圆x2+y2=4上,且∠xOA= π,则点A的横坐标为 ( )
12
√2-√6 √2-√6 1-√3 1-√3
A. B. C. D.
2 4 4 2
答案 A
2.(2020全国100所名校新高考模拟示范卷,4)cos2( π )+cos2(2π )= ( )
- -θ -θ
10 5
1 √3
A. B.√2 C.1 D.
2 2
答案 C
3.(2021江苏盐城二模,6)密位制是度量角的一种方法.把1周角等分为6 000份,每一份叫做1
密位的角.以密位作为角的度量单位,这种度量角的单位制,叫做角的密位制.在角的密位制中,
采用四个数码表示角的大小,单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数字与十
位数字之间画一条短横线,如7密位写成“0-07”,478密位写成“4-78”.1周角等于6 000密
7
位,记作1周角=60-00,同理,1直角=15-00.如果一个半径为2的扇形,它的面积为 π,则其圆心
6
角用密位制表示为 ( )
A.12-50 B.17-50 C.21-00 D.35-00
答案 B
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α
1+tan
1 2
4.(2021黑龙江哈尔滨三中一模,10)若sin α+cos α= ,α∈(0,π),则 的值为 ( )
5 α
1-tan
2
1 1
A.-3 B.- C. D.3
3 3
答案 A
5.(2020河北衡水中学七调,8)如图,直角坐标系中,角α( π)、角β -π<β<0 的终边分
0<α<
2 2
5 √3 α
别交单位圆于A、B两点,若点B的纵坐标为- ,且满足S = ,则sin ·
13
△AOB
4 2
( α α)+1的值为 ( )
√3cos -sin
2 2 2
5 12 12 5
A.- B. C.- D.
13 13 13 13
答案 B
二、多项选择题(每小题5分,共10分)
6.(2020山东师范大学附属中学第三次月考,12)在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点为原点
O,以x轴正半轴为始边,终边经过点P(1,m)(m<0),则下列各式的值恒大于0的是 ( )
sinα
A. B.cos α-sin α
tanα
C.sin αcos α D.sin α+cos α
答案 AB
7.(2021山东济南十一校联考,12)意大利画家列奥纳多·达·芬奇(1452.4—1519.5)的画作《抱
银貂的女子》中,女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽.
如果固定项链的两端,使其在重力的作用下自然下垂,项链所形成的曲线是什么?这就是著名
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x
的“悬链线问题”,后人给出了悬链线的函数解析式:f(x)=acosh ,其中a为悬链线系数,cosh
a
ex+e-x
x称为双曲余弦函数,其表达式为cosh x= ,相应地,双曲正弦函数的函数表达式为sinh
2
ex-e-x
x= .若直线x=m与双曲余弦函数C 的图象和双曲正弦函数C 的图象分别交于A,B两
1 2
2
点,曲线C 在点A处的切线与曲线C 在点B处的切线相交于P,则下列结论中正确的是 (
1 2
)
A.cosh2x-sinh2x=1
B.cosh(x+y)=cosh xcosh y-sinh xsinh y
C.BP随m的增大而减小
D.△PAB的面积随m的增大而减小
答案 AD
三、填空题(每小题5分,共15分)
1 sin2α-sin2α
8.(2020山东师范大学附属中学月考,14)已知tan α= ,则 的值为 .
3 1+cos2α
5
答案
18
9.(2019湘东六校期末联考,15)在平面直角坐标系xOy中,点P(x,y)在单位圆O上,设∠xOP=α,
0 0
且α∈(π
,
3π).若cos(
α+
π)=-4,则x
0
的值为 .
4 4 4 5
√2
答案 -
10
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10.(2021山东德州一模,15)已知三棱锥P-ABC中,AP、AB、AC三条棱两两垂直,且长度均为2
√3,以顶点P为球心,4为半径作一个球,则该球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为
.
答案 3π
— 一年原创 —
1.(2021 5·3原创题)已知α∈( π),β∈(π ),且sin(π )= cos( π),
0, ,π +α √3 β- √3
2 2 2 2
sin(π+α)=sin(π ),则β-α=( )
-β
2
2π π π π
A. B. C. D.
3 3 2 4
答案 A
2.(2021 5·3原创题)已知两个锐角α,β(α<β),且tan α,tan β为方程40x2-13x+1=0的两根,如果钝
角γ的始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(-2,1),则α+β-γ= ( )
π 2π 3π π
A.- B.- C.- D.
4 3 4 4
答案 C
3.(2021 5·3原创题)已知α,β∈(0,2π)且α<β,若关于x的方程(x+sin α)(x+sin β)+1=0有实数根,
(π ) (3π )
3sin +α +cos -β
2 2
则代数式 的值为 .
(3π )
2-sin(π-α)cos +β
2
1
答案
3
4.(2021 5·3原创题)已知sin(π )=-1,-π<x<0,则sin(π )-cos(2π )= .
+x -x -x
3 4 2 6 3
√15
答案
2
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