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第四章 三角函数与解三角形
真题多维细目表
考题 涉分 题型 难度 考点 考向 解题方法 核心素养
三角函数的性质
２０２１新高考 ４ ５ 单项选择题 中 求解单调区间 直接法 数学运算
Ⅰ， 及其应用
２０２１新高考 ６ ５ 单项选择题 中 三角恒等变换 给值求值问题 直接法 数学运算
Ⅰ，
解三角形及其
２０２１新高考 １９ １２ 解答题 中 利用余弦定理求解角度 公式法 数学运算
Ⅰ， 综合应用
解三角形及其 利用正弦定理求解面积、 数学运算
２０２１新高考 １８ １２ 解答题 中 公式法
Ⅱ， 综合应用 余弦定理的应用 逻辑推理
三角函数的图象
２０２１全国乙理 ７ ５ 单项选择题 中 由伸缩、平移变换求解析式 逆向思维法 逻辑推理
， 及其变换
解三角形及其 解三角形的实际应用 数学建模
２０２１全国乙理 ９ ５ 单项选择题 中 公式法
， 综合应用 （测量问题） 数学运算
三角函数的性质
２０２１全国乙文 ４ ５ 单项选择题 易 三角函数的周期与最值 公式法 数学运算
， 及其应用
２０２１全国乙文 ６ ５ 单项选择题 易 三角恒等变换 求三角函数的值、二倍角公式 公式法 数学运算
，
２０２１全国乙文 １５ ５ 填空题 中 正弦定理、余弦定理 解三角形、三角形面积公式 公式法 数学运算
，
三角函数的 数学运算
２０２０新高考 １０ ５ 多项选择题 中 诱导公式、三角函数的性质 定义法
Ⅰ， 图象及其变换 逻辑推理
解三角形及 条件选择；正弦、余弦 逻辑推理
２０２０新高考 １７ １０ 解答题 中 直接法
Ⅰ， 其综合应用 定理的应用 数学运算
解三角形及 直角三角形中边、角关系； 数学运算
２０２０新高考 １５ ５ 填空题 中 间接法
Ⅰ， 其综合应用 平面图形的面积 逻辑推理
命题规律与备考策略
考查内容 本章内容在函数与其性质基础上学习三角函数 进一步加 目多以解答题形式出现 且为多条件选择的开放型题目 其分值为
， ， ， １０
深对函数性质的认识 理解与应用 概括有 以任意角为基础的角的 分．试题情境主要为课程学习情境 主要考查的核心素养为数学运算
、 ， ① ， ，
概念的推广与角的范围扩充 理解角的分类 角的弧度制 弧长公式与 逻辑推理．
， 、 、
扇形面积公式 角度制与弧度制的互化 以三角函数的概念为核心 复习建议 复习时要做到知识模块化巩固强化 首先要沿着 任意角
、 ；② ， “
的相关公式 诸如 同角三角函数的基本关系 诱导公式 一 六 三角函数 三角恒等变换 图象与性质 解三角形 这一主线明确
， ： ， （ ）～（ ）， → → → → ”
三角函数式的化简与求值 三角函数的图象与性质 函数ｙ ｘ ｙ 目标 其次 重心放在 三角函数图象与性质 三角恒等变换 解三角
；③ ， ＝ｓｉｎ ， ； ， “ 、 、
( ) 形 上 最后 需要对知识交汇点命题规律进行归类 诸如三角函数与
ｘ和ｙ ｘ ｘ π ｋ ｋ Ｚ 的图象 性质及其运用 周期函数 ” ； ， ，
＝ｃｏｓ ＝ｔａｎ ≠ ＋ π， ∈ 、 ， 不等式相关最值问题 三角函数的图象和性质与平面向量相融合求解
２ 、
的概念及三角函数周期的求解 函数ｙ Ａ ωｘ φ 的图象与性质 单调区间 解三角形与基本不等式相结合的最值问题等．
；⑤ ＝ ｓｉｎ（ ＋ ） 、
应用问题 有关正弦定理 余弦定理及三角形面积公式的应用． 备考策略 针对本章知识比较零碎 公式比较多 知识点比较多的特
；⑥ 、 ， ，
题型赋分 本章是高考必考内容之一 结合往年命题规律 命制三角 点 备考时可以采用如下策略与方法
， ， ， ：
恒等变换公式的应用题目 诸如 给值求角 给值求值 给角求值 扫除公式 定理 障碍 将公式 定理 推论归类整理 形成条理性
， “ ”“ ”“ ”， ① 、 “ ”， 、 、 ， ；
给定函数ｙ Ａ ωｘ φ 的部分图象 求解函数解析式．以选择题 填空 固定解题模式与规范步骤 注意解题中容易忽略的角的范围问题
＝ ｓｉｎ（ ＋ ） ， 、 ② ；③
题为主 赋分为 分 而结合三角恒等变换与三角函数 解三角形的题 或多解问题 注重将多个知识点融合交汇的综合题目的处理方法与
， ５ ， 、 ；④
思路解析明晰化．１ ５８ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
§４．１ 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式
三角函数的概念、同角三角函数的基本关
系及诱导公式 学生用书Ｐ６０
１．（２０２０课标 理，２，５分）若α为第四象限角 则
Ⅱ ， （ ）
α α α α
Ａ．ｃｏｓ２ ＞０ Ｂ．ｃｏｓ２ ＜０ Ｃ．ｓｉｎ２ ＞０ Ｄ．ｓｉｎ２ ＜０
１． 答案 Ｄ
２．（２０１９课标 文，７，５分） °
Ⅰ ｔａｎ２５５ ＝ （ ）
Ａ．－２－ ３ Ｂ．－２＋ ３
Ｃ．２－ ３ Ｄ．２＋ ３
２． 答案 Ｄ
３．（２０１８课标 文，１１，５ 分）已知角α的顶点为坐标原点 始边
Ⅰ ，
与ｘ轴的非负半轴重合 终边上有两点 Ａ ａ Ｂ ｂ 且
， （１， ）， （２， ），
α ２ 则 ａ ｂ
ｃｏｓ２ ＝ ， ｜ － ｜＝ （ ）
３
１ ５ ２ ５
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．１
５ ５ ５
３． 答案 Ｂ
４．（２０１８北京文，７，５分）在平面直角坐标系中 ＡＢ
，
(
ＣＤ
，
(
ＥＦ
，
(
ＧＨ
，
(
是圆
ｘ２ ｙ２ 上的四段弧 如图 点Ｐ在其中一段上 角α以Ｏｘ为始
＋ ＝１ （ ）， ，
边 ＯＰ为终边．若 α α α 则Ｐ所在的圆弧是
， ｔａｎ ＜ｃｏｓ ＜ｓｉｎ ， （ ）
ＡＢ Ａ． ( ＣＤ Ｂ． ( ＥＦ Ｃ． ( ＧＨ Ｄ． (
（ ）由三角函数的定义得 α的值，由同角三角函数的基本
２ ｃｏｓ
关系得 （α β）的值，由两角差的余弦公式得 β的值． ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ
以下为教师用书专用（１—１２）
１．（２０１９北京文，８，５ 分）如图 Ａ Ｂ 是半径为 的圆周上的定
， ， ２
点 Ｐ为圆周上的动点 ＡＰＢ是锐角 大小为β．图中阴影区域
， ，∠ ，
的面积的最大值为
（ ）
β β β β
Ａ．４ ＋４ｃｏｓ Ｂ．４ ＋４ｓｉｎ
β β β β
Ｃ．２ ＋２ｃｏｓ Ｄ．２ ＋２ｓｉｎ
答案 Ｂ 本题主要考查扇形面积 三角形面积公式及应
、
用 主要考查学生的推理论证能力和运算求解能力 考查的核
； ；
心素养是数学运算．
由圆的性质易知 当 ＰＡ ＰＢ 时 阴影部分的面积最大 其
， ｜ ｜ ＝｜ ｜ ， ，
面积为 ＰＡＢ的面积与弓形的面积之和．
△
作ＰＤ ＡＢ于Ｄ点 由 ＡＰＢ β 知 ＤＯＢ β Ｏ为圆心 ．所
⊥ ， ∠ ＝ ， ∠ ＝ （ ）
以 ＯＤ β ＰＤ β ＡＢ β．所以Ｓ
｜ ｜＝２ｃｏｓ ，｜ ｜＝２＋２ｃｏｓ ，｜ ｜ ＝４ｓｉｎ △ ＰＡＢ＝
１ ＡＢ ＰＤ β β ．Ｓ Ｓ Ｓ １
·｜ ｜·｜ ｜＝４ｓｉｎ （１＋ｃｏｓ ） 弓形＝ 扇形ＯＡＢ－ △ ＯＡＢ＝
２ ２
β ２ １ β β β β β．
·２ ·２ － ·４ｓｉｎ ·２ｃｏｓ ＝４ －４ｓｉｎ ｃｏｓ
２
故阴影部分的面积为 Ｓ Ｓ β β β β △ ＰＡＢ＋ 弓形＝４ｓｉｎ ＋４ｓｉｎ ｃｏｓ ＋４ －
４． 答案 Ｃ β β β β．故选 ．
４ｓｉｎ ｃｏｓ ＝４ ＋４ｓｉｎ Ｂ
５．（２０１８浙江，１８，１４分）已知角α的顶点与原点Ｏ重合 始边与 思路分析 本题阴影部分由一个三角形与一个弓形构成，
，
( ) 当β确定时，弓形面积是确定的，故三角形面积最大时，阴影部
ｘ轴的非负半轴重合 它的终边过点Ｐ ３ ４ ．
， － ，－ 分面积最大．
５ ５
（１） 求 ｓｉｎ（ α ＋π） 的值 ； ２．（２０１４课标 文，２，５分）若 α 则
Ⅰ ｔａｎ ＞０， （ ）
若角β满足 α β ５ 求 β的值． ． α ． α ． α ． α
（２） ｓｉｎ（ ＋ ）＝ ， ｃｏｓ Ａｓｉｎ ＞０ Ｂｃｏｓ ＞０ Ｃｓｉｎ２ ＞０ Ｄｃｏｓ２ ＞０
１３ 答案 Ｃ 由 α 得α是第一或第三象限角 若α是第
( ) ｔａｎ ＞０ ，
５． 解析 由角α的终边过点Ｐ ３ ４ 得 α ４ 三象限角 则 错 由 α α α知 α 正
（１） － ，－ ｓｉｎ ＝－ ， ， Ａ，Ｂ ； ｓｉｎ２ ＝２ｓｉｎ ｃｏｓ ｓｉｎ ２ ＞０，Ｃ
５ ５ ５ ( ) ２
确 α取π时 α ２α １ １ 错．
所以 α α ４ ． ； ，ｃｏｓ２ ＝２ｃｏｓ －１＝２× －１＝－ ＜０，Ｄ
ｓｉｎ（ ＋π）＝－ｓｉｎ ＝ ３ ２ ２
５ 故选 ．
( ) Ｃ
由角α的终边过点Ｐ ３ ４ 得 α ３ 评析 本题考查三角函数值的符号，判定时可运用基本知识、
（２） － ，－ ｃｏｓ ＝－ ，
５ ５ ５ 恒等变形及特殊值等多种方法，具有一定的灵活性．
由
ｓｉｎ（
α
＋
β
）＝
１
５
３
得
ｃｏｓ（
α
＋
β
）＝±
１
１
３
２． ３．（２０１４大纲全国文，２，５分）已知角α的终边经过点
（－４，３），
由β α β α得 β α β α α β α 则 α
＝（ ＋ ）－ ｃｏｓ ＝ｃｏｓ［（ ＋ ）－ ］＝ｃｏｓ（ ＋ ）ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ ＝ （ ）
α β α
ｓｉｎ（ ＋ ）ｓｉｎ ， ４ ３ ３ ４
Ａ． Ｂ． Ｃ．－ Ｄ．－
所以 β ５６或 β １６． ５ ５ ５ ５
ｃｏｓ ＝－ ｃｏｓ ＝
６５ ６５ 答案 Ｄ 由三角函数的定义知 α －４ ４ ．
思路分析 （ １ ）由三角函数的定义得 ｓｉｎ α的值，由诱导公 ｃｏｓ ＝ （－４） ２ ＋３ ２ ＝－ ５
式得 （α ）的值． 故选 ．
ｓｉｎ ＋π Ｄ
第四章 三角函数与解三角形 １ ５９
故选 ．
４．（２０１５福建文，６，５分）若 α ５ 且α为第四象限角 则 Ｃ
ｓｉｎ ＝－ ， ， ９．（２０１７北京文，９，５分）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 角α与角β
１３ ，
α的值等于
ｔａｎ （ ） 均以Ｏｘ为始边 它们的终边关于ｙ轴对称．若 α １ 则
， ｓｉｎ ＝ ， ｓｉｎ
１２ １２ ５ ５ ３
Ａ． Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．－ β ．
５ ５ １２ １２ ＝
答案 Ｄ α ５ α为第四象限角 答案 １
∵ ｓｉｎ ＝－ ， ，
１３ ３
α 解析 本题考查三角函数的诱导公式．
α ２α １２ α ｓｉｎ ５ ．故选 ．
∴ ｃｏｓ ＝ １－ｓｉｎ ＝ ，∴ ｔａｎ ＝ α＝－ Ｄ 由角α与角β的终边关于ｙ轴对称 可得β ｋ α ｋ
１３ ｃｏｓ １２ ， ＝（２ ＋１）π－ ， ∈
５．（２０１４ 大纲全国理，３，５ 分）设 ａ ° ｂ ° ｃ
＝ｓｉｎ ３３ ， ＝ｃｏｓ ５５ ， ＝ Ｚ α １ β ｋ α α １ ．
° 则 ，∵ ｓｉｎ ＝ ，∴ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ［（２ ＋１）π－ ］＝ｓｉｎ ＝
ｔａｎ ３５ ， （ ） ３ ３
ａ ｂ ｃ ｂ ｃ ａ ｃ ｂ ａ ｃ ａ ｂ １０．（２０１１江西文，１４，５分）已知角θ的顶点为坐标原点 始边为
Ａ． ＞ ＞ Ｂ． ＞ ＞ Ｃ． ＞ ＞ Ｄ． ＞ ＞ ，
答案 Ｃ ｂ ° ° ° ａ ｂ ａ．
∵ ＝ｃｏｓ５５ ＝ｓｉｎ３５ ＞ｓｉｎ３３ ＝ ，∴ ＞ ｘ轴的正半轴．若Ｐ ｙ 是角θ终边上一点 且 θ ２ ５
° （４， ） ， ｓｉｎ ＝－ ，
又 ｃ ° ｓｉｎ３５ ° ° ｂ ｃ ｂ． ｃ ｂ ａ． ５
∵ ＝ｔａｎ３５ ＝ ｃｏｓ３５ °＞ｓｉｎ ３５ ＝ｃｏｓ ５５ ＝ ，∴ ＞ ∴ ＞ ＞ 则ｙ ＝ ．
故选 ． 答案
Ｃ －８
解析 Ｐ ｙ 是角 θ 终边上一点 由三角函数的定义知
６．（２０１３浙江理，６，５ 分）已知 α Ｒ α α １０ 则 （４， ） ，
∈ ，ｓｉｎ ＋２ｃｏｓ ＝ ，
２ ｙ ｙ
ｔａｎ ２ α ＝ （ ） ｓｉｎ θ ＝
１６＋
ｙ２ ， 又 ｓｉｎ θ ＝－ ２
５
５ ，∴
１６＋
ｙ２ ＝－ ２
５
５ ， 解得 ｙ ＝
４ ３ ３ ４ ．
Ａ． Ｂ． Ｃ．－ Ｄ．－ －８
３ ４ ４ ３ 评析 本题主要考查任意角三角函数的定义，考查运算求解
答案 Ｃ （ｓｉｎ α ＋２ｃｏｓ α ） ２ ＝ ２ ５ ， 展开得 ３ｃｏｓ ２α ＋４ｓｉｎ α ｃｏｓ α 能力，由题意得 ｙ ２ ５是本题求解的关键．
＝－
３ 再由二倍角公式得 ３ α α 故 α １６＋
ｙ２
５
＝ ， ｃｏｓ ２ ＋２ｓｉｎ ２ ＝０， ｔａｎ ２ ＝ １１．（２０１６四川文，１１，５分） ．
２ ２ ｓｉｎ７５０°＝
３ 答案 １
α
ｓｉｎ２ ２ ３ 选 ． ２
α＝－ ＝－ ， Ｃ
ｃｏｓ２ ２ ４ 解析 １ ．
评析 本题考查同角三角函数的基本关系式和三角恒等变 ｓｉｎ７５０°＝ｓｉｎ（７２０°＋３０°）＝ｓｉｎ３０°＝
２
换，考查转化与化归思想，考查学生灵活应用公式的能力和运 解后反思 利用诱导公式把大角化为小角．
算求解能力．三角函数求值问题关键在于观察角与角之间的关 评析 本题考查了三角函数的诱导公式．
系和三角函数名之间的关系． ( )
１２．（２０１３课标 理，１５，５ 分）设θ为第二象限角 若 θ π
Ⅱ ， ｔａｎ ＋
７．（２０１３大纲全国文，２，５ 分）已知α是第二象限角 α ５ ４
，ｓｉｎ ＝ ，
１３ １ 则 θ θ ．
则 α ＝ ， ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝
ｃｏｓ ＝ （ ） ２
Ａ．－
１
１
３
２ Ｂ．－
１
５
３
Ｃ．
１
５
３
Ｄ． １
１
２
３
答案 － １０
５
答案 Ａ α是第二象限角 α ．
∵ ，∴ ｃｏｓ ＜０
１
[( ) ] －１
α ２α １２．故选 ． 解析 θ θ π π ２ １
∴ ｃｏｓ ＝－ １－ｓｉｎ ＝－ Ａ ｔａｎ ＝ｔａｎ ＋ － ＝ ＝－ ，
１３ ４ ４ １ ３
评析 本题考查三角函数值在各象限的符号，同角三角函数 １＋
２
关系，属容易题．
( ) ∴ ｓｉｎ
θ
＝－
１
ｃｏｓ
θ
，
将其代入
ｓｉｎ
２θ
＋ｃｏｓ
２θ
＝１
得１０
ｃｏｓ
２θ
＝１，
８．（２０１３广东文，４，５分）已知 ５π α １ 那么 α ３ ９
ｓｉｎ ＋ ＝ ， ｃｏｓ ＝
２ ５ ２θ ９ 又易知 θ θ ３ θ
∴ ｃｏｓ ＝ ， ｃｏｓ ＜０，∴ ｃｏｓ ＝－ １０，∴ ｓｉｎ ＝
（ ） １０ １０
２ １ １ ２ １０ 故 θ θ １０．
Ａ．－ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ． ， ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝－
５ ５ ５ ５ １０ ５
( ) ( )
答案 Ｃ ５π α π α α α １ ．
∵ ｓｉｎ ＋ ＝ｓｉｎ ＋ ＝ｃｏｓ ，∴ ｃｏｓ ＝
２ ２ ５
１ ６０ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
学生用书Ｐ６０
５．三角函数在各象限的符号
考点 三角函数的概念、同角三角函数的基
本关系及诱导公式
一、三角函数的有关概念
１．象限角
记忆口诀 一全正 二正弦 三正切 四余弦．
： ， ， ，
{ } 二、同角三角函数的基本关系与诱导公式
第一象限角的集合 α ｋ α π ｋ ｋ Ｚ
２ π＜ ＜ ＋２ π， ∈
２ １．平方关系 ２α ２α ．
：⑥ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝１
{ } α ( )
第二象限角的集合 α ｋ π α ｋ ｋ Ｚ ２．商数关系 ｓｉｎ α α π ｋ ｋ Ｚ ．
２ π＋ ＜ ＜２ π＋π， ∈ ： α＝ｔａｎ ≠ ＋ π， ∈
２ ｃｏｓ ２
３．诱导公式
{ }
第三象限角的集合 α ｋ α ｋ ３ ，ｋ Ｚ 函数
① ２ π＋π＜ ＜２ π＋ π ∈ 正弦 余弦 正切
２ 角
{ } α α α α
第四象限角的集合 α ｋ ３ α ｋ ，ｋ Ｚ － －ｓｉｎ ｃｏｓ ⑦ －ｔａｎ
② ２ π＋ π＜ ＜２ π＋２π ∈
２ α α α α
π－ ｓｉｎ ⑧ －ｃｏｓ －ｔａｎ
２．终边相同的角
α α α α
所有与角α终边相同的角 连同角α在内 构成的角的集合 π＋ ⑨ －ｓｉｎ －ｃｏｓ ｔａｎ
， ，
是 β β ｋ ° α ｋ Ｚ 或 β β α ｋ ｋ Ｚ ．
｛ ｜ ＝ ·３６０ ＋ ， ∈ ｝ ｛ ｜ ＝ ＋２ π， ∈ ｝ α α α α
３．弧长与扇形面积公式 ２π－ －ｓｉｎ ⑩ ｃｏｓ －ｔａｎ
弧长公式 ｌ α ｒ
（１） ： ＝｜ ｜· ； α α α α
２π＋ ｓｉｎ ｃｏｓ ｔａｎ
扇形面积公式 Ｓ １ ｌ ｒ １ α ｒ２ ． 其中ｌ为扇形
（２） ： ＝ · ＝③ ｜ ｜ （
２ ２ π α α α
弧长 α为圆心角 ｒ为扇形半径 － ｃｏｓ ｓｉｎ
， ， ） ２
４．任意角的三角函数的定义
π α α α
定义 设角α的终边与单位圆交于点Ｐ ｘ ｙ 则 α ＋ ｃｏｓ －ｓｉｎ
（１） ： （ ， ）， ｓｉｎ ＝ ２
ｙ
ｙ α ｘ α ｘ ． ３π α α α
④ ，ｃｏｓ ＝ ，ｔａｎ ＝⑤ ｘ （ ≠０） － －ｃｏｓ －ｓｉｎ
２
三角函数线
（２） ３π α α α
三角函数线是三角函数的几何表示 它们都是有向线段 线 ＋ －ｃｏｓ ｓｉｎ
， ， ２
段的方向表示三角函数值的正负．与坐标轴同向为正 异向为负
， ； ｋ
线段的长度是三角函数值的绝对值． 角
“
π
±
α
（
ｋ
∈
Ｚ
）”
的三角函数的记忆口诀为
“
奇变偶不变
，
２
符号看象限 ．
”
学生用书Ｐ６１
同角三角函数的基本关系的应用 已知 α α α 则 α
（２） ｓｉｎ －ｃｏｓ ＝ ２， ∈（０，π）， ｔａｎ ＝ （ ）
１．知弦求弦．利用诱导公式及平方关系 ２α ２α 求解．
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝１
２ ２
２．知弦求切．常通过平方关系 与对称式 α α α Ａ．－１ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．１
， ｓｉｎ ±ｃｏｓ ，ｓｉｎ · ２ ２
α ( )
α建立联系 注意 α ｓｉｎ 的灵活应用． 已知α π α ４ 则 α ．
ｃｏｓ ， ｔａｎ ＝ α （３） ∈ ０， ，ｃｏｓ ＝ ， ｓｉｎ（π－ ）＝
ｃｏｓ ２ ５
３．知切求弦．先利用商数关系得出 α α α 或 解题思路
ｓｉｎ ＝ｔａｎ ·ｃｏｓ
α
α ｓｉｎ 然后利用平方关系求解． 题型属于 知切求弦 且 ２θ θ θ ２θ通过
ｃｏｓ ＝ α， （１） “ ”， ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ｃｏｓ －２ｃｏｓ
ｔａｎ 的代换 可转化为齐次式 所以可采用 弦化切 的思想方法
例 已知 θ 则 ２θ θ θ ２θ “１” ， ， “ ”
（１） ｔａｎ ＝２， ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ｃｏｓ －２ｃｏｓ ＝ （ ） 求解．
４ ５ ３ ４ 思路一 题型属于 知弦求切 可考虑将已知等式通过
Ａ．－ Ｂ． Ｃ．－ Ｄ． （２） ： “ ”，
３ ４ ４ ５ 消元 结合 的代换转化为齐次式进行求解
， “１” ；
第四章 三角函数与解三角形 １ ６１
思路二 由于已知等式的左边可利用辅助角公式 所以可通
： ， 答案 Ｄ Ａ ３
过辅助角公式将已知方程变形 进而求得角α （１） （２） （３）
， ； ５
思路三 已知 α α 可设 α α ｔ 两式分 １－１ 已知角 θ 的终边在第三象限 θ 则
： ｓｉｎ －ｃｏｓ ＝ ２， ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝ ， （１） ，ｔａｎ ２ ＝－２ ２，
别平方
，
解出ｔ
，
进而解出
ｓｉｎ
α
，ｃｏｓ
α
，
可求
ｔａｎ
α．
ｓｉｎ
２θ
＋ｓｉｎ（３π－
θ
）ｃｏｓ（２π＋
θ
）－ ２ｃｏｓ
２θ
＝ （ ）
题型属于 知弦求弦 可考虑用平方关系 ２α ２α
（３） “ ”， ｓｉｎ ＋ｃｏｓ
２ ２ ２ ２
直接求解． Ａ．－ Ｂ． Ｃ．－ Ｄ．
＝１ ６ ６ ３ ３
解析 ２θ θ θ ２θ 已 知 θ 为 第 四 象 限 角 θ θ 则
（１）ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ｃｏｓ －２ｃｏｓ （２） ， ｓｉｎ ＋ ３ｃｏｓ ＝ １，
２θ θ θ ２θ ２θ θ θ ．
ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ｃｏｓ －２ｃｏｓ ｔａｎ ＋ｔａｎ －２ ｔａｎ ＝
＝ ２θ ２θ ＝ ２θ ，
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ｔａｎ ＋１ １－１． 答案 Ｄ ４
（１） （２）－
把 θ 代入得 原式 ４＋２－２ ４ ．故选 ． ３
ｔａｎ ＝２ { ， ＝ ４＋１ ＝ ５ Ｄ １－２ （２０２１山东济宁期末，３）若 α 则 ｓｉｎ２ α
α α ｔａｎ ＝２， ２α＝
解法一 由 ｓｉｎ －ｃｏｓ ＝ ２， １＋ｃｏｓ
（２） ： ２α ２α
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝１， （ ）
得 ２ｃｏｓ ２α ＋２ ２ｃｏｓ α ＋１＝０， 即 （ ２ｃｏｓ α ＋１） ２ ＝０， １ １ ２
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．１
６ ３ ３
所以 α ２．又α 所以α ３π １－２． 答案 Ｃ
ｃｏｓ ＝－ ∈（０，π）， ＝ ，
２ ４ １－３ （２０２０湖北宜昌一中期末，１８）已知α是第三象限角
，
所以 α ３π ．
ｔａｎ ＝ｔａｎ ＝－１
４ 且 α １０．
ｃｏｓ ＝－
解法二 因为 α α １０
： ( ｓｉ ) ｎ －ｃｏｓ ＝ ２， ( ) 求 α的值
（１） ｔａｎ ；
所以 ２ｓｉｎ α － π ＝ ２， 所以 ｓｉｎ α － π ＝１ ． 化简并求 ｃｏｓ（π－ α ） 的值．
４ ４ （２） ( )
α π α
因为α 所以α ３π 所以 α ． ２ｓｉｎ（－ ）＋ｓｉｎ ＋
∈（０，π）， ＝ ， ｔａｎ ＝－１ ２
４
解法三 由 α α 得 α α ． １－３． 解析 α是第三象限角 α １０
： ｓｉｎ －ｃｏｓ ＝ ２ １－ｓｉｎ２ ＝２，∴ ｓｉｎ２ ＝－１ （１）∵ ，ｃｏｓ ＝－ ，
设 α α ｔ α ｔ２ ｔ ． １０
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝ ，∴１＋ｓｉｎ２ ＝ ，∴ ＝０
{ α
α α α ２α ３ １０ α ｓｉｎ ．
由 ｓｉｎ －ｃｏｓ ＝ ２，得 α ２ α ２ ∴ ｓｉｎ ＝－ １－ｃｏｓ ＝－ ，∴ ｔａｎ ＝ α＝３
α α ｓｉｎ ＝ ，ｃｏｓ ＝－ ， １０ ｃｏｓ
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝０ ２ ２ α α
α ． 原式 －ｃｏｓ ｃｏｓ １
∴ ｔａｎ ＝－１ （２） ＝ α α＝ α α＝ α ，
( ) －２ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ２ｓｉｎ －ｃｏｓ ２ｔａｎ －１
α π α
（３）∵ ∈ ０， ，∴ ｓｉｎ ＞０， 将 α 代入 得原式 １ １ ．
２ ｔａｎ ＝３ ， ＝ ＝
２×３－１ ５
α α ２α ３ ．
∴ ｓｉｎ（π－ ）＝ｓｉｎ ＝ １－ｃｏｓ ＝
５
Ａ 组 考点基础题组 学生用书Ｐ６２
三角函数的概念、同角三角函数的基本关
α ６ α ２
系及诱导公式 Ａ．ｓｉｎ ＝ Ｂ．ｃｏｓ２ ＝－
６ ３
(
α ５ α ５
１．（２０２１辽宁沈阳市郊联体一模，３）已知 α π Ｃ．ｓｉｎ２ ＝－ Ｄ．ｔａｎ２ ＝－
２ｓｉｎ（π－ ）＝３ｓｉｎ ＋ ３ ２
) ２ ２． 答案 Ｂ
α 则 ２α １ α ２α ３．（２０２０湖南永州祁阳二模，６）已知角θ的顶点与原点重合 始
， ｓｉｎ － ｓｉｎ２ －ｃｏｓ ＝ （ ） ，
２
边与ｘ轴的正半轴重合 终边在直线ｙ ｘ上 则 θ
， ＝－２ ， ｓｉｎ２ ＝
５ １ ５ １
Ａ． Ｂ．－ Ｃ．－ Ｄ．
１３ １３ １３ １３ （ ）
１． 答案 Ｂ
３ ３ ４ ４
２．（２０２１广东肇庆二模，７）已知角α的顶点与坐标原点Ｏ重合 Ａ．
５
Ｂ．－
５
Ｃ．
５
Ｄ．－
５
， ３． 答案 Ｄ
始边与ｘ轴的非负半轴重合 它的终边与以Ｏ为圆心的单位
，
４．（２０２０山东潍坊一模，３）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 点Ｐ
， （ ３，
圆相交于Ａ点．若Ａ的横坐标为 ６ 则
， （ ）
６ 将向量Ｏ→Ｐ绕点Ｏ按逆时针方向旋转π后得到向量Ｏ→Ｑ 则
１）， ，
２
１ ６２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
点Ｑ的坐标是 步设计该小区边界轮廓是半径为 米 圆心角为 °的扇
（ ） ２００ ， １２０
形ＡＯＢ．Ｏ为南门位置 Ｃ 为东门位置 小区里有一条平行于
Ａ．（－ ２，１） Ｂ．（－１， ２） Ｃ．（－ ３，１） Ｄ．（－１， ３） ， ，
４． 答案 Ｄ
ＡＯ的小路ＣＤ 若ＯＤ ２００ ６米 则圆弧ＡＣ的长为 米．
５．（２０１９河北六校第三次联考，５）若 α是方程 ｘ２ ｘ ， ＝ ，
ｓｉｎ ５ －７ －６＝０ ３
( ) ( )
α ３ ３π α ２ α
ｓｉｎ － － π ｓｉｎ － ｔａｎ（２π－ ）
的根 则 ２ ２
， ( ) ( ) ＝ （ ）
π α π α α
ｃｏｓ － ｃｏｓ ＋ ｓｉｎ（π＋ ）
２ ２
３ ５ ４ ５ ７． 答案
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ５０π
５ ３ ５ ４
５． 答案 Ｂ ８．（２０２０广东茂名化州二模，１５）已知曲线ｆ ｘ ２ ｘ３ 在点
（ ）＝ （１，
６．（２０２１东北三省四市教研联合体二模，１３）已知角α的顶点与 ３
２α ２α
坐标原点重合 始边与ｘ轴的非负半轴重合 点 在终边 ｆ 处的切线的倾斜角为 α 则 ｓｉｎ －ｃｏｓ 的值为
， ， （２，－１） （１）） ， α α ２α
上 则 α ． ２ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ
， ｃｏｓ２ ＝ ．
６． 答案 ３
８． 答案 ３
５
７．（２０２１山东聊城二模，１４）如图是某商业小区的平面设计图 初 ５
，
Ｂ 组 综合应用题组 学生用书Ｐ６２ ３０分钟 ５０分
一、单项选择题（每小题５分，共２５分） ４． 答案 Ａ
１．（２０２０山东九校联考，６）已知点Ａ在圆ｘ２
＋
ｙ２
＝４
上
，
且
∠
ｘＯＡ
＝
５．（２０２０ 河北衡水中学七调，８）如图
，
直角坐标系中
，
角 α
( ) ( )
７ 则点Ａ的横坐标为 α π 角β π β 的终边分别交单位圆于Ａ Ｂ两
π， （ ） ０＜ ＜ 、 － ＜ ＜０ 、
１２ ２ ２
α
点 若点 Ｂ 的纵坐标为 ５ 且满足 Ｓ ３ 则
Ａ． ２－ ６ Ｂ． ２－ ６ Ｃ． １－ ３ Ｄ． １－ ３ ， － １３ ， △ ＡＯＢ ＝ ４ ， ｓｉｎ ２ ·
２ ４ ４ ２ ( α α )
１． 答案 Ａ １ 的值为
３ｃｏｓ －ｓｉｎ ＋ （ ）
( ) ２ ２ ２
２．（２０２０全国１００所名校新高考模拟示范卷，４） ２ π θ
ｃｏｓ － － ＋
１０
( )
２ ２π θ
ｃｏｓ － ＝ （ ）
５
１ ３
Ａ． Ｂ． ２ Ｃ．１ Ｄ．
２ ２
２． 答案 Ｃ
５ １２ １２ ５
３．（２０２１江苏盐城二模，６）密位制是度量角的一种方法．把 周 Ａ．－
１３
Ｂ．
１３
Ｃ．－
１３
Ｄ．
１３
１ ５． 答案 Ｂ
角等分为 份 每一份叫做 密位的角．以密位作为角的度
６０００ ， １
量单位 这种度量角的单位制 叫做角的密位制．在角的密位制 二、多项选择题（每小题５分，共１０分）
， ，
中 采用四个数码表示角的大小 单位名称密位二字可以省去 ６．（２０２０山东师范大学附属中学第三次月考，１２）在平面直角坐
， ，
不写．密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短横 标系ｘＯｙ中 角α的顶点为原点Ｏ 以ｘ轴正半轴为始边 终边
， ， ，
线 如 密位写成 密位写成 ． 周角等于 经过点Ｐ ｍ ｍ 则下列各式的值恒大于 的是
， ７ “０－０７”，４７８ “４－７８” １ （１， ）（ ＜０）， ０
密位 记作 周角 同理 直角 ．如果一
６０００ ， １ ＝６０－００， ，１ ＝１５－００ （ ）
α
个半径为 的扇形 它的面积为 ７ 则其圆心角用密位制表 ｓｉｎ α α
２ ， π， Ａ． α Ｂ．ｃｏｓ －ｓｉｎ
６ ｔａｎ
示为 α α α α
（ ） Ｃ．ｓｉｎ ｃｏｓ Ｄ．ｓｉｎ ＋ｃｏｓ
６． 答案 ＡＢ
Ａ．１２－５０ Ｂ．１７－５０ Ｃ．２１－００ Ｄ．３５－００
３． 答案 Ｂ ７．（２０２１山东济南十一校联考，１２）意大利画家列奥纳多 达
· ·
芬奇 ． ． 的画作 抱银貂的女子 中 女士脖颈上
４．（２０２１黑龙江哈尔滨三中一模，１０）若 α α １ α （１４５２４—１５１９５） 《 》 ，
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝ ， ∈（０， 悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光
５
α 泽．如果固定项链的两端 使其在重力的作用下自然下垂 项链
， ，
１＋ｔａｎ 所形成的曲线是什么 这就是著名的 悬链线问题 后人给
则 ２ 的值为 ？ “ ”，
π）， α （ ） ｘ
出了悬链线的函数解析式 ｆ ｘ ａ 其中ａ为悬链线系
１－ｔａｎ ：（ ）＝ ｃｏｓｈ ａ ，
２
ｘ ｘ
－
１ １ 数 ｘ称为双曲余弦函数 其表达式为 ｘ ｅ ＋ｅ 相应
Ａ．－３ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．３ ，ｃｏｓｈ ， ｃｏｓｈ ＝ ，
３ ３ ２
第四章 三角函数与解三角形 １ ６３
三、填空题（每小题５分，共１５分）
ｘ ｘ
－
地 双曲正弦函数的函数表达式为 ｘ ｅ －ｅ ．若直线ｘ ｍ
， ｓｉｎｈ ＝ ＝ ８．（２０２０ 山东师范大学附属中学月考，１４）已知 α １ 则
２ ｔａｎ ＝ ，
与双曲余弦函数Ｃ 的图象和双曲正弦函数Ｃ 的图象分别交 ３
１ ２ α ２α
于Ａ Ｂ两点 曲线Ｃ 在点Ａ处的切线与曲线Ｃ 在点Ｂ处的 ｓｉｎ２ －ｓｉｎ 的值为 ．
切线 ， 相交于 ， Ｐ 则下列 １ 结论中正确的是 ２ １＋ｃｏｓ２ α
， （ ）
８． 答案 ５
１８
９．（２０１９湘东六校期末联考，１５）在平面直角坐标系 ｘＯｙ 中 点
，
( )
Ｐ ｘ ｙ 在单位圆 Ｏ 上 设 ｘＯＰ α 且 α π ３π ．
（ ０， ０） ， ∠ ＝ ， ∈ ，
４ ４
( )
若 α π ４ 则ｘ 的值为 ．
ｃｏｓ ＋ ＝－ ， ０
４ ５
９． 答案 ２
－
１０
１０．（２０２１山东德州一模，１５）已知三棱锥Ｐ ＡＢＣ中 ＡＰ ＡＢ ＡＣ
－ ， 、 、
Ａ．ｃｏｓｈ
２ｘ
－ｓｉｎｈ
２ｘ
＝１ 三条棱两两垂直 且长度均为 以顶点Ｐ为球心 为半
ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ ， ２ ３， ，４
Ｂ．ｃｏｓｈ（ ＋ ）＝ｃｏｓｈ ｃｏｓｈ －ｓｉｎｈ ｓｉｎｈ 径作一个球 则该球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之
ＢＰ随ｍ的增大而减小 ，
Ｃ． 和为 ．
ＰＡＢ的面积随ｍ的增大而减小
Ｄ．△ １０． 答案
７． 答案 ＡＤ ３π
Ｃ 组 教师专用题组
一、单项选择题 答案 Ｄ 由题意可知 经过ｔ秒 秒针转过的角度为 ＡＯＢ
， ， ∠
１．（２０２１北京丰台一模，４）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 角α以Ｏｘ ｔ ｔ
， π 取ＡＢ的中点Ｃ 连接ＯＣ 则根据直角三角形的
＝ ×２π＝ ， ， ，
为始边 且 α ２ ．把角α的终边绕端点Ｏ逆时针旋转 弧 ６０ ３０
， ｓｉｎ ＝ π ＡＯＢ
３ 性质可得 ｄ ＡＢ ＯＡ ＡＯＣ ∠
＝ ｜ ｜ ＝２｜ ｜ｓｉｎ∠ ＝２×５×ｓｉｎ ＝
度 这时终边对应的角是β 则 β ２
， ， ｓｉｎ ＝ （ ） ｔ
π ．故选 ．
２ ２ ５ ５ １０ｓｉｎ Ｄ
Ａ．－ Ｂ． Ｃ．－ Ｄ． ６０
３ ３ ３ ３
答案 Ａ 由题意可知β α α ２ β
＝π＋ ，∵ ｓｉｎ ＝ ，∴ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ（π
３
α α ２ 故选 ．
＋ ）＝－ｓｉｎ ＝－ ， Ａ
３
２．（２０２１北京门头沟二模，６） α α 是 α ｋ π ｋ ( )
“ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ” “ ＝２ π＋ ， ∈ ４．（２０２１宁夏银川重点中学２月月考，５）已知 ｘ ｘ π
４ ｔａｎ ＝ｓｉｎ ＋ ，
Ｚ 的 ２
” （ ） 则 ｘ
充分不必要条件 必要不充分条件 ｓｉｎ ＝ （ ）
Ａ． Ｂ．
充分必要条件 既不充分也不必要条件 －１± ５ １－ ３ ５－１ ３－１
Ｃ． Ｄ． Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
( ) ２ ２ ２ ２
答案 Ｂ 若 α α 则 α α 即 α π ( )
ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ， ｓｉｎ －ｃｏｓ ＝０， ｓｉｎ － 答案 Ｃ 因为 ｘ ｘ π 所以 ｘ ｘ 所以
４ ｔａｎ ＝ｓｉｎ ＋ ， ｔａｎ ＝ｃｏｓ ，
２
故α π ｋ ｋ Ｚ 解得α π ｋ ｋ Ｚ α π ｋ ｋ ｘ ２ｘ 即 ｘ ２ｘ 即 ２ｘ ｘ 解得 ｘ
＝０， － ＝ π， ∈ ， ＝ ＋ π， ∈ ，∵ ＝ ＋ π， ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ， ｓｉｎ ＝１－ｓｉｎ ， ｓｉｎ ＋ｓｉｎ －１＝０， ｓｉｎ ＝
４ ４ ４
－１± ５ 又 ｘ 所以 ｘ ５－１ 故选 ．
Ｚ ／ α π ｋ ｋ Ｚ α π ｋ ｋ Ｚ α π ｋ ｋ ， －１≤ｓｉｎ ≤１， ｓｉｎ ＝ ， Ｃ
∈ ⇒ ＝ ＋２ π， ∈ ， ＝ ＋２ π， ∈ ⇒ ＝ ＋ π， ∈ ２ ２
４ ４ ４ ５．（２０２１江西宜春重点中学第七次月考，３）如图是某品牌手机的
Ｚ α α 是 α ｋ π ｋ Ｚ 的必要不充分条件 商标图案 制作时以曲线段ＡＢ为分界线 截去一部分图形而
，∴ “ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ” “ ＝２ π＋ ， ∈ ” ， ， ，
４ 成 已知该分界线是一段半径为 Ｒ 的圆弧 若圆弧的长度为
故选 ． ， ，
Ｂ Ｒ
３．（２０２１北京平谷一模，１０）某时钟的秒针端点Ａ到中心点Ｏ的 ２π 则Ａ Ｂ两点间的距离为
， ， （ ）
距离为 秒针绕点Ｏ匀速旋转 当时间ｔ 时 点Ａ与钟 ３
５ ｃｍ， ， ＝０ ，
面上标 的点Ｂ重合 当ｔ 时 将Ａ Ｂ两点间的距
“１２” ， ∈［０，６０］ ， ，
离ｄ 单位 表示成ｔ 单位 的函数 则ｄ等于
（ ：ｃｍ） （ ：ｓ） ， （ ）
ｔ ｔ ｔ ｔ
π π
Ａ．５ｓｉｎ Ｂ．１０ｓｉｎ Ｃ．５ｓｉｎ Ｄ．１０ｓｉｎ
２ ２ ３０ ６０
１ ６４ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
Ｒ Ｒ Ｒ Ｒ
Ａ． Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ．２ 过的角度为 ３ π 故点 Ｍ 的初始位置的坐标为
×２π ＝ ，
答案 Ｃ 因为半径为Ｒ的圆弧的长度为２πＲ 所以该圆弧 １２ ２
， æ ö
３ ç １ ３÷ 则运动到第 分钟末时动点Ｍ所处位置的坐标为
è ， ø， ３
２ Ｒ ２ ２
π æ ö
所对的圆心角为 ３ Ｒ ＝ ２ π ． è ç － ３ ， １ ø ÷ ， 故选 Ｃ ．
３ ２ ２
９．（２０２１河南洛阳重点中学模拟，６）现有如下结论 若点Ｐ ａ
如图 ＡＯＤ π 在 ＡＯＤ中 ＡＤ ＡＯ ＡＯＤ Ｒ ３ ：① （ ，
，∠ ＝ ， Ｒｔ△ ， ＝ ·ｓｉｎ∠ ＝ ×
３ ２
ａ ａ 为角α的终边上一点 则 α ２ ５ 同时满足
２ ）（ ≠０） ， ｓｉｎ ＝ ；②
３Ｒ 所以ＡＢ ＡＤ Ｒ 即Ａ Ｂ两点间的距离为 Ｒ 故 ５
＝ ， ＝２ ＝ ３ ， ， ３ ，
２
选 ． ｓｉｎ α ＝ １ ，ｃｏｓ α ＝ ３的角有无数个 ；③ 设 ｔａｎ α ＝ １ 且 π＜ α ＜ ３
Ｃ
２ ２ ２ ２
则 α ５ 设 θ θ θ 为象限
π， ｓｉｎ ＝－ ；④ ｃｏｓ（ｓｉｎ ）·ｔａｎ（ｃｏｓ ）＞０（
５
角 则θ是第一象限角 其中正确结论的序号为
）， ， （ ）
６．（２０２１黑龙江牡丹江二模，６）角α的终边上一点Ｐ ａ ａ ａ
（ ，２ ）（ Ａ．①② Ｂ．②③ Ｃ．①③ Ｄ．②④
则 α α 答案 Ｂ 对于 当角 α 的终边在第三象限时 α
≠０）， ２ｓｉｎ －ｃｏｓ ＝ （ ） ①， ，ｓｉｎ ＝
５ ５ ２ ５ 故 错误
Ａ． Ｂ．－ － ， ① ；
５ ５ ５
５或 ５ ３ ５或 ３ ５ 对于 同时满足 α １ α ３的角α为 ｋ π ｋ
Ｃ． － Ｄ． － ②， ｓｉｎ ＝ ，ｃｏｓ ＝ ２ π＋ （ ∈
５ ５ ５ ５ ２ ２ ６
答案 Ｄ 由角α的终边上一点Ｐ ａ ａ ａ 得 α Ｚ 有无数个 故 正确
（ ，２ ）（ ≠０）， ｃｏｓ ＝ ）， ， ② ；
ì
ï
ａ ａ ï ５ ， ａ ＞０， ａ ａ 对于 ③， 因为 π＜ α ＜ ３ π，ｔａｎ α ＝ １ ， 所以 ｓｉｎ α ＝－ ５ ，ｃｏｓ α ＝
í５ α ２ ２ ２ ２ ５
ａ２ ａ ２ ＝ ａ ＝ï ｓｉｎ ＝ ａ２ ａ ２ ＝ ａ ＝
＋（２ ） ５｜ ｜ î ï － ５ ， ａ ＜０， ＋（２ ） ５｜ ｜ － ２ ５ ， 故 ③ 正确 ；
５
５
ì ï ì ï 对于 因为 θ θ θ 恒成立
２ ５ ａ ３ ５ ａ ④， ｃｏｓ（ｓｉｎ ）·ｔａｎ（ｃｏｓ ）＞０，ｃｏｓ（ｓｉｎ ）＞０ ，
ï ， ＞０， ï ， ＞０， 所以 θ 即 θ θ是第一象限角或第四象
í ５ 所以 α α í ５ ｔａｎ（ｃｏｓ ）＞０， ０＜ｃｏｓ ≤１，∴
ï ２ｓｉｎ －ｃｏｓ ＝ï 限角 故 错误 综上可知选 ．
ï ２ ５ ａ ï ３ ５ ａ ， ④ ， Ｂ
î－ ， ＜０， î－ ， ＜０， １０．（２０２１ 浙江绍兴新昌高三上期末，７）已知 θ θ
５ ５ ｓｉｎ －ｃｏｓ ＝
θ θ 则角θ所在的区间可能是
即 α α ３ ５ 故选 ． ｓｉｎ ｃｏｓ ， （ ）
２ｓｉｎ －ｃｏｓ ＝± ， Ｄ ( ) ( )
５ ． π ． π π
( ) Ａ ０， Ｂ ，
７．（２０２１贵州遵义五校２月模拟，５）已知α π π α ４ ４ ２
∈ － ， ，ｓｉｎ２ ( ) ( )
４ ４ ． π ３π ． ３π
Ｃ ， Ｄ ，π
２４ 则 α ２ ４ ４
＝－ ， ｔａｎ（π＋ ）＝ （ ） 答案 Ｂ 设ｔ θ θ ｔ
２５ ＝ｓｉｎ －ｃｏｓ （－ ２≤≤ ２），
３ ３ 或 ４ ３ ３ 或 ４ 则ｔ２ θ θ 即ｔ２ ｔ 所以ｔ ．
Ａ．－ Ｂ．－ － Ｃ． Ｄ． － ＝１－２ｓｉｎ ｃｏｓ ， ＝１－２， ＝ ２－１＞０
４ ４ ３ ４ ４ ３ { θ θ ( )
α α α 所以 ｓｉｎ ＞ｃｏｓ ， 所以 θ π ｋ π ｋ ｋ Ｚ 故
答案 Ａ α α α ２ｓｉｎ ｃｏｓ ２ｔａｎ θ θ ∈ ＋２ π， ＋２ π ， ∈ ，
ｓｉｎ ２ ＝２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ ２α ２α＝ ２α ＝ ｓｉｎ ｃｏｓ ＞０， ４ ２
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ｔａｎ ＋１ 选 ．
( ) Ｂ
２４ 解得 α ３ 或 ４ 又 α π π α 名师点睛 本题主要考查了三角恒等式的应用，三角函数
－ ， ｔａｎ ＝－ － ， ∵ ∈ － ， ，∴ ｔａｎ ∈
２５ ４ ３ ４ ４
在各象限内的符号，关键点是确定等号两端式子的取值范
α ３ α α ３ ．故选 ．
（－１，１），∴ ｔａｎ ＝－ ，∴ ｔａｎ（π＋ ）＝ｔａｎ ＝－ Ａ 围，考查了学生分析问题、解决问题的能力．
４ ４
８．（２０２１广西桂林十八中３月模拟，６）在平面直角坐标系中 动 二、多项选择题
，
点Ｍ在单位圆上按逆时针方向做匀速圆周运动 第 分钟末
， １２ １１．（２０２０山东师范大学附属中学第三次月考，１２）在平面直角坐标
æ ö
刚好转动一周 ， 若点Ｍ的初始位置的坐标为 è ç １ ２ ， ２ ３ ø ÷ ， 则运动 系 经过 ｘＯ 点 ｙ中 Ｐ ， 角 ｍ α的 ｍ 顶点在 则 原 下 点 列 Ｏ 各 ， 以 式的 ｘ轴 值 的 恒 非 大 负 于 半轴 的 为 是 始边 ， 终边
（１， ）（ ＜０）， ０ （ ）
到第 分钟末时 动点Ｍ所在位置的坐标为
３ ， （ ） α
ｓｉｎ α α
æ ö æ ö Ａ． α Ｂ．ｃｏｓ －ｓｉｎ
ç ３ １ ÷ ç １ ３÷ ｔａｎ
Ａ．è ， ø Ｂ．è－ ， ø α α α α
２ ２ ２ ２ Ｃ．ｓｉｎ ｃｏｓ Ｄ．ｓｉｎ ＋ｃｏｓ
æ ö æ ö 答案 ＡＢ 本题考查了三角函数的定义 三角函数值的符
ç ３ １ ÷ ç ３ １ ÷ ，
Ｃ．è－ ， ø Ｄ．è－ ，－ ø 号的判断 考查了逻辑推理的核心素养．
２ ２ ２ ２ ，
答案 Ｃ 每 分钟转动一周 则运动到第 分钟末时 转 由题意知 α α α ．
１２ ， ３ ， ｓｉｎ ＜０，ｃｏｓ ＞０，ｔａｎ ＜０
第四章 三角函数与解三角形 １ ６５
α ( )
选项 ｓｉｎ 选项 α α α π １１ 则ｘ 的值为 ．
Ａ， α＞０； Ｂ，ｃｏｓ －ｓｉｎ ＞０； ｃｏｓ ＋ ＝－ ， ０
ｔａｎ ３ １４
选项 α α 选项 α α的符号不确定．故
Ｃ，ｓｉｎ ｃｏｓ ＜０； Ｄ，ｓｉｎ ＋ｃｏｓ 答案 １
选 ．
ＡＢ ７
解析 因为点Ｐ ｘ ｙ 是单位圆Ｏ上第一象限内的点
三、填空题 （ ０， ０） ，
ｘＯＰ α 所以α是第一象限角 且ｘ α ｙ α
１２．（２０２１北京顺义第二次统练，１４）已知 α 是任意角 且满足 ∠ ＝ ， ， ０＝ｃｏｓ ， ０＝ｓｉｎ ，
， ( )
( ) 因为 α π １１ 所以α π为第二象限角
α ｋ π α ｋ Ｚ 则常数 ｋ 的一个取值为 ｃｏｓ ＋ ＝－ ＜０， ＋ ，
ｃｏｓ ＋ · ＝ｓｉｎ （ ∈ ）， ３ １４ ３
６ ( ) ( )
． 所以
ｓｉｎ
α
＋
π
＝ １－ｃｏｓ
２ α
＋
π
＝
５ ３
，
答案 答案不唯一 ３ ３ １４
－３（ ） [( ) ] ( )
( ) 故ｘ α α π π α π π
解析 α ｋ π α ｋ Ｚ ｋ π π ０ ＝ ｃｏｓ ＝ ｃｏｓ ＋ － ＝ ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ ＋
∵ ｃｏｓ ＋ · ＝ｓｉｎ （ ∈ ），∴ · ＝－ ＋ ３ ３ ３ ３
６ ６ ２ ( )
ｋ ｋ Ｚ 则ｋ ｋ ｋ Ｚ ．本题答案不唯一． α π π １１ １ ５ ３ ３ １ ．
２ π（ ∈ ）， ＝－３＋１２ （ ∈ ） ｓｉｎ ＋ ｓｉｎ ＝－ × ＋ × ＝
１３．（２０２１ 北京海淀一模，１４） 若实数 α β 满足方程组 ３ ３ １４ ２ １４ ２ ７
， ( )
{ α β １５．（２０２１ 山西三市五校 ３ 月联考，１４）已知 π α
１＋２ｃｏｓ ＝２ｃｏｓ ， 则β的一个值是 ． ｃｏｓ － ＋
３＋２ｓｉｎ α ＝２ｓｉｎ β ， ( ) ( ) ２
答案 答案不唯一 π β 则 ２ ３ α β 的取值范
０（ ） ｓｉｎ ＋ ＝ １， ｃｏｓ π＋ ＋ ｃｏｓ － １
２ ２
ì
ï α １ β 围为 ．
解析 ∵ { １＋２ｃｏｓ α α ＝２ｃｏｓ β β ， ∴ í ï ï ｃｏｓ ＝－ ２ ＋ｃｏｓ ， 答 案 [ － １ ，０ ]
３＋２ｓｉｎ ＝２ｓｉｎ ， ï α ３ β ４
îｓｉｎ ＝－ ＋ｓｉｎ ， 解析 由已知得 β α β
２ ｃｏｓ ＝１－ｓｉｎ ，∵ －１≤ｃｏｓ ≤１，∴ －１≤１
( ) ２ æ ö２ α 即 α 又 α α ．由
又 ２α ２α β １ ç β ３÷ 整理得 －ｓｉｎ ≤１， ０≤ｓｉｎ ≤２， －１≤ｓｉｎ ≤１，∴０≤ｓｉｎ ≤１
ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ＝１，∴ ｃｏｓ － ＋èｓｉｎ － ø ＝１， ( )
( ) ２ ２ 诱导公式可得 ｃｏｓ ２ ３ π＋ α ＋ｃｏｓ β －１＝ｓｉｎ ２α ＋ｃｏｓ β －１＝ｓｉｎ ２α
β π １ β π π ｋ 或β π ５π ｋ ｋ Ｚ ２
ｓｉｎ ＋ ＝ ，∴ ＋ ＝ ＋２ π ＋ ＝ ＋２ π， ∈ ， ( )
６ ２ ６ ６ ６ ６ α ２α α α １ ２ １ ．当 α １ 时
＋１－ｓｉｎ －１＝ｓｉｎ －ｓｉｎ ＝ ｓｉｎ － － ｓｉｎ ＝ ，
β ｋ 或 β ２π ｋ ｋ Ｚ 故可取 β ．本题答案不 ２ ４ ２
∴ ＝２ π ＝ ＋２ π， ∈ ， ＝０
３ 上式取得最小值 １ 当 α 或 α 时 上式取得最
唯一． － ； ｓｉｎ ＝０ ｓｉｎ ＝１ ，
４
１４．（２０２１安徽马鞍山一模，１４）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 点Ｐ [ ]
， 大值 故所求代数式的取值范围为 １ ．
ｘ ｙ 是单位圆 Ｏ 上第一象限内的点 ｘＯＰ α 若 ０， － ，０
（ ０， ０） ，∠ ＝ ， ４
学生用书Ｐ６３
( ) ( ) ３．（２０２１ ５·３原创题）已知α β 且α β 若关于ｘ的方
１．（２０２１ ５·３ 原创题） 已知 α π β π 且 ， ∈（０，２π） ＜ ，
∈ ０， ， ∈ ，π ， 程 ｘ α ｘ β 有实数根 则代数式
２ ２ （ ＋ｓｉｎ ） （ ＋ｓｉｎ ） ＋ １ ＝ ０ ，
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
π α β π α π β 则β α π α ３π β
ｓｉｎ ＋ ＝ ３ｃｏｓ － ， ３ｓｉｎ（π＋ ）＝ｓｉｎ － ， － ＝ ３ｓｉｎ ＋ ＋ｃｏｓ －
２ ２ ２ ２ ２ 的值为 ．
( )
（ ） α ３π β
２－ｓｉｎ（π－ ）ｃｏｓ ＋
２π π π π ２
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
３ ３ ２ ４ ３． 答案 １
１． 答案 Ａ
３
２．（２０２１ ５·３原创题）已知两个锐角α β α β 且 α β ( )
， （ ＜ ）， ｔａｎ ，ｔａｎ ４．（２０２１ ５·３ 原创题）已知 π ｘ １ π ｘ 则
为方程
４０
ｘ２
－１３
ｘ
＋１＝０
的两根
，
如果钝角γ的始边与ｘ轴的非
( ) ( )
ｓｉｎ
３
＋ ＝－
４
，－
２
＜ ＜０，
负半轴重合 终边经过点 则α β γ
， （－２，１）， ＋ － ＝ （ ） π ｘ ２π ｘ ．
ｓｉｎ － －ｃｏｓ － ＝
６ ３
π ２π ３π π
Ａ．－ Ｂ．－ Ｃ．－ Ｄ．
４ ３ ４ ４ ４． 答案 １５
２． 答案 Ｃ
２
