北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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7.4 空间角与距离、空间向量及其应用
考点1 空间角与距离
1.（2023全国乙理，9）已知 为等腰直角三角形，AB为斜边， 为等边三角形，若二面角
为 ，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】取 的中点 ，连接 ，因为 是等腰直角三角形，且 为斜边，则有
，
又 是等边三角形，则 ，从而 为二面角 的平面角，即
，
显然 平面 ，于是 平面 ，又 平面 ，
因此平面 平面 ，显然平面 平面 ，
直线 平面 ，则直线 在平面 内的射影为直线 ，北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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从而 为直线 与平面 所成的角，令 ，则 ，在
中 ， 由 余 弦 定 理 得 ：
，
由正弦定理得 ，即 ，
显然 是锐角， ，
所以直线 与平面 所成的角的正切为 .故选：C
2.(2020新高考Ⅰ,4,5分)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子
来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点
A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处
的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成角为( )
A.20° B.40° C.50° D.90°
答案 B 由题意作出如图所示的截面图,设所求角为α,
由图易知α=40°.故选B.
3.(2022全国甲,理7,文9,5分)在长方体ABCD-ABCD 中,已知BD与平面ABCD和平面AABB所成的
1 1 1 1 1 1 1
角均为30°,则 ( )北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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A.AB=2AD
B.AB与平面ABCD所成的角为30°
1 1
C.AC=CB
1
D.BD与平面BBCC所成的角为45°
1 1 1
答案
D 如图,连接BD.由题可知,BB⊥平面ABCD,AD⊥平面AABB,
1 1 1
易知B D 与平面 ABCD 和平面 AA B B 所成的角分别为 ∠ B DB , ∠ AB D , ∴∠BDB=∠ABD=30°.
1 1 1 1 1 1 1
设AD=1,则AB=√3,BD=2,
1 1
∴BB=1,BD=√3,∴AB=√2,
1
∴AB=√2AD,故A错误.
过B作BH⊥AB,交AB 于H,
1 1
易知∠HAB为AB与平面ABCD所成的角.
1 1
∵BH= AB·BB
1=
√6,
AB 3
1
BH √3
∴sin∠HAB= = ,故B错误.
AB 3
易知AC=√3,CB=√2,∴AC≠CB,故C错误.
1 1
易知∠DBC为BD与平面BBCC所成的角,
1 1 1 1
∴sin∠DBC= DC √2,∴∠DBC=45°,故D正确.
1 = 1
B D 2
1
4.(多选)(2022新高考Ⅰ,9,5分)已知正方体ABCD-ABCD,则 ( )
1 1 1 1
A.直线BC 与DA 所成的角为90°
1 1
B.直线BC 与CA 所成的角为90°
1 1
C.直线BC 与平面BBDD所成的角为45°
1 1 1
D.直线BC 与平面ABCD所成的角为45°
1北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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答案
ABD 连接BC,交BC 于O,∵AD∥BC,∴∠BOC(或其补角)为直线BC 与DA 所成的角,又
1 1 1 1 1 1 1 1
BC⊥BC,∴∠BOC=90°,即直线BC 与DA 所成角为90°.故选项A正确.
1 1 1 1 1 1
由AB⊥平面BBCC,BC 平面BBCC知AB⊥BC,又BC⊥BC,AB∩BC=B,∴BC⊥平面ABC,又
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
CA 平面ABC,∴BC⊥C ⊂ A,∴直线BC 与CA 所成角为90°.故选项B正确.
1 1 1 1 1 1 1
连接⊂AC,交BD 于点O,连接OB,易证CO⊥平面BBDD,∴BC 在平面BBDD内的射影为OB,∴BC
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
与平面BB 1 D 1 D所成角为∠C 1 BO 1 .在Rt BO 1 C 1 中,sin∠C 1 BO 1 = C 1 O 1= 1,则∠C 1 BO 1 =30°,故选项C错误.
BC 2
△ 1
∵CC⊥平面ABCD,∴∠CBC是BC 与平面ABCD所成的角,而∠CBC=45°,故选项D正确.故选ABD.
1 1 1 1
5.(2014课标Ⅱ,11,5分)直三棱柱ABC-ABC 中,∠BCA=90°,M,N分别是AB,AC 的中点,BC=CA=CC,则
1 1 1 1 1 1 1 1
BM与AN所成角的余弦值为( )
1 2
A. B.
10 5
√30 √2
C. D.
10 2
答案 C 解法一:以C 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
1
设BC=CA=CC=2,则A(2,0,2),N(1,0,0),M(1,1,0),B(0,2,2),
1
∴⃗AN=(-1,0,-2),⃗BM=(1,-1,-2),
∴cos< , >= ⃗AN·⃗BM = −1+4 = 3 =√30,故选C.
⃗AN ⃗BM
|⃗AN||⃗BM| √5×√6 √30 10
解法二:取BC的中点Q,连接QN,AQ,易知BM∥QN,则∠ANQ即为所求,
设BC=CA=CC=2,
1
则AQ=√5,AN=√5,QN=√6,
AN2+NQ2−AQ2 5+6−5 6 √30
∴cos∠ANQ= = = = ,
2AN·NQ 2√5×√6 2√30 10
故选C.北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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6.(2013北京,8,5分)如图,在正方体ABCD-ABCD 中,P为对角线BD 的三等分点,P到各顶点的距离的不同
1 1 1 1 1
取值有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
答案 B 过P作平面ABCD、ABCD的垂线分别交DB、DB于E、F点,易知P也是EF的三等分点,设
1 1 1 1 1 1
2 √3 √6 √6
正方体的棱长为a,则PA=PC=a;PD= √3a;PB= a;PB= a,PA=PC= a;PD=a.故有4个不同的值.
1 1 1 3 3 1 3 3
故选B.
思路分析 设正方体的棱长为a,利用正方体中的直角三角形分别计算P到各顶点的距离即可.
解后反思 本题考查了线面的垂直关系、空间想象力及运算能力.构造直角三角形是解题关键.
7.(2012陕西,5,5分)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-ABC,CA=CC=2CB,则直线BC 与直线
1 1 1 1 1
AB 夹角的余弦值为( )
1
√5 √5
A. B.
5 3
2√5 3
C. D.
5 5北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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答案 A 不妨设CB=1,则B(0,0,1),A(2,0,0),C(0,2,0),B(0,2,1).
1 1
∴ =(0,2,-1), =(-2,2,1).
⃗BC ⃗AB
1 1
cos<⃗BC ,⃗AB >= ⃗BC 1 ·⃗AB 1 = 0+4−1 =√5,故选A.
1 1 |⃗BC |·|⃗AB | √5×3 5
1 1
评析 本题考查利用空间坐标运算求异面直线所成的角,考查了运算求解能力.
8.(2023 北 京 ,16,14 分 , 中 ) 如 图 , 在 三 棱 锥 P-ABC 中 ,PA⊥ 平 面
ABC,PA=AB=BC=1,PC=√3.
(1)求证:BC⊥平面PAB;
(2)求二面角A-PC-B的大小.
解析 (1)证明:因为PA⊥平面ABC,BC,AB 平面ABC,
所以PA⊥BC,PA⊥AB.所以PB= ⊂ .
√PA2+AB2=√2
又因为BC=1,PC=√3,所以PB2+BC2=PC2,
所以PB⊥BC,
又因为PA⊥BC,且PA∩PB=P,PA,PB 平面PAB,
所以BC⊥平面PAB.
⊂
(2)以B为原点,BC所在直线为x轴,BA所在直线为y轴,建立如图所示的空间直角坐标
系,
则A(0,1,0),B(0,0,0),C(1,0,0),P(0,1,1),
所以⃗AP=(0,0,1),⃗AC=(1,-1,0),⃗PC=(1,-1,-1),⃗BC=(1,0,0),
设平面PAC的法向量为m=(x ,y ,z ),
1 1 1北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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{ m·⃗AP=z =0,
则 1 令y =1,则m=(1,1,0),
1
m·⃗AC=x −y =0,
1 1
设平面PBC的法向量为n=(x ,y ,z ),
2 2 2
{n·⃗PC=x −y −z =0,
则 2 2 2 令z =-1,则n=(0,1,-1),
2
n·⃗BC=x =0,
2
m·n 1 1
所以cos<m,n>= = = ,
|m|·|n| √2×√2 2
又因为二面角A-PC-B为锐二面角,
π
所以二面角A-PC-B的大小为 .
3
考点2 空间向量及其应用
1.(多选)(2021新高考Ⅰ,12,5分)在正三棱柱ABC-ABC 中,AB=AA=1,点P满足 ,
1 1 1 1 ⃗BP=λ⃗BC+μ⃗BB
1
其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],则 ( )
A.当λ=1时, ABP的周长为定值
1
B.当μ=1时,△三棱锥P-ABC的体积为定值
1
1
C.当λ= 时,有且仅有一个点P,使得AP⊥BP
1
2
1
D.当μ= 时,有且仅有一个点P,使得AB⊥平面ABP
1 1
2
答案
BD 选项A,当λ=1时,点P在线段CC 上,设CP=x(0≤x≤1),若x=0,则△ABP即为△ABC,此时
1 1 1
△ABP的周长为2√2+1;若x=1,则△ABP即为△ABC,此时△ABP的周长为2√2+1.若0<x<1,PC=1-x,
1 1 1 1 1 1
在Rt PCA中,PA= ,
√1+x2
△
在Rt BCP中,PB= ,
1 1 1 √1+(1−x) 2=√x2−2x+2
△
而AB= ,所以△ABP的周长为 ,不为定值,故选项A错误;
1 √2 1 √2+√x2−2x+2+√1+x2
