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第 05 讲 空间向量及其应用
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·内蒙古乌兰察布·校考三模）正方体 中，E，F分别是 的中点，则直线
与EF所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】正方体 中，E，F分别是 的中点，
设正方体 中棱长为2，
以D为原点， 为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
， ，
设直线 与EF所成角为θ， ，
则 = = ，
∴直线 与EF所成角的余弦值是 ．
故选：B．
2．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知向量 ，若 与 垂直，则 （ ）.
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由于 与 垂直，所以 ，所以 ，
故 ，
故选：D
3．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）定义两个向量 与 的向量积是 一个向量，它的模
，它的方向与 和 同时垂直，且以 的顺序符合右手法则（如图），在棱长
为2的正四面体 中，则 （ ）
A． B． . C． D．
【答案】D
【解析】设 ,则 ，过 作 平面 ，则 为三角形 的外心，所
以 ，进而
,
由于 与 共线，且方向相同，则
，
故选：D
4．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）如图，四棱锥 中，底面 为正方形，是正三角形， ，平面 平面 ，则 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取 的中点 ， 的中点 ，连接 、 ，
因为 是正三角形，所以 ，平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，所以 与 所成角的余弦值为 .
故选：A
5．（2023·云南保山·统考二模）已知正方体 ，Q为上底面A B C D 所在平面内的动点，当
1 1 1 1
直线 与 的所成角为45°时，点Q的轨迹为（ ）
A．圆 B．直线 C．抛物线 D．椭圆
【答案】C
【解析】以点D为原点， ， ， 为x，y，z的正方向，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为1，则 ，设 ，
可得 ， ，因为直线 与 的所成角为 ，
则 ，化简可得 ，
所以点Q的轨迹为抛物线.
故选：C.
6．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在空间直角坐标系中，直线 的方程为 ，空间一点 ，
则点 到直线 的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，直线 的方程为 ，
即 ，则直线 的方向向量为 ，又因为过点 ，
， ，则 ，
故 在 上的射影为： ，
故点 到直线 的距离为： .
故选：D.
7．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）钟鼓楼是中国传统建筑之一，属于钟楼和鼓楼的合称，是主要用于报
时的建筑.中国古代一般建于城市的中心地带，在现代城市中，也可以常常看见附有钟楼的建筑.如图，在
某市一建筑物楼顶有一顶部逐级收拢的四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面（四棱柱看成正
四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面中心上），在整点时刻（在0点至12点中取整数点，含0点，不含12点），
已知在3点时和9点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在2点时和8点时，相邻两钟
面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，在正四棱柱 中， 分别为侧面 和侧面 的中心，
为 的中点， 为 点钟时针， 为 点钟时针，
则 ， ，
设正四棱柱的底面边长为 ，侧棱长为 ，
以 为原点，以 的方向分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ，
所以 .
所以在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为 .
故选：B
8．（2023·江西·校联考模拟预测）在空间直角坐标系中，已知
，则当点 到平面 的距离最小时，直线 与平
面 所成角的正弦值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，
可得 ，
设 是平面 的法向量，则 ，
令 ，可得 ，所以 ，
所以点 到平面 的距离 ，
当 时， 取得最小值，此时 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
故选：C.
9．（多选题）（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知空间单位向量 ， ， 两两夹角均为 ，
， ，则下列说法中正确的是（ ）
A． 、 、 、 四点可以共面
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】由于单位向量 ， ， 两两夹角均为 ，
所以 ，
假设 、 、 、 四点可以共面，则 共面，
所以存在 ，使得 ，分别用 ， ， 与 点乘，则 ，由于该方程组无解，所以不存在 ，使得 共面，
故 、 、 、 四点不共面，故A错误，
对于B， ,故B正确，
对于C，由 得 ，
由 得 ,
所以 ,则
,故C正确；
对于D，
，
故 ，故D错误，
故选：BC.
10．（多选题）（2023·海南海口·校考模拟预测）在长方体 ， ，
是线段 上（含端点）的一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．该长方体外接球表面积为 B．三棱锥 的体积为定值
C．当 时， D． 的最大值为1
【答案】ABD
【解析】设长方体 外接球的半径为 ，
该长方体外接球的直径即为长方体对角线的长，
即有 ，所以 ，
所以外接球表面积为 ，故A正确；
因为在长方体 中， 是线段 上（含端点）的一动点，所以 到平面 的距离即为 的长，
所以 ，是定值，故B正确；
如图，以 为原点建立空间直角坐标系，
则 ，
，
设 ， ，则可得 ，
所以 ，当 时，
则 ，解得 ，此时 ，故C错误；
， ，
则 ，
因为 ，所以当 或 时， 取得最大值为1，故D正确.
故选：ABD
11．（多选题）（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）如图，在各棱长均为2的正三棱柱
中， 分别是 的中点，设 ， ，则（ ）A．当 时，
B． ，使得 平面
C． ，使得 平面
D．当 时， 与平面 所成角为
【答案】AC
【解析】
取 中点为 ，连接 ，以点 为坐标原点，分别以 为 轴，以过点 且与 平行的直线为
轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， ，
所以， ，
由 可得， ，
所以 ， .
对于A项，当 时，有 ，所以 .
又 ，所以 ，
所以， ，所以 ，故A项正确；对于B项，因为 ， ，
设 是平面 的一个法向量，
则有 ，即 ，
取 ，则 是平面 的一个法向量.
若 平面 ，则 .
因为 ，显然 不共线，故B错误；
对于C项，因为 ， 是平面 的一个法向量.
要使 平面 ，则应有 ，
所以 ，解得 ，
所以， ，使得 平面 ，故C项正确；
对于D项，当 时，点 ，则 .
又 是平面 的一个法向量，
设 与平面 所成角为 ，
所以， ，故D项错误.
故选：AC.
12．（多选题）（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）如图，在棱长为1的正方体 中，
是棱 上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在点 ，使得
B．存在点 ，使得C．对于任意点 ， 到 的距离的取值范围为
D．对于任意点 ， 都是钝角三角形
【答案】ABC
【解析】由题知，在正方体 中， 是棱 上的动点，建立以 为原点，
分别以 ， ， 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向的空间直角坐标系 .
所以 ， ， ，设 ，其中 ，
所以 ， ，
当 时，即 ，所以 ，显然方程组无解，
所以不存在 使得 ，即不存在点 ，使得 ，故A项正确；
当 时，解得 ，故B项正确；
因为 ，其中 ，所以点Q到 的距离为
，
故C项正确；
因为 ， ，其中 ，
所以 ，
所以三角形为 直角三角形或钝角三角形，故D项错误.
故选：ABC
13．（2023·河北·统考模拟预测）点 、 分别是正四面体ABCD棱 、 的中点，则．
【答案】
【解析】以 为基底，它们两两之间均为 ，设正四面体ABCD棱长为2，则
,
所以
，
所以 ,
故答案为：
14．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）在空间直角坐标系中，一四面体的四个顶点坐标分别为
，则其体积为 ．
【答案】 /
【解析】设 ，
则 ，
， ，
设平面ABC的一个法向量为 ， ，则有 ，即 ，令 ，则 ， ，
， 在 方向的投影的绝对值即为点D到平面ABC的距离 ，
四面体 的体积 ；
故答案为： .
15．（2023·北京大兴·校考三模）如图，在正方体 ，中， ， 分别为线段 ，
上的动点.给出下列四个结论:
①存在点 ，存在点 ，满足 ∥平面 ；
②任意点 ，存在点 ，满足 ∥平面 ；
③任意点 ，存在点 ，满足 ；
④任意点 ，存在点 ，满足 .
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①③
【解析】对①，当 ， 分别为 ， 的中点时，取 中点 ，连接 ，则根据中位线的性
质可得 ，
又 平面 ， 平面 ，故 平面 ，同理 平面 ，又
， 平面 ，故平面 平面 .
又 平面 ，故 平面 .故①正确.对②，当 在 时， ∥平面 不成立，故②错误；
对③④，以 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设正方体 棱长为1，
则 ， .
设 ， ，则 ，其中 ，故 ，
则当 时 ，即 .
故对任意的 ，存在 满足条件，即任意点 ，存在点 ，满足 .故③正确；
当 ，即 在 点时，若 ，则 ，不满足 ，即 不在 上，故④错误.
故答案为：①③
16．（2023·全国·模拟预测）已知长方体 中， ，点 是线段 上靠近点
的三等分点，记直线 的夹角为 ，直线 的夹角为 ，直线 的夹角为 ，则
之间的大小关系为 ．（横线上按照从小到大的顺序进行书写）
【答案】
【解析】
记 ，
如图，以 为原点，建立空间直角坐标系，则 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，故 ，
，
又 ，故 ，
因为 ，所以 ，所以 .
故 ．
故答案为： .
17．（2023·广东·校联考模拟预测）如图，在四棱锥 中， ，四边形 是菱形，
， ， ， 是棱 上的中点.
(1)求三棱锥 的体积；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
【解析】（1）因为四边形 是菱形，所以 .
又 ， 平面 ，且 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 .
因为 平面 ，且 ，所以 平面 .
因为 是棱 上的中点，所以 到平面 的距离 ，
四边形 是菱形， ， ，则 中， ， ， ，
∵ ，∴三棱锥 的体积为 .
（2）取棱 的中点 ，连接 ，则有 ，因为 ，则 .
两两垂直，故以 为原点，分别以 的方向为 轴的正方向，建立空间直角坐标
系.
因 ，则 .
因 是棱 上的中点，则 .
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，得 .
平面 的一个法向量为 .
设平面 与平面 的夹角为 ，则 .
故平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在三棱台 中， 为 中点， ， ，
．(1)求证： 平面 ；
(2)若 ， ，平面 与平面 所成二面角大小为 ，求三棱锥 的体积．
【解析】（1）在三棱台 中， 为 中点，则 ，又 ，则 ，
又 ，∴四边形 为平行四边形，则 ，
∵ ，∴ ，又 ， ，
∴ ，∵ 平面 ， ，∴ 平面 ．
（2）∵ ， ，∴ ，
又∵ ， 平面 ， ，∴ 平面 ，
∵ ， ， 为 中点，∴ ．
以 为正交基底，建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ， ， ，
，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
令 ， ， ，则 ，又平面 的一个法向量为 ，
则 ，∴ ，即 ．
∵ 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
∴ ．19．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形，
，且 平面 ， ， ， 分别是 ， 的中点， 是 上一点，且
.
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的余弦值.
【解析】（1）证明： ， 分别为 ， 中点， ，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ；
（2）底面 是边长为2的菱形，所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 ，
如图所示，以 为原点，以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，，底面 是边长为2的菱形， ，
则 ， ， ．
，
又 ， ， ，
， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，所以 ，
设直线 与平面 所成角为 ．
则 ，故有 ，
所以直线 与平面 所成角的余弦值 .
20．（2023·河南·襄城高中校联考模拟预测）如图，在正四棱台 中， ，
， ， 为棱 ， 的中点，棱 上存在一点 ，使得 平面 ．(1)求 ；
(2)当正四棱台 的体积最大时，求 与平面 所成角的正弦值．
【解析】（1）作 交 于 ，再作 交 于 ，连接 ．
因为 平面 ，所以 平面 ．
又平面 平面 ，所以 ．
又因为 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，即 为棱 的四等分点，
故 也为棱 的四等分点，所以 ．
（2）由（1）易知 为 的四等分点，所以点 在点 的正上方，
所以 底面 ．
设 ，则 ，所以 ，
所以该四棱台的体积 ，
而 ．
当且仅当 ，即 时取等号，此时 ， ．
以 为原点， ， 分别为 轴、 轴，
过 平行于 的直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
所以 ， ， ．
设平面 的法向量为 ，
由 得 令 ，则 ．
设 与平面 所成角为 ，
则 ，
故 与平面 所成角的正弦值为 ．
21．（2023·山东潍坊·三模）如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径， 为
底面圆 的内接正三角形，且边长为 ，点 在母线 上，且 .
(1)求证：直线 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ；
(3)若点 为线段 上的动点．当直线 与平面 所成角的正弦值最大时，求此时点 到平面
的距离.
【解析】（1）如图，设 交 于点 ，连接 ，易知 底面 ， ，所以 ，
又 是底面圆的内接正三角形，由 ，可得 ， .
又 ， ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
所以 ，即 ，
又 平面 ，直线 平面 ， 平面 ，所以直线 平面 .
.
（2）因为 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；
（3）易知 ，以点 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，设 ，可得 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
即 ，
令 ，
则 ，
当且仅当 时，等号成立，所以当 时， 有最大值4，
即当 时， 的最大值为1，此时点 ，
所以 ，
所以点 到平面 的距离 ，
故当直线 与平面 所成角的正弦值最大时，点 到平面 的距离为 .
1．（2023•新高考Ⅰ）如图，在正四棱柱 中， ， ．点 ， ， ， 分
别在棱 ， ， ， 上， ， ， ．
（1）证明： ；
（2）点 在棱 上，当二面角 为 时，求 ．【解析】
（1）证明：根据题意建系如图，则有：
，2， ， ，0， ， ，2， ， ，0， ，
， ，
，又 ， ， ， 四点不共线，
；
（2）在（1）的坐标系下，可设 ，2， ， ， ，
又由（1）知 ，0， ， ，2， ， ，0， ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，
根据题意可得 ， ，
，
，又 ， ，
解得 或 ，
为 的中点或 的中点，
．2．（2023•新高考Ⅱ）如图，三棱锥 中， ， ， ，
为 中点．
（1）证明 ；
（2）点 满足 ，求二面角 的正弦值．
【解析】
证明：（1）连接 ， ，
， 为 中点．
，
又 ， ，
与 均为等边三角形，
，
， ，
平面 ，
平面 ，
．
（2）设 ，
，
， ，
，，
又 ， ，
平面 ，
以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
， ， ， ，0， ，
，
，
， ， ，
设平面 与平面 的一个法向量分别为 ， ，
则 ，令 ，解得 ，
，令 ，解得 ， ，
故 ，1， ， ，1， ，
设二面角 的平面角为 ，
则 ，
故 ，
所以二面角 的正弦值为 ．
3．（2023•北京）如图，四面体 中， ， ， 平面 ．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的大小．【解析】证明：（Ⅰ） 平面 ， 平面 ， 平面 ，
， ，
， ，
，
又 ， ，
，又 ，
平面 ；
（Ⅱ）以点 为坐标原点，分别以 ， 所在直线为 轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图
所示：
则 ，1， ， ，0， ， ，0， ， ，1， ，
，0， ， ， ， ， ，1， ， ，0， ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，得 ，1， ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，得 ，1， ，
， ，
由图可知二面角 为锐角，设二面角 的大小为 ，则 ， ，
，
即二面角 的大小为 ．
4．（2022•新高考Ⅱ）如图， 是三棱锥 的高， ， ， 为 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
【解析】（1）证明：连接 ， ，依题意， 平面 ，
又 平面 ， 平面 ，则 ， ，
，
又 ， ，则 ，
，
延长 交 于点 ，又 ，则在 中， 为 中点，连接 ，
在 中， ， 分别为 ， 的中点，则 ，
平面 ， 平面 ，
平面 ；
（2）过点 作 ，以 ， ， 分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由于 ， ，由（1）知 ，
又 ，则 ，
，
又 ，即 ，12， ，
设平面 的一个法向量为 ，又 ，
则 ，则可取 ，
设平面 的一个法向量为 ，又 ，则 ，则可取 ，
设锐二面角 的平面角为 ，则 ，
，即二面角 正弦值为 ．
5．（2022•北京）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平面 ，
， ， 分别为 ， 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线 与平面 所成角的正弦值．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【解析】 证明：取 中点 ，连接 ， ，
为 的中点． ，且 ，
四边形 是平行四边形，故 ，
平面 ； 平面 ，平面 ，
是 中点， 是 的点，
， 平面 ； 平面 ，
平面 ，又 ，
平面 平面 ，
又 平面 ， 平面 ；
侧面 为正方形，平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ， ，又 ， ，
若选①： ；又 ， 平面 ，
又 平面 ， ，又 ，
， ， ， 两两垂直，
若选②： 平面 ， ， 平面 ， 平面 ，
，又 ， ， ，
， ，
，又 ， ，
， ， 两两垂直，
以 为坐标原点， ， ， 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，1， ， ，1， ， ，2， ，
，1， ， ，1， ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，则 ，令 ，则 ， ，
平面 的一个法向量为 ， ， ，
又 ，2， ，
设直线 与平面 所成角为 ，
， ．
直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
6．（2022•浙江）如图，已知 和 都是直角梯形， ， ， ， ，
， ，二面角 的平面角为 ．设 ， 分别为 ， 的中点．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【解析】证明： 由于 ， ，
平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 为二面角 的平面角，
则 ， 平面 ，则 ．
又 ，
则 是等边三角形，则 ，
因为 ， ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
又因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，故 ；
（Ⅱ）由于 平面 ，如图建系：于是 ，则 ，
，
设平面 的法向量 ， ， ，
则 ， ，令 ，则 ， ，
平面 的法向量 ，
设 与平面 所成角为 ，
则 ．
7．（2022•甲卷）在四棱锥 中， 底面 ， ， ， ，
．
（1）证明： ；
（2）求 与平面 所成的角的正弦值．
【解析】（1）证明： 底面 ， 面 ，
，
取 中点 ，连接 ，， ，
，又 ，
， ，
为直角三角形，且 为斜边，
，
又 ， 面 ， 面 ，
面 ，
又 面 ，
；
（2）由（1）知， ， ， 两两互相垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，
，
则 ，
，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，则可取 ，
设 与平面 所成的角为 ，则 ，
与平面 所成的角的正弦值为 ．
8．（2022•新高考Ⅰ）如图，直三棱柱 的体积为4，△ 的面积为 ．
（1）求 到平面 的距离；（2）设 为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦值．
【解析】（1）由直三棱柱 的体积为4，可得 ，
设 到平面 的距离为 ，由 ，
， ，解得 ．
（2）连接 交 于点 ， ， 四边形 为正方形，
，又 平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ， ，
由直三棱柱 知 平面 ， ，又 ，
平面 ， ，
以 为坐标原点， ， ， 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
， ，又 ，解得 ，
则 ，0， ， ，2， ， ，0， ， ，2， ， ，1， ，
则 ，2， ， ，1， ， ，0， ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
则 ，令 ，则 ， ，
平面 的一个法向量为 ，0， ，设平面 的一个法向量为 ， ， ，
，令 ，则 ， ，
平面 的一个法向量为 ，1， ，
， ，
二面角 的正弦值为 ．
9．（2022•天津）直三棱柱 中， ， ， ， 为 中点，
为 中点， 为 中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 的正弦值；
（3）求平面 与平面 夹角的余弦值．
【解析】（1）证明：取 的中点 ，连接 ， ，连接 交 于 ，
再连接 ，
，且 是 的中点，则 是 的中点，
， ，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ，
同理可得， 平面 ，
又 ，
平面 平面 ，
平面 ，
（2）在直三棱柱 中， ，则可建立如图所示的空间直角坐标系，
又 ， 为 中点， 为 中点， 为 中点．
故 ，2， ， ，0， ， ，0， ， ，0， ， ，1， ，则 ， ， ， ，0， ， ，1， ，
设 ， ， 是平面 的法向量，则有： ， ，即 ，令 ，
则 ， ，
所以 ，
设直线 与平面 的夹角为 ，则 ，
（3） ，0， ，则 ，0， ， ，1， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，则有 ， ，
即 ，令 ，则 ， ，故 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
所以 ．
10．（2021•甲卷）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ， ， 分别为
和 的中点， 为棱 上的点， ．
（1）证明： ；
（2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小？
【解析】
（1）证明：连接 ，， 分别为直三棱柱 的棱 和 的中点，且 ，
， ，
， ，
， ，
，即 ，
故以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，0， ， ，2， ， ，1， ， ，2， ，
设 ，则 ，0， ，
，2， ， ，1， ，
，即 ．
（2） 平面 ， 平面 的一个法向量为 ，0， ，
由（1）知， ，1， ， ，1， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，则 ，即 ，
令 ，则 ， ， ， ， ，
， ，
当 时，面 与面 所成的二面角的余弦值最大，此时正弦值最小，
故当 时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小．
11．（2023•乙卷）如图，在三棱锥 中， ， ， ， ，
， ， ， 的中点分别为 ， ， ，点 在 上， ．（1）证明： 平面 ；
（2）证明：平面 平面 ；
（3）求二面角 的正弦值．
【解析】证明：（1）由题可知， ，设 ，
，
则 ，解得 ，
， ，
而 ， ， ， ， 四边形 为平行四边形，
，
平面 ， 平面 ，
平面 ．
证明：（2） ， ，
，即 ， ，
， ，
平面 ，
平面 ，
平面 平面 ．
（3）设二面角 的平面角为 ，
， ，
为 和 的夹角，
， ，，
，
二面角 的正弦值为 ．
