文档内容
第 05 讲 空间向量及其应用
目录
01 考情透视·目标导航..................................................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..................................................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..................................................................................................................................................4
知识点1：空间向量及其加减运算.............................................................................................................................4
知识点2：空间向量的数乘运算..................................................................................................................................5
知识点3：空间向量的数量积运算.............................................................................................................................6
知识点4：空间向量的坐标运算及应用.....................................................................................................................7
知识点5：向量法证明平行、垂直.............................................................................................................................9
知识点6：空间角公式................................................................................................................................................11
知识点7：空间中的距离............................................................................................................................................12
解题方法总结...............................................................................................................................................................14
题型一：空间向量的加法、减法、数乘运算..........................................................................................................15
题型二：空间共线向量定理的应用..........................................................................................................................19
题型三：空间向量的数量积运算..............................................................................................................................23
题型四：三点共线问题..............................................................................................................................................28
题型五：多点共面问题..............................................................................................................................................32
题型六：证明直线和直线平行..................................................................................................................................42
题型七：证明直线和平面平行..................................................................................................................................45
题型八：证明平面与平面平行..................................................................................................................................49
题型九：证明直线与直线垂直..................................................................................................................................52
题型十：证明直线与平面垂直..................................................................................................................................57
题型十一：证明平面和平面垂直..............................................................................................................................60
题型十二：求两异面直线所成角..............................................................................................................................65
题型十三：求直线与平面所成角..............................................................................................................................72
题型十四：求平面与平面所成角..............................................................................................................................81
题型十五：求点面距、线面距、面面距..................................................................................................................94
题型十六：点到直线距离、异面直线的距离........................................................................................................100
04真题练习·命题洞见..............................................................................................................................................108
05课本典例·高考素材...............................................................................................................................................115
06易错分析·答题模板..............................................................................................................................................121
易错点：计算线面角出错........................................................................................................................................121
答题模板：用向量法求空间角................................................................................................................................123考点要求 考题统计 考情分析
空间向量解立体几何一般以解答题形
（1）空间向量的线性运算
2024年I卷第17题，15分 式为主,每年必考,一般12分.以解答题为
（2）空间向量基本定理及
2024年II卷第17题，15分 主,难度中等,可灵活选择运用向量方法与
其应用
2023年I卷第18题，12分 综合几何方法,从不同角度解决立体几何
（3）向量法证明平行、垂
2023年II卷第20题，12分 问题,通过对比体会向量方法的优越性.选
直
2022年I卷第19题，12分 择题和填空题一般不用空间向量法.但要
（4）向量法求空间角
2022年II卷第20题，12分 理解向量基本定理的本质,感悟“基底”
（5）空间距离
的思想,并运用它解决立体几何中的问题.
复习目标：
（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐
标表示.
（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的
数量积判断向量的共线和垂直.
（3）理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一
些简单定理．
（4）能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题
的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用．知识点1：空间向量及其加减运算
（1）空间向量
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可
用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量 的起点是 ，终点是 ，则向量 也可以记作
，其模记为 或 ．
（2）零向量与单位向量
规定长度为0的向量叫做零向量，记作 ．当有向线段的起点 与终点 重合时， ．
模为1的向量称为单位向量．
（3）相等向量与相反向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．
空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量．
与向量 长度相等而方向相反的向量，称为 的相反向量，记为 ．
（4）空间向量的加法和减法运算
① ， ．如图所示．
②空间向量的加法运算满足交换律及结合律
，
【诊断自测】如图，在平行六面体 中， 为 与 的交点．若 ，
则下列向量中与 相等的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 .
故选：B．
知识点2：空间向量的数乘运算
（1）数乘运算
实数 与空间向量 的乘积 称为向量的数乘运算．当 时， 与向量 方向相同；当 时，
向量 与向量 方向相反． 的长度是 的长度的 倍．
（2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
， ．
（3）共线向量与平行向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，
平行于 ，记作 ．
（4）共线向量定理
对空间中任意两个向量 ， ， 的充要条件是存在实数 ，使 ．
（5）直线的方向向量
如图8-153所示， 为经过已知点 且平行于已知非零向量 的直线．对空间任意一点 ，点 在直线
上的充要条件是存在实数 ，使 ①，其中向量 叫做直线 的方向向量，在 上取 ，
则式①可化为 ②
①和②都称为空间直线的向量表达式，当 ，即点 是线段 的中点时， ，此
式叫做线段 的中点公式．（6）共面向量
如图8-154所示，已知平面 与向量 ，作 ，如果直线 平行于平面 或在平面 内，则说明
向量 平行于平面 ．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
（7）共面向量定理
如果两个向量 ， 不共线，那么向量 与向量 ， 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 ，
使 ．
推论：①空间一点 位于平面 内的充要条件是存在有序实数对 ，使 ；或
对空间任意一点 ，有 ，该式称为空间平面 的向量表达式．
②已知空间任意一点 和不共线的三点 ， ， ，满足向量关系式 （其中
）的点 与点 ， ， 共面；反之也成立．
【诊断自测】已知点 ， ， ，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是
（ ）
A． ，3 B． ，2 C．1，3 D． ，2
【答案】D
【解析】因为 ， ， ，
所以 ， ，
因为A，B，C三点共线，所以存在实数 ，使 ，
所以 ，
所以 ，解得 .
故选：D
知识点3：空间向量的数量积运算
（1）两向量夹角已知两个非零向量 ， ，在空间任取一点 ，作 ， ，则 叫做向量 ， 的夹角，
记作 ，通常规定 ，如果 ，那么向量 ， 互相垂直，记作 ．
（2）数量积定义
已知两个非零向量 ， ，则 叫做 ， 的数量积，记作 ，即 ．
零向量与任何向量的数量积为0，特别地， ．
（3）空间向量的数量积满足的运算律：
， （交换律）；
（分配律）．
【诊断自测】已知正四面体 ，底面边长为2，侧棱 中点为E，则 ．
【答案】
【解析】因为正四面体 ，底面边长为2，侧棱PB中点为E，
所以
.
故答案为： .
知识点4：空间向量的坐标运算及应用
（1）设 ， ，则 ；
；；
；
；
．
（2）设 ， ，则 ．
这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标．
（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式．
①已知 ， ，则 ；
；
；
；
②已知 ， ，则 ，
或者 ．其中 表示 与 两点间的距离，这就是空间两点的距离公式．
（4）向量 在向量 上的投影为 ．
【诊断自测】已知 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ，
故 在 上的投影向量为 .
故选：D知识点5：向量法证明平行、垂直
（1）平面的法向量：
如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记作 ，如果
，那么向量 叫做平面 的法向量．
注意：
①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量 是平面的法向量，向量
是与平面平行或在平面内，则有 ．
第一步：写出平面内两个不平行的向 ；
第二步：那么平面法向量 ，满足 ．
（2）判定直线、平面间的位置关系
①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线 ， 的方向向量分别为 ， ．
若 ∥ ，即 ，则 ；
若 ，即 ，则 ．
②直线与平面的位置关系：直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且 ．
若 ∥ ，即 ，则 ；
若 ，即 ，则 ．
（3）平面与平面的位置关系
平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ．
若 ∥ ，即 ，则 ；若 ⊥ ，即 ，则 ⊥ ．
【诊断自测】如图所示，四边形 为矩形， 平面 ， ， ， ， 分别是 ，， 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 .
【解析】（1）证明：因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
因为四边形 为矩形，所以 ，
所以 两两垂直，
所以以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设 ， ， .
则 ，因为 ， ， 分别是 ， ， 的中点，
所以 ， ， ，
所以 .
因为平面 的一个法向量为 ，所以 ，即 .
又因为 平面 ，所以 平面 .
（2）因为 ，所以 ，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 .
又因为 ， 平面 ，
所以平面 平面 .知识点6：空间角公式
（1）异面直线所成角公式：设 ， 分别为异面直线 ， 上的方向向量， 为异面直线所成角的大
小，则 ．
（2）线面角公式：设 为平面 的斜线， 为 的方向向量， 为平面 的法向量， 为
与 所成角的大小，则 ．
（3）二面角公式：
设 ， 分别为平面 ， 的法向量，二面角的大小为 ，则 或 （需要根据具
体情况判断相等或互补），其中 ．
【诊断自测】如图，在正四棱柱 中， ， ， 分别为 ， 的中点.
(1)证明： 平面 .
(2)求 与平面 所成角的正弦值.
【解析】（1）在正四棱柱 中， ， ， 两两垂直，且 ，
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ，A (0,0,4).
1因为 ， 分别为 的中点，所以 ， ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为⃗m=(x,y,z)，
则 ，即 ，
令 ，则有 ， ，即 ，
因为 ，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ；
（2）由（1）可知， ，
，
所以 与平面 所成角的正弦值为 .
知识点7：空间中的距离
求解空间中的距离
（1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质
直接计算．
如图，设两条异面直线 的公垂线的方向向量为 ，这时分别在 上任取 两点，则向量在
上的正射影长就是两条异面直线 的距离．则 即两异面直线间的距离，等于两
异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．（2）点到平面的距离
为平面 外一点（如图）， 为平面 的法向量，过 作平面 的斜线 及垂线 ．
【诊断自测】如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ， ， ，
若M、N分别为棱 、 的中点，O为 中点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求点N到平面 的距离．
【解析】（1） 平面 ， 面 ，
∴PA⊥AB， ．
矩形 ，
，故 、 、 两两垂直．
分别以 、 、 所在直线为 轴、 轴和 轴建立空间直角坐标系，如图所示．则 ， ， ， ， ．
， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 可取 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，则 可取
⃗n =(0,1,1)，
2
，
，
平面 平面 ．
（2）设平面 的法向量为⃗n=(x,y,z)．
， ，
由 得 可取
，平面 的法向量为 ，
．
解题方法总结
用向量法可以证点共线、线共点、线（或点）共面、两直线（或线与面、面与面）垂直的问题，也可
以求空间角和距离．因此，凡涉及上述类型的问题，都可以考虑利用向量法求解，且其解法一般都比较简
单．
用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些点的坐标，进
而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除要求不共面外，还要能够便于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基底，如常选择几何体上共点而不共面的三
条棱所在的向量为基底），然后将有关向量用基底向量表示，并进行向量运算．
题型一：空间向量的加法、减法、数乘运算
【典例1-1】如图，在空间四边形 中， ， ， ，点 在 上，且
， 为 的中点，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由点 在 上，且 ，知 ；由 为 的中点，知
.
所以 .
故选：C.
【典例1-2】如图，在四面体 中， 分别为 的中点， 为 的重心，则
（ ）A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为 分别为 的中点，所以 .
因为 为 的重心，所以 ，
所以 .
故选：B.
【方法技巧】
空间向量的运算包括空间向量的加法、减法、数乘、数量积的几何意义及坐标运算，可以类比平面向
量的运算法则．
【变式1-1】如图，在梯形 中， ，且 ，点 为空间内任意一点，设
， ，则向量 =（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】
.
故选：D
【变式1-2】（2024·高三·河南濮阳·开学考试）已知直四棱柱 的底面为梯形，
，若 平面 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为四棱柱 为直四棱柱， ，
故平面 平面 ，而平面 平面 ，
平面 平面 ，故 ，
又 ，则 ，故 ∽ ，
故 ，又 ， ，则 ，
则 ，故 ，则 ，
故选：C
【变式1-3】如图，OABC是四面体，G是 的重心， 是OG上一点，且 ，则
（ ）A． B． =
C． = D． =
【答案】B
【解析】连接AG并延长交BC于N，连接ON，
由G是 的重心，可得 ，
则
则
故选：B
【变式1-4】如图，在四面体 中， ， ， ， ， ， ，
M为 的重心，N为 的外心，则 （ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】连接 并延长交 于F，因为M为 的重心，所以F为 的中点，
根据重心的性质：
,
取 、 的中点 ， ，连接 ， ，因为N为 的外心，所以 , ，
设 ，因 ， ， ，
则 ，
又 ，所以 ，
因为 ，
又 ，所以 ，
解得 ， ，所以 ，
所以 ．
故选：C．
题型二：空间共线向量定理的应用
【典例2-1】若空间四点 满足 ，则（ ）A． 直线
B． 直线
C．点P可能在直线 上，也可能不在直线 上
D． 直线 ，且
【答案】A
【解析】由于 ，所以 四点共面，
由于 ，所以 三点共线，
根据平行四边形法则可知： 是线段 上，靠近 的三等分点（如下图所示）.
所以A选项正确，BCD选项错误.
故选：A
【典例2-2】设 ， 是空间两个不共线的非零向量，已知 ， ，
，且A、B、D三点共线，则实数k的值为（ ）
A．-8 B．-4 C．-2 D．8
【答案】A
【解析】因为A、B、D三点共线，所以 使得
又 ， ， ，
所以
则
则 解得：
故选：A.
【方法技巧】
空间共线向量定理： ．
利用此定理可解决立体几何中的平行问题．
【变式2-1】已知向量 ， ，若 ， ， 三点共线，则 （ ）A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】因为 ， ， 三点共线，则 ，又向量 ， ，
所以 ，解得 ，
故选：B.
【变式2-2】在四面体 中，E为 的中点，G为平面 的重心．若 与平面 交于点
F，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图：连接 交 于H，则H为 中点，连接 ,
因为 平面 ， 平面 ，设 ，则 ，
又 平面 ，所以 平面 ，故K为 与平面 的交点，
又因为 与平面 交于点F，所以F与K重合，
又E为 的中点，G为平面 的重心，
因为点A，F，G三点共线，则
又因为点E，F，H三点共线，则 ，
,
所以 ，解得 ，即 ，故 .
故选：C.【变式2-3】已知空间向量 ， ，且 ， ， ，则一定共线的
三点是（ ）
A． 、 、 B． 、 、
C． 、 、 D． 、 、
【答案】C
【解析】因为 ， ，若 、 、 三点共线，
则 ，而 无解，故A错误.
因为 ， 若 、 、 三点共线，
则 ，而 无解，故B错误.
因为 、 、 ，
所以 ，即 ，
所以 、 、 三点共线，故选C正确.
因为 、 、 ，
所以 ，若 、 、 三点共线，
则 ，而 无解，故D错误.
故选：C.
【变式2-4】在正方体 中，点E在对角线 上，且 ，点F在棱 上，
若A、E、F三点共线，则 ．
【答案】 /
【解析】因为正方体中， ，
设 ，又 ，所以 ，即 ，
因为A、E、F三点共线，所以 ，解得 ，即 .
故答案为： .
题型三：空间向量的数量积运算
【典例3-1】已知MN是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为
1、1、4，则 的取值范围为
【答案】
【解析】根据题意，以D为坐标原点， 为x轴正方向， 为y轴正方向， 为z轴正方向，建立空
间直角坐标系，如图示.
设长方体外接球球心为O，则DB 为外接球的一条直径，
1
设O为DB 中点，不妨设M与D重合，N与B 重合.
1 1
所以 ，
所以
，
由P在长方体表面上运动，所以 ，故
所以 ，即 .故答案为：
【典例3-2】已知空间向量 ， ， ，则 ．
【答案】
【解析】因为 ，
又因为 ，
所以 .
故答案为： .
【方法技巧】
；
求模长时，可根据 ；
求空间向量夹角时，可先求其余弦值 ．要判断空间两向量垂直时，可以求两向量的数
量积是否为0，即 ．
为锐角 ； 为钝角 ．由此，通常通过计算 的值来判断两向量夹角是
锐角还是钝角．
【变式3-1】棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则 （ ）
A．1 B．－1 C． D．
【答案】A
【解析】 ，所以 ．
故选：A．
【变式3-2】设O为坐标原点，向量 ， ， ，点Q在直线OP上运动，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，点Q在直线OP上运动，
∴可设 .
又向量 ， ，
∴ ， ，
则 .
易得当 时， 取得最小值 .
故选：B.
【变式3-3】由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱 （如图所示），点 是正方
形A B C D 的中心，则 （ ）
1 1 1 1
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】因为 ， ，
所以
.
故选：C.
【变式3-4】有一长方形的纸片 ， 的长度为 ， 的长度为 ，现沿它的一条对角线
把它折成直二面角，则折叠后 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在 中， ， ， ，
所以 ，
所以 ，
故选：C．
【变式3-5】（多选题）（2024·校考模拟预测）在平行六面体 中，已知
， ，则（ ）
A．直线 与 所成的角为
B．线段 的长度为
C．直线 与 所成的角为
D．直线 与平面 所成角的正弦值为
【答案】AC
【解析】设 ，则 ，且 ，
对于A， ，
，
所以直线 与 所成的角为 ，故A正确；
对于B，因为 ，所以 ，故B错误；
对于C，因为 ，
所以 ，故C正确；
对于D，连接 ，交 于点 ，则 为 的中点，
因为 ， ，
所以 ，
又因 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ，
作 ，垂足为 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
则 与平面 所成的角为 ，
在 中， ，所以 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 ，故D错误.
故选：AC.
【变式3-6】（多选题）空间直角坐标系中，已知 ， ， ，
，则（ ）
A．
B． 是等腰直角三角形
C．与 平行的单位向量的坐标为 或
D． 在 方向上的投影向量的坐标为【答案】AC
【解析】根据空间向量的线性运算，
，选项A正确；
计算可得， 三条边不相等，选项B不正确；
与 平行的单位向量为：
选项C正确；
在 方向上的投影向量与 向量共线， ，选项D不正确，
故选：AC.
题型四：三点共线问题
【典例4-1】如图，在棱长均相等的平行六面体 中，用空间向量证明下列结论．若 是棱 的中点， 是 上靠近点 的三等分点，求证： 三点共线．
【解析】由题意， ，
故
，
又 ，
所以 ，由于 有公共点
故 三点共线．
【典例4-2】如图，已知 分别为四面体 的面 与面 的重心， 为 上一点，
且 .设 .
(1)请用 表示 ；
(2)求证： 三点共线.【解析】（1） ．
（2）
；
则 ，
又 有公共起点 ， ， ， 三点共线．
【方法技巧】
先构造共起点的向量 ， ，然后证明存在非零实数 ，使得 ．
【变式4-1】如图，在平行六面体 中，点 在对角线 上，且 ，点
在对角线 上，且 ．求证： 、 、 三点共线．
【解析】在平行六面体 中，令 ， ， ，
则 ， ， ，
因此 ，
又 ， ，因此 ，
于是 ，即有 ，而 与 有公共点 ，
所以 、 、 三点共线．
【变式4-2】如图，已知M，N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且
.求证：B，G，N三点共线.
【解析】证明：取CD的中点E，连接AE，BE，
因为M，N分别为四面体A-BCD的面DCD与面ACD的重心，
所以M在BE上，N在AE上，
设 ， ， ，
因为M为 BCD的重心，
所以因为 ，所以 ，
所以 ，
同理得 ，
∴ .
又 ，
∴B，G，N三点共线
题型五：多点共面问题
【典例5-1】在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（其中O为坐标原点）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】空间向量共面定理： ，若 不共线，且 共面，其充要条件
是 .
对A，因为 ，所以 四点不共面；
对B，因为 ，所以 四点不共面；
对C，由 可得 ，
因为 ，所以 四点不共面；
对D，由 可得 ，
即 ，因为 ，所以 四点共面.
故选：D
【典例5-2】（2024·河南·模拟预测）已知空间向量 ，若 共面，
则实数 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】因为 不共线， 共面，
所以存在一对有序实数 ，使 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
故选：A
【方法技巧】
要证明多点（如 ， ， ， ）共面，可使用以下方法解题．
先作出从同一点出发的三个向量（如 ， ， ），然后证明存在两个实数 ，使得
.
【变式5-1】如图，已知四棱锥 的底面是菱形，对角线 交于点 ， ， ，
底面 ， 分别为侧棱 的中点，点 在 上且 ．求证：
四点共面.
【解析】因为平面 是菱形，所以 ，
由 平面 ， 平面 ，得 ，
所以 两两垂直，建立如图空间直角坐标系 ，
，
则 ，
由 知，点 为靠近 的三等分点，则 ，
所以 ，设 ，则 ，解得 ，
则 ，所以 共面，
又直线 的公共点为 ，所以 四点共面.
【变式5-2】（2024·高三·北京海淀·开学考试）如图，正四棱锥 的底面边长和高均为2，
E，F分别为 ， 的中点．
(1)证明： ；
(2)若点M是线段 上的点，且 ，判断点M是否在平面 内，并证明你的结论；
【解析】（1）连接 、 交于 ，连接 ，由正四棱锥的性质可得 平面 ，底面 为
正方形，则 ，
所以以 为坐标原点， 、 、 为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，
则 ， ，则 ，
所以 .
（2）由（1）知 ， ，， ，
又 ，得 ，
，所以 ，
所以 、 、 、 四点共面，即点 在平面 内．
【变式5-3】已知点 在 确定的平面内， 是平面 外任意一点，实数 满足
，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】因为 ，
所以 ，又点D在 确定的平面内， 是平面 外任意一点，
所以 ，即 ，
则 .
故选：A.
【变式5-4】在正四棱锥 中，若 ， ，平面 与棱 交于点 ，则
四棱锥 与四棱锥 的体积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，
设 ，由 、 、 、 四点共面，
设 ，则 ，
即 ，得 ，
又 ， ， 不共面，则 ，解得： ，即 ，
设 ， 分别是点 到平面 和点 到平面 的距离，则 ，
所以 ，
， ，
同理， ， ， ，
则四棱锥 与四棱锥 的体积比为 .
故选：B
【变式5-5】如图四棱锥 ，且 ，平面 平面
，且 是以 为直角的等腰直角三角形，其中 为棱 的中点，点 在棱 上，且
.求证： 四点共面.
【解析】证明：由 ，且 ，
取 的中点 ，连接 ，则 ，且 ，
所以 ，
又 是以 为直角的等腰直角三角形，所以 .
过点 作 ，垂足为 ，则点 为 的中点，且 ，因为平面 平面 ，且平面 平面 ，
所以 平面 ，
故以 所在的直线分别为 轴， 轴，过点 作垂直于平面 的 轴，建立如图所示空间直角坐
标系，
则 ， ， ，
因为 为棱 的中点，所以 ，又因为点 在棱 上，且 ，
所以 ，则 ， ， ，
令 ，
则 ，
则 ，解得 ，
故 ，则 共面，且向量 有公共点 ，
所以 四点共面.
【变式5-6】已知正三棱锥 的侧棱长为 ，过其底面中心 作动平面 交线段 于点 ，分
别交 的延长线于点 ，求 的值．【解析】 是等边三角形， 是 的重心，
如图，延长 交 于点 ，则 为 的中点， ，
故
，
设 ，
则 ，
四点共面， ，即 ，又 ， ， ，
， ．
【变式5-7】（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在三棱柱 中， ，
，平面 平面 分别为 的中点．
(1)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(2)若平面 平面 ，且 ，求 的长度．
【解析】（1） ，
又∵平面 平面 ，
且平面 平面
平面 ，
连接 交 于 ，则 .
∵四边形 是菱形，且 是线段 的中点， ,
又∵ ，∴ 平面 ，
连接 ，则 为 与平面 所成的角
连接 ，有 ，
又 ， ．
（2）以 为坐标原点，以射线 方向为 轴，建立空间直角坐标系如图所示：则 ， ，
设 ，∵ ，∴存在 ,使得 ，
即 ，∴ .
于是 ，
易得 .
共面，∴存在实数 使得 ，
即 ，
， ，∴M的坐标为 ，
∴ .
【变式5-8】如图，在边长为3的正方体 中，点P，Q，R分别在棱 ， ，
上，且 .（1）求点D到平面 的距离；
（2）若平面 与线段 的交点为N，求 的值.
【解析】（1）如图，以点D为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为x，y，z轴的正方向，建立空
间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， ， ，
， ， ， .
设平面 的法向量为 ，
则 ，代入可得 ，
令 ，则 ， ，所以 ，
故点D到平面 的距离为 .
（2）因为点N在平面 内，可设 （其中m，n为常数），
又 与 共线，可设 ，由图可得 ，
即 ，
整理得 ，
由①③可得 ④，
由②③可得 ⑤，
联立④⑤解得 ，代入②可得 ，所以 ，即 .
题型六：证明直线和直线平行
【典例6-1】如图所示，在四棱锥 中，底面 为矩形， 平面 ， 为 的
中点， 为 的中点， ，求证： ．
【解析】证法一：由题意知，直线 两两垂直，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴､ 轴､ 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则 ，
所以 ，
所以 ，又 ，故 ．
证法二：由题意可得
，
又 ，所以 ．
【典例6-2】已知棱长为1的正方体 在空间直角坐标系中的位置如图所示，分别为棱 的中点，求证： .
【解析】因为正方体的棱长为1， 分别为棱 的中点，
所以有 ， ， ， ，
所以 ， ，则有 ，所以 .
【方法技巧】
将证线线平行转化为证两向量共线．设 是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为 ，则
.
【变式6-1】如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，
求证： .
【解析】（方法1）因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
则有 ，又 ，
两式相加得： ，因此 与 共线，而直线 与 不重合，
所以 .
（方法2）因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
，
因此 与 共线，而直线 与 不重合，
所以 .【变式6-2】在四棱锥 中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形． ，
，且 ， ， ．若M是棱PA的中点，则对于棱BC上是否存
在一点F，使得MF与PC平行．
【解析】在平面 内过点 作 ，交 于点 ，
因为平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，
可得 平面 ，
又由 ，所以 两两垂直，
以 为原点，以 所在的直线分别为 轴、 轴和 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
由 ， ， ，
可得 ，
假设 上存在点 ，使得 ，
设 ，其中 ，
因为 是棱 的中点，可得 ，
又由 ，
所以 ，
设 ，可得 ，此方程组无解，所以假设不成立，
所以对于 上任意一点 ， 与 都不平行，
即在线段 上不存在点 ，使得 与 平行．题型七：证明直线和平面平行
【典例7-1】（2024·陕西安康·模拟预测）如图，已知多面体是由正四棱锥P-ABCD与正方体
组合而成的，且 .
求证： 平面 ；
【解析】如图以点 为原点， 为 x 轴 为 y 轴 为 z 轴建立空间直角坐标系．
设 ,则 ,过 P 作 平面 . 是正四棱锥点P 是正方形 的
1
中心,
因为 ，所以 ,
设平面 法向量为 ,
,
,
则 ,可得 ,
所以 , , 不在平面 内，所以 平面
【典例7-2】如图，在四棱锥 中，底面 满足 ， 底面 ，
且 ，E为 中点．求证： 面
【解析】由题可知 底面 ， ，故 两两垂直．
则以A为原点， 分别为x、y、z轴正方向建系，
，
则 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，
所以 ，
而 ，
所以 ，又 面 ，
∴ 面 ；【方法技巧】
（1）利用共面向量定理．设 为平面 内不共线的两个向量，证明存在两个实数 ，使得
，则 ．
（2）转化为证明直线和平面内的某一直线平行．
（3）转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（此方法最常用）．
【变式7-1】如图所示，正方形 与矩形 所在平面互相垂直， ，点 为
的中点.
求证： 平面 ；
【解析】 平面 平面 ，
平面 平面 ，
平面 平面 ，
则以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，则
.
，
设平面 的法向量为⃗n =(x ,y ,z )，则 ，
1 1 1 1
令 ，解得： ，
又 ，即 ，
又 平面 平面 ；
【变式7-2】由四棱柱 截去三棱锥 后得到如图所示的几何体，四边形是菱形， 为 与 的交点， 平面 .求证： 平面
【解析】四边形 是菱形，则 ⊥ ，
又 平面 ， 平面 ，故 ， ，
故 两两垂直，以直线 分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，
其中 ，则 ，
设 ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
，
又 平面 ，
平面 .
题型八：证明平面与平面平行
【典例8-1】如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA
＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC．【解析】因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，
所以AB，AP，AD两两垂直，
以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，
0)．
所以 ， ， ， ，
设 是平面EFG的法向量，
则 ， ，即 ，得 ，
令 ，则 ， ，所以 ，
设 是平面PBC的法向量，
由 ， ，即 ，得 ，
令 ，则 ， ，所以 ，
所以 ，所以平面EFG∥平面PBC．
【典例8-2】如图，在长方体 中， ， ， .求证：平面 平
面 .【解析】以D为原点， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， ，
则 ， ， ， .
设平面 的法向量为 ，
则 .
取 ，则 ， ，
所以平面 的一个法向量为 .
设平面 的法向量为 ，
则 .
取 ，则 ， ，
所以平面 的一个法向量为 .
因为 ，即 ，
所以平面 平面 .
【方法技巧】
（1）证明两平面内有两条相交直线分别平行．
（2）转化为证两平面的法向量平行（常用此方法）．
【变式8-1】如图所示，正四棱 的底面边长1，侧棱长4， 中点为 ， 中点为
．求证：平面 平面 .【解析】以 为原点， ， ， 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图
则 ,0, ， ,1, ， ,0, ， ,0, ， ,1, ， ,1, ，
， ，同理 ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
又 平面
平面 与平面 平行．
【变式8-2】如图，在长方体 中， ， ， .
(1)求证：平面 平面 .
(2)线段 上是否存在点P，使得 平面 ？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）证明：以D为原点，DA， ， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间
直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ， ，
则 ， ， ， .
设平面 的法向量为 ，
则 .
取 ，则 ， ，所以平面 的一个法向量为 .
设平面 的法向量为 ，
则 .
取 ，则 ， ，所以平面 的一个法向量为 .
因为 ，即 ，所以平面 平面 .
（2）设线段 上存在点P使得 平面 ， .
由（1）得 ， ，平面 的一个法向量为 ，
所以 .
所以 ，解得 .
所以当P为线段 的中点时， 平面 .
题型九：证明直线与直线垂直
【典例9-1】（2024·高三·贵州·开学考试）在三棱锥 中， ，
， ， 为线段 的中点．证明： ．
【解析】作 面 ， ，
如图，以 中点 为原点建立如下空间直角坐标系，
所以 ，因为 ，
所以 ， 是等边三角形，设 ，
因为 为线段 的中点，所以 ， ，
故 ，所以 ， ，
得到 ，
因为 ，所以 ，
而 ， ，
所以 ，
解得 ，所以 ， ，
所以 ，设 ，因为 是等边三角形，
所以 ，故 ，而 ， ，
所以 ，解得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，，故 ，
由两点间距离公式得 ，解得 ，
所以 ，故 ，
而 ，可得 ，故 得证.
【典例9-2】如图，直三棱柱 中， ， ， ， ， 是
的中点．
(1)求直线 的一个方向向量；
(2)求证： ．
【解析】（1）
由题意知， 两两垂直，故以点B为原点，
分别以 、 与 的方向为 与 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
所以 、 、 、 、
、 ．
则 ，是直线 的一个方向向量
（2）因为M是 的中点，所以 ，所以 ，又因为 ，
所以 ，所以 ．
【方法技巧】
设直线 的方向向量为 ，则 .
【变式9-1】在四棱锥 中，底面ABCD是边长为2的正方形， ， ， 为
的中点，二面角 为直二面角.求证： .
【解析】因为 ， 为 的中点，所以 ，
由二面角 为直二面角，故平面 平面 ，
又平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 ， ， ，所以 ，
取 的中点 ，连接 ，则 ，
以点O为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，
如图建立空间直角坐标系 ，
则O(0,0,0)， ， ， ，P(0,0,1)， ，
， ，
因为 ，所以 ．
【变式9-2】如图，在多面体 中， 都是等边三角形，
平面 为 的中点.证明：【解析】由 都是等边三角形， ，可得 .
取 的中点为 ，则 ，
又 ，所以 ，
所以 ，即 ，
又 平面 ，故 平面 .
因为 ，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，又 ，所以 两两垂直，
以 为原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ，
所以 ，
所以 ，则 .
题型十：证明直线与平面垂直
【典例10-1】如图，在正三棱柱 中， 分别是 的中点．在线段 上是否存在一点Q，使 平面 ？若存在，确定点Q的位置；若不存在，也请说明理由．
【解析】假设在线段 上存在一点Q，使 平面 ．
取 的中点O，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．
设 ，则 ，
．
平面 ，
，解得 ，
∴在线段 上存在一点Q，使 平面 ，此时点Q为点B．
【典例10-2】如图，在直三棱柱 中， ， ， ，
.当 时，求证： 平面 ；
【解析】证明：以 为坐标原点，以 所在的直线分别为 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
，
当 时， ，所以 ，
可得 ，所以 ，
又因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
【方法技巧】
（1）证明直线和平面内的两天相交直线垂直．
（2）证明直线和平面内的任一直线垂直．
（3）转化为证明直线与平面的法向量共线．
【变式10-1】如图， 为正方体．
证明： 平面 ；
【解析】如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD 所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
1设正方体的棱长为1，
则
因为 ，
且 ，
所以 ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 ；
【变式10-2】如图，在三棱锥 中， ， ，点 ， 分别是 ， 的
中点. 底面 .
(1)求证： 平面 ；
(2)当 取何值时， 在平面 内的射影恰好为 的重心？
【解析】（1）连接 ，
平面 ， ， ，
， ， ，
以 为原点， ， ， 所在直线为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系（如图）.设 ，则 ， ， .
设 ，则 .
为 的中点， ，又 ，
， ，则 ，
又 平面 ， 平面
平面 .
（2）设 的重心为 ，则 ，
，
平面 ，又 平面 ，
又 ， ，
， ，即 ，
经检验，当 时， 在平面 内的射影为 的重心，
所以 .
题型十一：证明平面和平面垂直
【典例11-1】如图，直四棱柱 的底面 为平行四边形， ， ，
， ， 是 的中点．平面 满足：直线 平面 ，直线 平面 ．求证：平面
平面【解析】由 ， ， ，可得 ， ，
在直四棱柱 中， 平面 ，
平面 ， 平面 ，所以 ， ，
所以 两两相互垂直，
所以以 为原点， 所在直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
， ，
设 为平面 的一个法向量，
则 ，
令 ，则 ， ，所以 ，
又 平面 ，所以 为平面 的一个法向量，
又 ，即 ，
所以平面 平面 .
【典例11-2】如图，四边形 为正方形， 平面 ， ， .证明：
平面 平面
【解析】由题意易知 两两互相垂直.
如图，以D为坐标原点， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系 .设 .
依题意有 ，
则 ，
所以 ，
，
即 ，
又 ， 平面 ，
故 平面 .又 平面 ，
所以平面 平面 .
【方法技巧】
（1）转化为证明两平面的法向量互相垂直
（2）转化为证明一平面内的一条直线垂直于另一个平面．
【变式11-1】如图所示，在直三棱柱 中， 分别为棱
的中点．证明：平面 平面 ．
【解析】如图，以C为坐标原点， 所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
所以 ．
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，令 ，
可得平面 的一个法向量 ．
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，
可得平面 的一个法向量 ．
因为 ，
所以 ，
所以平面 平面 ．
【变式11-2】平面上两个等腰直角 和 ， 既是 的斜边又是 的直角边，沿
边折叠使得平面 平面 ， 为斜边 的中点．
(1)求证： ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得平面 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）取 中点 ，连接 ，如图，
又 为 的中点，
，由 ，则 ，
又 为等腰直角三角形， ， ，，又 ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ，
（2） 平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ，
平面 ， 平面 ，故 ，
故以 为原点， 为 、 、 轴正方向的空间直角坐标系，设 ，
，
则 ， ， ，
若存在 使得平面 平面 ，且 ， ，
则 ，解得 ， ，
则 ， ，
设 为平面 的一个法向量，则 ，
令 ，即 ，
设 是平面 的一个法向量，则 ，
令 ，则 ，
，可得 ．
存在 使得平面 平面 ，此时
题型十二：求两异面直线所成角
【典例12-1】如图，在三棱锥 中， 为等边三角形， 为等腰直角三角形，
，平面 平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为 ．【答案】
【解析】取 的中点 ，连接 ， ，因为 ，所以 ．
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．又 ，所以 ，
可得 ， ， 两两垂直，所以以 为坐标原点，
， ， 的方向分别为 ， ， 轴的正方向，
建立空间直角坐标系，不妨设 ，则 ， ， ， ，所以
， ，
所以 ，
又异面直线所成角的取值范围为 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
故答案为： .
【典例12-2】在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱
称为堑堵．已知在堑堵 中， ， ， ，若直线 与直线 所成角
为 ，则 ( )A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】如图，以 为原点建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，设 ，
则 ， ，
，
解得 ，故 ．
故选：B．
【方法技巧】
设两异面直线a和b的方向向量为 和 ，利用求角余弦公式可求得 和 的夹角，由于两向量所成
角 的范围是 ，而两异面直线所成角 的范围是 ．所以 .
【变式12-1】（2024·辽宁抚顺·三模）在直三棱柱 中， ，
为 的中点，点 满足 ，则异面直线 所成角的余弦值为 ．
【答案】
【解析】如图，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，
设异面直线 所成的角为 ，则 ．故答案为： .
【变式12-2】（2024·高三·四川德阳·期末）正四面体 中， 、 分别是 和 的中点，则
和 所成角的大小是 .
【答案】 /
【解析】取 中点 ，连接 ，令棱长为 ，
因为 、 分别是 和 的中点，
所以 ， ， ， ，
所以 是 和 所成角，
又 ，
，
，
所以 ，
， ，
所以 ，
所以 ，即 和 所成角的大小为 .故答案为：
【变式12-3】（2024·江西南昌·模拟预测）如图，在平行六面体 中，
， .
(1)求证：四边形 为正方形；
(2)求体对角线 的长度；
(3)求异面直线 与 所成角的余弦值.
【解析】（1）因为 ， ，
所以 ，而 不共线，所以四边形为 平行四边形，
又 ，
所以 ，即 ，所以四边形 为正方形；
（2）由题意易知 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，即 ；
（3）因为 ， ，
所以，
，
所以 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
【变式12-4】（2024·高三·江苏南京·期中）如图，矩形 所在平面与 所在平面垂直，
，
(1)证明： 平面 ；
(2)若平面 与平面 的夹角的余弦值是 ，求异面直线 与 所成角的余弦值.
【解析】（1）因为四边形 为矩形，
所以 ，
因为 ，即 ，
又 ，
所以 ，
因为 平面 平面 ，
所以 平面 .
（2）由题意可知，平面 平面 ,平面 平面 ,
且 ,
所以 平面 ,
所以 .
因为 ,
所以 平面 ,
又因为 平面 ，所以 .
所以 .如图所示以 分别为 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设 ，且 ，
则 ，
所以 ，
设 为平面 的法向量，
则 ，取 ，
则 .
因为 平面 ,则 为平面 的法向量，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
解得 .
即 , , ,
所以异面直线 与 夹角余弦值为
.
【变式12-5】如图 ，在 中， 分别为 的中点， 为 的中点，AB=AC=2√5，
.将 沿 折起到 的位置，使得平面 平面 ，如图 ．(1)求证： ．
(2)线段 上是否存在点 ，使得直线 和 所成角的余弦值为 ？若存在，求出 的值；若不
存在，说明理由．
【解析】（1） ， 分别为 中点， ，即 ，
为 中点， ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ， .
（2）取 中点 ，连接 ，
， 为 中点， ，即 ，
， ；
则以 为坐标原点， 正方向为 轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ， ，
假设在线段 上存在点 ，使得直线 和 所成角的余弦值为 ，
设 ，则 ，，
，
整理可得： ，解得： ，
存在满足题意的点 ，此时 .
题型十三：求直线与平面所成角
【典例13-1】（2024·广东茂名·模拟预测）已知四棱柱 的底面是正方形， ，
，点 在底面 的射影为 中点H，则直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
【答案】
【解析】因为点 在底面 的射影为 中点H，则 平面 ，
又因为四边形 为正方形，
以点H为坐标原点， 、 、 的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系
，
因为 平面 ， 平面 ，则 ，
因为 ， ，则 ，
则 、 、 、 ，
所以 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
，因此，直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
故答案为： .
【典例13-2】如图，四棱锥 的底面为正方形， 底面 ．设平面 与平面
的交线为l．若 ，Q为l上的点，则PB与平面 所成角的正弦值的最大值为 ．
【答案】
【解析】因为 两两垂直，建立空间直角坐标系 ，如图所示：
因为 ，则 ，
为正方形，有 ，
平面 ， 平面 ，则 平面 ，
平面 平面 ， ，
平面 ，则 ，即 ，
设 ，则有 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，所以平面 的一个法向量为 ，
则 ，
根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值等于 ，
当 时， ，
当 时，
，
当且仅当 且 ，即 时取等号，
所以直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 .
故答案为： .
【方法技巧】
设 为平面 的斜线， 为 的方向向量， 为平面 的法向量， 为 与 所成角的大小，则
．
【变式13-1】如图，AB是圆的直径，平面PAC 面ACB，且AP AC．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，求直线AC与面PBC所成角的正弦值.
【解析】（1）因为平面PAC 面ACB，且AP AC.，平面PAC 面ACB ， 平面PAC，
所以PA 面ACB，又因为 平面PBC，
所以PA ，又因为AB是圆的直径，所以 ，
因为 平面 ，
所以 平面 ；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 ，所以 ，所以 ，则 ，
设平面PBC的法向量为⃗m=(x,y,z)，则 ，
而 ，设直线AC与面PBC所成角为 ，
则 ，
所以直线AC与面PBC所成角的正弦值为 .
【变式13-2】（2024·江苏南京·模拟预测）如图，四棱锥 中， 底面 ， ，
分别为线段 上一点， .
(1)若 为 的中点，证明： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值.
【解析】（1）证明：由已知 得 ，取 的中点T，连接 ，
由N为 的中点知 ，
．又 ，故 ，且 ，
∴四边形 为平行四边形，∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
（2）取 的中点 ，连接 ，建立如图所示的空间坐标系 ．，
不妨设 ，
则 ，
设平面 的一个法向量为⃗n=(x,y,z)，
，
取 ，则 .
设直线 与平面 所成角为
.
故直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 .
【变式13-3】（2024·广西桂林·模拟预测）如图，几何体 中， 和 均为等边三角
形，平面 平面 ， 为 中点．
(1)证明： 与 不是异面直线；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
【解析】（1）连接 ，由 为等边三角形， 为 中点，
得 ，又 平面 ，
则 平面 平面 ，于是 ；
而 ， 平面 ，
则 平面 ，又 平面 ，于是
又 平面 ，因此 平面 ，
设平面 与直线 交于点 ，则 ，显然 平面 ，
在平面 内，过直线 外一点A有且仅有一条直线与 垂直，
所以 与 重合，即有 四点共面．
故 与 不是异面直线；
（2）由（1）知，平面 平面 ，在平面 内过点 作 ，
而平面 平面 ，则 平面 ，直线 两两垂直，
以 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
由平面 平面 ，平面 平面 平面 平面 ，
而 平面 ，则 ，由 和 均为等边三角形，
得 ，由 ，得 ，
于是 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，
设直线 与平面 夹角为 ，则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
【变式13-4】（2024·贵州贵阳·二模）由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台
中， 分别为 的中点， ，侧面 与底面 所成角为 .(1)求证： 平面 ；
(2)线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，若存在，求出线段
的长；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）连接 、 ，由 分别为 的中点，则 ，
又 平面 ， 平面 ，故 平面 ，
正四棱台 中， 且 ，
则四边形 为平行四边形，故 ，
又 平面 ， 平面 ，故 平面 ，
又 ，且 平面 ， 平面 ，
故平面 平面 ，又 平面 ，故 平面 ；
（2）正四棱台 中，上下底面中心的连线 底面 ，
底面 为正方形，故 ，
故可以 为原点， 、 、 为 轴，建立空间直角坐标系 ，
由 ，侧面 与底面 所成角为 ，
则 ，
则 ， ， ，
假设在线段 上存在点 满足题设，则 ，
设 ，则 ，
，
设平面 的法向量为⃗m=(x,y,z)，则 ，令 ，则 ， ，即 ，
因为直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，
故 ，
解得 或 （舍），故 ，
故线段 上存在点 ，使得直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，
此时线段 的长为 .
【变式13-5】（2024·河南驻马店·二模）在如图①所示的平面图形中，四边形 为菱形，现沿
进行翻折，使得 平面 ，过点 作 ，且 ，连接 ，所得图形如
图②所示，其中 为线段 的中点，连接 .
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值.
【解析】（1）证明：.在菱形 中， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 .
因为 分别为 的中点，所以 ， ，
又 ， ，
所以 ， ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，所以 平面 .
（2）在菱形 中，因为 ，所以 和 都是正三角形，
取 的中点 ，连接 ，则 ，
又 平面 ，所以 ，即 两两垂直.
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设 ，则 ，
则 ， .
设平面 的法向量为 ，则
取 ，则 .记直线 与平面 所成角为 ，
则 . ，
解得 ，即 的值为2.
题型十四：求平面与平面所成角
【典例14-1】（2024·海南·模拟预测）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，点 在平
面 内的射影恰为点 ，直线 ， 交于点 .
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
【解析】（1）连接 ，过点 作 ，垂足为 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，
因为点 在平面 内的射影恰为点 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，
所以 .（2）因为 ， ，
所以 ，所以 ，
又由已知可得 平面 ， 平面 ，
所以 ，
如图，以 为原点， 为 轴正方向，建立空间直角坐标系，
因为 ， ，
所以 ， ， ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，故 ，
取 ，则 ，
所以 为平面 的一个法向量，
又向量 为平面 的一个法向量，
设平面 与平面 夹角为 ，
则 .
【典例14-2】（2024·山西太原·一模）如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形，， ， .
(1)点 在侧棱 上，且 平面 ，确定 在侧棱 上的位置；
(2)若平面 平面 ，且 ，求二面角 的余弦值.
【解析】（1）连接 ，设 ，连接 ，则平面 平面 ，
平面 ， 面 ，
底面 是直角梯形， ，且 ，
，则 ，
为侧棱 上靠近 处的三等分点；
（2） 平面 平面 ，且 ，
，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，（ 为 中点）
如图所示建立空间直角坐标系，
依题意有A(1,0,0)， ， ，
，则 ，
， ，显然 是平面 的一个法向量，
设 是平面 的一个法向量，则 ，
取 得 ，，
二面角 的大小的余弦值为 .
【方法技巧】
（1）在平面 内， ，在平面β内， （ 是交线 的方向向量），其方向如图所示，则二面
角 的平面角的余弦值为 ．
（2）设 是二面角 的两个半平面的法向量，其方向一个指向二面角内侧，另一个指向二
面角的外侧，则二面角 的余弦值为 ．
【变式14-1】（2024·安徽安庆·三模）如图，在多面体ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，BE⊥平面
ABC，△ABC和△ACD均为正三角形， ， ，点F在棱AC上.
(1)若BF∥平面CDE，求CF的长；
(2)若F是棱AC的中点，求二面角 的正弦值.
【解析】（1）记AC中点为M，连接DM、BM，三角形ACD为正三角形， ，则DM⊥AC，且
.
因为平面ACD⊥平面ABC，平面 平面 ， 平面ACD，所以DM⊥平面ABC，
又△ABC为正三角形，所以BM⊥AC，所以 ，
如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，所以 ， ，
设平面CDE的法向量为 ，则 ，令 ，则 ， ，则
，
设 ， ，则 ，
因为BF∥平面CDE，所以 ，解得 ，
所以F为CM的中点，此时 .
（2）若F是AC的中点，则点F与点M重合，则平面FDE的一个法向量可以为 ，
设二面角 为 ，显然二面角为锐角，则 ，
所以 ，
所以二面角 的正弦值为 .
【变式14-2】（2024·湖南·三模）如图，四棱锥 的底面 是梯形，
平面 .(1)求证：平面 平面 ；
(2)在棱 上是否存在一点E，使得二面角 的余弦值为 .若存在，求出 的值；若不存
在，请说明理由.
【解析】（1）因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）因为 平面 ， ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，又 ，
所以 两两互相垂直，
所以以点 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
如图， ，
设 ，
则 ，
，设平面 的法向量为⃗n =(x ,y ,z )，
1 1 1 1
则 ，即 ，取 ， 满足条件，
所以可取 ，
， ，设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，取 ，解得 ，
所以 ，
由题意 ，
化简并整理得 ，解得 或 （舍去），
所以 ，
综上所述，棱 上是否存在一点E，且 ，使得二面角 的余弦值为 .
【变式14-3】（2024·四川达州·二模）如图，在直角梯形 中， ， ，
，把梯形 绕 旋转至 ， ， 分别为 ， 中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求二面角 余弦的最小值．
【解析】（1）证明：设 中点为 ，连接 ，
为 中位线， ，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ，为梯形 中位线， ，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ，
， 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，
平面 ，
平面 ．
（2）以 为原点，以 所在直线为 轴，以垂直于平面 的直线为 轴，建立如图空间直角坐
标系，
，不妨设 ，
，
则 ，
∴ ，
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，
∴ ，即 ，
不妨取 ， ，
设平面 的法向量为 ，
∴ ，即 ，
不妨取 ，则 ，
，
设二面角 平面角为 ，由图可知 为锐角，
，时，二面角 的余弦最小值为 ．
【变式14-4】（2024·辽宁锦州·模拟预测）如图，在四棱锥 中， 为 的中点，
平面 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ．
（i）求证： 平面 ；
（ii）设平面 平面 ，求二面角 的正弦值．
【解析】（1）取 的中点 ，连接 ，
因为 为 的中点，所以 ， ，
因为 ，所以 ，所以 四点共面，
因为 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，所以 ；
（2）（i）取 的中点 ，连接 ，由（1）知 ，所以 ，
因为 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 与 全等，
所以 ，即 ，
因为 ，
又因为 ， 、 平面 ，
所以 平面 ；
（ii）由（i）知 平面 ，而 平面 ，
所以 ，
因为 ，
建立如图所示空间直角坐标系 ，
则 ， ，
所以 ， ，设平面 的法向量为⃗n=(x,y,z), 则
令 ，则 ，于是 ，
因为 为平面 的法向量,
设二面角 为 ，由图可得
所以 ,
所以二面角 的余弦值为 ，
则二面角 的正弦值为
【变式14-5】由四棱柱 截去三棱锥 后得到如图所示的几何体，四边形
是菱形， 为 与 的交点， 平面 .
(1)求证： 平面 ；
(2)若二面角 的正切值为 ，求平面 与平面 夹角的大小.
【解析】（1）法一：将几何体补成四棱柱 ，
因为 ， ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ， ，
又 ，
故 ， ，故四边形 为平行四边形，
故 ，
又 平面 ， 平面 ，
平面 .
法二：∵四边形 是菱形，
∴ ⊥ ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ ， ，
故 两两垂直，
以直线 分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，
其中 ，
则 ，设 ，
由 得 ，
由 得 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
，又 平面 ，
平面 .
（2）设 ，取 的中点 ，则 ，
又四边形 是菱形， ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
因为 ， 平面 ，
故 面 ，
因为 平面 ，
则 ，
因为 且 ，
所以四边形 为平行四边形，故 ，
所以 ，
又 ，故四边形 为平行四边形，
故DM// ， ，故 .
所以 为二面角 的平面角.
则 ，其中 ，故 ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，
则 取 ，得 ，
，
平面 与平面 夹角的余弦值为 ，
平面 与平面 夹角为 .题型十五：求点面距、线面距、面面距
【典例15-1】如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形， 底面 ，
， 、 、 分别是 、 、 的中点．求：
(1)直线 与平面 的距离；
(2)平面 与平面 的距离．
【解析】（1）因为 平面 ，四边形 为正方形，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 、 ，
因为 、 分别为 、 的中点，则 ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
因为 且 ， 、 分别为 、 的中点，则 且 ，
所以，四边形 为平行四边形， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
， 、 平面 ， 平面 平面 ，
平面 ， 平面 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，则 ，取 ，可得 ， ，
所以，直线 与平面 的距离为 .
（2）因为平面 平面 ，则平面 与平面 的距离为 .
【典例15-2】（2024·广西柳州·一模）如图 的外接圆 的直径 ， 垂直于圆 所在的
平面， ， ， ， 为 上的点.
(1)证明： ；
(2)当 为 的中点时，求点 到平面 的距离.
【解析】（1） 平面 ， 平面 ， ，
又 ， 、 平面 ，
平面 ， 平面 ， ；
（2）由(1)和已知条件可知， 两两垂直，故以C为原点， 分别为x轴、y轴、
z轴建立空间直角坐标系 ：
则 ，， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，即 ，
由点到平面的距离公式知，点 到平面 的距离
【方法技巧】
如图所示，平面 的法向量为 ，点 是平面 内一点，点 是平面 外的任意一点，则点 到平
面 的距离 ，就等于向量 在法向量 方向上的投影的绝对值，即 或
【变式15-1】已知正方体 的棱长为1，求平面 与平面 间的距离．
【解析】正方体 中， ,故四边形 ,
所以 ，同理 ，
所以平面 平面 ，
以D为原点，分别以 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则 ，所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，所以 ，
令 ，则 ，
则 为平面 的一个法向量，
所以点 到平面 的距离d ，
则平面 与平面 的距离等于点 到平面 的距离，
所以平面 与平面 间的距离为 ．
【变式15-2】（2024·山西吕梁·三模）如图， 为圆锥的顶点， 为圆锥底面的圆心， 为底面直径，
为底面圆 的内接正三角形，且 的边长为 ，点 在母线 上，且 ， .
(1)求证： ，并求三棱锥 的体积；
(2)若点 为线段 上的动点，当直线 与平面 所成角的正弦值最大时，求此时点 到平面
的距离.
【解析】（1）设 ，连接 ，
为底面圆 的内接正三角形，
为 中点，
又 ，
；
，
；平面 平面 平面 平面 ，
平面 平面 平面 平面 ，
又 平面 ，
又 平面 ，又 平面 ，
所以 ，
又 平面 ，
平面 平面 平面 ；
为 中点， ，即 ，
又 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，
，
，
又 平面 ，
.
（2） 为 中点，又 ，
为 中点， ，
，
以 为坐标原点， 正方向为 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则 ，
，
，
，
设 ，
；
设平面 的法向量⃗n=(x,y,z)，
则 ，令 ，解得： ，
设直线 与平面 所成角为 ，
，
令 ，则 ，
，
当 ，即 时， ，，此时 ，
，
点 到平面 的距离 .
题型十六：点到直线距离、异面直线的距离
【典例16-1】在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面 平面 ，活动弹
子 分别在正方形对角线 ， 上移动，则 长度的最小值是 ．
【答案】
【解析】 是异面直线 ， 上两点， 的最小值即为两条异面直线间距离 .
平面 平面 ， ，平面 平面 ，
平面 ，又 ，则以 为坐标原点可建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ， ，
设异面直线 ， 的公垂向量 ，则 ，令 ，则 ， ， ，
，即 的最小值为 .
故答案为： .
【典例16-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知空间中有三点 ， ， ，
则点O到直线 的距离为 .
【答案】
【解析】因为O(0,0,0)， ， ，
所以 ,
所以 ， .
所以 ,
所以 .
所以点O到直线 的距离为 .
故答案为： .
【方法技巧】
设两条异面直线 的公垂线的方向向量为 ，这时分别在 上任取 两点，则向量在 上
的正射影长就是两条异面直线 的距离．则 即两异面直线间的距离，等于两异面
直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．【变式16-1】如图，多面体 是由长方体一分为二得到的， ， ，
，点D是 中点，则异面直线 与 的距离是 ．
【答案】 #
【解析】以 为坐标原点，分别以 ， , 为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，则 ,
, , ,
∴ , ,
设 是 ， 的公垂线方向上的单位向量，
则 ，即 ①，
，即 ②，
易知 ③，
联立解得 ， ， 或 ， ， ；
不妨取 ，
又∵ ,
则异面直线 与 的距离 ，
故答案为： .【变式16-2】已知棱长为2的正四面体 中， 的一条高为 ，求 与 间的距离．
【解析】
如图，连接 ，作 为垂足，∴ 是 的中心，显然 面
作 ∥ ，故以 为原点建立空间直角坐标系，
在 中，由勾股定理得 ，
则 ， ， ， ， ，
而 ， ， ，
设 和 的公垂法向量为 ，故得 ， ，
化为 ， ，令 ，解得 ， ，
故 ，设 与 间的距离为 ，
由异面直线距离公式得 .
【变式16-3】（2024·高三·河北沧州·期末）已知正方体 的棱长为2，M为棱 的中
点，P，Q分别为线段 ， 上的动点，则 的最小值为 .
【答案】 /【解析】建立如图所示的空间直角坐标系， ,
则 ，
设 ，
故 ，
由于直线 ， 为异面直线，要使 的最小，则 是 ， 的公垂线，
故 解得 ，
所以
故 ，
故答案为：
【变式16-4】（2024·天津河西·模拟预测）如图，在棱长为 的正方体 中， 分别
是棱 上的动点，且 ．
(1)求证： ；
(2)当三棱锥 的体积取得最大值时，求平面 与平面BEF夹角的正切值及点 到直线 的距
离．
【解析】（1）以 为原点，如图所示建立空间直角坐标系，， ，
设 ，
，
，
，
，即 ，
（2）
，由二次函数性质得，
当 时， 取得最大值，
此时 为 的中点，
设平面 的法向量为 ，
，
，
设平面 的法向量为 ，
， ，
令 ， ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
，， ，
，
设直线 和 所成角为 ，
，
点 到直线 的距离 .
【变式16-5】（2024·江苏南京·二模）在梯形 中， ， ， ，
，如图1．现将 沿对角线 折成直二面角 ，如图2，点 在线段 上．
(1)求证： ；
(2)若点 到直线 的距离为 ，求 的值．
【解析】（1） ， ，
，故 ，则 ，即 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
， 平面 ，故 平面 ，
平面 ，则 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，则 .
（2）设 中点为 ， 中点为 ，以 为 轴建立空间直角坐标系，
如图所示：有 ，
设 ，则 ，设 ，则 ，
则 ， ， ，
点 到直线 的距离为 ，则 ，
即 ，即 ，解得 ，
所以 .
1．（2024年上海秋季高考数学真题）定义一个集合 ，集合中的元素是空间内的点集，任取 ，
存在不全为0的实数 ，使得 ．已知 ，则 的充分条件
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意知这三个向量 共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，
对A，由空间直角坐标系易知 三个向量共面，则当 无法推出
，故A错误；
对B，由空间直角坐标系易知 三个向量共面，则当 无法推出
，故B错误；
对C， 由空间直角坐标系易知 三个向量不共面，可构成空间的一个基底，
则由 能推出 ，
对D，由空间直角坐标系易知 三个向量共面，则当 无法推出 ，故D错误.
故选：C．
2．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）在正方体 中，E，F分别为 的中点，
则（ ）
A．平面 平面 B．平面 平面
C．平面 平面 D．平面 平面
【答案】A
【解析】在正方体 中，
且 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
因为 分别为 的中点，
所以 ，所以 ，
又 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 平面 ，故A正确；
选项BCD解法一：
如图，以点 为原点，建立空间直角坐标系，设 ，
则 ，
，
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，可取 ，
同理可得平面 的法向量为 ，
平面 的法向量为 ，
平面 的法向量为 ，
则 ，
所以平面 与平面 不垂直，故B错误；因为 与 不平行，
所以平面 与平面 不平行，故C错误；
因为 与 不平行，
所以平面 与平面 不平行，故D错误，
故选：A.
选项BCD解法二：
对于选项B，如图所示，设 ， ，则 为平面 与平面 的交线，
在 内，作 于点 ，在 内，作 ，交 于点 ，连结 ，
则 或其补角为平面 与平面 所成二面角的平面角，
由勾股定理可知： ， ，
底面正方形 中， 为中点，则 ，
由勾股定理可得 ，
从而有： ，
据此可得 ，即 ，
据此可得平面 平面 不成立，选项B错误；
对于选项C，取 的中点 ，则 ，
由于 与平面 相交，故平面 平面 不成立，选项C错误；对于选项D，取 的中点 ，很明显四边形 为平行四边形，则 ，
由于 与平面 相交，故平面 平面 不成立，选项D错误；
故选：A.
3．（多选题）（2021年全国新高考I卷数学试题）在正三棱柱 中， ，点 满足
⃑BP=λ⃑BC+μ⃑BB ，其中 ，μ∈[0,1]，则（ ）
1
A．当 时， 的周长为定值
B．当 时，三棱锥 的体积为定值
C．当 时，有且仅有一个点 ，使得
D．当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面
【答案】BD
【解析】易知，点 在矩形 内部（含边界）．
对于A，当 时，⃑BP=⃑BC+μ⃑BB =⃑BC+μ⃑CC ，即此时 线段 ， 周长不是定值，故A
1 1
错误；
对于B，当 时，⃑BP=λ⃑BC+⃑BB =⃑BB +λ⃑B C ，故此时 点轨迹为线段 ，而 ，
1 1 1 1
B C //平面 ，则有 到平面 的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．
1 1
1
对于C，当 时，⃑BP= ⃑BC+μ⃑BB ，取 ， 中点分别为 ， ，则⃑BP=⃑BQ+μ⃑QH，所以
2 1
(√3 ) ( 1 )
点轨迹为线段 ，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，A ,0,1 ，P(0,0,μ)，B 0, ,0 ，
1 2 2
( √3 ) ( 1 )
则⃑A P= − ,0,μ−1 ，⃑BP= 0,− ,μ ，⃑A P⋅⃑BP=μ(μ−1)=0，所以 或 ．故 均
1 2 2 1
满足，故C错误；
1
对于D，当 时，⃑BP=λ⃑BC+ ⃑BB ，取 ， 中点为 ．⃑BP=⃑BM+λ⃑MN，所以 点轨迹
2 1
( 1) (√3 ) ( √3 1) ( √3 1 )
为线段 ．设P 0,y , ，因为A ，0,0 ，所以⃑AP= − ,y , ，⃑A B= − , ,−1 ，
0 2 2 2 0 2 1 2 2
3 1 1 1
所以 + y − =0⇒y =− ，此时 与 重合，故D正确．
4 2 0 2 0 2
故选：BD．
4．（2017年普通高等学校招生统一考试数学（上海卷））如图，以长方体 的顶点
为坐标原点，过 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 的坐标为 ，则
的坐标为
【答案】
【解析】 过 的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
因为 的坐标为 ，所以 ,
所以 .5．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷精编版））如图，已知平面四边形
ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD= ，∠ADC=90°．沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，直线AC与BD'所
成角的余弦的最大值是 ．
【答案】
【解析】［方法一］：异面直线所成角的向量公式
设直线 与 所成角为 ，设 是 中点，由已知得 ，如图，以 为 轴， 为 轴，过
与平面 垂直的直线为 轴，建立空间直角坐标系，由 ， ， ，作
于 ，翻折过程中， 始终与 垂直， ，则 ，
，因此可设 ，则 ，
与 平行的单位向量为 ，
所以 ＝ ，所以 时， 取最大值 ．故答案为： ．
［方法二］：几何法
由翻折过程可以看出D'在以H为圆心，DH为半径的圆上运动，设E是圆H与平面ABC的交点， 易知E
在CB上，且CE=1．设直线AC与BD'所成角为 ，则 ，
，
设点 在平面 上的投影为 ， ，因此 ．
［方法三］：考虑纯几何运算
由折叠过程可知， 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，且 垂直圆所在的平面 ，如图,作
于 ，则 ， 与 所成角即为 ，且 ， ,要使 最大只
需 最小，
在 中， 为定值，即只要 最短,
，因此 ．［方法四］：【最优解】利用三余弦定理
前面过程同方法三, 与 所成角即为 ，
是点 在平面 上的投影，可知：
观察得当 与 点重合时， 和 同时达到最小，
和 同时取最大，此时 有最大值，
最后我们不难发现，其实在翻折过程中， ，那么
，即当 与 重合时有最大值.
【整体点评】方法一：利用建系求异面直线所成角，是通性通法，易操作，但此题运算较复杂；
方法二：利用几何性质求异面直线所成角，计算简单，需要较好的空间想象能力；
方法三：利用几何法找到异面直线所成角的平面角，计算简单，需要较好的空间想象能力；
方法四：利用三余弦定理分析最简单，但是三余弦定理不是教材要求必需掌握的内容．
1．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．
活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记
．
（1）求MN的长；
（2）a为何值时，MN的长最小？
（3）当MN的长最小时求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．
【解析】如图建立空间直角坐标系，， ， ， ，
， ， ．
（1） ；
（2） ，
当 时， 最小，最小值为 ；
（3）由（2）可知，当 ， 为中点时， 最短，
则 ，0， ， ， ， ，取 的中点 ，连接 ， ，
则 ， ， ，
， ， ， ，
是平面 与平面 的夹角或其补角．
， ，
．
平面 与平面 夹角的余弦值是 ．
2．在空间直角坐标系中，已知向量 ，点 ，点 ．
（1）若直线l经过点 ，且以 为方向向量，P是直线l上的任意一点，求证：
（2）若平面 经过点 ，且以 为法向量，P是平面 内的任意一点，求证：．
【解析】（1）因为 ， ，所以 ，
即 ，因为 ，所以 ．
（2）因为 ， ， ，
所以 ．
3．如图，在直三棱柱 中， ， ， ，M是AB的中点，N是
的中点，P是 与 的交点．在线段 上是否存在点Q，使得 平面 ？
【解析】如图，分别以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ,
设面 的法向量 ,则 ,即 .
令 得
因为 平面 ，所以 ,即 .
所以 得 ，
,所以 .
因为 ， ，所以存在 在 三等分点处靠近 ，使得 平面 .
4．如图，正方体 的棱长为1，M是棱 的中点，O是 的中点．求证：OM分别与异
面直线 ， 垂直，并求OM的长．【解析】
如图建立空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，
因为 ，
所以
.
5．如图，已知正方体 的棱长为1，Q为 的中点，点P在棱 上， ．求
平面ABCD与平面BQP的夹角的余弦值．【解析】
如图建立空间直角坐标系， ，
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，不妨令 ，则 ，
所以
平面 的法向量为 ，
所以 .
所以平面ABCD与平面BQP的夹角的余弦值为 .
6．如图，在正方体 中，E，F，G，H，K，L分别是AB， ， ， ， ，DA
各棱的中点．
（1）求证： 平面EFGHKL；
（2）求 与平面EFGHKL所成角的余弦值．【解析】
如图所示建立空间直角坐标系，
（1） ，
则 ，所以
为平面EFGHKL的两条相交直线，
所以 平面EFGHKL；
（2）由（1）知平面EFGHKL的法向量为
，
因为 ，
求 与平面EFGHKL所成角的余弦值为 .
易错点：计算线面角出错
易错分析： 计算线面角时出错，常见原因包括：1. 对线面角概念理解不清，错误地将直线与平面上
任意直线的夹角视为线面角；2. 在利用向量法计算时，未正确设置平面的法向量和直线的方向向量，导致
计算结果偏离实际；3. 忽视线面角的取值范围，错误地计算了钝角或超出规定范围的角；4. 计算过程中
存在符号错误或计算失误，影响最终结果的准确性。因此，在计算线面角时需仔细理解概念，正确设置向
量，并仔细检查计算过程。【易错题1】（2024·山东菏泽·模拟预测）如图，在正四棱台 中，
.
(1)证明： ；
(2)若 为 的中点，求直线 与平面 的夹角的正弦值.
【解析】（1）设 ， ，连接 ，
则 平面 且 平面A B C D ，
1 1 1 1
又 ，所以 ，
，则 ，
如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，即 ，所以 .
（2）由（1）可知 ，所以 ，
，
设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，设直线 与平面 的角为 ，则 ，
所以直线 与平面 的夹角的正弦值为 .
【易错题2】在长方体 中，已知异面直线 与AD， 与AB所成角的大小分别为60°
和45°，则直线 和平面 所成的角的余弦值为 ．
√3 1
【答案】 / √3
3 3
【解析】设 ， ， ，则 ，
由于 ，所以异面直线 与AD所成角为 ，而 ，从而 ，
由于 ，所以异面直线 与AB所成角为 ，从而 ，
所以 ， ．
如图，以D为原点，分别以DA、DC、 所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
， ， ．
设平面 的法向量为⃗n=(x,y,z)，
则 ，取 ，
所以直线 和平面 所成的角的正弦值为 ，
从而直线 和平面 所成的角的余弦值为 ．
故答案为：答题模板：用向量法求空间角
1、模板解决思路
用向量法求空间角的方法一般都是先确定两个向量（直线的方向向量或平面的法向量），然后求这两
个向量夹角的余弦值。
2、模板解决步骤
第一步：我们需要根据题目的描述，选择一个合适的点作为原点，并建立空间直角坐标系。
第二步：我们需要求出与所求角相关的直线的方向向量或平面的法向量。
第三步：我们可以利用向量的夹角公式来求出它们之间的夹角的余弦值。
第四步：我们根据得到的向量夹角的余弦值，可以确定所求角的值或其三角函数值。
【典型例题1】如图，正方体 中， ， 分别是 ， 的中点，则 ，
【答案】
【解析】建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的边长为 ，
则 ，
，
所以 .
故答案为：【典型例题2】已知正四棱柱 的底面边长与侧棱长之比为 ，则平面 与平面
夹角的余弦值为 ．
【答案】
【解析】如图，以点 为原点，以 为 轴，建立空间直角坐标系，
正四棱柱 的底面边长为 ，则 ，
所以
则 ，
设平面 与平面 的法向量分别为 ，
则 ，令 ，则 ，，令 ，则 ，
设向量 的夹角为 ，则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
故答案为：
